概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式考試版專用

1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列 組合公式Pmn 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(m n)!nm!Cm 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!(m n)!(2)加法 和乘法原 理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，A種方法可由m種方法完成，第二種方法可由 n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mx n某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由 n種方法來完成，則這件事可由mx n種方法來完成。(3) 一些 常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序) 對立事件(至少有一個(gè)) 順序問題(4)

2、隨機(jī) 試驗(yàn)和隨 機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件卜XJ以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)， 但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試 驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本 事件、樣本 空間和事 件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)， 總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)(基本事件)組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表示事件，它們是的子集

3、。為必然事件，？為/、可能事件。不可能事件(？)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件()的概率為 1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件 的關(guān)系與 運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，(A發(fā)生必啟事件B發(fā)生)： A B如果同時(shí)有 A B, B A,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B： A=B,A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB,或者ABAB=?,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件

4、A與事件B互小相容或者互斥?；臼录腔バ∠嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對立事件，記為人。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C分配率：(AB) U C=(A U C) A (B U C) (A U B) n C=(AC) U (BC)AiAi _ _ _ _德摩根率：i 1i 1ABAB,ABAB(7)概率 的公理化 定義設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個(gè)事件 A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿 足卜列三個(gè)條件：1° 0WP(A)W 1,2 P( Q ) =13°對于兩兩互不才目容的事

5、件A1, A2,有常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典 概型1o1, 2n，_12 P( 1) P( 2)P( n)。n設(shè)任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)( 2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)(9)幾何 概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件 A,P(A) LA"。其中L為幾何度量(長度、面積、體積) 。L()(10)加法 公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)=0 時(shí)，P

6、(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法 公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A=時(shí),P( B )=1- P(B)(12)條件 概率定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且 P(A)>0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q /B)=1 P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法 公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A, A2,A,若P(AiA2An-1)>0 ,則有P(A1A2

7、 An) P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An| AiA2 An 1) o(14)獨(dú)立 性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) p(A)p(B)，則稱事件a、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A) °,則有若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到A與B、A與B、入與"B也都相互獨(dú) 立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P

8、(C)那么A B、C相互獨(dú)立。對于n個(gè)事件類似。(15)全概 公式設(shè)事件B1，B2，Bn滿足1。B1, B2, 1Bn相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n), nABi2i 1則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A | Bn)。(16)貝葉 斯公式設(shè)事件B1, B2,，Bn及A滿足1 ° B1, B2,，Bn兩兩互/、相容,P(Bi)>0, i 1, 2,，n , nABi2i 1P(A) 0則c/c，八、P(Bi)P(A/Bi)P(Bi / A):,修，i=1 ，2,no P(Bj)P(A/Bj) j 1此公式即為貝葉斯公式。P

9、(BJ,(i 1 , 2 ,n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bj/A),(i 1,2,， n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努 禾IJ概型我們作了門次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；門次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互/、影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為門重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1 p q,用Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，八、_kknk_Pn(k) CnP q

10、 , k 0,1,2, ,no第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散 型隨機(jī)變 量的分布 律設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的可能取值為 X(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，即事 件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=p k, k=1,2,，則稱上式為窗放型隨機(jī)變重X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：X x1,x2, ,xk,P(Xxk) P1, P2, pk,o顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k 1o(2)連續(xù) 型隨機(jī)變 量的分布 密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實(shí)數(shù)x,有xF(x)f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。

11、f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個(gè)性質(zhì)：1 。 f(x) 0。f(x)dx 12 o(3)離散 與連續(xù)型 隨機(jī)變量 的關(guān)系積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X xk) pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。(4)分布 函數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F 可以彳#到X落入?yún)^(qū)間(a, b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8, x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：100 F(x) 1,x;2F(x)是單調(diào)/、減的函數(shù)，即 xi x2時(shí)，

12、有 F(xi) F(x2)；3F( ) lim F(x) 0,F() lim F(x) 1;xx4° F (x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5° P(X x) F(x) F(x 0)。對于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)pk ；xk xx對于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)f (x)dx 。八大 分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為 p。事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X ,則X可能取值為0,1,2, ,n。P(X k)Pn(k) Cnkpkqnk,其中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,則稱隨機(jī)變量X服從

13、參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布。記為X B(n,p)o當(dāng) n 1 時(shí)，P(X k)pkq1k, k 0.1 ,這就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，記為 X ()或者 P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=入，n-8)。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X k) qk1p,k 1,2,3,，其中 p封0, q=1-p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落，一 1

14、上為常數(shù)-,即b a1af(x) b a,0,則稱隨機(jī)變量X在a , 分布函數(shù)為?xF(x)f (x)dx當(dāng) a< xi<X2< b 時(shí)，X名x2P(x1 X x2) b在a, b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a, b< x< b其他，b上服從均勻分布，記為 XU(a, b)o0,x<a,x a,1b a x x x>b x<bM在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為J1oa指數(shù)分布。一 x 一f(x), e ,x 0,?暮中0,則瞬f機(jī)累量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為/x1 e ,x 0,F(x) 1 ?謳住積分公式：x<0。正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)

15、變量X的密度函數(shù)為i Uf(x) -e,x，戶其中 、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、2.的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為 X N ( ，)。 f(x)具有如下性質(zhì)：1 。 f(x)的圖形是關(guān)于x對稱的；。，、，一12 當(dāng)x時(shí)，f ( )為最大值；W M 72，, 一2 2若X N(%,此X的分布函數(shù)為F(x)e 2 dt22。參數(shù)0、1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，記為X N(0,1)其皿函數(shù)記為(x) , e 72,x,分布函數(shù)為1 x 二(x) -：= e 2 dt。 22(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。/L /1(-x) = 1-(x)且 (0)=一。一

16、0X 2如果 XN( , 2),則N(0,1)ox2x1P(x1Xx2)-。(6)分位 數(shù)下分位表：P(X)=;上分位表：P(X)=。(7)函數(shù) 分布離散型已知X的分? X布列為x1, x2, xn,?P(X xi)Y g(X)白Yp1, p2, pn,勺分布列(yi g(xi)互不相等)如下： g(x1), g(x2), g(xn),P(Y yi) 若有某些g(xip相等,“應(yīng)將對應(yīng)白p , pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) =P(g(X) <y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合

17、 分布離散型如果二維隨機(jī)向量(X, Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)啟序?qū)?x,y ),則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè) 二(X, Y)的所有可能取值為(xi»)。/1,2,),且事件 =(Xi, yj) 的概率為pj,稱為 二(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布后 時(shí)也用卜面的概率分你去來表7K:工y1y2yjXipnp12p1jX2p21p22p2jXipi1這里pij具有卜面兩個(gè)性質(zhì)：(1) pij >0 (i,j=1,2,)；(2) pij1.連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(x,y),使對任個(gè)其鄰邊分別平行丁坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域

18、D,即D=(X,Y)a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為=(X, Y)的分布密度或稱為X和丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個(gè)性質(zhì):(1) f(x,y) >0;(2) f (x, y)dxdy 1.(2)二維 隨機(jī)變量 的本質(zhì)(3)聯(lián)合 分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù) x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2)y的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的

19、基本性質(zhì)：(1) 0 F(x,y) 1;(2) F (x,y )分別對x和y是非減的，即當(dāng) x2>x1 時(shí),有 F (x2,y) > F(x 1,y);當(dāng) y2>y1 時(shí),有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分別對x和y是右連續(xù)的，即(4) F( ,) F(, y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對于 x1 x2, y1y2,F(x2, y) F(x2, y1) F(Xi, y2) F(x1，y1) 0.(4)離散 型與連續(xù) 型的關(guān)系(5)邊緣 分布離散型X的邊緣分布為Pi?P(XXi)Pj(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?j

20、P(Yyj)Pj(i,j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布.密度為Y的邊緣分布密度為(6)條件 分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為 在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x,y) f(x|y).,J fy(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為(7)獨(dú)立 性一般型FF(X,Y)=F x(x)F Y(y)離散型后零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=f x(x)f Y(y)直接判斷，充要條件：可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布=0隨機(jī)變量的 函數(shù)(8)二維 均勻分布(9)二維 正態(tài)分布D3O圖c c D23.2xfa3.3設(shè)隨

21、機(jī)向量(X, Y的分布密度函數(shù)為其中1,2,10,0,1 I1是5個(gè)參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布,記為(X, Y)N (22, 1 ，2，).若Xi,X2，。Xm+1,X4目互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則:h (Xi, X 淘 和g (Xm+1, -Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與丫獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若 X與Y獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X, Y)服從D上的均勻分布，記為(X, Y)U (D)。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y +1 -713.1由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布

22、的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分 布，12)，YN( 2, 2).但是若XN (221，1 ),Y N( 2, 2), (X, Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù) 分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) P(Z z) P(X Yz)對于連續(xù)型，fz(z) = f(x, z x)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(22,12)。n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。Ci iCi2 2Z=max,min(Xl,X2,Xn)若Xi,X2 Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x),則 Z=max,min(X i,X2，Xn)的分布函數(shù)為：2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變

23、量Xi, X 2, ,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量 W3艮從自由度為n的2分布，記為 M 2(n),其中所謂自由度是指獨(dú)立止態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量 分布中的一個(gè)重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量 T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布22設(shè)X 2(n1),Y 2(n2),且 X與Y獨(dú)立，可 以證明l X /%F -的概率留度函數(shù)為Y/n2我們稱隨機(jī)變量F服從 A個(gè)自由度為 ni,第二個(gè)自由度為 n2 的F分布，記為 Ff(n 1, n 2).第四

24、章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1) 一維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P( X xk ) = pk ,k=1,2,n ,(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)力差D(X)=EX-E(X) 2,標(biāo)準(zhǔn)差(X)后兩，矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k 階原點(diǎn)矩，記為Vk,即V k=E(Xk尸XikPi ,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 與E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k ,即k=(XiE(X) Pi ,k=1,2,.對于正

25、整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的 k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點(diǎn) 矩，記為Vk,即v k=E(Xk)=xkf(x)dx,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與 E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階中心矩，記為 k,即=(x E(X)k f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望 E (X)=小 方差D (X) =。2,則對于 任意正數(shù)£ ,后卜列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知 X的分布的情況下，對概率的一種估計(jì)，它在理論上啟重要忌義。(2) 期望 的性 質(zhì)(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X) nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) ,

26、E( Ci Xi)GE(Xj)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和 Y獨(dú)立；充要條件：X和丫不相關(guān)。(3) 方差 的性 質(zhì)(1) D(C)=0; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X); E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y),充分條件：X和 Y 獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+

27、E(Y),無條件成立。(4) 常見 分布 的期 望和 力差期望力差0-1 分布 B(1, p)P二項(xiàng)分布B(n, p)np泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布H(n,M,N)均勻分布U (a,b)指數(shù)分布e()正態(tài)分布N ( , 2)n2nt分布0n / c、(n>2)n 2二維 隨機(jī) 變量 的數(shù) 字特 征期望函數(shù)的期望EG(X,Y) =EG(X,Y) =力差協(xié)力差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為XY或cov(X ,丫)，即與記號(hào) XY相對應(yīng)，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為XX與Y YY 。相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量X與Y,如果D (

28、X) >0, D(Y)>0 ,則稱為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作XY (有時(shí)可簡記為)。| 心1,當(dāng)|=1時(shí)，稱X與丫完全相關(guān)：P(X aY b) 1正相關(guān)，當(dāng)1時(shí)(a0),完全相關(guān)上必：負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(shí)(a 0),而當(dāng)0時(shí)，稱X與丫不相關(guān)。以卜五個(gè)命題是等價(jià)的： XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩k l對于隨機(jī)變量 X與Y,如果有E(X Y )存在，則稱之為 X與丫的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 kl ； k+l階混合中心矩記為：(6)(i)cov (X, Y)=cov (Y

29、, X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差的(iii)cov(X 1+X2, Y)=cov(X i,Y)+cov(X 2,Y);性質(zhì)(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).獨(dú)立(i )若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則XY °；反之/、真。和不 相關(guān)(ii )若(X, Y) -N ( 1，2，12, 2,),則X與丫相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律切比雪定律設(shè)隨機(jī)變量 X, X 相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D (X) <C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)e ,有特殊情形：若X2

30、,具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (X)二科，則上式成為伯努利 大數(shù)定 律設(shè)科是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在 每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)£,有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即 這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大 數(shù)定律設(shè)X, X ，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(X)二科，則對于任意的正數(shù)e有(2)中心極限定 理列維 林德伯 格定理設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有 相 同 的 數(shù) 學(xué) 期 望 和 方 差：_2一一一一，.、一E(Xk) ,D(Xk)0(k 1,2

31、,)，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(X)對任意白實(shí)數(shù)x,有 此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗 -拉普 拉斯定 理設(shè)隨機(jī)變里Xn為具后參數(shù) n, p(0<p<1)的一項(xiàng)分布，則對于任意實(shí)數(shù)X,有(3)二項(xiàng)定理若當(dāng)N時(shí)，一p(n,k/、父)，則N超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。(4)泊松定理若當(dāng)n時(shí)，np0,則其中k=0, 1, 2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)數(shù)理 統(tǒng)計(jì)的基 本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個(gè)(或多個(gè))指標(biāo)的全 體稱為總體(或母體)。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨 機(jī)變量(或隨機(jī)向量)。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元

32、稱為樣品(或個(gè)體)。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1, x2, , xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是 n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)，Xi,X2, ,Xn表示n個(gè)隨機(jī)變量(樣本)；在具體的一次抽取之后，X1,X2, ,Xn表示n個(gè)具體的數(shù)值(樣本值)。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和 統(tǒng)計(jì)量設(shè)Xi, X2 , ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱(Xi,X2, ,Xn)為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(Xi, X2 , ,Xn )為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。

33、常見統(tǒng)計(jì)量 及其性質(zhì)、-1 n樣本均值X Xi.n i i樣本力差21n- 2S2d (Xi X)2.n 1 i i fin-.樣本標(biāo)準(zhǔn)差S / (Xi x)2.n n 1 i i樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩2e(X), d(x)一,n_22_2n 1 2E(S ), E(S* ),n21n 2其中S* (Xi X)，為二階中心矩。n i 1(2)正態(tài) 總體下的 四大分布正態(tài)分布2設(shè)X1,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體 N(,)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)X1,X2,Xn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為 n-1的t分布。設(shè)X1,X2, ,Xn為來

34、自止態(tài)總體 N( , 2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)22其中 (n 1)表示自由度為n-1的 分布。F分布設(shè)X1,X2, ,Xn為來自止態(tài)總體N( , 12)的一個(gè)樣本，而y1，y2, ,yn為來自止態(tài)總體 N(,；)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中F(n1 1,出 1)表示第一自由度為n1 1,第一自由度為n2 1的F分布。(3)正態(tài) 總體下分 布的性質(zhì)X與S2獨(dú)立。極大似 然倩計(jì)當(dāng)總體 X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(X； 1 , 2 , m),其中1,2, m為未知參數(shù)。又設(shè)Xi , X2 , ,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為P

35、X X p(x； 1 , 2, m),則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L(X1,X2, ,Xn； 1, 2, m)在 i, 2, , m 處取到最大值，則稱 1, 2, m分別為1, 2, m的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若 為 的極大似然估計(jì)，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g(?)為g()的極大 似然情計(jì)。估 計(jì)量的 評選標(biāo) 準(zhǔn)無偏性設(shè)(Xi，X2， ,Xn)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E ()二，則稱為的無偏估計(jì)量。E ( X) =E (X), E (S2) =D (X)后效性設(shè) 11(Xi，X，2， ,Xn)和 22(Xi,X,2, ,Xn)Mfl參數(shù)的兩個(gè)無偏估計(jì)量。若 D( 1) D( 2),則稱1比2有效。一B性設(shè)n是 的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有則稱n為的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。若 為 的無偏估計(jì)，且 D( ?)0(n，則 為 的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相 應(yīng)總體的一致估計(jì)量。區(qū) 間倩計(jì)置信區(qū) 間和置 信度設(shè)總體X含有一個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本X1 ,X,2 , ,Xn出發(fā)，找出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 11(X1,X,2 , ,Xn)與22(X1,X, 2 , ,Xn) ( 12),使得區(qū)間1, 2以1