小波分析方法

1、15 小波分析方法小波分析方法 小波分析簡介小波分析簡介 兩個應用研究實例兩個應用研究實例 小波分析(wavelet analysis)，是在Fourier分析基礎上發(fā)展起來的一種新的時頻局部化分析方法，被譽為“數學顯微鏡”。小波分析，是應用面極為廣泛的一種數學方法，是純粹數學和應用數學完美結合的一個典范。小波分析為現代地理學研究提供了一種新的方法手段，它對于一些多尺度、多層次、多分辨率問題，如氣候變化、植物群落的空間分布、遙感圖像處理等問題，運用小波分析方法進行研究，往往能夠得到令人滿意的結果。15.1 小波分析簡介小波分析簡介小波與小波函數小波與小波函數小波變換及其性質小波變換及其性質離散

2、小波變換離散小波變換時頻分析時頻分析小波與小波函數小波與小波函數基本約定：基本約定：一般用小寫字母，比如f(x)表示時間信號或函數，x表示時間域自變量，對應的大寫字母，F()表示相應函數或信號的Fourier變換，表示頻域自變量；尺度函數總是寫成(x)(時間域)和()(頻率域)；小波函數總是寫成(x)(時間域)和()(頻率域)。小波小波(函數函數)定義：定義：記L2（R）是定義在整個實數軸R上滿足條件 的全體可測函數f(x)及其相應的函數運算和內積所組成的集合。那么，小波就是函數空間L2(R)中滿足下述條件的一個函數或者信號(x):上兩式稱為容許性條件，R*代表非零實數全體。(x)被稱為母小波

3、或小波母函數，有時也稱為小波函數 。 dxxf2)(dCR*2)(0)(dR或對于任意的實數對(a，b)，其中，參數a必須為非零實數，稱如下形式的函數為由小波母函數(x)生成的依賴于參數(a,b)的連續(xù)小波函數，簡稱為小波。其中，a稱為伸縮尺度參數，b稱為平移尺度參數。)(1)(,abxaXba幾個比較典型的小波：幾個比較典型的小波： Shannon小波 Gaussan小波 Morlet小波：Mexican帽子小波：以它為小波母函數，隨a和b的不同取值而出現波形的變化和相應的平移情況見圖15.1.1。tttt)sin()2sin()(22)(texg22)(ticxeex222)1 ()(te

4、txh圖圖15.1.1以以Mexican Mexican 帽型小波做為母小波的小波在選擇不同帽型小波做為母小波的小波在選擇不同的的a a與與b b的值的波形變化的值的波形變化小波變換及其性質小波變換及其性質對于任意函數或者信號f（x），其小波變換為： dxabxxfadxxxfbaWRRbaf)()(1)()(),(),(任意的函數f(x)小波變換是一個二元函數。對于任意參數對(a,b)，小波函數(a,b)(x)在x=b的附近存在明顯的波動，遠離x=b的地方將迅速地衰減到0，Wf(a,b)的本質就是原來的函數或者信號f(x)在x=b點附近按(a,b)(x)進行加權的平均，體現的是以(a,b)(

5、x)為標準快慢尺度的f(x)的變化情況，一般稱參數a為尺度參數，而參數b為時間中心參數。小波變換的幾個基本性質：小波變換的幾個基本性質： Parseval 恒等式對空間L2(R)中的任意的函數f(x)和g(x)都成立。 小波變換在變換域保持信號的內積不變，小波反演公式 函數f（x）在點x=x0連續(xù)，則有如下定點反演公式小波變換作為信號變換和信號分析的工具在變換過程中是沒有信息損失的。 2),(),()()(2adadbbaWbaWdxxgxfCgRRf2),()(),(1)(*adadbxbaWCxfbaRRf20),(0)(),(1)(adadbxbaWCxfbaRRf 吸收公式與吸收逆變換

6、公式當吸收條件成立時，可得到吸收Parseval恒等式和相應的吸收逆變換公式dd0202)()(20),(),()()(21adadbbaWbaWdxxgxfCgf20),()(),(2)(adadbxbaWCxfbaf離散小波變換離散小波變換 二進小波和二進小波變換二進小波和二進小波變換 如果小波函數(x)滿足穩(wěn)定性條件則(x)為二進小波，對于任意的整數k，記 為尺度參數a取二進離散數值ak=2-k時的特例 BAjj2)2()(2(2)(2),2(bxxkkbk對于函數f(x)，其二進離散小波變換記為Wkf（b），定義如下： 其小波變換的反演公式是其中，函數t(x)滿足稱為二進小波(x)的重

7、構小波。 dxxxfbWbWbRkfkfk)()(),2()(),2(dbxtbWxfbkRkfkk)()(2)(),2( 1)2()2(kkkT正交小波和小波級數正交小波和小波級數 如果下面一個函數族構成空間L2(R)的標準正交基即滿足下述條件的基，則稱(x)是正交小波 對任何函數或信號f(x)，有如下的小波級數展開ZZjkjxxkkjk),( : )2(2)(2,)()()()(),(,njlkdxxxnlRjknljk0001)(mmmkjjkjkxAxf)()(,dxxxffAjkRjkjk)()(),(,稱為小波系數。小波系數Ak,j正好是信號f(x)的連續(xù)小波變換Wf（a，b）在尺

8、度系數a的二進離散點ak=2-k和時間中心參數b的二進整倍數的離散點bj=2-kj所構成的點（2-k，2-kj）上的取值，因此，小波系數Ak,j實際上是信號f（x）的離散小波變換。也就是說，在對小波添加一定的限制之下，連續(xù)小波變換和離散小波變換在形式上簡單明了地統(tǒng)一起來了，而且連續(xù)小波變換和離散小波變換都適合空間L2（R）上的全體信號。一個最簡單的正交小波，即Haar小波，其定義為這時，函數族 構成函數空間L2(R)的標準正交基。 ) 1 , 00121201)(11xxxxhZZkjkxhxhjjkj),( : )2(2)(2,時頻分析時頻分析 設g(t)L2(R)，而且 ，當 時，則稱g(

9、t)是一個窗函數，它的中心E(g)和半徑(g)分別定義為而數值2(g)稱為窗函數g(t)的寬度。一般地定義窗口Fourier變換為02gdtttg2)(dtttgggE222)(1)(_2222)()(1 (1)(dttgtEggdtbtgetfbCtif)()(),(則Cf(b,)給出時窗E(g)+b-(g)，E(g)+b+(g)和頻窗E(G)+-(G)，E(G)+ +(G)中信號的局部信息，即信號在時頻窗E(g)+b-(g)，E(g)+b+(g)E(G)+ -(G)，E(G)+(G)中的局部化信息。選定窗口函數g(t)之后，這個時頻窗是一個邊與坐標軸平行的形狀與(b,)無關的矩形，具有固定

10、的面積4(g)(G)，這個矩形的中心坐標可用(b,)表示為(E(g)+b，E(G)+)。 小波變換的時小波變換的時-頻窗頻窗 連續(xù)小波的時頻窗是面積為 的可變矩形：其面積只與小波母函數(t)有關而與參數(a,b)毫無關系，但是，小波變換的時頻窗形狀卻隨著參數a而變化。 小波變換的時小波變換的時-頻特性頻特性 利用小波變換的時頻窗形式可知，對于較小較大的a，/ )(/ )(,/ )(/ )()()(),()(aaEaaEaaEbaaEb)()(4時間域的窗寬a()、時窗b-a()，b+a()隨著a一起發(fā)生相應變化,主頻(中心頻率)E()/a變高，主要檢測信號中的高頻成分，只能利用該點附近很小范圍

11、內的時間數據，這必然要求在該點的時間窗比較?。环粗畽z測到的是信號中的低頻成分，為了完整地檢測出低頻成分(比如至少包含一個完整的周期)，必須要利用該點 附近較大范圍內的觀測數據，所以要求時間窗比較大，小波變換正好具備這樣的自適應性；這是小波變換獨特的時頻分析特點，它在時變頻率和瞬時頻率分析及描述上有重要作用。 小波變換的局部化能力小波變換的局部化能力 從頻率域的角度來看，小波變換已經沒有 “頻率點”的概念，卻是本質意義上的“頻帶”的概念；從時間域來看，也不再是某個準確的“時間點 ”處的變化，而是在原信號在某個“時間段”內的變化。所以，從f(t)到Wf(a,b)上是把信號限制在時間段b -a()，

12、b+a()內和頻帶E()/a-()/a，E()/a+()/a內的局部化過程。因而在信號故障時間或者故障位置的診斷、信號奇性檢測、圖像邊緣提取、圖像數據壓縮、信號濾波等方面都有應用。 15.2 15.2 兩個應用研究實例兩個應用研究實例南海地區(qū)降水的時空特征研究南海地區(qū)降水的時空特征研究興安落葉松林的林窗分布規(guī)律研究興安落葉松林的林窗分布規(guī)律研究 （具體參見書本）（具體參見書本）南海地區(qū)降水的時空特征研究南海地區(qū)降水的時空特征研究 氣候變化具有多時間尺度和多空間尺度的特性，包含了多層次的突變。小波分析基于平移和伸縮的不變性，具有正則性、局部性和k階消失矩等良好性質，它對于時頻特征的描述，特別適合

13、于對信號進行多尺度分析、局部分析和奇異性分析，為研究氣候變化的多層次結構和突變特征提供了新方法 。江靜等（2000）用美國NCEP重分析資料中19791995年17年逐旬的全球降水資料，經雙線性插值到22，選澤300E180，0400N的區(qū)域范圍，運用小波分析方法研究了南海地區(qū)降水的多時間層次和多空間層次結構，分析了南海季風的爆發(fā)及時間演變規(guī)律。(1)(1)小波選擇小波選擇 選擇Morlet小波，其母小波為其中c為常數（這里取c=5.4），函數f(x)的小波變換系數為 Morlet小波函數是一個周期函數經過Gaussian函數平滑而得到的，所以它的伸縮尺度與Fourier分析中的周期T有如下對

14、應關系：2/2)(xicxeexdxabxafTab)()(_2/1accT242信號f(x)在尺度a的全域能量密度為而信號f（x）在位置b的總能量密度以及尺度a1a2的能量密度為則可以觀察f(x)的小波能量密度隨頻率的變化，還可以觀察能量密度隨時間或位置的變化，以及各頻率段能量密度隨時間或位置的變化。dCadbfTCaEab222| )(|2| )(|1)(adafTCbEab2| )(|1)(adafTCaabEaaab22121| )(|1),(2) 南海季風的空間尺度特征南海季風的空間尺度特征 為了揭示南海季風的空間尺度特征，作緯圈小波變化，取尺度因子其中，與小波變換的尺度a相對應的k

15、（相應的空間尺度）見表15.2.1。表表15.2.1小波變換的尺度小波變換的尺度k k對應的空間尺度和時間尺度對應的空間尺度和時間尺度224) 1(2 . 0/22ccPjkPakk12345空間尺度（經度） 64321684時間尺度(d) 360180904522.5通過小波變換研究，得出了南海季風的空間特征及變化特征（具體結果參見書本具體結果參見書本）。(3) (3) 南海季風的時間尺度特征南海季風的時間尺度特征 為了揭示南海季風的時間尺度特征，取a=(9/4)2k/P（其中k，P與前述相同），用Morlet小波作時間小波變換，則結果表明：南海中部和北部的降水具有非常強的年變化，是典型的夏

16、雨型。還可分析南海季風能量隨頻率的分布，南海中部和北部的年周期振蕩幾乎不隨時間變化，而其它的周期振蕩則有較大的變化?？疾於嗄昶骄慕邓逝c各尺度小波變換系數之間的關系，發(fā)現年變化尺度的小波變換系數與雨季的變化非常吻合，但小波變換系數的變化略落后于降水率的變化。 (4) (4) 基本結論基本結論綜合前面的分析，可以得出以下幾點基本結論：南海季風爆發(fā)于5月中旬，季風爆發(fā)過程實際上是小范圍（32個經度）降水向大范圍（64個經度）降水調整的過程，一旦出現較強的大范圍降水，并到達南海地區(qū)，就爆發(fā)了南海季風，調整完畢則是印度季風和東亞季風的相繼爆發(fā)。在10N以北的地區(qū)，季風最早發(fā)生在南海，然后逐漸西移到印度，到達印度季風最盛期后，迅速東撤。 南海地區(qū)可分為3