振動(dòng)和機(jī)械波習(xí)題

1、mkxtx 且且0dd222 f =-kx)cos( tAx線諧運(yùn)動(dòng)線諧運(yùn)動(dòng)(定義兼判據(jù)定義兼判據(jù))222d0dt )cos( t角諧運(yùn)動(dòng)角諧運(yùn)動(dòng))cos( tAx)sin( tAv)cos(2 tAa 振幅振幅A、周期、周期T、頻率、頻率 、角頻率、角頻率 、相位、相位( t+ ) 初相位初相位 kEvxA222020 Ax0cos Av0sin ,mk 彈彈簧簧振振子子：2Tlg 單單擺擺：5 5、阻尼運(yùn)動(dòng)與受迫振動(dòng)、阻尼運(yùn)動(dòng)與受迫振動(dòng)220220d xdxxdtdt22022cosd xdxxhtdtdt2202arctan-阻尼系數(shù)；阻尼系數(shù)；0 0 -振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率振動(dòng)系統(tǒng)的固

2、有角頻率阻尼運(yùn)動(dòng)：過阻尼、欠阻尼以及臨界阻尼運(yùn)動(dòng)阻尼運(yùn)動(dòng)：過阻尼、欠阻尼以及臨界阻尼運(yùn)動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象幅頻特性和相頻特性幅頻特性和相頻特性12222220()4hA 2202p)cos(212212221 AAAAA)cos()cos(221121 tAtAxxx仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其中其中:同相同相:k=0,1, 2, 3.22112211coscossinsintan AAAA k212 21AAA 反相反相: )12(12 k21AAA k=0,1, 2, 3.)(sin21212222 tAmmvEk)(cos2121222 tkAkxEp221kAEEEpk

3、（1 1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。 圍繞描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量：振幅、角頻率和初相圍繞描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量：振幅、角頻率和初相建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，或者從振動(dòng)曲線建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式，或者從振動(dòng)曲線建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。達(dá)式。（2 2）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題 對(duì)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓定律建立方程，判斷是否對(duì)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)牛頓定律建立方程，判斷是否符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征，然后根據(jù)初始條件，建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征，然后根據(jù)初始條件，建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式。達(dá)式。（3 3）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成。本章的習(xí)題可

4、以分為三方面的問題：本章的習(xí)題可以分為三方面的問題：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題：判斷振動(dòng)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。判斷振動(dòng)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。采用動(dòng)力學(xué)的方法的步驟：（采用動(dòng)力學(xué)的方法的步驟：（1 1）確定振動(dòng)系統(tǒng)，找出平衡）確定振動(dòng)系統(tǒng)，找出平衡位置并且作為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向；（位置并且作為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向；（2 2）分析）分析處于任意位置處系統(tǒng)各物體所受的力；（處于任意位置處系統(tǒng)各物體所受的力；（3 3）列出各物體的）列出各物體的運(yùn)動(dòng)方程，與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程進(jìn)行比較，即可判斷物體運(yùn)動(dòng)方程，與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程進(jìn)行比較，即可判斷物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。是否做簡(jiǎn)諧

5、運(yùn)動(dòng)。采用能量法的步驟：（采用能量法的步驟：（1 1）確定振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒；）確定振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒；（2 2）找出平衡位置并將它選為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向；）找出平衡位置并將它選為坐標(biāo)原點(diǎn)，規(guī)定坐標(biāo)軸的正方向；（3 3）寫出任意位置處的機(jī)械能表達(dá)式，并且對(duì)這一表達(dá)式進(jìn)行）寫出任意位置處的機(jī)械能表達(dá)式，并且對(duì)這一表達(dá)式進(jìn)行時(shí)間微分，將求得的結(jié)果與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程進(jìn)行比較，判時(shí)間微分，將求得的結(jié)果與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程進(jìn)行比較，判斷是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。斷是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。 Tu 波波速速 各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)的差別各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)的差別僅在于僅在于，后開始振動(dòng)的，后開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)比先開

6、始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在步調(diào)上落后一段時(shí)間。質(zhì)點(diǎn)比先開始振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，在步調(diào)上落后一段時(shí)間。)cos( tAy 當(dāng)坐標(biāo)當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)x=0m 處簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程為處簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程為當(dāng)波以波速當(dāng)波以波速u向向x正方向傳播正方向傳播,則平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù)則平面簡(jiǎn)諧波波函數(shù):)(cos uxtAy 單位體積內(nèi)波的能量單位體積內(nèi)波的能量,即即能量密度能量密度為為: )(sin222uxtAw 單位體積內(nèi)波的平均能量單位體積內(nèi)波的平均能量, 即即平均能量密度平均能量密度為為: 220211AwdtTwT 平均能流密度平均能流密度波的強(qiáng)度波的強(qiáng)度為為: uAI2221 uAI2221 矢量式在波動(dòng)中，每個(gè)質(zhì)元都起著能量

7、轉(zhuǎn)換的作用在波動(dòng)中，每個(gè)質(zhì)元都起著能量轉(zhuǎn)換的作用-不斷地吸取能量，又不斷地放出能量。因此說振動(dòng)不斷地吸取能量，又不斷地放出能量。因此說振動(dòng)的傳播過程也就是的傳播過程也就是能量能量的傳播過程。的傳播過程。 頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定.其中其中: k=0,1,2,3 )(2cos21212212221rrAAAAA 212112121222AAAAAAkkrr減減弱弱加加強(qiáng)強(qiáng))()(當(dāng)當(dāng) 1 = 2時(shí)時(shí),干涉點(diǎn)的相位差干涉點(diǎn)的相位差由波程差由波程差 =r2- - r1決定。決定。 (1)合成以后合成以后各點(diǎn)振幅不同各點(diǎn)振幅不同波腹波腹波節(jié)波節(jié)4 (2k+1

8、)x 2 kx 5.駐波駐波：兩列振幅相同的兩列振幅相同的相干波相干波,在同一直線上在同一直線上,沿沿相反方向傳播時(shí)所產(chǎn)生的疊加：相反方向傳播時(shí)所產(chǎn)生的疊加：相鄰波節(jié)間相鄰波節(jié)間的各點(diǎn)步調(diào)一致（即相位的各點(diǎn)步調(diào)一致（即相位相同相同）, 波節(jié)兩邊波節(jié)兩邊各點(diǎn)的步調(diào)正好相反（相位各點(diǎn)的步調(diào)正好相反（相位相反相反）。）。 (2)合成以后各點(diǎn)的振動(dòng)：合成以后各點(diǎn)的振動(dòng)：(3)駐波進(jìn)行中沒有能量的定向傳播，總能流密度駐波進(jìn)行中沒有能量的定向傳播，總能流密度為零。能量在波腹和波節(jié)之間轉(zhuǎn)換。為零。能量在波腹和波節(jié)之間轉(zhuǎn)換。當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到平衡位置平衡位置時(shí)，時(shí)，動(dòng)能集中在波腹。動(dòng)能集中在波腹

9、。當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)達(dá)到最大位移最大位移時(shí)，時(shí)，勢(shì)能集中在波節(jié)。勢(shì)能集中在波節(jié)。Lunn2 駐駐波波系系統(tǒng)統(tǒng)的的本本征征頻頻率率觀察者接收到的頻率觀察者接收到的頻率有賴于有賴于波源波源或或觀察者運(yùn)動(dòng)觀察者運(yùn)動(dòng)的的現(xiàn)象，稱為現(xiàn)象，稱為多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)。相對(duì)于媒質(zhì)相對(duì)于媒質(zhì)，波源和觀察者，波源和觀察者時(shí)時(shí)RRssuVuV觀察者接收到的頻率與波源的頻率之間的觀察者接收到的頻率與波源的頻率之間的關(guān)系關(guān)系 例例1 一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧截成三等分，取出其中的兩根，的輕彈簧截成三等分，取出其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量為 m 的物體

10、，則振動(dòng)系統(tǒng)的的物體，則振動(dòng)系統(tǒng)的頻率為頻率為.221)(.321)(.621)(.21)(mkDmkCmkBmkA解解: 設(shè)每一等分彈簧的勁度系數(shù)為設(shè)每一等分彈簧的勁度系數(shù)為 k0 ，因此由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有因此由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有,3,3100kkkk兩個(gè)同樣的彈簧并聯(lián)，有兩個(gè)同樣的彈簧并聯(lián)，有kkk620振動(dòng)頻率為振動(dòng)頻率為mkmk621212答案：答案：( B)例例2 2、如圖所示，一勁度系數(shù)為、如圖所示，一勁度系數(shù)為k k的彈簧，一端固定，另一端系一的彈簧，一端固定，另一端系一輕繩，輕繩通過滑輪連接一個(gè)質(zhì)量為輕繩，輕繩通過滑輪連接一個(gè)質(zhì)量為m m的物體，滑輪的質(zhì)量為的物體，滑輪的質(zhì)量為M

11、 M，半徑為半徑為R R。若繩與滑輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)，試證明物體的微小振。若繩與滑輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)，試證明物體的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求出其振動(dòng)周期。設(shè)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并求出其振動(dòng)周期。設(shè)t=0t=0時(shí)，彈簧沒有伸縮、時(shí)，彈簧沒有伸縮、物體也沒有初速度，寫出物體的振動(dòng)表達(dá)式。物體也沒有初速度，寫出物體的振動(dòng)表達(dá)式。mMk（a）TTTPTa（b）分析：該系統(tǒng)由彈簧、滑輪和物分析：該系統(tǒng)由彈簧、滑輪和物體組成。畫出隔離體受力圖，對(duì)體組成。畫出隔離體受力圖，對(duì)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到系統(tǒng)的物體應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，從而進(jìn)行判斷。運(yùn)動(dòng)方

12、程，從而進(jìn)行判斷。解法一解法一 動(dòng)力學(xué)法動(dòng)力學(xué)法系統(tǒng)的受力圖如圖所示。選取物體系統(tǒng)的受力圖如圖所示。選取物體平衡時(shí)的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎平衡時(shí)的位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，以豎直向下為直向下為x x軸的正方向。因?yàn)槲矬w在軸的正方向。因?yàn)槲矬w在平衡位置時(shí)已經(jīng)伸長(zhǎng)平衡位置時(shí)已經(jīng)伸長(zhǎng)x x0 0，所以有：，所以有：0kxmg22d xmgTmdt0()TRT RJTk xx當(dāng)物體偏離平衡位置當(dāng)物體偏離平衡位置x x時(shí)，物體的動(dòng)力學(xué)方程為：時(shí)，物體的動(dòng)力學(xué)方程為：此時(shí)，滑輪和彈簧的運(yùn)動(dòng)方程為：此時(shí)，滑輪和彈簧的運(yùn)動(dòng)方程為：而物體的加速度和滑輪的角速度之間的關(guān)系為：而物體的加速度和滑輪的角速度之間的關(guān)系為：22

13、d xRdt聯(lián)立上述方程可以得到：聯(lián)立上述方程可以得到：22220d xkRxdtmRJ顯然上面的式子符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以該系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)顯然上面的式子符合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以該系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其角頻率為：動(dòng)，其角頻率為：22kRmRJ2222mRJTkR212JMR所以周期為：所以周期為：其中，其中，代入后可以得到：代入后可以得到：22MmTk根據(jù)初始條件：當(dāng)根據(jù)初始條件：當(dāng)t=0t=0時(shí)，時(shí)，00,0ttmgxvk 所以所以0,mgAkcos()2mgkxtMkm2220111()222EmvmgxJk xxC所以，其振動(dòng)表達(dá)式為：所以，其振動(dòng)表達(dá)式為：解法二解法二 能量法能量法

14、由彈簧、物體、滑輪和地球組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由彈簧、物體、滑輪和地球組成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。所以系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。物體在任一位置物體在任一位置x x時(shí)，取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，于是系統(tǒng)的機(jī)械時(shí)，取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，于是系統(tǒng)的機(jī)械能為：能為：將上式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到：將上式兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，可以得到：0()0dEdvdxddxmvmgJk xxdtdtdtdtdt其中，其中，22dvd xdtdtdxvRdt代入上面式子，可以得到：代入上面式子，可以得到：22220d xkRxdtmRJ這與用動(dòng)力學(xué)法解得的結(jié)果相同。這與用動(dòng)力學(xué)法解得的結(jié)果相同。

15、例例3、有三個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為：、有三個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程分別為：12320.05cos();0.05cos();0.05cos()33xtxtxt試求合振動(dòng)方程。試求合振動(dòng)方程。OxA1A2A3A/32/3解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）解：方法一（旋轉(zhuǎn)矢量法）取坐標(biāo)取坐標(biāo)OxOx，每一振動(dòng)相位差為，每一振動(dòng)相位差為/3/3，三，三個(gè)分振動(dòng)以及合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量位置，個(gè)分振動(dòng)以及合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量位置，如圖可以表示出來。如圖可以表示出來。由圖可以求出合振動(dòng)的振幅為：由圖可以求出合振動(dòng)的振幅為：22112233112233221(coscoscos)(sinsins

16、in)22(cos0coscos)(sinsin)33330.05 1 30.1AAAAAAAA合振動(dòng)的初始位相為：合振動(dòng)的初始位相為：11122331122331sinsinsintansss3tan13AAAAcoA coA co0.1cos()3xt所以，合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：所以，合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：方法二、（解析法）方法二、（解析法）直接利用三角函數(shù)的計(jì)算，可以求出合振動(dòng)方程為：直接利用三角函數(shù)的計(jì)算，可以求出合振動(dòng)方程為：12320.05cos()0.05cos()0.05cos()330.05cos()0.1cos()cos()3330.05cos()0.05cos()330.1c

17、os()3xxxxtttttttt 例例4.一列波長(zhǎng)為一列波長(zhǎng)為 的平面簡(jiǎn)諧波沿的平面簡(jiǎn)諧波沿x 軸正方向傳播。軸正方向傳播。 已知在已知在 x = /2 處處 振動(dòng)表達(dá)式為振動(dòng)表達(dá)式為 y =A cos t ,（1）求該平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)）求該平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù);（2）若在波線上）若在波線上 處反射處反射,反射點(diǎn)為反射點(diǎn)為一固定端，一固定端，)2( LLx求反射波的波函數(shù)。求反射波的波函數(shù)?！窘饨狻浚?）入射波的波函數(shù)）入射波的波函數(shù)/2cos ()xyAtucos(2)xAt0Lx2 x畫出示意圖畫出示意圖找任意一點(diǎn)找任意一點(diǎn) x反射有半波損失，反射有半波損失，到達(dá)到達(dá)L處的振動(dòng)方程為處的

18、振動(dòng)方程為cos(2)LyAt0Lx2 x)2cos( xtAy 已求得入射波的波函數(shù)已求得入射波的波函數(shù)L處反射的振動(dòng)方程處反射的振動(dòng)方程cos(2)LyAt反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)cos ()2LLyAtxu)(24cosLxxLtAy 得得例例5: : 如圖所示，波源位于如圖所示，波源位于O O處，由波源向左右兩邊發(fā)出振幅為處，由波源向左右兩邊發(fā)出振幅為 ，角頻率為角頻率為，波速為，波速為 的簡(jiǎn)諧波。若波密介質(zhì)的反射面的簡(jiǎn)諧波。若波密介質(zhì)的反射面 BB BB 與與點(diǎn)點(diǎn) O O 的距離為的距離為 d=5/4, d=5/4, 試討論合成波的性質(zhì)。試討論合成波的性質(zhì)。解：解：設(shè)設(shè) O O

19、為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正方向。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向右為正方向。)2cos(),(1xtAtxy自自 O O 點(diǎn)向右的波：點(diǎn)向右的波：自自 O O 點(diǎn)向左的波：點(diǎn)向左的波：)2cos(),(2xtAtxyB BBBO Od=5/4d=5/4x xp p反射點(diǎn)反射點(diǎn) p p 處入射波引起的振動(dòng)：處入射波引起的振動(dòng)：)2cos()45(2cos)(2tAtAtyp反射波在反射波在 p p 點(diǎn)的振動(dòng)（有半波損失）：點(diǎn)的振動(dòng)（有半波損失）：)2cos()2cos()(3tAtAtyp)24522cos(2)45(cos),(3xtAuxtAtxy反射波的波函數(shù)反射波的波函數(shù)疊加為駐波：與在32, 045yyx )

20、2cos()2cos(32tAtAyyy合成為簡(jiǎn)諧波：和在31,0yyx )2cos(2),(31xtAyytxy)2cos(),(3xtAtxy22 cos()cosyAxt)2cos(),(1xtAtxy)2cos(),(2xtAtxy)2cos()2cos()(3tAtAtypBBOd=5/4xp例例6 6、如圖所示，地面上一波源、如圖所示，地面上一波源S S，與一高頻率探測(cè)器，與一高頻率探測(cè)器D D之間的距之間的距離為離為d d，從，從S S直接發(fā)出的波與從直接發(fā)出的波與從S S發(fā)出經(jīng)高度為發(fā)出經(jīng)高度為H H的水平層反射后的水平層反射后的波，在的波，在D D處加強(qiáng)。當(dāng)水平層逐漸升高處加強(qiáng)。當(dāng)水平層逐漸升高h(yuǎn) h