矩陣?yán)碚撝R點(diǎn)整理

1、3、 矩陣的若方標(biāo)準(zhǔn)型及分解 -矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型定理1 -矩陣可逆的充分必要條件是行列式是非零常數(shù)引理2 -矩陣=的左上角元素不為0，并且中至少有一個(gè)元素不能被它整除，那么一定可以找到一個(gè)與等價(jià)的使得且的次數(shù)小于的次數(shù)。引理3任何非零的-矩陣=等價(jià)于對角陣是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且引理4等價(jià)的-矩陣有相同的秩和相同的各階行列式因子推論5 -矩陣的施密斯標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的由施密斯標(biāo)準(zhǔn)型可以得到行列式因子推論6兩個(gè)-矩陣等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的行列式因子，或者相同的不變因子推論7 -矩陣可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它可以表示為初等矩陣的乘積推論8兩個(gè)等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)m階的可逆-矩陣和一個(gè)n階的-矩陣使得 推論9

2、兩個(gè)-矩陣等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的初等因子和相同的秩定理10設(shè)-矩陣等價(jià)于對角型-矩陣，若將的次數(shù)大于1的對角線元素分解為不同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按照重復(fù)的次數(shù)計(jì)算）就是的全部初等因子。初等因子被不變因子唯一確定但，只要-矩陣化為對角陣，再將次數(shù)大于等于1的對角線元素分解為不同的一次方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的必須重復(fù)計(jì)算）就為的全部初等因子，即不必事先知道不變因子，可以直接求得初等因子。矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型定理1兩個(gè)階數(shù)字矩陣A和B相似，當(dāng)且僅當(dāng)它們的特征矩陣等價(jià)N階數(shù)字矩陣的特征矩陣的秩一定是n 因此它的不變因子有n個(gè)，且乘積是A的特征多項(xiàng)

3、式推論3兩個(gè)同階矩陣相似，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的行列式因子，或相同的不變因子，或相同的初等因子。定理4 每個(gè)n階復(fù)矩陣A都與一個(gè)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣相似，這個(gè)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣A唯一確定的。求解若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及可逆矩陣：根據(jù)數(shù)字矩陣寫出特征矩陣，化為對角陣后，得出初等因子，根據(jù)初等因子，寫出若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，設(shè)（），然后根據(jù)用初等行變換化為階梯形矩陣，解非齊次方程組時(shí)，使增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相同，在確定自由未知量時(shí)，除非零首元外，均可以取為自由變量，利用回代法求通解。得到P（X1X2X3）方陣矩陣的最小多項(xiàng)式定理1 矩陣A的最小多項(xiàng)式整除A的任何零化多項(xiàng)式，且最小多項(xiàng)式唯一。

4、N階數(shù)字矩陣可以相似對角化，當(dāng)且僅當(dāng)最小多項(xiàng)式無重根若要證明A可以相似對角化，則需證明A的最小多項(xiàng)式無重根 。定理2矩陣A的最小多項(xiàng)式的根一定是A的特征值，反之，矩陣的特征值一定是最小多項(xiàng)式的根。求最小多項(xiàng)式：根據(jù)數(shù)字矩陣寫出特征多項(xiàng)式，根據(jù)特征多項(xiàng)式得到最小多項(xiàng)式的形式，然后根據(jù)確定最小多項(xiàng)式。矩陣的若干分解設(shè)為階復(fù)矩陣，則存在酉矩陣和上三角陣使得方法：根據(jù)數(shù)字矩陣列出，正交化單位化后，得到，即根據(jù)得R。奇異值分解設(shè)是階復(fù)矩陣，是的所有的非零奇異值，則存在階酉矩陣、階酉矩陣，使得其中，是對角陣，等式是的奇異值分解對于一個(gè)階復(fù)矩陣來說，階方陣是半正定的，及特征值是全部大于或者等于，這些特征值的

5、平方根便是的奇異值。求的奇異值分解：根據(jù)數(shù)字矩陣得到必須是，否則錯(cuò)誤，根據(jù)特征矩陣根據(jù)特征矩陣求特征值化簡矩陣時(shí)，只能初等行變換，化為三角陣得到特征值，并計(jì)算出每個(gè)特征值對應(yīng)的特征向量特征向量賦值時(shí)，自由變量是排除第一個(gè)和拐角處。自由變量的選取直接決定P Q。，則 滿秩分解設(shè)則存在列滿秩矩陣和行滿秩矩陣使得求的滿秩分解：根據(jù)數(shù)字矩陣寫出分塊矩陣（）進(jìn)行初等行變換得（）其中，根據(jù)求得的P求出一般根據(jù)伴隨矩陣求逆計(jì)算時(shí)主義轉(zhuǎn)置和負(fù)號然后對進(jìn)行列分塊，得到。則 第2章 內(nèi)積空間實(shí)內(nèi)積空間（歐氏空間）A為過渡矩陣（對稱且正定）N維歐氏空間V中兩組不同基的度量矩陣是合同的。設(shè)兩組基及兩組基之間的過渡矩陣

6、正交基及正交補(bǔ)由歐氏空間V的任意一組基都可以構(gòu)造出V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。任一非零歐氏空間都有正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基。由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交陣。設(shè)V1V2是歐氏空間V的兩個(gè)正交基子空間，則V1+V2是直和，兩個(gè)子空間互為正交補(bǔ)正交變換要證明一個(gè)變換是正交變換，則需要先證明是線性變換說明是線性變換后再證明其保持內(nèi)積不變正交變換的等價(jià)條件證明：對稱變換復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）酉空間兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣一定是酉矩陣在實(shí)內(nèi)積空間中，兩組標(biāo)準(zhǔn)基之間的過渡矩陣一定是正交陣酉空間V的線性變換滿足酉空間內(nèi)變換的等價(jià)條件酉對稱變換（Hermite變換）：定理：若A是n階方陣（1） 若A是復(fù)矩陣，則A是正規(guī)陣，當(dāng)且僅當(dāng)A酉相似于對角陣。即（2） 若A是實(shí)矩陣，且A的特征值全是實(shí)數(shù)，則A是正規(guī)陣，當(dāng)且僅當(dāng)正交相似于對角陣，即證明：1.必要性：設(shè)存在酉矩陣P使得則，即為正規(guī)陣2.充分性：若A是正規(guī)陣，則滿足則。推論：任一Hermite 矩陣A酉相似于對角陣，任一實(shí)對稱矩陣A酉相似于對角陣，推論：設(shè)A是n階正規(guī)陣（1） 是Hermite矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值全是實(shí)數(shù)（2） 是反Hermite矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的特征值全是0或者純虛數(shù)（3） A是酉矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)A的每個(gè)特征值的模長是1 。證明：定理：設(shè)是n階Hermite 矩陣（實(shí)對稱矩陣）則證明：一線性空間與線性變換數(shù)域及多