復(fù)變函數(shù)總復(fù)習(xí)資料

1、.1復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算1、復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)Re ( );Im ( )Im ( )0zRe ( )0zzxzyzz實(shí)部：虛部為若，則 為實(shí)數(shù)； 若，則 為純虛數(shù)。2,1x yi 為實(shí)數(shù);z=x+iy或 z=x+yi注意：注意： (1) 2個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小; (2) 當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部、虛部分別相等時(shí)復(fù)數(shù)才相等。當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部、虛部分別相等時(shí)復(fù)數(shù)才相等。zxiy共軛1112121 21 22222i) ,;ii) ;iii) Re( )Im( );iv) 2Re( ),2 Im( )zzzzzzz zz zzzzzzzzzzzzzziz.22、復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的表示 直角

2、坐標(biāo)：z=x+iy 復(fù)平面與直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng) 向量表示 模 幅角 三角表示： 指數(shù)表示：0 xy)(x,yiyxzOxyqPz=x+iy|z|=r2200|Argarg2arg ,zrxyzzkzqqqz=0時(shí)輻角不確定(cossin)zriqqcossinieiqqqizreq.3輻角主值公式：輻角主值公式：00arctg0,(1 40arctg0,0 2arctg0,0 3arg0 0,02 0,0 0 0,0yxyxyxyxyxyzxxyyxyxxyxq當(dāng)，象限）當(dāng)（ 象限）當(dāng)（ 象限）當(dāng)（ 軸上）當(dāng)（軸上）當(dāng)（軸上）arc tg22yx2341xy0q.43、 復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)

3、算加法、減法：加法、減法：乘法乘法: 除法除法:121212()()zzxxi yy1 2112212121221()() ()()z zxi yxi yx xy yi x yx y11112121212222222222222, 0zxiyx xy yy xx yzizzxiyxyxy111222zxiyzxiy運(yùn)算法則: z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1 z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.5乘積：乘積： z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2), z1z2

4、=r1r2cos(q1+q2)+isin(q1+q2) 于是: |z1z2|=|z1|z2|Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2()Arg()ArgArgiz zzz ez zzzqq1212121212模相乘；輻角相加。模相乘；輻角相加。商：商： 模相除；輻角相減模相除；輻角相減()Arg()ArgArgizzzezzzzzqq1211112222冪：冪：根：根：innnerz注意根的注意根的多多值性！值性！122(cossin)0,1,2,3,(1)nnkkwzrinnknnqq得到 個(gè)不同的根。.6區(qū)域區(qū)域：平面點(diǎn)集：平面點(diǎn)集D D稱為區(qū)域稱為區(qū)域, , 必須滿足下列兩個(gè)條件：

5、必須滿足下列兩個(gè)條件： 1 1）D D是一個(gè)開集。是一個(gè)開集。 2 2）D D是連通的。是連通的。不連通單連通域：?jiǎn)芜B通域：區(qū)域區(qū)域B B中任做一條簡(jiǎn)單閉曲線，曲線內(nèi)中任做一條簡(jiǎn)單閉曲線，曲線內(nèi) 部總屬于部總屬于B B，稱，稱B B為單連通區(qū)域。為單連通區(qū)域。多連通域：多連通域：不滿足單連通域條件的區(qū)域。不滿足單連通域條件的區(qū)域。單連通域多連通域區(qū)域的概念區(qū)域的概念.7復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)單值函數(shù)：?jiǎn)沃岛瘮?shù)：z 的一個(gè)值對(duì)應(yīng)一個(gè)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)一個(gè)w值。值。多值函數(shù)：多值函數(shù)：z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)或以上的一個(gè)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)或以上w值。值。反函

6、數(shù)：反函數(shù)：z=g(w)兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)的的討討論論復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)的的討討論論 復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性、可導(dǎo)、解析性的判定.81、極限、極限lim( ) ( )zzf zAzzf zA00或，。都都要要趨趨于于同同一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)論論從從哪哪個(gè)個(gè)方方向向趨趨近近；的的方方式式是是任任意意的的，即即無(wú)無(wú)Azfzz)(0定理一：定理一：設(shè) f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0lim( )( )lim( )( )lim( ), lim( ):( )lim( )zzzzzzzzzzfzg zABfzg zA

7、 BfzAg zBfzAg zB00000有l(wèi)im( )lim( , ), lim ( , )zzxxxxyyyyf zAu x yuv x yv0000000的充分必要 件：條定理二：定理二：.92、連續(xù)性、連續(xù)性000lim( )(),( )zzf zf zf zz如果稱在 處連續(xù)。( )D( )Df zf z如果在區(qū)域 內(nèi)處處連續(xù),稱在 內(nèi)連續(xù)。),(),(lim),(),(lim)(000000000yxvyxvyxuyxuzzfyyxxyyxx 為為：處處連連續(xù)續(xù)的的充充分分必必要要條條件件在在定定理理三三、)(, 0)()()(),()(),()()()(000zgfzgzgzfz

8、gzfzgzfzzzgzf 處處都都連連續(xù)續(xù)。處處連連續(xù)續(xù)，下下列列函函數(shù)數(shù)在在在在，定定理理四四、如如果果( )( )( )( )nnnwzw P zaa za zP zwQ zQ z010多 式：=有理式：=在復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：復(fù)平面內(nèi)，下列各式連續(xù)：項(xiàng).10導(dǎo)數(shù)定義形式與實(shí)變相同，求導(dǎo)法則與實(shí)變相同。121 ( )02 ()3( )( )( )( )4( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )5( )( )6 ( )( )( )( )nncznznf zg zfzgzf zg zfz g zf z gzf zfz g zf z gzg zg zf g z

9、fw gzwg z 、正整數(shù)、17( ),( )( ),( )0.( )fzwf zzwww、與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù) 且3、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)()()( ) lim( )zf zzf zwf zzDzf zz 00000，如果存在， 在00000()()()limzzzf zzf zdwfzdzz 定義在區(qū)域D內(nèi)，稱 可導(dǎo).11為為奇奇點(diǎn)點(diǎn)。不不解解析析在在00)(zzzf000( )( )f zwfzzzz及 的鄰域內(nèi)處處可,則在點(diǎn)導(dǎo)在解析內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析。在在內(nèi)內(nèi)解解析析：在在區(qū)區(qū)域域DzfD)(可導(dǎo)解析可導(dǎo)解析z0點(diǎn)：區(qū)域D：4、解析、解析00( )( )( )( )( ), (

10、)( ), (g(z)0), ( ) ( )f zg zzf zf zg zf zg zf g zzg z定理五：如果，在 處解析,則 在 處都解析。01( )( )0( )nnwP zaa za zP zwQ z有理多項(xiàng)式 在整個(gè)復(fù)平面上解析。有理分式 （兩個(gè)多項(xiàng)式的商）除分母不為 的點(diǎn)外， 處處解析,使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)。.12( )( , )( , )1( , ), ( , )( , )2-C-R),f zu x yiv x yzxiyu x y v x yz x yuvuvxyyx 定理一：在一點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件為：（ ）在點(diǎn)可微(可導(dǎo))；（ ）滿足柯西 黎曼(方程：重要定理：重

11、要定理：函數(shù)解析的條件函數(shù)解析的條件柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程( )( , )( , )1( , ), ( , )2,f zu x yv x y iDu x y v x yDuvuvDCRxyyx 定理二：在區(qū)域 內(nèi)解析的充分必要條件為：）在 內(nèi)可微(可導(dǎo))；）在 內(nèi)（方程）：( )uvvufziixxyy求導(dǎo)公式:.13連續(xù)、可導(dǎo)、解析的關(guān)系：內(nèi)內(nèi)解解析析在在 D)z(f可可導(dǎo)導(dǎo)在在0z)z(f解解析析在在0z)z(f內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在 D)z(f連連續(xù)續(xù)在在0z)z(f高高層層中中層層低低層層.14初初 等等 函函 數(shù)數(shù), Ln , , sinzaezzz注意

12、性質(zhì)：周期性; 多值性; 奇偶性; 解析性1.指數(shù)函數(shù)：( ) exp(cossin )zxf zzeeyiy12121. ( )02. 3. 4. 2zzzzzzzf zeeee eek i處處解析滿足加法定理：周期性：周期為ze 的性質(zhì)：.152.對(duì)數(shù)函數(shù)：lnlnargargLnln21, 2zzizzzzkik 主值： 分支： LnlnArgzziz多值！lnarg2zizi k性質(zhì)性質(zhì):1212(1) Ln()LnLn,zzzz1122(2) LnLnzLn,zzz(4) (), , , 在除去負(fù)實(shí)軸 包括原點(diǎn) 的復(fù)平面內(nèi) 主值支和其它各分支 處處連續(xù) 處處可導(dǎo) 且11(ln ),(

13、Ln ).zzzz13LnLnLnLnnnznzzzn（ ）.16乘冪乘冪 Ln . bbaae Lnln(arg2) , .baaiaka由于是多值的 因而也是多值的3bbaz.乘冪與冪函數(shù)：、abikbaiabeeln2)arg(ln 單值(2) (, 0): pbpqqq與 為互質(zhì)的整數(shù)ln(arg2)ln(arg2)lnarg2 ppppppaiakaiakaiaikbqqqqqqaeeeelnarg cos2 sin2 ppaiaqqppekikqq q個(gè)值: 0,1,2,(1) kq(1) b 為整數(shù):)2arg(lnLn kaiababbeea3 ba( )除此以外，具有 無(wú)窮多

14、個(gè)值.17Lnbbzwze11 , .nnnbnwzwzzn當(dāng)與 時(shí) 就分別得到復(fù)數(shù)的冪及根運(yùn)算：及冪函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性(1) nz冪函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)是單值解析的：1().nnznz1(2) , . nzn冪函數(shù)是多值函數(shù) 具有 個(gè)分支各分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:1111.nnzzn各分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的:1(3) ( ) , bwzbnn冪函數(shù)與也是一個(gè)多值函數(shù)1().bbzbz ,. b當(dāng)為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí) 是無(wú)窮多值的.1811sin()sin ,cos()cos .22sin(2 )sin ,cos(2 )cos .3 sincos

15、, cossin4cossin5 cos(izzzzzzzzzzzzzezizz （ ） 奇偶性： （ ）周期為的周期函數(shù)： （ ）在復(fù)平面內(nèi)處處解析：（ ）歐拉公式仍然成立：（ ）一些三角公式仍然成立：22212),sin(),sincos1, sin1& cos1zzzzzzz但不成立三角函數(shù)性質(zhì)：4. 三角函數(shù)cos2izizeezsin2izizeezi.19一、曲線積分計(jì)算：1212(1) ( )()()(2) ( ),( )( )( )(3) ( )( )( )( )(4) ( )(nCCCCCnCCCCf z dzuiv dxidyudxvdyivdxudyCzz ttf

16、 z dzf z tz t dtCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dzf zf 通過(guò)兩個(gè)二元線積分求：當(dāng)曲線 可表示為參數(shù)方程時(shí)：為分段光滑曲線：為解析函數(shù)時(shí)，若可求得1010)( ) ( )( )()zzzF zf z dzF zF z的原函數(shù)則有：第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分習(xí)題3-8(1).20二、閉路積分問(wèn)題：1-( )0 ( )Cf z dzCf z （）柯西 古薩定理：其中 所包圍區(qū)域?yàn)閱芜B通域，在該區(qū)域內(nèi)解析12( )( )CCf z dzf z dz（ ）閉路變形原理：在多連通域解析的函數(shù)，不因閉曲線作連續(xù)變形而改變積分值。11( )( )(

17、)0 knCCknf z dzf z dzf z dzCCC （）3（ ）復(fù)合閉路定理：在多連通域解析的函數(shù)CC1DC1C2C3C000( )0104( )1( ),( )2!( ) ( )(1,2,)2CnnCf zBCzf zCBf zdzizznf zfzdznizz（ ）柯西公式、高階導(dǎo)數(shù)公式： 在 上處處解析， 為圍繞的一條閉曲線，且 的內(nèi)部全含與 則： 習(xí)題3-7(8)、3-9(1).21三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dz

18、k為常數(shù)(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML設(shè)曲線的長(zhǎng)度為函數(shù)在上滿足那么估值不等式估值不等式.221、調(diào)和函數(shù)的定義2222 ( , ) , 0, ( , ) .x yDxyx yD如果二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 并且滿足拉普拉斯方程:則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)四、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 2、解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定理：定理：任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即有：2222 0,uuxy22220,vvxy(

19、 )wf zuiv.23, , , .uvuvDxyyxvu換句話說(shuō) 在內(nèi)滿足方程的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中稱為 的共軛調(diào)和函數(shù)3、 共軛調(diào)和函數(shù) ( , ) , ( , ) ( , ) .u x yDuivDv x yu x y設(shè)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù) 把使在內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)稱為的共軛調(diào)和函數(shù)區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù). .4、 偏積分法和不定積分法求解析函數(shù)（簡(jiǎn)單了解即可簡(jiǎn)單了解即可）如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u, 利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v, 從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi的方法稱為偏積分法. ( , ) ( , ), .u

20、x yv x y已知調(diào)和函數(shù)或用不定積分求解析函數(shù)的方法稱為不定積分法.24一、一、 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本概念復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些基本概念 1、復(fù)數(shù)列 收斂的充要條件: 同時(shí)收斂.2、復(fù)級(jí)數(shù): 收斂的充要條件: 同時(shí)收斂.3、復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂: 絕對(duì)收斂的充要條件: 同時(shí)絕對(duì)收斂. nnnaib ,nnab 1nn 11nnnnba1 nn收斂11,nnnnab第四章第四章 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)lim0nn1lim0.nnnn級(jí)數(shù)發(fā)散1nn復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.25 收斂范圍為圓域收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對(duì)收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂,圓外發(fā)散圓外發(fā)散,圓上不定圓上不定.0nnnc z1 1、收斂定理：、收斂定理：

21、( (阿貝爾阿貝爾AbelAbel定理定理) )如果級(jí)數(shù) 在 收斂,那么對(duì)滿足 的z, 級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,如果在 級(jí)數(shù)發(fā)散, 那么對(duì)滿足 的z, 級(jí)數(shù)必發(fā)散。0nnnc z0( 0)z z0zz0zz0zz二二 、冪級(jí)數(shù)：、冪級(jí)數(shù)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的情況有三種冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的情況有三種: :(1) (1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂. . 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂: :(2) (2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z z=0=0外都發(fā)散外都發(fā)散. . 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散: :例如例如, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) n

22、nznzz2221RR0(3) (3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), , 也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù)也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù). . 級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)處處絕對(duì)收斂 0R+.262、收斂半徑求法、收斂半徑求法:11010limlimnnnnnncifRcifcR比值法：根值法：0( )nnnfzc z如果如果:001.0, .2. (), 0 ,0.nnnnnnc zRc zzzR 則級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂,即 極限不存在 則級(jí)數(shù)對(duì)于復(fù)平面內(nèi)除 以外的一切 均發(fā)散 即 3、性質(zhì)、性質(zhì):和函數(shù)和函數(shù) 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi): 解析解析,可逐項(xiàng)求導(dǎo)可逐項(xiàng)求導(dǎo),

23、可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 習(xí)題4-6.274 4、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)(1)(1)冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算1200( ),( ),nnnnnnf za zRrg zb zRr設(shè)000( )( )()nnnnnnnnnnf zg za zb zab zRz 00( )( )() ()nnnnnnf zg za zb z01 100()nnnnna baba b zzR12min( ,)r r12min( ,)r r(2) 冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換( (復(fù)合復(fù)合) )運(yùn)算運(yùn)算如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時(shí)時(shí), ,)(0 nnnzazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足

24、,)(rzg 那么當(dāng)那么當(dāng)Rz 時(shí)時(shí), , 0.)()(nnnzgazgf說(shuō)明說(shuō)明: 此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).習(xí)題4-11.28答案答案:. 為為中中心心的的圓圓域域是是以以az 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0)(nnnazc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問(wèn)題問(wèn)題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.答案：答案：?jiǎn)栴}問(wèn)題2: 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?有關(guān)冪級(jí)數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：有關(guān)冪級(jí)數(shù)的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：

25、.29三三 、泰勒級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù):定理定理:在以在以 為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù) f(z) ，可以在該圓域內(nèi)展開成可以在該圓域內(nèi)展開成 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 泰勒級(jí)數(shù)展開式求法泰勒級(jí)數(shù)展開式求法:直接法直接法,間接法間接法.0z0()zz( )00000()( )()()!nnnnnnfzf zczzzzn.30,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開式常見(jiàn)函數(shù)的泰

26、勒展開式,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z.311020100( )( )()1( )0, 1, 2,2()nnnnncf zRzzRf zczzfcdnizcz 定理： 在圓環(huán)域內(nèi)處處解析，則：其中：為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。四、洛朗級(jí)數(shù)：四、洛朗級(jí)數(shù)：洛朗級(jí)數(shù)展開式求法洛朗級(jí)數(shù)展開式求法 : 1. 直接法直接法 2. 間接法間接法 在計(jì)算閉路積分中的應(yīng)用：在計(jì)算閉路積分中的應(yīng)用：1( )2cf z dzic 101( ) d2()nnCfciz 令n=-1, 得

27、11( )d2Ccf zzi 或習(xí)題4-16(2).32的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)。多多個(gè)個(gè)、本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)：含含有有無(wú)無(wú)窮窮級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)。為為，稱稱冪冪項(xiàng)項(xiàng)，最最高高負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)為為：、極極點(diǎn)點(diǎn)：只只含含有有限限個(gè)個(gè)負(fù)負(fù)的的負(fù)負(fù)冪冪項(xiàng)項(xiàng)。、可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)：不不含含)(3)(2)(10000zzmzzzczzmm 一、孤立奇點(diǎn)的三種類型：第五章第五章 留數(shù)留數(shù)為為本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在且且不不為為、為為極極點(diǎn)點(diǎn)；、為為可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)；存存在在且且有有限限、：孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)類類型型判判斷斷方方法法000)(lim3)(lim2)(lim1000zzfzzfzzfzzzzzz .33零點(diǎn)與極點(diǎn)零點(diǎn)與極點(diǎn) ： 零點(diǎn)定義：零點(diǎn)定義：f(z)=0f(z)=0的點(diǎn)的點(diǎn) 0)()1.,1 , 0(0)(,)(0)(0)(00zfmnzfmzzzfmn必必要要充充分分級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)為為解解析析在在定定理理一一：級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)的的是是級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是系系）定定理理二