概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：ch2-4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、問題的提出問題的提出 在實(shí)際中，人們有時(shí)對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們有時(shí)對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣。如更感興趣。如: 已知圓軸截面直徑已知圓軸截面直徑 D 的分布的分布, 2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布求截面面積求截面面積 的分布。的分布。4 / 2DA又如：已知又如：已知 t=t0 時(shí)刻噪聲電壓時(shí)刻噪聲電壓 I 的分布，的分布，求功率求功率 W=I2R (R為電阻為電阻) 的分布等。的分布等。 一般地，設(shè)隨機(jī)變量一般地，設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布已知，的分布已知，求求Y = g(X) (設(shè)設(shè) g 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)) 的分布。的分布。 這個(gè)問題無論在理論上這個(gè)問題無論在理論上還是

2、在還是在實(shí)際中都實(shí)際中都非常重要。非常重要。2.4.1 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布解：解：當(dāng)當(dāng) X 取值取值 - -1，0，1，2 時(shí)，時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 4，1，0 和和 1。由由 PY=0 = PX=1=0.1， PY=1 = PX=0+PX=2 = 0.3+0.4 = 0.7， PY=4 = PX=- -1 = 0.2 .例例1 1：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 有如下概率分布：有如下概率分布： 求求 Y= (X 1)2 的概率分布。的概率分布。得得 Y 的概率分布：的概率分布： 一般地，若一般地，若X是離散型是離散型 隨機(jī)變量，概率分布為隨機(jī)變量，概率分布為如

3、果如果 g(x1), g(x2), , g(xk), 中有一些是相同中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可得到一串互不相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可得到一串互不相同 (不妨認(rèn)為從小到大不妨認(rèn)為從小到大) 的的 y1, y2 , yi ,.把 yi 所對(duì)應(yīng)的所有所對(duì)應(yīng)的所有xk ( 即即yi = g(xk) ) 的的 pk相加，相加，記成記成 qi , 則則 q1, q2, , qi ,就是就是Y = g(X) 的概的概率分布。率分布。例例2：在應(yīng)用上認(rèn)為在應(yīng)用上認(rèn)為: 單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)地區(qū)發(fā)單位時(shí)間內(nèi)，一個(gè)地區(qū)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)服從泊松分布。設(shè)某城市一個(gè)月生火災(zāi)的次數(shù)服從泊松分布。設(shè)某城市一個(gè)月內(nèi)發(fā)

4、生火災(zāi)的次數(shù)內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) XP(5)，試求隨機(jī)變量，試求隨機(jī)變量Y Y= =| |X-5|-5|的概率分布。的概率分布。 解：解：由于由于X的所有可能取值為的所有可能取值為0, 1, 2, , 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的概率分布為的概率分布為., 7 , 6 , 0,)!5(5, 5 , 4 , 3 , 2 , 1,)!5(5)!5(555555ieiieiiiYPqiiii及及Y=|X- -5|可知，可知，Y 的所有可能取值為的所有可能取值為0, 1, 2, 。且對(duì)每個(gè)。且對(duì)每個(gè) i，當(dāng)當(dāng) 00 時(shí)時(shí),)()(yYPyFY)(2yXP. )()(yFyFXX例例4：設(shè)設(shè) X 具有概率密度具有概率密度fX

5、(x)，求求Y=X2的密度。的密度。解：解：設(shè)設(shè)Y 和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為FY(y)和和FX(x), 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y0時(shí)，時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；若若,21)(22exxfX則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：. 0 , 0 , 0 ,21)(221yyyfeyyY. x. 0 , 0 , 0 , )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY 從上述兩例中可以看到從上述兩例中可以看到, 在求在求P(Yy)的過的過程中程中, 關(guān)鍵的一步是設(shè)法從關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X)y 中解出中解出X,從而得到與從而得到與 g(X)y 等價(jià)的等價(jià)的

6、X的不等式的不等式 。例如例如: 用用X(y- -8)/2 代替代替 2X+8y,用用 代替代替 X2 y 。yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，求出的分布，求出相應(yīng)的相應(yīng)的Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) FY (y)。 這是求隨機(jī)變量函數(shù)這是求隨機(jī)變量函數(shù) Y = g(X) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)的一種常用方法。的一種常用方法。例例5：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為. ,0 ,0 ,2)(2其他xxxf求求 Y = 3- -X 的概率密度。的概率密度。解：解： FY(y)=P(Yy)=P(3- -Xy)=P(X3- -y)對(duì)對(duì) y求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得=1- -P

7、(X3- -y)=1- -FX(3- -y)( )(3) (3)(3)YXXfyfyyfy 所以所以22(3), 3-3,( ) 0, .Yyyfy其他因?yàn)橐驗(yàn)?當(dāng)當(dāng)03- -y，即，即3- -y3時(shí)，時(shí)，22(3)(3)Xyfy當(dāng)當(dāng)y取其它值時(shí)，取其它值時(shí)，(3)0Xfy 下面給出一個(gè)定理，當(dāng)定理的條件滿足下面給出一個(gè)定理，當(dāng)定理的條件滿足時(shí)，可直接求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度時(shí)，可直接求隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 。. , 0 , ,)()()(其他ydyydhyhfyfY定理的證明與前面的解題思路類似。定理的證明與前面的解題思路類似。其中其中 x = h(y) 是是 y = g(x) 的反函數(shù)，

8、的反函數(shù)，. )(max ),(minxgxgbxabxa 定理定理1: 設(shè)設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)間是一個(gè)取值于區(qū)間a, b, 具具有概率密度有概率密度 fX(x)的連續(xù)型的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量, 又設(shè)又設(shè) y= g(x)處處可導(dǎo)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)處處可導(dǎo)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù), 記記 (, ) 為為g(x)的值域，則隨機(jī)變量的值域，則隨機(jī)變量Y = g(X)是是連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變隨機(jī)變量，概率密度為量，概率密度為例例6：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在 (0,1) 上服從均勻分布，上服從均勻分布，求求 Y=- -2ln X 的概率密度。的概率密度。解：解：在區(qū)間在區(qū)間 (0, 1) 上，函數(shù)上，函數(shù) ln x

9、 0, ，02xy于是于是 y = - -2ln x 在區(qū)間在區(qū)間 (0,1) 上單調(diào)下降，上單調(diào)下降，有反函數(shù)有反函數(shù).)(2/yeyhx由前述定理，得由前述定理，得., 0, 10,)()()(2/2/2/其他yyyXYedyedefyf注意取注意取絕對(duì)值絕對(duì)值., 0, 10,)()()(2/2/2/其他yyyXYedyedefyf., 0, 10, 1)(其他xxfX已知已知 X 在在 (0,1) 上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達(dá)式中的表達(dá)式中)(yfY . , 0 , 0,21)(2/其他yeyfyY得得即即Y 服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布。 本節(jié)介紹隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。對(duì)本節(jié)介紹隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X) 的分布時(shí)