第4章直線與平面、平面與平面

1、4.1 4.1 直線與平面、平面與平面平行直線與平面、平面與平面平行4.2 4.2 直線與平面、平面與平面相交直線與平面、平面與平面相交4.3 4.3 直線與平面、平面與平面垂直直線與平面、平面與平面垂直4.4 4.4 空間幾何元素的綜合分析空間幾何元素的綜合分析一、直線與平面平行一、直線與平面平行 如果一直線與平面上的某一如果一直線與平面上的某一直線平行，則此直線與該平面互直線平行，則此直線與該平面互相平行。見圖相平行。見圖4-1。圖圖4-2 4-2 過點過點M M做線做線MKMK平行平行ABCABCkdkdambcaXmbOcmnmnkbkXabaO圖圖4-3 4-3 過點過點K K做面做

2、面KMNKMN平行平行ABAB線線圖圖4-1 直線與平面平行直線與平面平行一、直線與平面平行一、直線與平面平行二、平面與平面平行二、平面與平面平行 一個平面上的相交兩直線，對應(yīng)一個平面上的相交兩直線，對應(yīng)地平行另一個平面上的相交兩直線，地平行另一個平面上的相交兩直線，則此兩平面互相平行。見圖則此兩平面互相平行。見圖4-4。 當兩平面用跡線表示時，可把一個平面的兩條跡線看作是一當兩平面用跡線表示時，可把一個平面的兩條跡線看作是一對相交直線。那么，如果兩平面的同面跡線均互相平行，則兩平對相交直線。那么，如果兩平面的同面跡線均互相平行，則兩平面一定互相平行，如下圖面一定互相平行，如下圖4-54-5所

3、示。所示。圖圖4-4 4-4 面與面平行的幾何條件面與面平行的幾何條件圖圖4-5 4-5 兩跡線平行的平面兩跡線平行的平面一、直線與平面平行一、直線與平面平行二、平面與平面平行二、平面與平面平行例例4-14-1 判別判別ABCABC與與DEFDEF是否互相平行，見圖是否互相平行，見圖4-64-6。hhggbcbcXaaedeOdffABCABCDEFDEF圖圖4-4 4-4 面與面平行的幾何條件面與面平行的幾何條件 一個平面上的相交兩直線，對應(yīng)一個平面上的相交兩直線，對應(yīng)地平行另一個平面上的相交兩直線，地平行另一個平面上的相交兩直線，則此兩平面互相平行。見圖則此兩平面互相平行。見圖4-4。圖圖

4、4-6 4-6 判別面與面是否平行判別面與面是否平行一、直線與平面相交一、直線與平面相交 除了直線在平面上或兩平面位于同一除了直線在平面上或兩平面位于同一平面上的特例外，直線與平面、平面與平平面上的特例外，直線與平面、平面與平面如不平行，則一定相交。面如不平行，則一定相交。1 1）當相交雙方有一）當相交雙方有一方具有積聚投影時方具有積聚投影時nmnm2112eddcebbOcaXa 直線與平面相交有交點，平面與平面直線與平面相交有交點，平面與平面相交有交線。相交有交線。直線具有積聚投影時直線具有積聚投影時圖圖4-7 4-7 線面相交求交點（一）線面相交求交點（一）一、直線與平面相交一、直線與平

5、面相交 除了直線在平面上或兩平面位于同一除了直線在平面上或兩平面位于同一平面上的特例外，直線與平面、平面與平平面上的特例外，直線與平面、平面與平面如不平行，則一定相交。面如不平行，則一定相交。1 1）當相交雙方有一）當相交雙方有一方具有積聚投影時方具有積聚投影時 直線與平面相交有交點，平面與平面直線與平面相交有交點，平面與平面相交有交線。相交有交線。平面具有積聚投影時平面具有積聚投影時1 2m21mdeabecdcaXbO圖圖4-8 4-8 線面相交求交點（二）線面相交求交點（二）一、直線與平面相交一、直線與平面相交2 2）當相交雙方都處）當相交雙方都處于一般位置時于一般位置時kggkffPH

6、bdXbaacOceeda)a)作一輔助平面作一輔助平面P PH H; ;b)b)求輔助平面求輔助平面P PH H與與ABC的交線的交線FG；c)c)求求FGFG與直線與直線EDED的交點的交點K K即為所求交點。即為所求交點。圖圖4-9 4-9 線面相交求交點（三）線面相交求交點（三）deccXbagfOdgaebf一、直線與平面相交一、直線與平面相交二、平面與平面相交二、平面與平面相交1 1）當相交雙方有一方具有積聚投影時）當相交雙方有一方具有積聚投影時mnnm圖圖4-10 4-10 面面相交求交線（一）面面相交求交線（一）egdcbafXOegdcafb一、直線與平面相交一、直線與平面相

7、交二、平面與平面相交二、平面與平面相交2 2）當相交雙方都處于一般位置時）當相交雙方都處于一般位置時llkk圖圖4-11 4-11 面面相交求交線（二）面面相交求交線（二）一、直線與平面相交一、直線與平面相交二、平面與平面相交二、平面與平面相交lklk1256347812348765SvRvXccbabaddOgegeff2 2）當相交雙方都處于一般位置時）當相交雙方都處于一般位置時圖圖4-12 4-12 面面相交求交線（三）面面相交求交線（三）一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 如果一條直線垂直于一個平面上，這條直線必垂直于該平面上如果一條直線垂直于一個平面上，這條直線必垂直于該平面上所有

8、的直線。如圖所有的直線。如圖4-134-13所示。所示。 根據(jù)直線與平面垂直的條件和直角投影定理，可知根據(jù)直線與平面垂直的條件和直角投影定理，可知：直線垂直：直線垂直于平面，則直線的正面投影必垂直于該平面上正平線的正面投影，于平面，則直線的正面投影必垂直于該平面上正平線的正面投影，直線的水平投影必垂直于該平面上水平線的水平投影，直線的側(cè)面直線的水平投影必垂直于該平面上水平線的水平投影，直線的側(cè)面投影必垂直于該平面上側(cè)平線的側(cè)面投影。如圖投影必垂直于該平面上側(cè)平線的側(cè)面投影。如圖4-144-14、4-154-15所示。所示。圖圖4-14 4-14 線與面垂直立體圖線與面垂直立體圖圖圖4-15 4

9、-15 線與面垂直投影圖線與面垂直投影圖一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直例例4-24-2 過點作直線過點作直線ABAB與已知直線與已知直線CDCD垂直相交，如圖垂直相交，如圖4-164-16所示。所示。bmnnbmXacdadcO圖圖4-16 4-16 過點作線垂直已知線過點作線垂直已知線一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直二、平面與平面垂直二、平面與平面垂直 若直線垂直于平面，則包含此直線的所有平面都與該平面垂直。若直線垂直于平面，則包含此直線的所有平面都與該平面垂直。也即，如果兩平面互相垂直，則從第一個平面上的任意一點向第二也即，如果兩平面互相垂直，則從第一個平面上的任意一點向第二個平

10、面所作垂線，必在第一個平面內(nèi)。見圖個平面所作垂線，必在第一個平面內(nèi)。見圖4-174-17。例例4-34-3 過直線過直線ABAB作平面與作平面與DEFDEF垂直，如圖垂直，如圖4-184-18所示。所示。圖圖4-17 4-17 面與面垂直的幾何條件面與面垂直的幾何條件圖圖4-18 4-18 過線作面垂直已知面過線作面垂直已知面chhcggXOaddabbefef 空間幾何元素點、線、面問題的綜合分析是指在解決涉及點、空間幾何元素點、線、面問題的綜合分析是指在解決涉及點、直線、平面之間的諸如從屬、距離、平行、相交、垂直、夾角、實直線、平面之間的諸如從屬、距離、平行、相交、垂直、夾角、實長、實形等

11、綜合問題的解題過程。長、實形等綜合問題的解題過程。 解這類綜合題必須運用點、直線、平面及相對位置的基本概念解這類綜合題必須運用點、直線、平面及相對位置的基本概念和作圖方法，一般解題步驟如下：和作圖方法，一般解題步驟如下： 1)1)分析題意，明確要求。分析已知條件（文字給出的已知條分析題意，明確要求。分析已知條件（文字給出的已知條件和圖形所示的已知條件）及欲求結(jié)果，同時弄清所求結(jié)果應(yīng)該件和圖形所示的已知條件）及欲求結(jié)果，同時弄清所求結(jié)果應(yīng)該滿足的約束條件。滿足的約束條件。 2) 2)空間想象基本路徑，再空間想象已知條件和欲求結(jié)果。根空間想象基本路徑，再空間想象已知條件和欲求結(jié)果。根據(jù)空間幾何關(guān)系

12、和幾何定理，進行必要邏輯推理。找出解決問題據(jù)空間幾何關(guān)系和幾何定理，進行必要邏輯推理。找出解決問題的必要途徑。的必要途徑。 3)3)投影作圖。用各種基本投影作圖的方法，將設(shè)想的解題步投影作圖。用各種基本投影作圖的方法，將設(shè)想的解題步驟逐一繪制在投影圖上，最后求出結(jié)果，完成解題。驟逐一繪制在投影圖上，最后求出結(jié)果，完成解題。 例例4-34-3 過空間點過空間點作直線作直線MNMN，使其垂直于已知交叉直線，使其垂直于已知交叉直線ABAB、CDCD，如圖如圖4-194-19所示。所示。圖圖4-19 4-19 作直線垂直于兩條已知直線作直線垂直于兩條已知直線enenXabcdmmdcbaO 例例4-44-4過點過點作一直線平行于作一直線平行于DEFDEF并與已知直線并與已知直線BCBC相交，如圖相交，如圖4-204-20所示。所示。圖圖4-20 4-20 作直線平行已知平面并與已知直線相交作直線平行已知平面并與已知直線相交mknmknbccXdefaeObfad 例例4-54-5 已知長方形已知長方形ABCDABCD一邊一邊ABAB的兩個投影（的兩個投影（abab、abab）及）及BCBC的正面投影的正面投影bcbc，求