第十一章無窮級數(shù)(函數(shù)項級數(shù)、傅里葉級數(shù))

1、第十一章 無窮級數(shù)11.1常數(shù)項級數(shù)11.1.1常數(shù)項級數(shù)的基本概念和基本性質(zhì)(1)常數(shù)項級數(shù)的基本概念無窮多個數(shù)，依次相加得到的表達式稱為常數(shù)項級數(shù)；常數(shù)項級數(shù)前項的和()稱為常數(shù)項級數(shù)的部分和；若常數(shù)項級數(shù)存在，則稱收斂，否則為發(fā)散.(2)常數(shù)項級數(shù)的基本的性質(zhì)若兩個常數(shù)項級數(shù)和中，一個收斂，一個發(fā)散，則發(fā)散；若和均發(fā)散，則的斂散性必須具體討論；常數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件為.11.1.2正項級數(shù)斂散性的判定若，則稱為正項級數(shù).(1)比較判別法設，若,則有：當時，和同時收斂或發(fā)散；當時，若收斂，則收斂.(2)比值判別法(3)根值判別法(4)與的比較若且，則收斂；若且，則發(fā)散.由以上結(jié)論可知：級

2、數(shù)，當時收斂，當時發(fā)散.【例11.1】證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.解：顯然直接通過以上4種結(jié)論是得不出調(diào)和級數(shù)的斂散性.但這個級數(shù)的前項的部分和為：由于級數(shù)發(fā)散，所以由比值判別法可知級數(shù)發(fā)散.11.2.3交錯級數(shù)的斂散性判別法若，則稱為交錯級數(shù).若收斂,則收斂；若且()，則收斂.證明：因為所以是單調(diào)增加的，又有是有界的，根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列極限定理，可知必有極限，令,因為，所以，所以交錯級數(shù)收斂.【例11.2】判別級數(shù)的斂散性（包括絕對收斂或條件收斂）.解：由于級數(shù),而由例11.1可知級數(shù)是發(fā)散的，根據(jù)常數(shù)項級數(shù)的比較判別法，所以也是發(fā)散的，即原級數(shù)不是絕對收斂.令()，記()，求導得，而，所以，所以為

3、增函數(shù)，易知為增函數(shù)，又易知為減函數(shù)，又因為，綜上，原級數(shù)收斂，且為條件收斂.11.2.4絕對收斂與條件收斂(1)絕對收斂與條件收斂的定義若級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂.(2)絕對收斂與條件收斂的基本結(jié)論若收斂,則收斂；條件收斂級數(shù)的正項(或負項)構(gòu)成的級數(shù)一定發(fā)散，即級數(shù)與均發(fā)散.11.2函數(shù)項級數(shù)11.2.1函數(shù)項級數(shù)的基本概念設函數(shù)()有共同的定義域，(1)稱為函數(shù)項級數(shù)；(2)若,常數(shù)項級數(shù)收斂，則稱為的收斂點，否則就是發(fā)散點.所有收斂點的集合就是收斂域，所有發(fā)散點的集合就是發(fā)散域；(3)函數(shù)項級數(shù)在其收斂域內(nèi)有和，其值與收斂點有關，記做，稱為級

4、數(shù)的和函數(shù)，即(屬于收斂域).11.2.2冪級數(shù)形如的級數(shù)稱為的冪級數(shù)，其中()和為常數(shù).(1)冪級數(shù)收斂的特點級數(shù)，可令,那么只要求出級數(shù)的收斂域即可求出原級數(shù)的收斂域.下面是級數(shù)的收斂特點：設級數(shù)在處收斂，則時，絕對收斂；設級數(shù)在處發(fā)散，則時，發(fā)散.由以上結(jié)論我們可以推斷出：一定存在,使得當時，級數(shù)絕對收斂，當時，級數(shù)發(fā)散.我們把此稱為級數(shù)的收斂半徑；逐項求導所得冪級數(shù)的收斂半徑不變.若級數(shù)在時發(fā)散，則逐項求導后所得冪級數(shù)一定發(fā)散；逐項積分后所得冪級數(shù)的收斂半徑不變.【11.3】求級數(shù)的收斂區(qū)間.分析：根據(jù)中的結(jié)論，所以可以先求出絕對收斂區(qū)間，再對等于收斂半徑時的收斂性進行另外討論.解：根

5、據(jù)正項級數(shù)的比值判別法有，而，所以時，級數(shù)收斂.當時，原級數(shù)為，這是一個交錯級數(shù),由于且，所以當時，原級數(shù)收斂.當時，原級數(shù)為發(fā)散，綜上，所以級數(shù)的收斂區(qū)間為.(2)冪級數(shù)的和函數(shù)在4.5節(jié)中，通過泰勒定理，得出了函數(shù)與冪級數(shù)的一些關系.求冪級數(shù)的和函數(shù)，利用拆分、復合、逐項求導和逐項積分等手段將其化為如下5個基本的初等函數(shù)的冪級數(shù)形式.(1),()(2)，()(3)，()(4),()(5),()【例11.4】求冪函數(shù)的和函數(shù)和收斂區(qū)間.解：，令，,()；,()；,()，當時，和函數(shù)是不能運算的，但原級數(shù),且，這說明在處收斂且連續(xù).11.2.3傅里葉級數(shù)任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)(,為非零常

6、數(shù))和余弦函數(shù)(,為非零常數(shù))構(gòu)成的傅里葉級數(shù)來表示（選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因為它們是正交的）.(1)三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系，其中為非零常數(shù)，它們中任意兩個不同的函數(shù)的乘積在上的積分等于，而任意兩個相同的函數(shù)的乘積在上的積分不等于0稱為三角函數(shù)系的正交性,例如：，.(2)傅里葉級數(shù)設函數(shù)以為周期或只定義上，且在可積，若(),(),則稱(必須單獨計算)，為函數(shù)的傅里葉系數(shù).三角級數(shù)稱為的傅里葉級數(shù)，記作：，注：當?shù)母道锶~級數(shù)收斂且收斂于函數(shù)本身時，有：. 函數(shù)為奇函數(shù)時，；函數(shù)為偶函數(shù)時，.(3)傅里葉級數(shù)收斂的充分條件若函數(shù)在區(qū)間上滿足：連續(xù)，或只有有限個第一間斷點；只有有限

7、個極值點，則在區(qū)間上的傅里葉級數(shù)收斂，而且有：【例11.5】在區(qū)間內(nèi)把函數(shù)展開為傅里葉級數(shù).解：，作周期延拓的圖象如圖11.1， 圖11.1顯然拓展成后周期函數(shù)滿足傅里葉級數(shù)收斂的充分條件，故可展開為傅里葉級數(shù) 由系數(shù)公式得：.當時，由于為偶函數(shù)，所以，所以,.函數(shù)級數(shù)，的圖像與圖11.1相似.【例11.6】把周期為函數(shù)展開為傅里葉級數(shù).解：函數(shù)的圖像如圖11.2 圖11.2顯然滿足傅里葉級數(shù)收斂的充分條件，故可展開為傅里葉級數(shù) 選定一個周期區(qū)間由系數(shù)公式得：，當時，由于為偶函數(shù)，所以，所以,.(4)傅立葉變換中的吉布斯現(xiàn)象將具有不連續(xù)點的周期函數(shù)進行傅立葉級數(shù)展開后，選取有限項進行合成.當選取的項數(shù)越多，在所合成的波形中出現(xiàn)的峰起越靠近原信號的不連續(xù)點.當選取的項數(shù)很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，大約等于總跳變值的9%.【例11.7】將的函數(shù)拓展成奇函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并畫出傅里葉級數(shù)有限項數(shù)的圖像解：函數(shù)，作奇延拓后的函數(shù)如圖11.3， 圖11.3顯然拓展后的奇函數(shù)滿足傅里葉級數(shù)收斂的充分條件，所以可展開為傅里葉級數(shù).由系數(shù)公式得:，.的部分圖像如圖11.4藍色線條，圖11.4的部分圖像如圖11.5紅色線條,圖11.5從上述部分項的圖像可以看出，不連續(xù)點處有吉布斯