二次型及其矩陣表示

1、1第五章 二次型與對稱矩陣 二次型討論的對象是多元二次齊次函數(shù)，這種函數(shù)在物理、統(tǒng)計(jì)、規(guī)劃、極值等問題中有廣泛的應(yīng)用二次型與實(shí)對稱矩陣有緊密的聯(lián)系二次型可以通過對稱矩陣表示，對二次型某些性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為對相應(yīng)對稱矩陣的研究25.1.1、二次型及其矩陣表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 稱為二次型稱為二次型. .的的二二次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)變變量量含含有有定定義義nxxxn, 121; , 稱稱為為是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij復(fù)復(fù)二二次次型型. , 稱稱為為是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)faij實(shí)實(shí)二二次次型型5.1

2、二次型及其矩陣表示3只含有平方項(xiàng)的二次型只含有平方項(xiàng)的二次型2222211nnykykykf 稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）例如例如 312322213214542,xxxxxxxxf 都為都為二次型；二次型； 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. . 323121321,xxxxxxxxxf 41 1用和號(hào)表示用和號(hào)表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 , 對二次型對二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 則則于是于是nn

3、xxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 5.1.2、二次型的表示方法52 2用矩陣表示用矩陣表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(6., 為對稱矩陣為對稱矩陣其中其中則二

4、次型可記作則二次型可記作AAxxfT ,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA記記 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,75.1.3、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個(gè)二次型，就唯一地確定一個(gè)對稱矩陣；反之，任給一個(gè)對就唯一地確定一個(gè)對稱矩陣；反之，任給一個(gè)對稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個(gè)二次型這樣，二次型與對稱矩陣之間存在次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)一一對應(yīng)的關(guān)系（參的關(guān)系（參見見P213定理定理5.1.1）; 的矩陣的矩陣叫做

5、二次型叫做二次型對稱矩陣對稱矩陣fA; 的二次型的二次型叫做對稱矩陣叫做對稱矩陣Af. 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型對稱矩陣對稱矩陣fA8解解,a,a,a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 .330322021 A.6432 3221232221的的矩矩陣陣寫寫出出二二次次型型xxxxxxxf 例例9 例例2 設(shè)二次型 221212132324fxxx xx xx x11121121202A試寫出二次型f的矩陣.（f為三元二次型）解：將交叉項(xiàng)xixj的系數(shù)除2 即平均分配給xixj及xjxi,則二次型f的系數(shù)矩陣A為10 例例3 將二次型 寫成矩陣

6、形式.1 23 4fx xx x 12341000210002,1000210002xxxxAXf解： 是一個(gè)四元二次型，先寫出二次型的矩陣太簡單簡略講11121234341000210002( ,)1000210002xxfx x x xxxX AX12 解：設(shè)T123(,)x xxX1T2212321122333110( ,)10122011xfx x xxxx xx xxxX AX分析：A是一個(gè)3階對稱陣，對應(yīng)的三元二次型，把a(bǔ)ij 與aji 合并后寫出二次型. 例例 設(shè) ，110101011 A試寫出以A為矩陣的二次型.太簡單簡略講13四、小結(jié) 二次型和對稱矩陣之間具有一一對應(yīng)的二次型和對稱矩陣之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的化簡，關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為對稱