幾何難題精選中考壓軸題帶答案和詳細(xì)解析30道解答題

1、幾何難題精選幾何難題精選 解答題（共30小題）1（2015河南）如圖1，在RtABC中，B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)=0°時，= ；當(dāng)=180°時，= （2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明（3）問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BD的長 2（2015濟(jì)南）如圖1，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與A重合），

2、連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D（1）直接寫出NDE的度數(shù)；（2）如圖2、圖3，當(dāng)EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；（3）如圖4，若EAC=15°，ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條件不變，求線段AM的長 3（2015岳陽）已知直線mn，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線lm，ln，垂足分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時（

3、如圖所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系： （2）猜想證明：在圖的情況下，把直線l向上平移到如圖的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（3）延伸探究：在圖的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得APB=90°（如圖所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k求證：PAPB=kAB 4（2015重慶）在ABC中，AB=AC，A=60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，EDF=120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點(diǎn)F（1）如圖1，若DFAC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2

4、，將（1）中的EDF繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點(diǎn)F，作DNAC于點(diǎn)N，若DNAC于點(diǎn)N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BECF） 5（2015煙臺）【問題提出】如圖，已知ABC是等腰三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，將BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至ACF連接EF試證明：AB=DB+AF【類比探究】（1）如圖，如果點(diǎn)E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由（2）如

5、果點(diǎn)E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請?jiān)趫D的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由 6（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC，PE特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）問題探究：把圖1中的AEF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（1）如圖2，若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）記=k，當(dāng)k為何值時

6、，CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必說明理由） 7（2015襄城區(qū)模擬）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3）將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角度（0°90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG（1）求證：AOGADG；（2）求PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）當(dāng)1=2時，求直線PE的解析式；（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M，使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 8（2015重慶

7、校級一模）已知，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)G在直線AD上（P、G不與正方形頂點(diǎn)重合，且在CD的同側(cè)），PD=PG，DFPG于點(diǎn)H，DF交直線AB于點(diǎn)F，將線段PG繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，連結(jié)EF（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時，若PC=1，計算出DG的長；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時，證明：四邊形DFEP為菱形；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，（2）的結(jié)論：四邊形DFEP為菱形是否依然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 9（2015房山區(qū)二模）在ABC中，AB=B

8、C=2，ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，將ABD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)（0°180°）得到EFD，其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)FBE與FC相交于點(diǎn)H（1）如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關(guān)系： ；（2）如圖2，M、N分別為EF、BC的中點(diǎn)求證：MN=；（3）連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關(guān)系： 10（2015衢州校級模擬）圖1是邊長分別為4和2的兩個等邊三角形紙片ABC和ODE疊放在一起（C與O重合）（1）操作：固定ABC，將0DE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)30°后得到ODE，連結(jié)AD、BE，CE的延長

9、線交AB于F（圖2）；探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論（2）在（1）的條件下將的ODE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的CDE設(shè)為PQR，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時停止運(yùn)動（圖3）探究：設(shè)PQR移動的時間為x秒，PQR與ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍（3）將圖1中0DE固定，把ABC沿著OE方向平移，使頂點(diǎn)C落在OE的中點(diǎn)G處，設(shè)為ABG，然后將ABG繞點(diǎn)G順時針旋轉(zhuǎn)，邊BG交邊DE于點(diǎn)M，邊AG交邊DO于點(diǎn)N，設(shè)BGE=（30°90°）；（圖4）探究：在圖4中，線段ONE

10、M的值是否隨的變化而變化？如果沒有變化，請你求出ONEM的值，如果有變化，請你說明理由 11（2015武義縣模擬）（1）將矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C、A分別在x軸和y軸上，OA=8，OC=10，點(diǎn)E為OA邊上一點(diǎn)，連結(jié)CE，將EOC沿CE折疊如圖1，當(dāng)點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；如圖2，當(dāng)點(diǎn)O落在矩形OABC內(nèi)部的點(diǎn)D處時，過點(diǎn)E作EGx軸交CD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G，設(shè)H（m，n），求m與n之間的關(guān)系式；（2）如圖3，將矩形OABC變?yōu)檫呴L為10的正方形，點(diǎn)E為y軸上一動點(diǎn)，將EOC沿CE折疊點(diǎn)O落在點(diǎn)D處，延長CD交直線AB于點(diǎn)T，若=，求AT的長

11、12（2015石家莊校級模擬）如圖1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于點(diǎn)O （1）求邊AB的長；（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點(diǎn)放在菱形ABCD的頂點(diǎn)A處，繞點(diǎn)A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別于邊BC，CD相交于E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點(diǎn)G判斷AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；旋轉(zhuǎn)過程中是否存在線段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由 13（2015春泰安校級期中）如圖，正方形OEFG繞著邊長為30的正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N（1）求證：OM=ON；（2

12、）設(shè)正方形OEFG的對角線OF與邊AB相交于點(diǎn)P，連結(jié)PM若PM=13，試求AM的長；（3）連接MN，求AMN周長的最小值，并指出此時線段MN與線段BD的關(guān)系 14（2014天津）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E，點(diǎn)F分別為OA，OB的中點(diǎn)若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OEDF，記旋轉(zhuǎn)角為（）如圖，當(dāng)=90°時，求AE，BF的長；（）如圖，當(dāng)=135°時，求證AE=BF，且AEBF；（）若直線AE與直線BF相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值（直接寫出結(jié)果即可） 15（2014春青山區(qū)期末）已知正方形ABCD和正方形EBGF共頂點(diǎn)

13、B，連AF，H為AF的中點(diǎn)，連EH，正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)（1）如圖1，當(dāng)F點(diǎn)落在BC上時，求證：EH=FC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時，連BH，若AB=5，BG=2，求BH的長；（3）當(dāng)正方形EBGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，求的值 16（2013鹽城）閱讀材料如圖，ABC與DEF都是等腰直角三角形，ACB=EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明BOFCOD，則BF=CD解決問題（1）將圖中的RtDEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖，猜想此時線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖，若ABC與

14、DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，若ABC與DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為0，且頂角ACB=EDF=，請直接寫出的值（用含的式子表示出來） 17（2013梅州）用如圖，所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出），完成以下兩個探究問題：探究一：將以上兩個三角形如圖拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點(diǎn)P（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動的過程中出現(xiàn)PA=FC時，求PAB的度數(shù)探究二：如圖，將DEF的頂點(diǎn)

15、D放在ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)DEF，使DEF的兩直角邊與ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連接MN在旋轉(zhuǎn)DEF的過程中，AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由 18（2015營口）如圖，點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，PA切O于點(diǎn)A，AB是O的直徑，連接OP，過點(diǎn)B作BCOP交O于點(diǎn)C，連接AC交OP于點(diǎn)D（1）求證：PC是O的切線；（2）若PD=，AC=8，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接CE，求CE的長 19（2015永州）問題探究：（一）新知學(xué)習(xí)：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補(bǔ)，那么這個四邊形內(nèi)

16、接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補(bǔ)，那么四邊形EFGH的四個頂點(diǎn)E、F、G、H都在同個圓上）（二）問題解決：已知O的半徑為2，AB，CD是O的直徑P是上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB，CD的垂線，垂足分別為N，M（1）若直徑ABCD，對于上任意一點(diǎn)P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；（2）若直徑ABCD，在點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動到C的過程中，證明MN的長為定值，并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120°角當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到的中點(diǎn)P1時（如圖二），求MN的長；當(dāng)點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值（4

17、）試問當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值 20（2015盤錦）如圖1，ABC和AED都是等腰直角三角形，BAC=EAD=90°，點(diǎn)B在線段AE上，點(diǎn)C在線段AD上（1）請直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系： ；（2）如圖2，將圖1中的ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角（0360°），（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；當(dāng)AC=ED時，探究在ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在這樣的角，使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角的度數(shù)；若不存在，請說明理由 21（2015朝陽）問題：如圖（1），在RtA

18、CB中，ACB=90°，AC=CB，DCE=45°，試探究AD、DE、EB滿足的等量關(guān)系探究發(fā)現(xiàn)小聰同學(xué)利用圖形變換，將CAD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CBH，連接EH，由已知條件易得EBH=90°，ECH=ECB+BCH=ECB+ACD=45°根據(jù)“邊角邊”，可證CEH ，得EH=ED在RtHBE中，由 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之間的等量關(guān)系是 實(shí)踐運(yùn)用（1）如圖（2），在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數(shù)；（2）在（1）條件下，連接B

19、D，分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，運(yùn)用小聰同學(xué)探究的結(jié)論，求正方形的邊長及MN的長 22（2015自貢）在ABC中，AB=AC=5，cosABC=，將ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得到A1B1C（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長線上時求證：BB1CA1；求AB1C的面積；（2）如圖，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F1，求線段EF1長度的最大值與最小值的差 23（2015吉林）兩個三角板ABC，DEF，按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上（假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)，線都在同一平面內(nèi)）其中，

20、C=DEF=90°，ABC=F=30°，AC=DE=6cm現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時停止運(yùn)動設(shè)三角板平移的距離為x（cm），兩個三角板重疊部分的面積為y（cm2）（1）當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時，x= cm；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N直接寫出在三角板平移過程中，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值 24（2015汕尾）在RtABC中，A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若等腰RtADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角

21、為（0180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P（1）如圖1，當(dāng)=90°時，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ；（直接填寫結(jié)果）（2）如圖2，當(dāng)=135°時，求證：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值（直接寫出結(jié)果） 25（2015赤峰）如圖，四邊形ABCD是邊長為2，一個銳角等于60°的菱形紙片，小芳同學(xué)將一個三角形紙片的一個頂點(diǎn)與該菱形頂點(diǎn)D重合，按順時針方向旋轉(zhuǎn)三角形紙片，使它的兩邊分別交CB、BA（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F，EDF=60°，當(dāng)CE=AF時，如圖1小芳同學(xué)得出的結(jié)論是DE=DF

22、（1）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)CEAF時，如圖2小芳的結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請說明理由；（2）再次旋轉(zhuǎn)三角形紙片，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CB、BA的延長線上時，如圖3請直接寫出DE與DF的數(shù)量關(guān)系；（3）連EF，若DEF的面積為y，CE=x，求y與x的關(guān)系式，并指出當(dāng)x為何值時，y有最小值，最小值是多少？ 26（2015海南）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，BCD=60°，射線AP交BC的延長線于點(diǎn)E，射線BP交DE于點(diǎn)K，點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn)（1）求證：ADPECP；（2）若BP=nPK，試求出n的值；（3）作BM丄AE于點(diǎn)M，作KN丄AE于點(diǎn)N，連結(jié)MO、NO

23、，如圖2所示，請證明MON是等腰三角形，并直接寫出MON的度數(shù) 27（2015丹東）在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O；在RtPMN中，MPN=90°（1）如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)O重合且PMAD、PNAB，分別交AD、AB于點(diǎn)E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中的RtPMN繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)角度（0°45°）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若RtPMN的頂點(diǎn)P在線段OB上

24、移動（不與點(diǎn)O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=mBP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系 28（2015成都）已知AC，EC分別是四邊形ABCD和EFDC的對角線，點(diǎn)E在ABC內(nèi)，CAE+CBE=90°（1）如圖，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時，連接BF（i）求證：CAECBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的長；（2）如圖，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且=k時，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如圖，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且DAB=GEF=45°時，設(shè)BE=m，AE=n，CE=

25、p，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程） 29（2015錦州）如圖，QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)處，QPN=，將QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）（1）如圖，當(dāng)=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）如圖，將圖中的正方形ABCD改為ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)=60°時，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中QPN的邊PQ與射線AD交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究

26、在整個運(yùn)動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明 30（2014綿陽）如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE（1）求證：DECEDA；（2）求DF的值；（3）如圖2，若P為線段EC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作AEC的內(nèi)接矩形，使其頂點(diǎn)Q落在線段AE上，定點(diǎn)M、N落在線段AC上，當(dāng)線段PE的長為何值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值 幾何難題精選(1) 旋轉(zhuǎn) 圓 四邊形參考答案與試題解析 一解答題（共30小題）1（2015河南）如圖1，在RtABC中，B=90°，BC=2AB=8，

27、點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)=0°時，= ；當(dāng)=180°時，= （2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明（3）問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BD的長【考點(diǎn)】幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）當(dāng)=0°時，在RtABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少=180°時，可得ABDE，然后根據(jù)，求出

28、的值是多少即可（2）首先判斷出ECA=DCB，再根據(jù)，判斷出ECADCB，即可求出的值是多少，進(jìn)而判斷出的大小沒有變化即可（3）根據(jù)題意，分兩種情況：點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時；點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可【解答】解：（1）當(dāng)=0°時，RtABC中，B=90°，AC=，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，如圖1，當(dāng)=180°時，可得ABDE，=故答案為：（2）如圖2，當(dāng)0°360°時，的大小沒有變化，ECD=ACB，ECA=DCB，又，ECADCB，（3）如圖3，AC=4，CD=4，CDA

29、D，AD=，AD=BC，AB=DC，B=90°，四邊形ABCD是矩形，如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，AC=4，CD=4，CDAD，AD=，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，DE=2，AE=ADDE=82=6，由（2），可得，BD=綜上所述，BD的長為4或【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握（2）此題還考查了相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握（3）此題還考查了線段長度的求法，以及矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握 2（2015濟(jì)

30、南）如圖1，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，EAC=90°，點(diǎn)M為射線AE上任意一點(diǎn)（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點(diǎn)F、D（1）直接寫出NDE的度數(shù)；（2）如圖2、圖3，當(dāng)EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；（3）如圖4，若EAC=15°，ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=，其他條件不變，求線段AM的長【考點(diǎn)】幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（

31、1）根據(jù)題意證明MACNBC即可；（2）與（1）的證明方法相似，證明MACNBC即可；（3）作GKBC于K，證明AM=AG，根據(jù)MACNBC，得到BDA=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出AG的長，得到答案【解答】解：（1）ACB=90°，MCN=90°，ACM=BCN，在MAC和NBC中，MACNBC，NBC=MAC=90°，又ACB=90°，EAC=90°，NDE=90°；（2）不變，在MACNBC中，MACNBC，N=AMC，又MFD=NFC，MDF=FCN=90°，即NDE=90°；（3）

32、作GKBC于K，EAC=15°，BAD=30°，ACM=60°，GCB=30°，AGC=ABC+GCB=75°，AMG=75°，AM=AG，MACNBC，MAC=NBC，BDA=BCA=90°，BD=，AB=+，AC=BC=+1，設(shè)BK=a，則GK=a，CK=a，a+a=+1，a=1，KB=KG=1，BG=，AG=，AM=【點(diǎn)評】本題考查的是矩形的判定和性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、利用方程的思想是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用 3（2015岳陽）已知直線mn，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，

33、CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線lm，ln，垂足分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時（如圖所示），連接PB，請直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系： PA=PB （2）猜想證明：在圖的情況下，把直線l向上平移到如圖的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（3）延伸探究：在圖的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得APB=90°（如圖所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k求證：PAPB=kAB【考點(diǎn)】幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，應(yīng)用直

34、角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可（2）首先過C作CEn于點(diǎn)E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、PCA=PEB、AC=BE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出PACPBE，即可判斷出PA=PB仍然成立（3）首先延長AP交直線n于點(diǎn)F，作AEBD于點(diǎn)E，然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出AEFBPF，即可判斷出AFBP=AEBF，再個AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PAPB=2kAB，所以PAPB=kAB，據(jù)此解答即可【解答】解：（1）ln，BCBD，三角形CBD是直角三角形，又點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，PA=PB（2）把直線l向上平移到如圖的位置，PA=PB仍然成立，

35、理由如下：如圖，過C作CEn于點(diǎn)E，連接PE，三角形CED是直角三角形，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，PD=PE，又點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，PC=PD，PC=PE；PD=PE，CDE=PEB，直線mn，CDE=PCA，PCA=PEB，又直線lm，ln，CEm，CEn，lCE，AC=BE，在PAC和PBE中，PACPBE，PA=PB（3）如圖，延長AP交直線n于點(diǎn)F，作AEBD于點(diǎn)E，直線mn，AP=PF，APB=90°，BPAF，又AP=PF，BF=AB；在AEF和BPF中，AEFBPF，AFBP=AEBF，AF=2PA，AE=2k，BF=AB，2PAPB=2kAB，PAPB=kAB【點(diǎn)評】（

36、1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力（2）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握（3）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握 4（2015重慶）在ABC中，AB=AC，A=60°，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，EDF=120°，DE與線段AB相交于點(diǎn)EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點(diǎn)F（1）如圖1，若DFAC，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的EDF繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)

37、一定的角度，DF仍與線段AC相交于點(diǎn)F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點(diǎn)F，作DNAC于點(diǎn)N，若DNAC于點(diǎn)N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BECF）【考點(diǎn)】幾何變換綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）如圖1，易求得B=60°，BED=90°，BD=2，然后運(yùn)用三角函數(shù)的定義就可求出BE的值；（2）過點(diǎn)D作DMAB于M，作DNAC于N，如圖2，易證MBDNCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到EMD

38、FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）過點(diǎn)D作DMAB于M，如圖3同（1）可得：B=ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，從而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM然后在RtBMD中，運(yùn)用三角函數(shù)就可得到DM=BM，即BE+CF=（BECF）【解答】解：（1）如圖1，AB=AC，A=60°，

39、ABC是等邊三角形，B=C=60°，BC=AC=AB=4點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，BD=DC=BC=2DFAC，即AFD=90°，AED=360°60°90°120°=90°，BED=90°，BE=BD×cosB=2×cos60°=2×=1；（2）過點(diǎn)D作DMAB于M，作DNAC于N，如圖2，則有AMD=BMD=AND=CND=90°A=60°，MDN=360°60°90°90°=120°EDF=120

40、6;，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD，BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND，EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）過點(diǎn)D作DMAB于M，如圖3同（1）可得：B=ACD=60°同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FNDN=FN，DM=DN=FN=EM，BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BECF=BM+EMCF=BM+NFCF=BM+NC=2BM在RtBMD中，DM=BMtanB=BM，BE+CF=（BEC

41、F）【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵 5（2015煙臺）【問題提出】如圖，已知ABC是等腰三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，將BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至ACF連接EF試證明：AB=DB+AF【類比探究】（1）如圖，如果點(diǎn)E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由（2）如果點(diǎn)E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請?jiān)趫D的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整

42、，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由【考點(diǎn)】幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】首先判斷出CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60°，所以EAF=BAC+CAF=120°，DBE=120°，EAF=DBE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出EDBFEA，即可判斷出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF（1）首先判斷出CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60°，所以EFC=FGC+FCG，BAC=FGC

43、+FEA，F(xiàn)CG=FEA，再根據(jù)FCG=EAD，D=EAD，可得D=FEA；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出EDBFEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進(jìn)而判斷出AB=BDAF即可（2）首先根據(jù)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，在圖的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，然后判斷出CEF是等邊三角形，即可判斷出EF=EC，再根據(jù)ED=EC，可得ED=EF，CAF=BAC=60°，再判斷出DBE=EAF，BDE=AEF；最后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出EDBFEA，即可判斷出BD=AE，EB=AF，進(jìn)而判斷出AF=AB+BD即可【解答】證明：ED=EC=CF，BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°

44、至ACF，ECF=60°，BCA=60°，BE=AF，EC=CF，CEF是等邊三角形，EF=EC，CEF=60°，又ED=EC，ED=EF，ABC是等腰三角形，BCA=60°，ABC是等邊三角形，CAF=CBA=60°，EAF=BAC+CAF=120°，DBE=120°，EAF=DBE，CAF=CEF=60°，A、E、C、F四點(diǎn)共圓，AEF=ACF，又ED=EC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFEA，DB=AE，BE=AF，AB=AE+BE，AB=DB+AF（1）AB=

45、BD+AF；延長EF、CA交于點(diǎn)G，BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至ACF，ECF=60°，BE=AF，EC=CF，CEF是等邊三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，EFC=BAC=60°，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，F(xiàn)CG=FEA，又FCG=ECD，D=ECD，D=FEA，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得CBE=CAF=120°，DBE=FAE=60°，在EDB和FEA中，（AAS）EDBFEA，BD=AE，EB=AF，BD=FA+AB，即AB=BDAF（2）如圖，ED=EC=CF，BCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°至ACF，

46、ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF是等邊三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC是等邊三角形，ABC=60°，又CBE=CAF，CAF=60°，EAF=180°CAFBAC=180°60°60°=60°DBE=EAF；ED=EC，ECD=EDC，BDE=ECD+DEC=EDC+DEC，又EDC=EBC+BED，BDE=EBC+BED+DEC=60°+BEC，AEF=CEF+BEC=60°+BEC，BDE=AEF，在EDB和FEA中，（A

47、AS）EDBFEA，BD=AE，EB=AF，BE=AB+AE，AF=AB+BD，即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是：AF=AB+BD【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握 6（2015莆田）在RtACB和RtAEF中，ACB=AEF=90°，若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC，PE特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊AB，AC上，則結(jié)論：PC=PE成立（不要求證明）問題探究：把圖1中的AEF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)（1）如圖2，若點(diǎn)E落在邊CA的延長線上，

48、則上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）記=k，當(dāng)k為何值時，CPE總是等邊三角形？（請直接寫出k的值，不必說明理由）【考點(diǎn)】幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】壓軸題【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PMCE于點(diǎn)M，然后根據(jù)EFAE，BCAC，可得EFMPCB，推得，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC，據(jù)此推得PC=PE即可（2）首先過點(diǎn)F作FDAC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PMAC于點(diǎn)M，連接PD，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出DAFEAF，即可判斷出AD=AE；再判斷出

49、DAPEAP，即可判斷出PD=PE；最后根據(jù)FDAC，BCAC，PMAC，可得FDBCPM，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PD，再根據(jù)PD=PE，即可推得PC=PE（3）首先根據(jù)CPE總是等邊三角形，可得將AEF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)180°，CPE仍是等邊三角形；然后根據(jù)BCF=BEF=90°，點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得點(diǎn)C、E在以點(diǎn)P為圓心，BF為直徑的圓上；最后根據(jù)圓周角定理，求出CBE的度數(shù)，即可求出當(dāng)CPE總是等邊三角形時，k的值是多少【解答】解：（1）如圖2，過點(diǎn)P作PMCE于點(diǎn)M，PC=PE成立，理由如下：EFAE，BCAC，EFMPCB，點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，EM=

50、MC，又PMCE，PC=PE（2）如圖3，過點(diǎn)F作FDAC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PMAC于點(diǎn)M，連接PD，PC=PE成立，理由如下：DAF=EAF，F(xiàn)DA=FEA=90°，在DAF和EAF中，DAFEAF（AAS），AD=AE，在DAP和EAP中，DAPEAP（SAS），PD=PE，F(xiàn)DAC，BCAC，PMAC，F(xiàn)DBCPM，點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，DM=MC，又PMAC，PC=PD，又PD=PE，PC=PE（3）如圖4，CPE總是等邊三角形，將AEF繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)180°，CPE仍是等邊三角形，BCF=BEF=90°，點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，點(diǎn)C、E在以點(diǎn)P為圓心，BF為直徑

51、的圓上，CPE是等邊三角形，CPE=60°，根據(jù)圓周角定理，可得CBE=CPE=60°=30°，即ABC=30°，在RtABC中，=k，=tan30°，k=tan30°=，當(dāng)k為時，CPE總是等邊三角形【點(diǎn)評】（1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要熟練掌握（2）此題還考查了全等三角形判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握（3）解答第（3）題時，理解“CPE總是等邊三角形”的含義是解答此題的關(guān)鍵所在 7（2015襄城區(qū)模擬）如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B

52、坐標(biāo)為（3，3）將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)角度（0°90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG（1）求證：AOGADG；（2）求PAG的度數(shù)；并判斷線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由；（3）當(dāng)1=2時，求直線PE的解析式；（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M，使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【考點(diǎn)】幾何變換綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，根據(jù)斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，判斷出AOGADG即可（2

53、）首先根據(jù)三角形全等的判定方法，判斷出ADPABP，再結(jié)合AOGADG，可得DAP=BAP，1=DAG；然后根據(jù)1+DAG+DAP+BAP=90°，求出PAG的度數(shù)；最后判斷出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系即可（3）首先根據(jù)AOGADG，判斷出AGO=AGD；然后根據(jù)1+AGO=90°，2+PGC=90°，判斷出當(dāng)1=2時，AGO=AGD=PGC，而AGO+AGD+PGC=180°，求出1=2=30°；最后確定出P、G兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷出直線PE的解析式（4）根據(jù)題意，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在x軸的負(fù)半軸上時；當(dāng)點(diǎn)M在EP的延長線上時；根據(jù)以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求出M點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可【解答】（1）證明：在RtAOG和RtADG中，（HL）AOGADG（2）解：在RtADP和RtABP中，ADPABP，則DAP=BAP；AOGADG，1=DAG；又1+DAG+DAP+BAP=90°，2DAG+2DAP=90°，DAG+DAP=45°，PAG=DAG+DAP，PAG=45°；AOGADG，DG=OG，ADPABP，DP=BP，PG=DG+DP=OG+BP（3）解：AOGADG，AGO=AGD，又1+AGO=90°，2+PGC=90°，1=