第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

1、Chapter 4傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析Fourier Transform and Frequency-Domain Analysis of Systems Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page2第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 第二、三章中分別討論了連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時第二、三章中分別討論了連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的間系統(tǒng)的時域分析法時域分析法。以沖激函數(shù)或單位序列為基本。以沖激函數(shù)或單位序列為基本信號，任意信號可分解為一系列沖激函數(shù)或單位序列，信號，任意信號可分解為一系列沖激函數(shù)或單位序列，而而系統(tǒng)的響應（

2、零狀態(tài)響應）是輸入信號與系統(tǒng)沖激系統(tǒng)的響應（零狀態(tài)響應）是輸入信號與系統(tǒng)沖激響應或單位序列響應的卷積響應或單位序列響應的卷積。( )( ) ()f tftd ( )( )()if kf iki ( )( )()zsiykf ih ki ( )( ) ()zsytfh td Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page3 本章主要討論連續(xù)信號的本章主要討論連續(xù)信號的傅里葉變換傅里葉變換和連續(xù)系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的的頻域分析法頻域分析法。()( )j tF jf t edt 以非周期信號為例：以非周期信號為例：1( )()2j tf tF jed 所謂傅里葉變換（含正變換和逆變換），其目的是所

3、謂傅里葉變換（含正變換和逆變換），其目的是以正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)以正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù) 為基本信號，將任意連續(xù)為基本信號，將任意連續(xù)時間信號表示為一系列不同頻率的正弦函數(shù)或虛指數(shù)函時間信號表示為一系列不同頻率的正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)之和（對于周期信號）或積分（對于非周期信號）。數(shù)之和（對于周期信號）或積分（對于非周期信號）。j te Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page4 接下來我們可證明，連續(xù)接下來我們可證明，連續(xù)LTI系統(tǒng)對虛指數(shù)函數(shù)系統(tǒng)對虛指數(shù)函數(shù) 的響應仍是同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，只是乘上了一的響應仍是同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，只是乘上了一個與個與 有關的復常數(shù)。有關的復常數(shù)。j

4、 te ( )( )j tzsyth te ()( )jthed ( )jj thede 1( )() ()2j tzsytF jdH je 輸出輸出()j tH je 1( )()2j tf tF jde 輸入輸入Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page5時域分析法時域分析法( )( )( )zsytf th t頻域分析法頻域分析法()()()zsYjF jH j 1( )()()2j tzsytF jH jed 1()2j tzsYjed ( )( ) ()zsytfh td 卷積卷積 乘積乘積Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page6頻域分析法的優(yōu)點：頻域分析

5、法的優(yōu)點： 1. 將卷積運算轉換為乘積運算，使運算簡化。將卷積運算轉換為乘積運算，使運算簡化。 2. 物理意義更明確?！疚锢硪饬x更明確?！?不存在，正余弦函數(shù)常見不存在，正余弦函數(shù)常見】( ) t 3. 將反卷積運算轉換為除法運算。將反卷積運算轉換為除法運算。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page7$4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質（ ）$4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜（能量譜定義能量譜定義 功率譜定義及二者關系功率譜定義及二者關系）線性線性 奇偶性奇偶性 對稱性對稱性 尺度變換尺度變換 時移時移 頻移頻移卷積定理卷積定理 時域微積分時域微積分 頻域微積分頻域微積

6、分 相關定理相關定理 第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析$4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)（正交函數(shù)集的定義正交函數(shù)集的定義 信號分解公式信號分解公式）$4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)（三角函數(shù)形式三角函數(shù)形式 奇奇/偶函數(shù)的級數(shù)特點偶函數(shù)的級數(shù)特點 指數(shù)形式指數(shù)形式）$4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜（頻譜定義頻譜定義 矩形脈沖頻譜特點矩形脈沖頻譜特點 信號功率信號功率）$4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜（引出傅里葉變換引出傅里葉變換 某些特殊函數(shù)結果某些特殊函數(shù)結果）$4.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換（求解方法求解方法

7、與傅里葉級數(shù)關系與傅里葉級數(shù)關系）$4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析（頻率響應及頻域分析頻率響應及頻域分析 無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏?理想低通理想低通）$4.9 取樣定理取樣定理（信號的取樣信號的取樣 時域取樣定理時域取樣定理 頻域取樣定理頻域取樣定理）Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page8 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念類似。的概念類似。12xyAC vC v 為為 軸和軸和 軸的單位矢量軸的單位矢量, 組成一個二

8、維正交矢量集。組成一個二維正交矢量集。,xyvv xy 矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page9 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 一一. 正交函數(shù)集正交函數(shù)集1. 正交函數(shù)正交函數(shù) 在在 區(qū)間上定義的非零區(qū)間上定義的非零實實函數(shù)函數(shù) 和和 , 若若滿足條件滿足條件 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 和和 為在

9、為在區(qū)間區(qū)間 的正交函數(shù)。的正交函數(shù)。12( ,)tt 1( ) t 2( ) t 2112( )( )0tttt dt 1( ) t 2( ) t 12( ,)tt 2. 正交函數(shù)集正交函數(shù)集 在在 區(qū)間上定義的區(qū)間上定義的 個非零實函數(shù)個非零實函數(shù) ，其中任意兩個均滿足其中任意兩個均滿足 ,則稱函數(shù)集則稱函數(shù)集 為在為在 的正交函數(shù)集。的正交函數(shù)集。12 ,tt n1( ),( )ntt 210,( )( ),tijtiijtt dtKij 1( ),( )ntt 12( ,)tt Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page10 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 3

10、. 完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 之外不存在函數(shù)之外不存在函數(shù) 滿足等式滿足等式 ，則稱該，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。1( ),( )ntt ( ) t 21( ) ( )0,1,2,tittt dtin 例：三角函數(shù)集例：三角函數(shù)集在區(qū)間在區(qū)間 組成完備正交函數(shù)集。其中，組成完備正交函數(shù)集。其中， 。1,cos,cos(),sin,sin(),tmttnt00( ,)ttT2T 原因：原因：000,cos()cos()2,0,0tTtmnmtnt dtTmnTmn *（自己下去驗證，后同）（自己下去驗證，后同）Chapter 4

11、傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page11 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 000,sin()sin()2,0tTtmnmtnt dtTmn *00sin()cos()0tTtmtnt dt *對任意的對任意的 和和mn注意注意：正弦函數(shù)集：正弦函數(shù)集 是正交函是正交函數(shù)集，但不是完備正交函數(shù)集。數(shù)集，但不是完備正交函數(shù)集。sin,sin(2),sin(),ttnt如果是如果是復復函數(shù)集，若函數(shù)集，若 在區(qū)間在區(qū)間 滿足：滿足：1( ),( )ntt 12( ,)tt 210,( )( ),tijtiijtt dtKij ，則稱此函數(shù)為正交函數(shù)集。，則稱此函數(shù)為正交函數(shù)集。Chapt

12、er 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page12 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 例：復函數(shù)集例：復函數(shù)集 在區(qū)間在區(qū)間 組成組成完備正交函數(shù)集。其中，完備正交函數(shù)集。其中， 。(0,1,2,)jnten 00( ,)ttT2T 原因：原因：000,(),tTjmtjnttmneedtTmn * 11221( )( )( )( )( )nnnjjjf tCtCtCtCt 式式(a)二二. 信號分解為正交函數(shù)的線性組合信號分解為正交函數(shù)的線性組合12( ),( ),( )nttt 設有設有 個函數(shù)個函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 構成構成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)

13、 用這用這 個正交函數(shù)個正交函數(shù)的線性組合來的線性組合來近似近似，可表示為：，可表示為：12( ,)tt n( )f tn（自己下去驗證）（自己下去驗證）Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page13 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 顯然，應選取各系數(shù)顯然，應選取各系數(shù) 使實際函數(shù)與近似函數(shù)在使實際函數(shù)與近似函數(shù)在區(qū)間區(qū)間 內的誤差為最小。為防止正負誤差相互抵消內的誤差為最小。為防止正負誤差相互抵消的情況，通常采用的情況，通常采用最小均方誤差準則最小均方誤差準則。其中的均方誤。其中的均方誤差定義為：差定義為：jC12( ,)t t在在 中，為求得中，為求得 ，必須使，

14、必須使 。即：。即：1,2, ,jin iC20iC 2121 ( )( )0ntjjtjif tCtdtC 21221211 ( )( )ntjjtjf tCtdttt 式式(b)Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page14 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 2122112( )( )( )0(nnjjjjjjttif tCtfttCdtC 21( )( )0tjkttt dtjk 根據根據【所有交叉項【所有交叉項 的積分為零的積分為零】212112( )( )0( )nnjjjjjjttifdttCtCtC 【 中不含中不含 項項】212( )ttft dt iC

15、2122111 2( )( )( )2( )( )0nnntiijjjkjktjjkif tCtCtC Ctt dtC j k 【求和號【求和號 去掉去掉】212211 2( )( )( )2( )( )0nntiiiijkjktjkif tCtCtC Ctt dtC j k 【求和號【求和號 去掉去掉】Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page15 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 可推得：可推得：2122 2( )( )( )0tiiiitiC f ttCt dtC 交換微分與積分次序，可得：交換微分與積分次序，可得：221122( )( )2( )0ttiiitt

16、f tt dtCt dt22112( )( )titittif tt dtt dtC 式中式中 。211( )( )titif tt dtK 212( )tiitKt dt 式式(c)Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page16【 】 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 展開前面的式展開前面的式(b)，可得：，可得：21221211 ( )( )ntjjtjf tCtdttt 21221122211211( )( )2()nnttjjjttjtjjtft dtCt dtCttf tt dt 由于由于 , 得：得：212121( ),( )( )tjjjjtjttKt d

17、tCf tt dtK 2122211211( )2nntjtjjjjjjft dtC KCttC K 21221211( )ntjjtjft dtC Ktt 21112( )( )0nntjkjktjkC Ctt dt j k Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page17 4.1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù) 由于由于 ，顯然當所取的項數(shù)，顯然當所取的項數(shù) 越大時，均越大時，均方誤差方誤差 越小。（越小。（ 越大，越大， 越接近于越接近于 ）20,0jK n2 當當 時，時， 。此時有：。此時有：n 20 (1) 1( )( )jjjf tCt 物理意義物理意義：信號可展

18、開為無窮多項正交函數(shù)的線性：信號可展開為無窮多項正交函數(shù)的線性組合，各項的展開系數(shù)按式組合，各項的展開系數(shù)按式(c)計算。計算。n21njjjC K 212( )ttft dt (2) 21221( )tjjtjft dtC K 物理意義物理意義：信號：信號 的能量等于各正交分量的能量和。的能量等于各正交分量的能量和。( )f t【 的能量為的能量為 】( )jt jKChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page18 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 本節(jié)的任務是將周期信號本節(jié)的任務是將周期信號 在區(qū)間在區(qū)間 展開成在完備正交函數(shù)集中的無窮級數(shù)。如展開成在完

19、備正交函數(shù)集中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為“三角型傅三角型傅里葉級數(shù)里葉級數(shù)”或或“指數(shù)型傅里葉級數(shù)指數(shù)型傅里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。( )()f tf tmT00( ,)ttT 1,cos,cos(),sin,sin(),tmttnt(0,1,2,)jnten Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page19 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 一一. 周期信號的分解周期信號的分解 （結果為三角函數(shù)的形式）（結果

20、為三角函數(shù)的形式） 設有一個周期信號設有一個周期信號 , 它的周期是它的周期是 , 角頻率角頻率( )f tT22FT , 它可分解為它可分解為:（前提：滿足狄里赫利條件）（前提：滿足狄里赫利條件）012( )cos()cos(2)2af tatat12sin()sin(2)btbt011cos()sin()2nnnnaantbnt 其中其中 稱為傅里葉系數(shù)。稱為傅里葉系數(shù)。,nnab 教材教材P120Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page20 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 可按可按$4.1中的相關公式計算：中的相關公式計算：,nnab 2221112(

21、)( )( )( )(1)titttiiititKt dtf tt dtCf tt dt 22222( )cos(os ()c)TTTTnf tnttandttd 2222( )cos()0( )210TTTTTTf tnt dtnf t dtn Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page21 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 因此，在最終展開式中的常數(shù)項為因此，在最終展開式中的常數(shù)項為 。02a為保證為保證 計算公式的統(tǒng)一起見，定義：計算公式的統(tǒng)一起見，定義：na222( )cos()TTnaf tnt dtT *na是關于是關于 的偶函數(shù)。即：的偶函數(shù)。即： 。nnnaa nb是關

22、于是關于 的奇函數(shù)。即：的奇函數(shù)。即： 。nnnbb 類似地，可得出類似地，可得出 的計算公式：的計算公式：nb222( )sin()TTnbf tnt dtT *Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page22 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 由于由于 和和 是同頻率項，可進行合并。是同頻率項，可進行合并。cos()nt sin()nt 011( )cos()sin()2nnnnaf tantbnt01cos()2nnnAAnt 式中：式中：0022arctan()nnnnnnAaAabba 00cossinnnnnnnaAaAbA nA是關于是關于 的偶函數(shù)。即：的偶函數(shù)。即： 。

23、nnnAA n 是關于是關于 的奇函數(shù)。即：的奇函數(shù)。即： 。nnn Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page23 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 總結總結：任何滿足狄里赫利條件：任何滿足狄里赫利條件 的周期函數(shù)可的周期函數(shù)可分解為直流和許多余弦（正弦）分量。其中第一項分解為直流和許多余弦（正弦）分量。其中第一項 是常數(shù)項，它是周期信號所包含的直流分量；式中是常數(shù)項，它是周期信號所包含的直流分量；式中第二項第二項 稱為基波或一次諧波，其角頻稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同，率與原周期信號相同， 是基波振幅，是基波振幅， 是基波初相是基波初相角；式中第三項角；式中第三項

24、稱為二次諧波；以此稱為二次諧波；以此類推，還有三次、四次、類推，還有三次、四次、 諧波。一般而言，其中的諧波。一般而言，其中的 稱為稱為 次諧波。總之，周期信號可分解次諧波。總之，周期信號可分解為各次諧波分量。為各次諧波分量。02A11cos()At 1A1 22cos(2)At cos()nnAnt nChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page24 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 例例4.2-1 將如圖所示的方波信號將如圖所示的方波信號 展開為傅里葉級數(shù)。展開為傅里葉級數(shù)。( )f t解：解：011( )cos()sin()2nnnnaf tantbnt220022( 1) cos

25、()cos()TTnt dtnt dtTT 222( )cos()TTnaf tnt dtT Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page25 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 02022121 sin()sin()TTntntT nT n 2T 00,1,2,3,nan 02022121cos() cos()TTntntT nT n 222( )sin()TTnbf tnt dtT 220022( 1) sin()sin()TTnt dtnt dtTT Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page26 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 111cos()1cos()nnnn21co

26、s()nn 0,2,4,6,8,4,1, 3,5,7,nnn 4111( )sin()sin(3)sin(5)sin()35f ttttntn1, 3,5,7,n Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page27 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 下面考察當用有限項級數(shù)逼近下面考察當用有限項級數(shù)逼近 時引起的誤差時引起的誤差 ：( )f t0.189 當取一、三次諧波時：當取一、三次諧波時：2222114()2 30.0994 當取一、三、五次諧波時：當取一、三、五次諧波時：2223214()2 50.0669 當取一、三、五、七次諧波時：當取一、三、五、七次諧波時：2224314()2

27、 70.0504 2222121( )2TnTjjTft dtbT 當只取基波時：當只取基波時：2211 41( )2 【 】 21112njjb 2( )1ft Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page28 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) TT/ 20t(a) 基波基波0T/ 2Tt (b) 基波基波+三次諧波三次諧波0T/ 2Tt(c) 基波基波+三次諧波三次諧波+五次諧波五次諧波0T/ 2Tt(d) 基波基波+三次三次+五次五次+七次諧波七次諧波Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page29 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) (1) 級數(shù)所取項數(shù)愈多，合成波形（除間斷

28、點外）愈級數(shù)所取項數(shù)愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號接近于原方波信號,其均方誤差越小。其均方誤差越小。低頻成分低頻成分 合成波形的主體輪廓。合成波形的主體輪廓。高頻成分高頻成分 合成波形的細節(jié)部分。合成波形的細節(jié)部分。(2) 級數(shù)所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近級數(shù)所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。間斷點。(3) 即使即使 ，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有約有約 的偏差。但在均方（整體）的意義上，合成的偏差。但在均方（整體）的意義上，合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。 (吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象）n

29、9%Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page30 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 二二. 奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù) 若給定的若給定的 有某些特點，那么，有些傅里葉有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零系數(shù)將等于零，從而使得計算較為簡便，從而使得計算較為簡便。( )f t1. 為偶函數(shù)為偶函數(shù)( )f t即有：即有： , 波形對稱于縱坐標軸。波形對稱于縱坐標軸。( )()f tft204( )cos()Tf tnt dtT 0 222( )cos()TTnaf tnt dtT 222( )sin()TTnbf tnt dtT 2,0nman 22nnnnAaba

30、(2m+1),0naChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page31 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 2. 為奇函數(shù)為奇函數(shù)( )f t即有：即有： , 波形對稱于原點。波形對稱于原點。()( )ftf t 0 204( )sin()Tf tnt dtT 222( )sin()TTnbf tnt dtT 222( )cos()TTnaf tnt dtT 22nnnnAabb arctannnnba 2,02nmb2,02nmbChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page32 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 注意注意：任意信號都可以分為：任意信號都可以分為奇奇函數(shù)和函數(shù)和偶偶函數(shù)

31、兩部分。函數(shù)兩部分。其中：其中：()( )()( )evodovdeftftftft ()()()evodftftft( )( )( )odevf tftft式式(a)( )( )odevftft 式式(b)式式(a) 式式(b) ( )()( )2evf tftft ( )()( )2odf tftft *Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page33任意周期信號可以分為任意周期信號可以分為奇奇函數(shù)和函數(shù)和偶偶函數(shù)兩部分，函數(shù)兩部分，是否會簡化傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算？是否會簡化傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算？思思 考考： 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 不能。不能。因為仍要計算兩類系數(shù)。因為仍

32、要計算兩類系數(shù)?；鼗?答答：Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page34 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 3. 為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)( )f t 如果函數(shù)如果函數(shù) 的前半周期波形移動的前半周期波形移動 后，與后半后，與后半周期波形相對于橫軸對稱，即：周期波形相對于橫軸對稱，即： ，則稱，則稱該函數(shù)為該函數(shù)為奇諧函數(shù)。奇諧函數(shù)。( )f t2T( )()2Tf tf t 此時傅里葉級數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量，而不此時傅里葉級數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量。即：含有偶次諧波分量。即： 024240aaabb 例：例：Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域

33、分析page35 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 證：證：222( )cos()TTnaf tnt dtT 02202cos()( )cos( )()TTf tnt dtf tnt dtT 【 】0022()22cos()( )cos()TTnt dtf ttt dtTTfn ( )()2Tf tf t 令令 ，可得：，可得：2Txt Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page362200( )cos2( )cos()2TnTTf xnxdaf tnt dtxT 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 2020()cos(2( )cos()2)TTnTf tnt daf tnt dtTt 【令

34、【令 】2Txt 22002( )cos()( )cos()TTf xnxndxf tnt dtT當當 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， 。n0na 當當 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， 。n204( )cos()Tnaf tnt dtT 的證明類似。的證明類似。nb得證得證。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page37 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 例例4.2-2 正弦交流信號正弦交流信號 經全波或半波整流后經全波或半波整流后的波形如下圖所示。求它們的傅里葉級數(shù)展開式。的波形如下圖所示。求它們的傅里葉級數(shù)展開式。0sin()Et (a) 全波整流信號全波整流信號(b) 半波整流信號半波整流信號解：解

35、：(1) 全波整流信號全波整流信號102( )sin()sin()f tEtEtT Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page38 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 1( )f t為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 。0nb20004sin()cos()TEtnt dtT 2004sin() cos()TnaEtnt dtT 令令 ，可得：，可得：0 xt 004sincos()Exnx dxT 02sincos()Exnx dx 0cos(1)cos(1)(1)(1)Enxnxnn方法一方法一0sin(1) sin(1) Enxn x dx Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page3

36、9 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 221cos( ),0,1, 2,1nEnann 4,0En 0,1, 3,5,n 24,2,4,6,(1)Enn 100222( )1cos(2)cos(4)315Ef tttChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page40 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 注意注意： 同樣可看成是周期為同樣可看成是周期為 的周期函數(shù)。的周期函數(shù)。1( )f t2T10( )sin()f tEt 此時，此時， 對應的基波角頻率為對應的基波角頻率為 。1( )f t0222T0404sin()s2co ()nTaEtntTdt 方法二方法二1( )f t仍為偶函數(shù)，仍為

37、偶函數(shù)， 。0nbChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page41 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 408sin()cos()2TnEatnt dtT 令令 ，可得：，可得：xt 08sin()cos()2nExanx dxT 【 】024TT【 】02 Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page42 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 408sin()cos()2TnEatnt dtT 令令 ，可得：，可得：xt 02cos(1 2) cos(1 2) 2(1 2)2(1 2)Enxnxnn22241En 【 】02 02111sin() sin() 222Enxn x dx

38、08sin()cos()2nExanx dxT 002221cos(2)cos(4)315Ett【 】02 1222( )1cos()cos(2)315Ef tttChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page43 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) (2) 半波整流信號半波整流信號02sin(),(1 2)( )0,(1 2)EtnTtnTf tnTtnT 2( )cos(),0,1, 2,2( )sin(),1, 2,TTnTTnaf tnt dtnTbf tnt dtnT 20002sin()cos()TnaEtnt dtT 令令0 xt 方法一方法一Chapter 4 傅里葉變換和系

39、統(tǒng)的頻域分析page44 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 0sin(1)sin(1) 2Enxnx dx 002sincos()nEaxnx dxT 0cos(1)cos(1)211Enxnxnn 21cos( )1Enn 02Ea130aa 22 3Ea 42 15Ea 0sincos()Exnx dx Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page45 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 20002sin()sin()TnbEtnt dtT 令令0 xt 0sin( )sin()Exnx dx 0cos(1)cos(1) 2Enxnx dx 0,1,21Enn 0sin(1)sin(1)1

40、211Enxnxnnn 0sin(1)121Enxxnn 【 】200022( )1sin()cos(2)cos(4)3215Ef tttt22EEChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page46 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 對于半波整流信號，也可分解為奇函數(shù)與對于半波整流信號，也可分解為奇函數(shù)與偶函數(shù)兩部分進行求解。偶函數(shù)兩部分進行求解。( )()( )2evf tftft ( )()( )2odf tftft 方法二方法二1( )( )2evf tft 0( )sin()2odEftt Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page47 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 2

41、( )( )( )evodf tftft01si)(1)n(22Etf t 002022( )1cos(2)cos(4)315sin()2f tttEt 1002221cos(2)cos(4)31( )5fEtttChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page48 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 三三. 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式01( )cos()2nnnAf tAnt cos2jxjxeex ()()01( )22nnj ntj ntnnAAf tee 10112212nnjjntnjjntnnnAeeAA ee 設設 ，對上式中第三項進行變量替換：，對上式中第三項進行

42、變量替換：nn 【三角形式【三角形式】Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page49 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 0111( )2212nnjjntjjnnntnnAeAf tA eee 如將上式中的如將上式中的 寫成寫成 （其中（其中 ），則），則 0A000tjjeA e 00 上式可寫成：上式可寫成： 1( )2njjntnnf tA ee 011121( )22nnjjntnjjntnnnAf tAA eeee 利用利用 ， ，可得：，可得：nnAA nn Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page50 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 令令復復數(shù)量數(shù)量 ，稱其為

43、復傅里葉系數(shù)，稱其為復傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)?？傻弥笖?shù)形式的傅里葉級數(shù)為：簡稱傅里葉系數(shù)?？傻弥笖?shù)形式的傅里葉級數(shù)為：12nnjjnnnA eFF e1cossin2nnnnAjA12nnajb( )jntnnf tF e *221( )TjntTf t edtT *其中的傅里葉系數(shù)為：其中的傅里葉系數(shù)為：12njnnFA e 222211( )cos()( )sin()TTTTf tnt dtjf tnt dtTT【教材【教材P127式式（4.2-18）中多）中多 了一個了一個1/2】Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page51 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 討論討論： 與

44、與 的關系。的關系。nFnF 12nnnFajb12nnnFajb12nnajbnnFF ,nnnnFF 展開式的對比展開式的對比：三角形式：三角形式：指數(shù)形式：指數(shù)形式：01cos()2nnnAAnt 011( )cos()sin()2nnnnaf tantbnt( )jntnnf tF e Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page52 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 例例4.2-3 周期鋸齒波的信號如圖所示，求其周期鋸齒波的信號如圖所示，求其指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。的傅里葉級數(shù)展開式。解：解：2( ),22TTf tttT221( )TjntTnFf t edtT

45、2222TjntTtedtT 22222220,02,0()TTTjntTtdtnTtdenTjn Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page53 4.2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 22221TTjntjntTTteedtjn T 當當 時，有：時，有：0n 2222()TjntTnFtdeTjn 2211 cos( )TjntTTnejn Tjn 0cos( )( )jntnnnf tjen cos(1)0jTnn T cos( )jnn 【 】udvuvvdu分部積分法：分部積分法：Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page54 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 4

46、.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜一一. 周期信號的頻譜周期信號的頻譜單邊譜單邊譜：01( )cos()2nnnAf tAnt . 橫坐標橫坐標nA. 縱坐標縱坐標單邊幅度頻譜，單邊幅度頻譜，簡稱簡稱單邊幅度譜單邊幅度譜。 . 橫坐標橫坐標n . 縱坐標縱坐標單邊相位頻譜，簡稱單邊相位頻譜，簡稱單邊相位譜單邊相位譜。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page55 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 (a) 單邊幅度譜單邊幅度譜(b) 單邊相位譜單邊相位譜幅度譜線：幅度譜線： 幅度譜中的每條豎線代表幅度譜中的每條豎線代表 該頻率分量的幅度。該頻率分量的幅度。相位譜線：相位譜線： 相

47、位譜中的每條豎線代表相位譜中的每條豎線代表 該頻率分量的相位。該頻率分量的相位。包絡線：包絡線： 連接各幅度譜線頂點連接各幅度譜線頂點 的曲線。的曲線。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page56 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 雙邊譜雙邊譜：雙邊相位頻譜，簡稱雙邊相位頻譜，簡稱雙邊相位譜雙邊相位譜。 . 橫坐標橫坐標n . 縱坐標縱坐標( )njjntjntnnnnf tF eF ee 12nnjjnnnFA eF e . 橫坐標橫坐標nF. 縱坐標縱坐標雙邊幅度頻譜，雙邊幅度頻譜，簡稱簡稱雙邊幅度譜雙邊幅度譜。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page57

48、4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 (a) 雙邊幅度譜雙邊幅度譜(b) 雙邊相位譜雙邊相位譜12nnFA Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page58 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 周期信號頻譜的共同點：周期信號頻譜的共同點：第一為第一為離散性離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。譜或離散譜。第二為第二為諧波性諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有 的各

49、次諧波分量的各次諧波分量 ，而決不含有非，而決不含有非 整數(shù)倍的諧波分量。整數(shù)倍的諧波分量。 n 第三為第三為收斂性收斂性，各次諧波分量的振幅雖然隨，各次諧波分量的振幅雖然隨 的變的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著化有起伏變化，但總的趨勢是隨著 的增大而逐漸的增大而逐漸減小。當減小。當 時，時， 。n n n 0nF Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page59 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 二二. 周期矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜 設有一幅度為設有一幅度為1，脈沖，脈沖寬度為寬度為 的周期性矩形脈沖，的周期性矩形脈沖，其周期為其周期為 ，求其，求其復復傅里葉級數(shù)。傅

50、里葉級數(shù)。 T2211jntedtT 221jnteTjn sin()22nTn (2)2sinnnT ()sinnnTTT 解：解：221( )TjntTnFf t edtT Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page60 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 定義：定義：sin( )xsa xx 取樣函數(shù)取樣函數(shù)特點：特點：(1) 當當 時，時， 。0 x ( )1sa x (2) 是偶函數(shù)。是偶函數(shù)。( )sa x(3) 總體呈衰減趨勢?？傮w呈衰減趨勢。(4) 是是 的零點。的零點。,0 xkk ( )sa xChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page61 4.3

51、 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 ()(),0,1,2,2nnnFsasanTTT ()jntnnsaeTT ()2jntnnsaeT 周期性矩形脈沖指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為：周期性矩形脈沖指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為：( )jntnnf tF e 4T 注意注意： 當當 為實數(shù)時，為實數(shù)時，幅度譜與相位譜可幅度譜與相位譜可畫在同一張圖上。畫在同一張圖上。nF()2saT2T4TChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page62 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 幾個重要指標幾個重要指標：1. 相鄰譜線的間隔：相鄰譜線的間隔：2T 2nk (0)k 3. 第一個零點的位置：第一個

52、零點的位置：2 2. 譜線零點的位置：譜線零點的位置：2nk (0)k 4. 第一個零點對應的譜線序號：第一個零點對應的譜線序號：2n 2n T 【前提：【前提： 為為 的整數(shù)倍的整數(shù)倍】T Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page63 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 周期性矩形脈沖頻譜的特點周期性矩形脈沖頻譜的特點：1. 離散性。離散性。2. 諧波性。且當諧波性。且當 時，譜線越稠密。時，譜線越稠密。T 4. 譜線的幅度按包絡線譜線的幅度按包絡線 的規(guī)律變化。當?shù)囊?guī)律變化。當 時，相應的頻譜分量等于零。時，相應的頻譜分量等于零。()2saT2k 5. 能量主要集中在第一零

53、點以內能量主要集中在第一零點以內。定義信號帶寬為。定義信號帶寬為1F 。當。當 時，零點位置越遠，帶寬越寬。時，零點位置越遠，帶寬越寬。 P663. 收斂性。能量主要集中在低頻頻率處。收斂性。能量主要集中在低頻頻率處。Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page64 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 f (t)2TtT03T4TT=4f (t)2TtT0T=8f (t)tT0T=16f (t)t0T02/4/1/ 4Fn02/4/TFn02/4/1/16Fn02/4/1/ 8FnT ，譜線越稠密（間隔：，譜線越稠密（間隔： ）；非周期信號演變?yōu)檫B續(xù)譜。）；非周期信號演變?yōu)檫B續(xù)譜。

54、2TChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page651/1602/4/Fnf (t)tT0=T/8f (t)tT0 =T/402/8/1/ 8Fn4/02/16/1/ 4Fn4/8/tT0=T/16f (t) 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 ，零點位置越遠，帶寬越寬（，零點位置越遠，帶寬越寬（ ）。）。1F Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page66 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 三三. 周期信號的功率周期信號的功率 （從頻域計算）（從頻域計算）周期信號是功率信號，歸一化平均功率為：周期信號是功率信號，歸一化平均功率為：2221( )TTPft dtT

55、以上為時域表達式，其頻域表達式為：以上為時域表達式，其頻域表達式為：202121cos()2TTnnnAPAntdtT 221022cos(1()2)TnnnTAntAT 01cos()nnnAAntdt Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page67 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 220TT 0cos()nnA Ant 形式項：形式項：cos()cos()nnmmAntAmt形式項：形式項：mn mn 2222TTnTA 220TT 2221202cos (1()2)nTnTnAntAPT 01cos( )nnnAAntdt 112c

56、os()cos()nmnmnmA Antmtnm Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page68 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 2221( )TTPft dtT 2201()22nnAA *22220121( )2TTnnPft dtFFT 2nnF 由于由于 是是 的偶函數(shù)，且有的偶函數(shù)，且有 ，則有：，則有：nFn12nnFA 【 】21nnF 12nnF 以上兩式稱為以上兩式稱為帕斯瓦爾等式帕斯瓦爾等式。它們表明，對于周期信號，在時域中求得的功率與在它們表明，對于周期信號，在時域中求得的功率與在頻域中求得的功率相等。（能量守恒）頻域中求得的功率相等。（能量守恒） 【解

57、釋：【解釋： 的功率的功率 】()nj ntnF e 22221TnnTFdtFT Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page69 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 例例4.3-1 試計算下圖所示信號在頻譜第一個零點以內各試計算下圖所示信號在頻譜第一個零點以內各分量的功率所占總功率的百分比。分量的功率所占總功率的百分比。解：解：2221( )TTPft dtT 0.10.1111dt 0.2 根據第二部分的計算結果，有：根據第二部分的計算結果，有：1,0.2T ()0.2(0.2 )nnFsasanTTChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page70 4.3 周期信號

58、的頻譜周期信號的頻譜 0.2(0.2 )san第一個零點對應的頻率為：第一個零點對應的頻率為：510 0.1806 101( )jtjtf tF eFF e 2222210012342222PFFFFF【 】10.2Tn 22220.22 0.2 (0.2)(0.8)sasa1090.3%PP22T 【 】Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page71 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間前已指出，當周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨近于無窮小隔趨近于無窮小 ，從而頻譜密集成為連續(xù)譜。，從而頻

59、譜密集成為連續(xù)譜。同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小 ，但這些無窮小量仍保持一定比例關系。（例：但這些無窮小量仍保持一定比例關系。（例： 與與 ） 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度頻譜密度的概念（思路：無窮小的概念（思路：無窮小/無窮小無窮小 或或 無窮小無窮小*無窮大）。無窮大）。 令：令：稱稱 為頻譜密度函數(shù)（為頻譜密度函數(shù)（含義在后面解釋含義在后面解釋）。）。()F j ()limlim1nnTTFF jF TT *一一. 傅里葉變換傅里葉變換 dx2dxChapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析p

60、age72 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 ( )jntnnf tF e 221( )TjntTnFf t edtT 22( )TjntTnF Tf t edt ( )()1jntnnTf tF T e 當當 時，有：時，有：T ()lim( )j tnTF jF Tf t edt 式式(b)12( )()j tf tF jed *式式(a)112dfdT 【 】Chapter 4 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析page73 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 術語術語：式式(b)為非周期函數(shù)為非周期函數(shù) 的的傅里葉變換傅里葉變換。( )f t式式(a)為頻譜密度函數(shù)為頻譜密度函數(shù)