6商品的需求量預(yù)測(cè)與決策

1、暨南大學(xué)本科實(shí)驗(yàn)報(bào)告專用紙課程名稱決策支持系統(tǒng)成績?cè)u(píng)定實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱商品的需求量預(yù)測(cè)與決策指導(dǎo)教師 譚滿春實(shí)驗(yàn)編號(hào)80001440906實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型綜合性實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)南海樓520學(xué)生姓名李永勝學(xué)號(hào)2009051049學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院系數(shù)學(xué)系專業(yè)佶息管埋與信息系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)時(shí)間2011年10月21日上午10月28日上午溫度°c濕度【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?. 了解i叫歸分析的基木原理和方法。2. 學(xué)習(xí)用回歸分析的方法解決問題，初步掌握対變量進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。3. 學(xué)習(xí)掌握用matlab命令求解回歸分析問題?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】現(xiàn)冇某種商品的需求量、消費(fèi)者的平均收入、商品價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1所示，試用所 提供的數(shù)據(jù)預(yù)

2、測(cè)消費(fèi)者平均收入為1000、商晶價(jià)格為6時(shí)的商晶需求量。需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300價(jià)格5766875439【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】現(xiàn)實(shí)生活中，一切事物都是相互關(guān)聯(lián)、相互制約的。我們將變化的事物看作變量，那么 變量z間的相互關(guān)系，對(duì)以分為兩大類：一類是確定性關(guān)系，也叫作函數(shù)關(guān)系，其特征是一 個(gè)變量隨著其它變量的確定而確定，如矩形的而積山長寬確定；另一類關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系，其 特征是變量之間很難用一種精確的方法表示出來，如商品銷量與售價(jià)z間有一定的關(guān)聯(lián)，但 由偉價(jià)我們不能精確地計(jì)算出銷最。不過，確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系

3、之間沒有一道不可逾越的 鴻溝，由于存在實(shí)際誤差等原因，確定性關(guān)系在實(shí)際問題中往往通過相關(guān)關(guān)系來體現(xiàn)；另一 方而，當(dāng)對(duì)事物內(nèi)部規(guī)律了解得更加深刻時(shí)，相關(guān)關(guān)系也可能轉(zhuǎn)化為確定性關(guān)系。1. 回歸分析的基本概念回歸分析就是處理變量z間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法，它是最常用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法, 能解決預(yù)測(cè)、控制、生產(chǎn)工藝化等問題。由相關(guān)關(guān)系函數(shù)確定形式的不同，回歸分析一般分 為線性回歸、非線性回歸和逐步回歸，在這里我們著重介紹線性回歸，它是比較簡單的一類 回歸分析，在實(shí)際問題的處理中也是應(yīng)用得較多的一類?；貧w分析中最簡單的形式是y = 00 + 0i 兀 + £ （ x、y 為標(biāo)量）（1）固定的未知

4、參數(shù)0（）,幾稱為回歸系數(shù)，i浚量兀稱為回歸變量，£是均值為零的隨機(jī)變量, 它是其他隨機(jī)因素對(duì)y的影響，是不可觀察的，我們稱（1）為一元線性回歸。它的一個(gè)口 然推廣是兀是多元變量，形如y = 0（）+ a 山 + 0,” 心 + 占22,我們稱為多元線性回歸，或者更有一般地y =0（） + 0| /,（%）+-+ an f.n （） + £（3）其中兀=（x,，xmj ）, fj （x） （ ）=1,，m ）是己知函數(shù)，稱為非線性回歸（也叫 曲線或曲面回歸）。不難看出，對(duì)口變量x作變量替換，一般能夠?qū)⒎蔷€性回歸（3）轉(zhuǎn)化為 線性回歸（2）的形式進(jìn)行求解分析，所以我們著重討論

5、線性回歸的內(nèi)容。對(duì)（2）式兩邊同時(shí)取數(shù)學(xué)期望得其中y = x p+s (e £=0, d£ = /)1心6x = j 心 f0 = （ 0o，0，0,”）丫，£ =（ 5，乞，j）(4)（4）式稱為線性回歸方程。線性回歸分析所要考慮的主要任務(wù)是：川試驗(yàn)值（樣本值）對(duì) 未知參數(shù)0和"2作點(diǎn)佔(zhàn)計(jì)，同時(shí)對(duì)估計(jì)值作假設(shè)檢驗(yàn)，從而確立）'，與列，旺“z間的 數(shù)蜃關(guān)系；在兀。=（x（）1,，無加）處對(duì)y值作預(yù)測(cè)與控制，即對(duì)y作區(qū)間估計(jì)。這里我 們均假設(shè)樣本容量大于變量個(gè)數(shù)，即n>m+.2. 模型的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)用最小二乘法估計(jì)模型（4）中的參數(shù)，作

6、離差平方和q = 2£7（兒 一 00 pxi 一一 0"泅）2/=1 /=1求0使得q達(dá)到最小。根據(jù)微積分學(xué)中求極值的方法，只需求q關(guān)于0°, 0、,，0,”一 階導(dǎo)數(shù)為0的方程組的解，此解不是0°,伙,，0川的真值，而是0的最小二乘估計(jì)值, 我們用“°,，表示b = （xxy'xy（6）將0的估計(jì)值bo，b，久代入i叫歸方程 得到y(tǒng)的估計(jì)值= bo + b “+b”?！睌M合誤差w = y 9稱為殘差，可作為隨機(jī)誤差0的估計(jì)，而q = xei一為）2（8）/=1 /=!為殘差平方和（或剩余平方和），即q（b）。在實(shí)際問題中，事先我們并

7、不知道或者不能斷定隨機(jī)變量y與一組變量坷，?！敝?間有線性關(guān)系，如（2）式y(tǒng) =0。+肉坷+ pm xm+s往往只是一種假設(shè)，因此在求 岀線性回歸方程后，還須對(duì)求出的線性回歸方程同實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)，可提岀 以下原假設(shè)：h。： 0（） = 0 =/?,“ =0（9）采用f檢驗(yàn)法或/?檢驗(yàn)法（詳細(xì)內(nèi)容在數(shù)理統(tǒng)計(jì)類書籍中均可查到，此處不再贅述），拒絕 h。,則認(rèn)為y與"，兀”之間顯著地有線性關(guān)系；否則就接受h。，認(rèn)為y與“， ?！敝g線性關(guān)系不顯箸。3. 變量的預(yù)測(cè)與控制當(dāng)回歸模型和系數(shù)通過了假設(shè)檢驗(yàn)示，可由給定的“）=（心，兀（加）預(yù)測(cè)出兒， ），（）是隨機(jī)的，顯然由冋歸方程

8、（7）知道，其預(yù)測(cè)值（點(diǎn)估計(jì)）為% = （）+a s+b” f（10）對(duì)于給定的顯著水平d,可以算出兒的預(yù)測(cè)區(qū)間（區(qū)間估計(jì)），結(jié)果較復(fù)雜，但當(dāng)/?較人且 兀接近平均值兀，兒的預(yù)測(cè)區(qū)間可簡化為九一弘 3, y + u as（11）1 12 2其中"“是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1一纟分位數(shù)。乜2對(duì)于兒的區(qū)間估計(jì)方法可用于給出已知隨機(jī)數(shù)據(jù)的殘差£ = y y的置信區(qū)間，丘服 從均值為零的正態(tài)分布，所以若某個(gè)勺的置信區(qū)間不包括零點(diǎn)，則認(rèn)為這個(gè)數(shù)據(jù)是異常的, 可予以剔除。4. matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的回歸分析命令多元線性回歸模型（4）可采用命令regress,此命令也可用于求解一元線性回歸，

9、其 格式如下所示：b = regress（ y , x ）確定回歸系數(shù)0的點(diǎn)估計(jì)值；b , bint , r , rint , stats 二 regress（ y , x , alpha ） 求回歸系數(shù)的 點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間佔(zhàn)計(jì)，y, x的定義見（4）, b為回歸系數(shù)0的點(diǎn)估計(jì)值，見（6）； alpha 為顯著性水平（缺省時(shí)為0. 05）； bint為回歸系數(shù)的區(qū)間佔(zhàn)計(jì)；r和rint分別為殘差y 一亍及其置信區(qū)間；stats： 1x3檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，第一值是回歸方程的置信度，越接近1說明回歸方程越 顯著；第二值是f統(tǒng)計(jì)量，f>f- （k, n-k-1）時(shí)拒絕h°, f越人說明回歸方程越

10、顯 著;第三個(gè)是與f統(tǒng)計(jì)量相對(duì)應(yīng)的概率p, p<a時(shí)拒絕h。,說明回歸方程系數(shù)不為0, 線性回歸方程模型成立；rcoplot（ r , rint ）對(duì)用regress命令求得的殘差和殘差置信區(qū)間作圖，當(dāng)殘 差離零點(diǎn)的數(shù)據(jù)數(shù)冃比較多時(shí)，町認(rèn)為回歸方程顯著性越大，對(duì)于置信區(qū)間不包括零點(diǎn) 的，可以視為界常點(diǎn)；多元二項(xiàng)式回歸用命令rstool,格式如下:rstool （ x , y , 'model' , alpha，xname'，yname'）輸入數(shù)據(jù) x, y 分別 為nxm矩陣和n維列向量；alpha為顯著性水平（缺省時(shí)為0. 05）； j xname，yn

11、ome' 分別是x軸和y軸的標(biāo)簽，可省略;'modev由下列4個(gè)模型中選擇1個(gè)（缺省為線性）: linear （線性）：y = 0（）+ 0、兀4卜 pm xmpurequadratic （純二次）：y = 0° + 0兀 0川兀川 + 工 0尤；）=1interaction （交叉）:y = 0（）+ 0、xx 4- （3m xm + z 0j"1< jk<mquadratic （完全二次）:y = 0（）+ 0】xx 卜 /3m xm + z pjkxjxk1< j,k<mrstool產(chǎn)生冇m個(gè)圖形的交互imiiftl,每個(gè)圖給出

12、獨(dú)立變量xi （另ml個(gè)變量固定） 與y的擬合曲線；圖屮export菜單向matlab工作區(qū)輸送回歸系數(shù)等參數(shù)；model菜單 對(duì)上述4模型比較剩余標(biāo)準(zhǔn)差，其中剩余標(biāo)準(zhǔn)差最接近0的模型最好。對(duì)于非線性冋歸模型的求解命令我們也一并給出，可用命令nlinfit, nlintool, nlpredci來實(shí)現(xiàn)，其格式如下：beta , r , j = nlinfit ( x , y , ' fun' , betao ) x, y 為 nxm 矩陣和 n維列向量;'fun'為事先用m-定義的非線性函數(shù);betao為回歸系數(shù)beta的初值；j 估計(jì)預(yù)測(cè)課弟用；nl into

13、ol ( x , y , ' fun' , betao , alpha ) 其輸出畫面與 rstool 命令類似;ypred , delta = nlpredci ( 'fun' , x , beta , r , j ) 求 nlin fit 或 nlintool所得的回歸函數(shù)在x處的預(yù)測(cè)值ypred及顯著水平為1rpha置信區(qū)間 ypredi delta o【實(shí)驗(yàn)方法與步?1.引例問題的分析求解由問題提供的數(shù)據(jù)，我們可以初步判斷，商品的需求最與消費(fèi)者的平均收入和商品價(jià)格 之間存在某種相關(guān)關(guān)系，具體的函數(shù)關(guān)系式我們還不清楚。輸入三組數(shù)據(jù)，我們先獨(dú)立分析 商品需求

14、量與消費(fèi)者平均收入，商品需求量與價(jià)格z間存在何種關(guān)系：» xl=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300, ;% 消費(fèi)者的平均收入» x2 二5 76687543 9'% 商品價(jià)格» y二100 75 80 70 50 65 90 100 110 60' ;% 商品的需求量» plot(xl,y,'+')%以消費(fèi)者的平均收入和商品的需求量所對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)作圖110 10090 80 70 60-5300400500_600700_800""90000plot

15、(x2, y,' +')%以商品的價(jià)格和商詁的需求量所對(duì)應(yīng)的離散點(diǎn)作圖1201008060山上血兩圖我們看到商品的需求量隨著消費(fèi)者平均收入增加呈線性遞增的趨勢(shì),而隨著 商品的價(jià)格增加呈線性遞減趨勢(shì),這樣我們可初步判斷商品甜求量與消費(fèi)者平均收入和商品價(jià)格之間存在某種線性相關(guān)的關(guān)系。接下來用多元線性回歸來進(jìn)行分析檢驗(yàn): >> x二ones (10, 1) xl x2;>> b, bint, r, rint, stats=regress (y, x)b =111.69180.0143-7. 1882bint =56. 0503167. 3334-0.01200

16、.0406-13.2306 -1.1458stats 二0. 894429. 65330. 0004可知冋歸系數(shù)00=111.6918, 0|=0.0143, 02 =一7.1882,它們的置信區(qū)間為bint, 均包含了回歸系數(shù)的估計(jì)值，stats第一個(gè)分量為0. 8944,第三個(gè)分量p = 0. 0004<0. 05, 拒絕h。，說明回歸方程系數(shù)不為0,線性回歸方程模型y = 111.6918 + 0.0143 “ 一 7. 1882 x2 (12)成立。繼續(xù)對(duì)殘差進(jìn)行分析，作殘差圖：» rcoplot(r, rint)3020100-10-20()() ()() ()()(

17、)12345678910從殘差圖可以看出，大多數(shù)數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)較近，且殘差的置倍區(qū)間全部包含零點(diǎn), 這進(jìn)一步說明回歸模型(12)能近似地符合原始數(shù)據(jù)。現(xiàn)利用線性回歸方程對(duì)引例問題的要求作出預(yù)測(cè)，殲=1000,兀2 =6» z=lll. 6918+0. 0143*1000-7. 1882*682.8626得到結(jié)果，當(dāng)消費(fèi)者平均收入為1000、商品價(jià)格為6時(shí)的商品需求量大約為82.8626?！窘Y(jié)果分析】利用線性回歸分析所得結(jié)果，我們看到stats笫一個(gè)分量為0. 8944,它并不十分接近1, r部分殘差離零點(diǎn)較遠(yuǎn)，這說明回歸模型還存在缺陷，幾個(gè)隨機(jī)變量z間的線性關(guān)系冇待改 進(jìn)，我們不妨

18、用多元二項(xiàng)式冋歸來試驗(yàn)：» x二xl, x2;» rstool (x,y,' purequadratic，)2000806040fxnartpure qua:400 6qq 8qq 1qqo 1200t訶6o45678 e i x2 得到一交互式畫面,左圖是x2固定時(shí)曲線y（xl）及置信區(qū)間,右圖是xl固定時(shí)曲線y（x2） 及置信區(qū)間。在xl, x2指示框中分別輸入1000和6,即預(yù)測(cè)到平均收入為1000、價(jià)格為6 時(shí)商品需求量為88. 4791o在下拉列表框export中選擇“all”,把beta （回歸系數(shù)）、rmse（剩余標(biāo)準(zhǔn)差）和residuals （殘差）傳送到matlab i作區(qū)，在命令框中輸入>> b