第三章 線性彈性

1、聚合物流變學(xué)基礎(chǔ) 主講人：孫立波計劃學(xué)時：32聯(lián)系方式：新理工樓 7210 主要參考書目：顧國芳，浦鴻汀。聚合物流變學(xué)基礎(chǔ) 吳其曄，巫靜安。高分子材料流變學(xué) 煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p虎克定律與彈性常數(shù) 按照經(jīng)典彈性理論，在極限應(yīng)力范圍內(nèi)，各向同性的理想彈性固體的形變?yōu)樗矔r間發(fā)生的可逆形變。形變量一般很小，形變時無能量損耗，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，服從虎克彈性定律。 = c煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p虎克定律與彈性常數(shù)拉伸或者單軸壓縮 在拉伸實驗中，材料受拉應(yīng)力作用產(chǎn)生長度方向的應(yīng)變，根據(jù)虎克定律： = EE稱為楊氏模量楊氏模量或者拉伸模量 = DD稱為拉伸

2、柔量拉伸柔量，為E的倒數(shù)。 = /稱為泊松比泊松比，表征側(cè)邊變形。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p虎克定律與彈性常數(shù)各向同性壓縮 在各向同性壓縮實驗中，材料的應(yīng)變?yōu)槠潴w積的變化分數(shù)V/V。所加應(yīng)力用壓力P表示，則：P = -KV/VK稱為體積模量體積模量。V/V = -BPB稱為體積柔量體積柔量，為K的倒數(shù)。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p虎克定律與彈性常數(shù)簡單剪切實驗 簡單剪切實驗中，材料發(fā)生切應(yīng)變： = GG稱為剪切模量剪切模量。 = J J稱為剪切柔量剪切柔量，為G的倒數(shù)。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線性彈性變形的特點變形小 在線性彈性變形中，只涉及聚合物分子中化學(xué)鍵的拉

3、伸、鍵角的變化和鍵的旋轉(zhuǎn)。其變形量很小，在變形時不涉及鏈段的運動和整個分子鏈的遷移。變形無時間依賴性 彈性變形是瞬時發(fā)生的，它不隨時間而變化。變形在外力移除后完全恢復(fù) 彈性變形能夠完全恢復(fù)，在外力移除后，變形瞬時恢復(fù)，無時間依賴性。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線性彈性變形的特點無能量損失 外力在變形時，轉(zhuǎn)化為材料的內(nèi)能儲存起來，外力釋放后，內(nèi)能釋放使材料完全恢復(fù)，在整個變形和恢復(fù)過程中無能量損失。應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系 = c煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變之間廣義的線性關(guān)系 應(yīng)力與應(yīng)變之間最廣義的線性關(guān)系就是應(yīng)力的每個張量分量與所有的應(yīng)變張量之間都存在著

4、線性關(guān)系。反過來同樣成立：txx = a11exx + a12exy + a13exz+ a21eyx + a22eyy +xx = a11txx + a12txy + a13txz+ a21tyx + a22tyy +煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變之間廣義的線性關(guān)系 將應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系與材料常數(shù)聯(lián)系在一起，得到線彈性理論的基本方程：txx = 2Gexx + K-(2/3)G(exx + eyy+ ezz) tyy = 2Geyy + K-(2/3)G(exx + eyy+ ezz) tzz = 2Gezz + K-(2/3)G(exx + eyy+

5、 ezz) txy = Gexytyz = Geyztxz = Gexz煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系簡單實驗中應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系各向同性壓縮txx = 2G + K-(2/3)G3 = 3Ktyy = tzz = txx = 3Ktxy = txz = tyz = 0煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系簡單實驗中應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系簡單剪切txy = tyx = G txx = tyy = tzz = 0煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系簡單實驗中應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系簡單拉伸實驗txx = K + (4/3)G -

6、2K - (2/3)Gtyy = tzz = K - (2/3)G - 2K + (1/3)Gtxy = txz = tyz = 0彈性常數(shù)之間的關(guān)系E = 9KG/(3K + G) = / =(3K - 2G)/(6K + 2G)煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系 任何一個彈性常數(shù)都可以通過其它兩個彈性常數(shù)表示出來，四個彈性常數(shù)只有兩個是獨立的，表征一個材料的線彈性只需要兩個常數(shù)就夠了。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系 E，G，K， 四個彈性常數(shù)的數(shù)值有一定的限制。 E，G，K， 必須大于零?？梢宰C明以下不等式：0 0.5 2 E/G 3當(dāng)0 K；當(dāng)

7、0 K 當(dāng)1/3 1/2時，E K；當(dāng) = 0.5 時，E = 3G 煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性常數(shù)之間的關(guān)系彈性常數(shù)的量綱 應(yīng)變沒有量綱。因此，彈性常數(shù)的量綱與應(yīng)力相同，即單位面積上的力。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量某些金屬及合金的彈性常數(shù)煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量某些材料的拉伸彈性模量（105 1bf/in2）煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量彈性模量譜 聚合物與其它材料相比，很明顯的特點就是它們的彈性模量范圍很寬，因此用途廣泛。 玻璃態(tài)高聚物的彈性模量為103105 MPa數(shù)量級，如： 酚醛塑料： E =

8、104 MPa 酚醛塑料： E = 1.4 105 MPa 聚氯乙烯（硬質(zhì)）： E = 4.9 103 MPa煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量彈性模量譜聚合物的彈性模量可相差34個數(shù)量級煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系無定型線型聚合物的拉伸模量與溫度的關(guān)系 在溫度低于Tg時，聚合物處于玻璃態(tài)，其模量的數(shù)量級為103MPa。在玻璃化轉(zhuǎn)變區(qū)，模量從103MPa降低到1MPa，變化了近1000倍。在Tg和Tf之間出現(xiàn)一個橡膠平臺，數(shù)量級為100MPa。平臺隨溫度升高略有下降。在Tf以上，模量急劇下降。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性

9、p聚合物的彈性模量聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系交聯(lián)聚合物（橡膠）的拉伸模量與溫度的關(guān)系 與線型聚合物不同的是由于交聯(lián)聚合物的交聯(lián)結(jié)構(gòu)，它不發(fā)生流動。溫度超過其分解溫度Td時，發(fā)生分解。在坪臺區(qū)其拉伸模量為100MPa數(shù)量級，并隨溫度升高略有增大。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系結(jié)晶性線型聚合物的拉伸模量與溫度的關(guān)系 與無定型線型聚合物不同的是其坪臺區(qū)較寬，且坪臺區(qū)的模量較高，這是由于微晶的存在起到交聯(lián)的作用。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量模量的分子依賴性 無定型線型聚合物的分子量越高，橡膠坪臺區(qū)越寬，但坪臺區(qū)的模量的數(shù)量級不因分

10、子量的增大而變化，玻璃化溫度也保持不變。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量交聯(lián)度對拉伸模量的影響 隨著交聯(lián)度的上升，橡膠坪臺的模量上升，交聯(lián)度上升至網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)時，E幾乎保持不變，直到超過分解溫度時發(fā)生分解。同時玻璃化溫度也隨交聯(lián)度提高而上升，玻璃化轉(zhuǎn)變區(qū)加寬。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的彈性模量結(jié)晶度對拉伸模量的影響 橡膠坪臺區(qū)升高，結(jié)晶起到交聯(lián)作用，Tg不受結(jié)晶度的影響。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性的適用范圍限定條件 在變形很小時，我們要談到的材料才適用于線彈性模型。非聚合物 陶瓷、金屬、結(jié)晶體適用于線彈性模型。聚合物交聯(lián)聚合物 由于分子的交聯(lián)，

11、它比其它種類的聚合物符合線彈性模型的條件范圍要寬，即使在溫度比玻璃化溫度Tg高很多時仍符合線性彈性。但是在時間很長時出現(xiàn)粘彈性，應(yīng)變很大時出現(xiàn)非線性彈性。 低于玻璃化溫度的玻璃態(tài)聚合物材料一般適用于線彈性模型。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性的適用范圍聚合物線性或支鏈聚合物 在溫度比Tg高很多時，在各向同性壓縮時符合線彈性，而在拉伸、剪切等其它情況下，會出現(xiàn)線性粘性、粘彈性等。 另外幾乎所有的聚合物在受到瞬間應(yīng)力作用時都符合線彈性。瞬間的長短取決于材料的種類和材料的環(huán)境。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析 產(chǎn)生dl的變形外力f所做的功：dW = -fdldl=

12、l0df=AdW = -Al0d = -V0d 外界對單位體積 材料所做的功w：dw = dW/V0 = -d = -Ed積分txx = -(1/V0)W/w = -(1/2)E2煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析 體系的自由能：Z = H-TS =U+PV-TSdZ = dU+PdV+VdP-TdS-SdT=dQ-TdS+PdV+VdP-SdT-dW 對于無限小的變化：可逆過程的dQ=TdSdZ = PdV+VdP-SdT-dW煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析dW=V0dw=-V0txxddZ = PdV+VdP-SdT-dWdW=PdV+d

13、WdZ = VdP-SdT-dWdZ = VdP-SdT+V0txxd煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析dZ = VdP-SdT+V0txxd(Z/P) T,= V(Z/T) P,= -S(Z/) P,T= V0txxtxx= (1/V0)(Z/) P,T=(1/V0)(U/) P,T+P(V/) P,T-T(S/) P,T煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析txx= (1/V0)(Z/) P,T=(1/V0)(U/) P,T+P(V/) P,T-T(S/) P,TtUxx= (1/V0)(U/) P,T通常很小，可忽略tSxx= -(T/V0)(

14、S/) P,T煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析tSxx= -(T/V0)(S/) P,T2Z/T = -(S/) P,T = V0(txx/T) P,tSxx= -(T/V0)(S/) P,T= T(txx/T) P,通常很小，可忽略煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p線彈性變形的熱力學(xué)分析txx= (1/V0)(Z/) P,T=(1/V0)(U/) P,T+P(V/) P,T-T(S/) P,Ttxx= (1/V0)(Z/) P,T=(1/V0)(U/) P,T=tUxx 線性彈性變形產(chǎn)生的彈性力主要是由于內(nèi)能的變化，也即由于鍵角的改變、鍵的拉伸和旋轉(zhuǎn)而引起的內(nèi)能的

15、變化而產(chǎn)生，而不是由于熵變產(chǎn)生的，因此線彈性又稱為能彈性。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定基本原則 在流變學(xué)中，雖然研究的是應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，但不是直接測定應(yīng)力與應(yīng)變。只有力和位移是可以直接測量的，實驗結(jié)果是利用應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系來確定材料的流變性能。因此，在設(shè)計和進行實驗時，必須使實驗盡可能接近簡單實驗，以便實驗結(jié)果能加以準確的分析，否則情況會變得很復(fù)雜，使實驗結(jié)果難以分析處理。試樣的形狀必須與在理論推導(dǎo)中的一致實驗者必須了解材料的特性實驗方法和儀器的選擇決定于研究目的煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定位移 在實驗中測量的材料的變形實際上是位移，如角度的變化、

16、距離的變化、體積的變化等。傳感器 可以把位移轉(zhuǎn)變成一種電信號，此電信號經(jīng)放大后可以用各種電子儀器測量并記錄下來。測微計和活動顯微鏡 可以用來精確測量距離，精度可以達到10-310-4 cm。線性可變示差變換器 可以用來測量很微小的距離變化，由一個金屬芯棒和中空線圈組成。當(dāng)芯棒的位置發(fā)生微小變化時，線圈的電信號輸出隨之發(fā)生變化，用電子儀器可測量出距離的變化。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定位移 在實驗中測量的材料的變形實際上是位移，如角度的變化、距離的變化、體積的變化等。光杠桿 光杠桿可以測量微小的角度變化。在連接試樣的轉(zhuǎn)子上安裝一面小鏡子，從一個固定的光源將光線投射到鏡子上，

17、在離鏡子一定距離的地點用光電池等接收。這樣即使試樣發(fā)生很小的角度變化，在光電池上產(chǎn)生的位移卻相當(dāng)大。因此，可以精確測定角度變化。 另外，角速度和線速度可以用一個裝在轉(zhuǎn)動部件上并置于磁鐵兩級間的線圈中產(chǎn)生的電流來檢測。在某些儀器中，試樣用夾具夾住，夾具以恒定速度分開，這時的位移可以簡單的用速度和時間計算出來。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定力 在測量力的時候，最直接而又最準確的測量力的方法是用已知質(zhì)量的重物。已校正過的彈簧長度的變化，校正過的鋼絲的扭曲角度是力的度量。力的測量就變?yōu)槲涣Φ臏y量就變?yōu)槲灰频臏y量，前面討移的測量，前面討論的方法也就可用論的方法也就可用來測量力的大小來

18、測量力的大小 煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定單向拉伸測定拉伸模量 試樣在拉伸時形狀會發(fā)生改變，從而會造成與理論的偏差。但若試樣的長度比其直徑大的多，由于兩端形狀不正規(guī)造成的誤差可以大大減少，而且試樣的中間部分符合理想的單向拉伸情況。拉伸儀試驗機械 試樣用夾具固定，測定試樣中間部分的變形。長度的變化被轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動的角度用光杠桿測量。 試樣垂直地固定在夾具之間，其中一個夾具固定并與一個測力的傳感器連接，它產(chǎn)生一個正比于拉力的電信號，被記錄在圖紙上。另一端是以恒定的速度把試樣拉長，圖紙也同時以恒定速度移動。這樣，圖紙移動的距離是與夾具移動距離成正比的。這樣就能得到應(yīng)力應(yīng)變圖，

19、從而求出彈性模量。 煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定彎曲實驗測定楊氏模量 彎曲實驗比較復(fù)雜，不屬于簡單實驗，但用來測定楊氏模量卻比較簡單。測量要求：待測量試樣長度比直徑大的多。 可將試樣呈懸臂狀伸出，一端固定，另一端施加垂直的力，測定這一端的垂直位移。或者將試樣由兩個支座水平的放置，在試樣的中點施加垂直的力，測定試樣中點的位移。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定彎曲實驗測定楊氏模量 煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定扭轉(zhuǎn)實驗測定剪切模量 扭轉(zhuǎn)是另一種剪切變形，剪切模量常用扭轉(zhuǎn)實驗測定。在扭轉(zhuǎn)實驗中，試樣通常是圓柱形的，試樣置于上下兩個平行板之間

20、，一端固定，另一端施加一個力矩使試樣扭轉(zhuǎn)一定的角度。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p彈性模量的測定扭轉(zhuǎn)實驗測定剪切模量 = r/zG = (2Lh)/(R4)煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的體積模量在高于Tg和Tm時的體積模量 由表可以看出，體積模量K的數(shù)量級在103Mpa。在表中的數(shù)據(jù)只能是在數(shù)量級上正確，因為模量還與溫度、壓力、分子量、制備方式等有關(guān)。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的體積模量玻璃態(tài)無定型聚合物的體積模量 低于玻璃化溫度時的K比高于Tg時的K最多大兩倍。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p聚合物的體積模量結(jié)晶型聚合物的體積模量 結(jié)晶型聚合物的體積模

21、量與無定型聚合物接近，數(shù)量級也是103Mpa。一般來說，結(jié)晶度愈高，K值愈大。偏離線彈性情況 當(dāng)壓力很高時，會出現(xiàn)非線性彈性，甚至粘彈性，表現(xiàn)出時間依賴性。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物多相系統(tǒng) 加入填料之后的聚合物是一個多相系統(tǒng)，聚合物為連續(xù)相，稱為膠結(jié)劑，分散在聚合物內(nèi)的顆粒為不連續(xù)相，稱為填料。這種多相系統(tǒng)也稱為復(fù)合材料。 在聚合物中加入填料之后可以改變聚合物的各種性能，如提高剛性、減少蠕變、增加強度、減少收縮、提高耐熱性等。本節(jié)將討論加入填料后對聚合物彈性模量的影響。 復(fù)合材料的彈性性能決定于填料的大小、形狀，填料在聚合物中的分布，以及聚合物本身的彈性性質(zhì)。

22、煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物球形的彈性填料實驗結(jié)果分析 由表可以看出，復(fù)合材料的體積模量與填料顆粒的大小無關(guān)，而隨著填料濃度的增加而單調(diào)增加。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物球形的彈性填料實驗結(jié)果分析 由表可以看出，復(fù)合材料的G和與填料顆粒的大小也無關(guān)。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物球形的彈性填料理論分析 0110000111000043434343GKGKGKKGKKK）（）（）（）（）（）（00100010001000110-115G01-8G5-7G-115G01-8G5-7GGG注：K0，G0，,0和K

23、1，G1分別為聚合物和填料的彈性常數(shù)，?0和?1為聚合物和填料在復(fù)合材料中的體積分數(shù)（?0+?1=1）。煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物球形的彈性填料理論分析 如果聚合物是高彈態(tài)材料，則G0K0，0=0.5，同時，如果填料的K1和K0有相同的數(shù)量級或者更大，則G0G0，則有：0001010-8-1151GG 再進一步，如果?11，則有：105 . 21GG煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物球形的彈性填料理論分析 如果G1G0，則有：000105-7-1151G1G1 對于?較大的情況，Guth-Smallwood提出如下經(jīng)驗公式：21101 .145 . 21GG煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物球形的彈性填料理論分析 另一個常用公式是Eilers-Van Dijck經(jīng)驗公式：11028. 1125. 11GG 如果聚合物不能很好的粘附填料，模量的提高就不會如上述那么多。Nielsen提出如下經(jīng)驗式：101GG煙臺大學(xué)化學(xué)化工學(xué)院3. 線性彈性p多相系統(tǒng)加填料的聚合物非球形顆粒填料 對于這種情況，理論變得很復(fù)雜，雖然已有幾種理論，但還沒有相當(dāng)?shù)膶嶒炁浜?。一般的結(jié)論是，顆粒的不對稱性愈大，由它引起的模量增大愈多