兩角和差正余弦公式的證明

1、For pers onal use only in study and research; not for commercial use兩角和差正余弦公式的證明兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。F面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。由角d ,"的三角函數(shù)值表示“ + P的正弦或余弦值，這正是兩角和差的正余弦公式的功能。 換言之，要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式，就是希望能得到一個(gè)等式或方程或 現(xiàn)士甸與征,厲的三角函數(shù)聯(lián)系起來。根據(jù)誘導(dǎo)公式，由角0的三角函數(shù)可以得到（丿的三角函數(shù)。 因此，由和角公式容易得到對(duì)應(yīng)的差角公式，也可以由差角公式得到對(duì)應(yīng)的和角公式。 又因?yàn)閟n(-&l

2、t;Z)=cosfl,即原角的余弦等于其余角的正弦，據(jù)此，可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此，只要解決這組公式中的一個(gè)，其余的公式將很容易得到。（一）在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式注意到單位圓比較容易表示,而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以用三角函數(shù)值表示，因此，我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系 函數(shù)值的等式。1.和角余弦公式（方法1）如圖所示，在直角坐標(biāo)系“也中作單位圓°,并作角£ , 0和使角CE的始邊為0丄，交0于點(diǎn)a,終邊交L"于點(diǎn)B；角0始邊為0R ,終邊交 口0于點(diǎn) C;角一始邊為 Qt,終邊交DO于點(diǎn)。從而點(diǎn) A, B, C和D的坐標(biāo)分別為 如

3、）（cosaiiia）抽訛血 Q（皿0廠血Q由兩點(diǎn)間距離公式得二(cns(a+/9 - D+siii%(r+/5 二 2-2cos(a+/9 ；注意到必 跖，因此匚瞋。的 匚屋口皿0 血口血0。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公 式表達(dá)兩條相等線段，從而得到我們所要的等式。注意 ，公式中的 仗和0為任意角。2.差角余弦公式仍然在單位圓的框架下，用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段，也可以得到我們希望的三角等式。這就是（方法2）如圖所示，在坐標(biāo)系®中作單位圓0,并作角必和"，使角必和" 的始邊均為血,交00于點(diǎn)c,角血

4、終邊交DO于點(diǎn)a，角終邊交DO于點(diǎn)。從而 點(diǎn)A, B的坐標(biāo)為理仃心町，列卻。由兩點(diǎn)間距離公式得AB2 =(raa-ojs/52+(ff_/9 = -2(CDsa(xis/J+si!iasui/J)。由余弦定理得J82=ftf + OB2二加 +。圧-MADE 噸-肉 = 2-2cns(a-/J)。從而有匚os(«l/9 cosczcos/i sinusin/l。注記：方法2中用到了余弦定理 ，它依賴于乙40$是三角形的內(nèi)角。 因此，還需 要補(bǔ)充討論角 £和"的終邊共線,以及 ZAOB 大于H的情形。容易驗(yàn)證，公式在以上 情形中依然成立。在上邊的證明中，用余弦定理計(jì)

5、算的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。也可以用向量法來證明。J)cos acos p - sm asm ；則(M=()fi (n» ti sin jiK由向秋數(shù)旺積的定幾f iA o/JI (ill |(® I cosifij?> = cos(a/?). 由向Wft fit積的坐標(biāo)喪示*冇()A ()R= (coh a« sin a> (cos jS, sin d、（二）在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式，還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。1.和角正弦公式 （一）（方法3）如圖所示,R。為的曲邊上的

6、高,為曲邊上的高。設(shè)I ” 1 ', /, ，則。從而有, CE 皿a,BE=CEtxtfl=bmdtAfiBC=CEtscfl=bmdscfio因此 曲二廊+磁二施®5撫+金(Zcot/O ,.57)= Jjsm(z=A(ais<zl-sniact/?)9nao注意到 BD二BC誠(chéng)L+対二B蚯(zcsc0sn(a+/J),從而有：(cma+sinactf/Qdna=macscy79D(af/l),整理可得：頤+向二“acas+c(is(zEn#o注記：在方法3中，用j!C和與底角 d，卩相關(guān)的三角函數(shù),從兩個(gè)角度來表示邊上高AD,從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用

7、的圖形是基于鈍角三角形的，對(duì)基于直角或銳角三角形的情形，證明過程類似。利用方法3中的圖形，我們用類似于恒等變形的方式，可以得到下面的(方法4)如圖所示，尺D為化4乩的優(yōu)邊上的高,(卞為“邊上的高。設(shè)M", ©=0,則勿以二時(shí)#。注意到MCtfL 4£D ,則有血SD，即。AEESDABlBC jlflEBCAD CE RDREIbUc二 aKasm+smaaKj?o利用正弦定理和射影定理，將得到下面這個(gè)非常簡(jiǎn)潔的證法。 架與方法3,4所用的圖形框架是相同的。注意證明利用的圖形框（方法5）如圖所示DBQJ為的屈邊上的高。設(shè)二fl,/=",則有 ZlCB =

8、 ff-（fl+/9 ,o由正弦定理可得JC BC AB snfl dna an(<z+/F)其中d為445C的外接圓直徑。由 AB = jJCcnsa+5Ccre/?得諷鈕血+網(wǎng)二d血/Qosa*dsmattos/,從而有siii(<z 4旬二 dn ccoisQ+ccisab02.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的圖形框架是將角d,"放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角,將會(huì)有下面的幾種證法（方法 611）。（方法6）如圖所示，作應(yīng)丄于d,交如C外接圓于e,連BE和CE。ZBAE-H,0,則二a, ZCBE二0 ,C。設(shè)的外接圓直徑為 d

9、,則有，i£=tima3D=BEwfl=ddk(Zmfi CE=d3nfi CDCEaKaddnflcosa,所以有 AC - HD t CD - dn(TA;/f f costrsm/Q o注意到BCdsn（a+/J）,從而 血住*再二血住cos0+cns住sinA。（方法7）如圖所示,RD為的曲邊上的高，為您邊上的高。設(shè)ZO=a, ZBCE=fi,則。設(shè)伽二h,則AE=ha , BE二Atan0, BC=hsecfi , JB=AE+JiE=h(taika+ta!i/I) 肋二屈sin/二屈msd = 4口+阪血 又 HD BCn(L l /J)治t.陽n(7 小從而(taitr

10、 I t3n/f)ctK<7 set/fsin(a f F)。整理可得 血位I切血a匚0501匚oscr&n/f。（方法8）如圖所示，作HDLOC于D,過D作DF L0A于F, ZXj丄胚于G。設(shè)0C 二 a ,/oc=p，則 ZAOR 二 a+0，設(shè) 0A=r肋二 Fsin# OD =rcus/JBG= BDaisa=rsui.fiaisa1(K=2)F=0DaiiCE=rcnsnaa所以 Uli BG I GE F(sin cos er f cos /fan er)。注意到肚f血(a t切，則有赳a !團(tuán)=sin GCOS0 * cosadii0注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算

11、$也，得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方法來計(jì)算0E,則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得OF=CDcos(z=rcoscDsaEF=GD = ADafl<z=r9nsuia從而有 OE=OF-EF=rcasacoE/7-siiiasi!L/r)。注意到 OE=rcos(ai-/J)從而可得口訊處F抑“用a * m p sinrin/To方法6,7和8都是用角d, 0的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。（方法9 ）如圖所示,設(shè) 仙為皈 的述邊上的高。上a” E,丄h,眈a,從而有設(shè) Z.CAS = d ,理 = i cos ex. BD = ocos

12、 BCD = tsina = asin因此丄"C = zaDC + S二 £©c= -.4DrD + -BDlCD2 2=i&cosO-nsin 0 + *口cos(J2>sin ao?(>in a cos >04- cos ctsin P)又因?yàn)?從而可得S、耐=ACJBC5in ZACB = absiu(a +J3)$in(£Z + P) = sin(Zcos4-cos£Z sin p方法9利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。AB -dcos fl BC - t/sin 0CD dsin c

13、t DA dcos olRD = i/sin(a + P)由托勒密定理知ACZBD = ABd + ADZBC即dZd sin(a+>6) = cossin Of + cos a/sin (3整理即得sin(a + /3)二 sin a cos(3+cos a si n 0（方法10）如圖所示，設(shè)"億為的外接圓直徑d,長(zhǎng)度為d。設(shè)上仁邊 2,叢也F,則也加a ",從而AB =dcos p BC-dsin 0CD - dsina sDA = dcos aRD = i/sin(a+P)由托勒密定理知ACZBD = ABHD + ADC即dZd sin(a+j6) = i/

14、cos/sin a+dcos ad sin (3整理即得sin(a + /3) - sin tzcos/J+cosflf sin 0則有注記：這一證明用到了托勒密定理：若/C和是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線1O 血（a+肋二 dois/Q/血 cc+dcosflQNn0。（方法ii）如圖所示,（刃為M/JC的M邊上的高。設(shè) aCD a,£BCD-fi 則ZACB =tt+/?。設(shè)皿則= AD + BD = .ft(tan + tan /3)AC = heca C= /jsec由正弦定理可得屛AB AC BCsin(tz + 0) sinB sin A即從而即整理即得盤 _ /C _ RCsi

15、n(tZ + Q cos P coscrAB _ 4C + 5Csin(ff+ /X> cos j3+ cos a/r(tana + tan p) _ 幾(5亡亡卞+亡f 0)sin(Ct + >ff)cos >5+cos asin(tz + j5) = sin a cosp -k cos tz si n方法10和11將某一線段作為基本量，利用與角 住，/匚相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段，再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理（托勒密定理或正弦定理）,構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。3.差角正弦公式仍然還是在三角形中 ，我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法12和13便是用這種想法來證明的。

16、（方法12）如圖所示ZACB-設(shè)加C二a, /DBC=fi記肋二b,作EDEL.i£ 于 e ,則,從而有CD = b sin DE = bm(a-/J)DA - DE sec a -bn(ap)sca因此有AC CD -DA b(sin 0+ sin(7 /3)secff)注意到BC bcop AC = JffCtana = dcos/?tana（方法13）如圖所示，血為A-1SC的外接圓直徑，長(zhǎng)度為d。設(shè)山iD a.ZCAD=fi,則 /尬0=0, ZCAH =征-卩。從而從而sin j5+sin(cr-*/7)sec£f = cosPtan a整理可得sinfff p

17、) = sin GcoeQ cossin /3ZASD' =(E-j?-d cQa BD =Of3BC-d sin(z-/7) AC -d cos(a-7)DE - .4Z>tand cos 僅tan /?RE = BC sec 0 = i/sin(<zQ 昶匚0所以BD = BE+ DE =+P)注意到RDsin a =sin(df-)sec /?+ cosfftan /?整理可得sin(a/?) = sin <zcqs J3-costzsin P1方法12和13的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段，借此來構(gòu)造等式關(guān)系。很顯然，在這十二種證法中，方法1和2更具

18、普遍性。換言之，這兩種方法中出現(xiàn)的角 a, 0是任意角。而其余方法中，角a和"則有一定的限制，它們都是三角形 的內(nèi)角（甚至都是銳角）。因此，對(duì)于方法313,我們需要將我們的結(jié)果推廣到角（1和0是任意角的情形。具體而言，我們要證明：如果公式對(duì)任意"八 2才成立，則對(duì)任意角也成立。容易驗(yàn)證，角 必和"中至少有一個(gè)是軸上角（即終邊在坐標(biāo)軸上的角），我們的公式是成立的。下面證明，角住和0都是象限角（即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角）時(shí)，我們的公式也成立。不妨設(shè)為第二象限角，0為第三象限角，從而有ar = 2mjr+orT 0 < ar, < 2,2,戰(zhàn)迂Z；因此

19、有 = （2rt+l）jr+<29neZsin ot cos costz sinasinp = sin cos p = cos從而,71sin（cr= sin（2m+0）十（2丹+ 1）酒 + 毘）2= sin（2m + 2n+/?J= YOS（Q +A）= -cosaLcos/5 +si 口印 sin/5=cos G（-cos A） + （- sin務(wù)）（-sin 0】）=sin a cos 0 + cos a sin 0同理可證，公式對(duì)于象限角化和"的其它組合方式都成立。因此我們可以將方法313推導(dǎo)的公式推廣到角兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很基本的一組公式。其推導(dǎo)證明對(duì)指

20、導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探,這一探究過程可分為四個(gè)步驟:三角函數(shù)與究性學(xué)習(xí)很有幫助。從上文中可以看到(1) 明確推導(dǎo)證明的目標(biāo)：構(gòu)造聯(lián)系的等式或方程；(2) 簡(jiǎn)化課題：四個(gè)公式只要解決一個(gè)，其余的都可由它推出(3) 解決問題：利用單位圓或三角形作為聯(lián)系必和"三角函數(shù)與 皿如為或Gn(/r I同的工具，尋找我們希望的等式關(guān)系；(4) 完善解決問題的方法：考察方法是否有普遍性。如果普遍性有欠缺 ，可考慮將其化歸為已解決的情形，必要時(shí)還要進(jìn)行分類討論。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u