11基礎(chǔ)數(shù)列類型(共享)

1、1.1基礎(chǔ)數(shù)列類型常數(shù)數(shù)列如7,7,7,7,7,7, 7,7,等差數(shù)列如11,14,17,20,23,26,等比數(shù)列如16,24,36,54,81,周期數(shù)列如2,5,3,2,5,3, 2,5, 3,對(duì)稱數(shù)列如2,5,3,0,3,5, 2,質(zhì)數(shù)數(shù)列如2,3,5,7,11,13,17合數(shù)數(shù)列如4,6,8,9,10,12,14注意：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)1.2 200以內(nèi)質(zhì)數(shù)表2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109

2、, 113, 127, 131, 137, 139,149, 151, 157, 163,167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 1991.3整除判定能被2整除的數(shù), 能被3整除的數(shù), 能被5整除的數(shù), 能被4整除的數(shù), 能被8整除的數(shù), 能被9整除的數(shù),其末尾數(shù)字是2的倍數(shù)（即偶數(shù)） 各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)其末尾數(shù)字是5的倍數(shù)（即5、0）其末兩位數(shù)字是4的倍數(shù)期末三位數(shù)字是8的倍數(shù)各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被25整除的數(shù)，其末兩位數(shù)字是25的倍數(shù)能被125整除的數(shù),其末三位數(shù)字125的倍數(shù)1.4經(jīng)典分解91=7x 13111=3x37119=7x 17133=7x

3、19117=9x13143=11x13147=7x21153=9x17161=7x23171=9x19187=11x17209=19x 111.5常用平方數(shù)數(shù)字平方1124394165256367498649811010011121121441316914196152251625617289183241936120400214412248423529245762562526676277292878429841309001.6常用立方數(shù)數(shù)字立方1128327464512562167343851297291010001.7典型幕次數(shù)指數(shù)2312324938274168153224345645616

4、253664125216256625129610246647297128825695121010241.8常用階乘數(shù)數(shù)字階乘1122364245120672075040840320936288010362880002.1濃度問題1混合后溶液的濃度，應(yīng)介于混合前的兩種溶液濃度之間。2 .濃度二溶質(zhì)三溶液2.2代入排除法奇數(shù)+奇數(shù)二偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)二偶數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)二偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)二偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)二奇數(shù)2.%1 任意兩個(gè)數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù)；如呆和是偶數(shù)，那么差也是偶 數(shù)。%1 任意兩個(gè)數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反；和或差事偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相 同。3 余數(shù)特性%1 一個(gè)數(shù)被2

5、除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2除得的余數(shù)%1 一個(gè)數(shù)被5除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被5除得的余數(shù)%1 -個(gè)數(shù)被4除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4除得的余數(shù)%1 一個(gè)數(shù)被8除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8除得的余數(shù)%1 一個(gè)數(shù)被25除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被25除得的余數(shù)%1 -個(gè)數(shù)被125除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被125除得的余數(shù)%1 一個(gè)數(shù)被3除得的余數(shù)，就是其各位數(shù)字相加后被3除得的余數(shù)%1 一個(gè)數(shù)被9除得的余數(shù)，就是其個(gè)位數(shù)字相加后被9除得的余數(shù)2.3計(jì)算問題1平方差a2 -b2 = (d + b)(o -/?)2 完全平方和(a + b)2 =a1 + lab + b23

6、完全平方差(a-h)2 =a2-2ab-h24 立方和a3 +b3 =(a-b)(a2 -ab + b2)5 立方差/一護(hù)七-小心+必+圧)6 完全立方和(a + b)3 = / + 3a2 b + 3ab2 + b37 完全立方差(a-b)3 = a3-3a2b + 3ab2-b3&等比數(shù)列求和s=魚上住 (qhi)9 循環(huán)數(shù)198198198=198x10010012134213421342134=2134x1000100010001檢查：規(guī)律：冇多少個(gè)循環(huán)數(shù)，就冇多少個(gè)1, 1z間o的個(gè)數(shù)是循環(huán)數(shù)位數(shù)1 例如2134213421342134,中有“2134”四個(gè)，所以應(yīng)該有4個(gè)1

7、,同時(shí)2134為 四位數(shù)，所以兩個(gè)1之間應(yīng)該有三個(gè)0,所以為10010001000110乘方尾數(shù)口訣底數(shù)留個(gè)位，指數(shù)除以4留余數(shù)(余數(shù)為0,則看做4)例如19991"8的末尾數(shù)字為：底數(shù)留個(gè)位，所以底數(shù)為9；指數(shù)除以4留余數(shù)，1998除以4的余數(shù)為2,所以最后為92=81,因此末尾數(shù)字為i11 韋達(dá)定理ax2 +hx + c = o其中x和x2是這個(gè)方程的兩個(gè)根，貝山xl+x2=-axl xx2= a逆推理：如果 a+b=m a x b=n則a、b是x2 -mx + n = 0的兩個(gè)根。5.4行程問題1 路程二速度x時(shí)間2. 相向運(yùn)動(dòng)：速度取和；同向運(yùn)動(dòng)：速讀取差3促進(jìn)運(yùn)動(dòng)：速讀取和

8、；阻礙運(yùn)動(dòng)，速度取差5.5工程問題工作總量=工作效率x工作時(shí)間5.6幾何問題1 常用周長(zhǎng)公式：正方形周長(zhǎng)cm = 4a長(zhǎng)方形周長(zhǎng)c氏方形=2(a+b)圓形周長(zhǎng)c圓形=2兀r2 常用面積公式正方形面積se方形=a?長(zhǎng)方形而積s長(zhǎng)方形=ab圓形面積s洌形=ttr2三角形面積s：角形=*ah 平行四邊形面積s平行仙邊形=ah 梯形面積s梯形=-(a+b) h扇形而積片卩= -7rr2削 3603 常用表面積公式正方體表而積二6a2長(zhǎng)方體表面積=2ab + lac + 2bc球表面積=42圓柱體表面積=27rrh + 2/rr24 常用體積公式正方體體積方體=a3長(zhǎng)方體體積吃方體=abc4 1vr,

9、=-7rr3=-7rd3球的體積36圓柱體體積嶺1柱體=療/?訃圓錐體體積錐體=”h5 幾何圖形放縮性質(zhì)若將一個(gè)圖形擴(kuò)大至原來的n倍，貝嘰對(duì)應(yīng)角度仍為原來的1倍；對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度變 為原來的n倍；面積變?yōu)樵瓉淼膎?倍；體積變?yōu)樵瓉淼膎”倍。6 幾何最值理論1. 平面圖形屮，若周長(zhǎng)一定，越接近于圓，面積越大。2. 平面圖形中，若面積一定，越接近于圓，周長(zhǎng)越小。3. 立體圖形中，若表面積一定，越接近于球體，體積越大。 4立體圖形屮，若體積一定，越接近于球體，表而積越小。7二角形二邊關(guān)系三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。題目屮例8非常重要。5.7容斥原理1. 兩集合標(biāo)準(zhǔn)型核心公式滿足條件i的個(gè)數(shù)

10、+滿足條件1的個(gè)數(shù)-兩者都滿足的個(gè)數(shù)二總個(gè)數(shù)-兩者都不滿足的個(gè)數(shù)2. 三集合標(biāo)準(zhǔn)核心公式3. 三集合整體重復(fù)型核心公式假設(shè)滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量分別為a、b、c,而至少滿足三個(gè)條件之一的總 量為w。其中：滿足一個(gè)條件的元索數(shù)量為x,滿足兩個(gè)條件的數(shù)量為y,滿足 三個(gè)條件的數(shù)量為z,從而有下面兩個(gè)等式：w=x+y+za+b+c=xx l+yx2+zx35.8排列組合問題1 排列公式：n!a： = nx(n-l)x(n-2).x (n 一m +1)(n - m)!2 組合公式：_,w/?!nx (n-l)x (nm +1)cn =(n - m) !x m!m x (in -1) x (zn - 2

11、) x. _ x 13“捆綁插空法”核心提示相鄰問題一一捆綁法：先將相鄰元素全排列，然后視其為一個(gè)整體與剩余元素全 排列；不鄰問題一一插空法：現(xiàn)將剩余元素全排列，然后將不鄰元素有序插入所成間隙比賽場(chǎng)次二n1 比賽場(chǎng)次二n 比賽場(chǎng)次=6?；4 對(duì)抗賽比賽場(chǎng)次基本公式淘汰賽僅需決岀冠亞軍需決出1、2、3、4循環(huán)賽單循環(huán)(任意兩個(gè)隊(duì)打一場(chǎng)比賽)雙循環(huán)賽(任意兩個(gè)隊(duì)打兩場(chǎng)比賽)比賽場(chǎng)次二p；5.9概率問題1 單獨(dú)概率二滿足條件的情況數(shù)三總的情況數(shù)2. 某條件成立概率=1 該條件不成立的概率3. 總體概率二滿足條件的各種情況概率z和4 .分布概率二滿足條件的每個(gè)步驟概率之積5. 條件概率：“a成立”時(shí)“

12、b成立的概率”二a、b同時(shí)成立的概率*a成立的概率5.10邊端問題1. 段數(shù)公式：段數(shù)二總長(zhǎng)三株距2. 線性植樹：?jiǎn)?邊植樹：棵樹=段數(shù)+1雙邊植樹：棵樹=(段數(shù)+1) x23. 樓間植樹：?jiǎn)芜呏矘淇脴?段數(shù)1雙邊植樹 棵樹二(段數(shù)1) x24. 環(huán)形植樹：?jiǎn)芜呏矘淇脴涠螖?shù)雙邊植樹 棵樹二段數(shù)x 25. 方陣問題核心法則：人數(shù)公式：n層實(shí)心方陣的人數(shù)外周公式：n層方陣最外層人數(shù)二(n-1) *4對(duì)于三角陣、五邊陣的情況可以此類推6. 過河問題核心法則：%1 m個(gè)人過河，船上能載n個(gè)人，由丁需要一個(gè)人劃船，共需往返理二1次(需n-1要x2)%1 “過一次河”指的是單程，“往返一次”指的是雙程%

13、1 載人過河的時(shí)候，最后一次不再需要返回。5.12初等數(shù)學(xué)問題1 同余問題 余同取余，和同加和，茅同減茅，公倍數(shù)作周期除以6余1,除以6余1,除以6余3,則取1,表不為60n+l 則取7,表示為60n+7 則取3,表示為60n+3例如：一個(gè)數(shù)除以4余1,除以5余1,%1 一個(gè)數(shù)除以4余3,除以5與2,%1 一個(gè)數(shù)除以4余1,除以5余2,2 等差數(shù)列核心公式求和公式：和=4=平均數(shù)x項(xiàng)如中位數(shù)x項(xiàng)數(shù)項(xiàng)數(shù)公式:末項(xiàng)-首項(xiàng)級(jí)差公式：笫n項(xiàng)-第冊(cè)項(xiàng)=(n-m)x公差 通項(xiàng)公式：an =a + (/ -1) x公差5.13年齡問題1 基本知識(shí)點(diǎn)%1 每過n年，每個(gè)人都長(zhǎng)n歲%1 兩個(gè)人的年齡并在任何時(shí)候

14、都是固定不變的%1 兩個(gè)人的年齡之間的倍數(shù)隨著吋間的推移而變小。2 平均分段法例如：甲對(duì)乙說：當(dāng)我歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對(duì)甲說：當(dāng)我的歲數(shù) 是你現(xiàn)在歲數(shù)的時(shí)候，你是67歲，則現(xiàn)在甲乙各多少歲？應(yīng)出如下圖：67甲乙467-4=63,即相差了 6367甲-乙4,共有三段，所以每段為634-3=21所以乙=4+21 =25歲所以甲=25+21=46歲5.14統(tǒng)籌問題1 “非閉合”貨物集中問題判斷每條“路”的兩側(cè)的貨物總重量，在在這條路上一定是從輕的i側(cè)流向重的 一側(cè)。特別提示：本法則必須適用于“非閉合”的路徑問題中%1 本法則的應(yīng)用，與各條路徑的長(zhǎng)短沒有關(guān)系%1 我們應(yīng)該從中間開始分析，這

15、樣可以更快。2 貨物裝卸為題如果冇m輛車和（n>m）個(gè)工廠，所需裝卸工的總數(shù)就是需要裝卸工人數(shù)最多 的m齊工廠所需的裝卸工z和。（若m>=n,則需要把各個(gè)點(diǎn)上的人加起來即答 案）排列數(shù)公式：p；： = n (n1) (n 2)(nm+1), (mwn)組合數(shù)公式:c：=p：fp：=（規(guī)定c：=l）?！把b錯(cuò)信封”問題:di=o, d2=l, d3=2, d4=9, d5=44, d6=265,年齡問題：關(guān)鍵是年齡差不變；幾年后年齡=人小年齡差一倍數(shù)差一小年齡兒年前年齡=小年齡一人小年齡差十倍數(shù)差日期問題：閏年是366天，平年是365天，其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天

16、，4、植樹問題（1）線形植樹（2）環(huán)形植樹（3）樓間植樹（4）剪繩問題雞兔同籠問題：6、9、11是30天，閏年時(shí)候2刀份29天，平年2刀份是28天?？脭?shù)=總長(zhǎng)間隔+ 1棵數(shù)=總長(zhǎng)一間隔棵數(shù)=總長(zhǎng)三間隔一1對(duì)折n次，從中剪m刀，則被剪成了（2xm+l）段雞數(shù)=（兔腳數(shù)x總頭數(shù)-總腳數(shù)）-（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)）（一般將“每”量視為“腳數(shù)”） 得失問題（雞兔同籠問題的推廣）：不合格品數(shù)=（1只合格品得分?jǐn)?shù)x產(chǎn)品總數(shù)-實(shí)得總分?jǐn)?shù)）十（每只合格品得分?jǐn)?shù)+每只不 合格品扣分?jǐn)?shù)）=總產(chǎn)品數(shù)-（每只不合格品扣分?jǐn)?shù)x總產(chǎn)品數(shù)十實(shí)得總分?jǐn)?shù)）一（每只合格品得 分?jǐn)?shù)+每只不合格品扣分?jǐn)?shù)）例：“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記4分，每生產(chǎn)一 個(gè)不合格品不僅不記分，還要扣除15分。某工人生產(chǎn)了 1000只燈泡，共得3525分，問其 中有多少個(gè)燈泡不合格？ ”解：（4 x 1000-3525 ） m （ 4+15 ） =475 - 19=25 （個(gè)）盈虧問題：（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）一（兩次每人分配數(shù)的差）二人數(shù)（2）兩次都有盈：（人盈-小盈）一（兩次每人分配數(shù)的