2021版高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)疑難規(guī)律方法學(xué)案新人教B版必修1

1、第二章函數(shù)一、換元法例 1 f ( x+ 1) = x+ 2 x,求 f (x).分析 采用整體思想，可把 f(.x+ 1)中的“ .x+ 1看做一個(gè)整體，然后采用另一參數(shù)替 代.解 令 t = x+ 1,那么 x= (t 1)2(t > 1),代入原式有 f (t) = (t 1) + 2( t 1) = t 1. f (x) = x2 1(x> 1).評(píng)注 將接受對(duì)象“.X+1換作另一個(gè)元素(字母)“t，然后從中解出x與t的關(guān)系,代入原式中便求出關(guān)于“ t的函數(shù)關(guān)系，此即為函數(shù)解析式，但在利用這種方法時(shí)應(yīng)注意 自變量取值范圍的變化，否那么就得不到正確的表達(dá)式此法是求函數(shù)解析式時(shí)

2、常用的方法.二、待定系數(shù)法 2例2f (x)為二次函數(shù)，且f(x + 1) + f (x 1) = 2x 4x,求f (x)的表達(dá)式.2解設(shè) f (x) = ax + bx+ c(a0)，貝Uf(x + 1) + f(x 1)=a(x+ 1)2 + b( x + 1) + c + a( x 1)2+ b(x 1) + c=2ax + 2bx+2a+ 2c=2x2 4x.2a= 2,a= 1,故有2b= 4,解得b= 2,2a+ 2c= 0,c = 1.所以2f (x) = 2 1.評(píng)注 假設(shè)函數(shù)是某個(gè)根本函數(shù)，可設(shè)表達(dá)式的一般式，再利用條件求出系數(shù).三、方程消元法1例 3 ：2f(x) + f

3、(x)= 3x, x豐0,求 f(x).1解 2f (x) + f(-) = 3x,x1 13用-去代換式中的x得2f (-) + f(x)=-.1 由x 2得 f(x) = 2x-, XM0.X專題講座*評(píng)注方程消元法是指利用方程組通過(guò)消參、消元的途徑到達(dá)求函數(shù)解析式的目的2解讀分段函數(shù)分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，有著廣泛的應(yīng)用，課本中并沒有進(jìn)行大篇幅的介紹，但是它是高考的必考內(nèi)容，下面就分段函數(shù)的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行拓展，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、分段函數(shù)解讀在定義域中，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法那么不同， 這樣的函數(shù)稱之為分段 函數(shù).分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)， 而不是幾個(gè)函數(shù)，它只是各段上的

4、解析式(或?qū)?yīng)法那么)不同而 已.二、常見的題型及其求解策略1求分段函數(shù)的定義域、值域2x + 4x, x< 2,例1求函數(shù)f (x) = x的值域.,x> 222解 當(dāng) x< 2 時(shí)，y= x + 4x = (x+ 2) 4, y> 4;x 2當(dāng) x> 2時(shí)，y= 2，- y>N = 1.函數(shù)f (x)的值域是y| y> 4.解題策略分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)解析式中自變量取值集合的并集；分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值集合的并集.2求分段函數(shù)的函數(shù)值求f (5)的值.x 2, x> 10,例 2 f(x) = f f x+ 6, x< 10,

5、解 / 5< 10,- f (5) = f (f(5 + 6) = f (f (11),/ 11> 10,- f (f (11) = f (9),又 9< 10,- f(9) = f (f (15) = f (13) = 11.即 f (5) = 11.解題策略求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，關(guān)鍵是判斷所給出的自變量所處的區(qū)間，再代入相應(yīng)的解析式；另一方面，如果題目中含有多個(gè)分層的形式，那么需要由里到外層層處理.3畫出分段函數(shù)的圖象2x, x>0例3函數(shù)fx = 2，作出此函數(shù)的圖象.x , xv 0解 由于分段函數(shù)有兩段，所以這個(gè)函數(shù)的圖象應(yīng)該由兩條線組成，一條是拋物線的左側(cè),

6、另一條是射線，畫出圖象如下圖.解題策略 分段函數(shù)有幾段，其圖象就由幾條曲線組成， 作圖的關(guān)鍵是根據(jù)定義域的不同分別由表達(dá)式作出其圖象， 作圖時(shí)一要注意每段自變量的取值范圍，二要注意判斷函數(shù)圖象每 段端點(diǎn)的虛實(shí).4 求解分段函數(shù)的解析式例4某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來(lái)計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間x分鐘與相應(yīng)話費(fèi)y元之間的函數(shù)圖象如下圖.那么：1月通話為50分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)多少元；2求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.解 1由題意可知當(dāng)kx，又因過(guò)點(diǎn)100,40，得解析式為y= |x，當(dāng)月通話為50分鐘時(shí)，0v 50v 100,所以應(yīng)交話費(fèi)y = |x50= 20 兀.當(dāng)x > 100時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)

7、關(guān)系式為 y= kx + b,由圖知x = 100時(shí)，y= 40； x =200 時(shí)，y= 60.40= 100k + b 那么有 60 = 200k + b，解得b = 201所以解析式為y =孑+ 20,25x，故所求函數(shù)關(guān)系式為 y=1孑+ 20, x > 1000v xw 100解題策略以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問(wèn)題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在試題中,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確地理解題目或圖象給出的信息，確定適宜的數(shù)學(xué)模型及準(zhǔn)確的自變量的分界點(diǎn).由定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的單調(diào)性，其步驟為：取值t作差t變形t定號(hào).其中變 形是最關(guān)鍵的一步，合理變形是準(zhǔn)確判斷f(Xi) f(X2)的符號(hào)的

8、關(guān)鍵所在本文總結(jié)了用定義證明函數(shù)單調(diào)性中的變形策略.一、因式分解 2 例1求證：函數(shù)f (x) = x 4x在(g, 2上是減函數(shù).2 2 證明 設(shè)Xi, X2是(一g, 2上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)， 且xivX2，那么f(xi) f(X2)= (xi 4xi) (x24X2)=(Xi X2)( Xi+ X2 4).因?yàn)?Xi v X2w 2,所以 Xi X2< 0, Xi + X2 4v 0.所以 f (Xi) f (X2) > 0 ,即 f (Xi) > f (X2).故函數(shù)f (x)在(一g, 2上是減函數(shù).評(píng)注 因式分解是變形的常用策略，但必須注意，分解時(shí)一定要徹底，這樣才利

9、于判斷f(Xi)f (X2)的符號(hào).二、配方例2求證：函數(shù)f (x) = x3+ i在R上是增函數(shù).證明設(shè)Xi, X2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 Xi<X2,那么 f(Xi) f(X2)= X3+ i X： i33=Xi X22 2=(Xi X2)( Xi + XiX2 + X2)X2 2 3 2=(Xi X2) Xi+ X2 .2 4X2 23 2因?yàn)?xi< X2，所以 xi X2< 0, xi + + 4x2> 0.所以 f (Xi) f (X2) < 0，即 f (Xi) < f (X2).故函數(shù)f (x)在R上是增函數(shù).評(píng)注 此題極易在(Xi X2)

10、( xi+ XiX2+ X2)處"止步而致誤.而實(shí)際上當(dāng)我們不能直接判斷 xi + XiX2+ X2的符號(hào)，又不能因式分解時(shí)，采用配方那么會(huì)“柳暗花明.三、通分i例3函數(shù)f (x) = x + -，求證：函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,i上是減函數(shù).XX2 X1X1X21(X1X2) 1嬴=(X1X2)X1X2 1X1X21 1證明設(shè)X1，X2是區(qū)間(0,1上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且XV X2,那么f(x1) f(X2)= X1 + - - X2 -1 1=(X1 X2)+ 石X" =(X1 X2)+因?yàn)?X1 V X2，且 X1, X2 (0, 1,所以 X1 X2 V 0,0 V

11、X1X2 V 1.所以 f (X1) f ( X2)> 0，即 f (X1)> f (X2).故函數(shù)f (X)在(0,1上是減函數(shù).1評(píng)注 同樣，我們可以證明f (X) = X+ -在區(qū)間1 ,+ )上是增函數(shù).X四、有理化例4函數(shù)f (X) = X 1,求證：函數(shù)f (X)在區(qū)間1 ,+)上是增函數(shù).證明 設(shè)X1, X2是區(qū)間1 , +8)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且X1 VX2,那么f(X1) f(X2)=/X1 1 X2 變式求y=p的單調(diào)區(qū)間.x 2x 3解 由x2 2x 3工0,得x工一1或x豐3,X1 X2,/X1 1 + "Jx2 1因?yàn)?X1 V X2，且 X1,

12、 X2 1 , +8 ),所以 X1 X2 V 0 ,X1 1+.,： X2 1 > 0.所以 f (X1) f (X2) V 0，即 f (X1) V f (X2).故函數(shù)f (X)在1 , +8 )上是增函數(shù).評(píng)注對(duì)于根式函數(shù)常采用分子或分母有理化變形手段以到達(dá)判斷f(X1) f(X2)符號(hào)的目的.設(shè)y= f (t)是t的函數(shù)，t = g(X)是X的函數(shù)，假設(shè)t = g(X)的值域是y= f (t)定義域的子集， 那么y通過(guò)中間變量t構(gòu)成x的函數(shù)，稱為x的復(fù)合函數(shù)，記作 y= f (t) = f g(X).如函數(shù)y 1 x，假設(shè)設(shè)t = 1 x，那么y = .t.這里t是x的函數(shù)，y

13、是t的函數(shù)，所以y= .1 x 是x的復(fù)合函數(shù)，把t稱為中間變量.思考1函數(shù)y= f(t)的定義域?yàn)閰^(qū)間m n,函數(shù)t = g(x)的定義域?yàn)閰^(qū)間a, b, 值域D? m n.假設(shè)y= f(t)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，t = g( x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，那么 y = fg(x)是否為a, b上的增函數(shù)？為什么？答 y= fg(x)是區(qū)間a, b上的增函數(shù).證明如下：任取 xi, X2a, b，且 xi<x2,貝U ti= g(xi), 12= g(X2)，且 ti, 12m n.因?yàn)閠 = g(x)在a, b上遞增，所以g(x"<g(X2)，即t<2,而y= f (t

14、) 在 m n上遞增，故 f(ti)<f(t2)，即 fg(xi)< fg(X2)，所以 y=fg(x)在a, b上是增函數(shù).思考2假設(shè)將g(x)在區(qū)間a, b上"遞增改為"遞減或?qū) (x)在區(qū)間m n上"遞增改為"遞減等，這時(shí)復(fù)合函數(shù)y= f g(x)在區(qū)間a, b上的單調(diào)性又如何呢？答利用解決思考1的方法就可以得出相應(yīng)的結(jié)論(你不妨一試).由此可得到如下復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的結(jié)論：y=f(t)遞增遞減t = g(x)遞增遞減遞增遞減y=f g(x)遞增遞減遞減遞增以上規(guī)律可總結(jié)為：“同向得增，異向得減或“同增異減 不過(guò)要注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間必須注意

15、定義域；要確定 t = g(x)(常稱內(nèi)層函數(shù))的值域，否那么無(wú)法確定f(t)(常稱外層函數(shù))的單調(diào)性.1例求函數(shù)y=2的單調(diào)區(qū)間.x+ 11解函數(shù)y=2的定義域?yàn)閤 + 1(a, 1) U ( 1,+),2 1設(shè) t = (x +1)1 1令 t = x 2x 3( t 豐0)，那么 y =-,，貝U y= -(t>0).當(dāng)x ( a, 1)時(shí)，t是x的減函數(shù)，y是t的減函數(shù)，1所以(一a, 1)是y = 一+的遞增區(qū)間；n- I當(dāng)x ( 1,+a )時(shí)，t是x的增函數(shù)，y是t的減函數(shù)，1所以(一1,+a )是y = x + 2的遞減區(qū)間.1綜上知，函數(shù)y =二2的遞增區(qū)間為(a, 1

16、)，遞減區(qū)間為(一1,+a ).X十1因?yàn)閥= t在(，0)， (0，+m)上為減函數(shù)，而 t = x2 2x 3 在(f 1), ( 1,1)上為減函數(shù)，1在(1,3) ,(3 ,)上是增函數(shù)，所以函數(shù)y的遞增區(qū)間為(一f 1) ,( 1,1),X 2X 3 遞減區(qū)間為(1,3) , (3 ,+f).5函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用一、比擬大小2例1假設(shè)函數(shù)f (X) = x + mx+ n,對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f (2 x) = f (2 + x)成立，試比擬f( 1), f(2) , f(4)的大小.解 依題意可知f(x)的對(duì)稱軸為x = 2,二f( 1) = f(5). f (x)在2 ,+f)上是增函

17、數(shù)， f (2)< f (4)< f (5)，即 f (2)< f(4)< f( 1).評(píng)注 (1)利用單調(diào)性可以比擬函數(shù)值的大小，即增函數(shù)中自變量大函數(shù)值也大，減函數(shù)中 自變量小函數(shù)值反而變大； 利用函數(shù)單調(diào)性比擬大小應(yīng)注意將自變量放在同一單調(diào)區(qū)間.二、解不等式例2y=f(x)在定義域(一1,1)上是增函數(shù)，且f(t 1)<f(1 2t)，求實(shí)數(shù)t的取值范 圍.1<t 1<1,2解 依題意可得 1<1 2t<1, 解得t 1<1 2t ,評(píng)注(1)利用單調(diào)性解不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，推出兩個(gè)變量的大小，然后去解不等式

18、.(2) 利用單調(diào)性解不等式時(shí)應(yīng)注意函數(shù)的定義域，即首先考慮使給出解析式有意義的未知數(shù) 的取值范圍.(3) 利用單調(diào)性解不等式時(shí)，一定要注意變量的限制條件，以防出錯(cuò).三、求參數(shù)的值或取值范圍例3a>0,函數(shù)f(x) = x3 ax是區(qū)間1 ,+f)上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解任取 X1, X2 1 ,+f)，且 X1«2,那么 x= X2 X1 >0.33 y = f (X2) f (X1) = (X2 ax?) (X1 ax"2 2=(X2 xi)( xi + X1X2+X2 a).22T1W Xi<X2,二 xi + XiX2 + X2>

19、3.顯然不存在常數(shù) a,使(X2+ XiX2+ X2 a)恒為負(fù)值.又f (x)在1 ,+)上是單調(diào)函數(shù)，必有一個(gè)常數(shù) a，使x2 + X1X2 + X2 a恒為正數(shù)，2 2即 xi + X1X2 + X2>a.當(dāng) xi, X2 1 ,+)時(shí)，xi+ X1X2+ x2>3,.a< 3.此時(shí)， x= X2 Xi>0,.A y>0,即函數(shù)f (x)在i ,+s)上是增函數(shù)，.a的取值范圍是(0,3.四、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值例4函數(shù)f (X)=2小x + 2x+ aX i ,(i)當(dāng)a= 4時(shí)，求f(x)的最小值；i當(dāng)a=2時(shí)，求f (x)的最小值；假設(shè)a為正常數(shù)

20、，求f (x)的最小值.4解 當(dāng)a= 4時(shí)，f(x) = x + -+ 2,易知，f(x)在i,2上是減函數(shù)，在2 ,+)上是增X函數(shù)， f (X) min= f(2)= 6.t 1i當(dāng) a=時(shí),f(x) = x +2.易知，f(x)在1 ,+s)上為增函數(shù).7-f ( X)min= f (1)= 2*al 函數(shù)f(x) = x + -+ 2在(0 ,a上是減函數(shù)，X在 .a, +)上是增函數(shù).假設(shè).a>1，即a>1時(shí)，f (x)在區(qū)間1 ,+)上先減后增， f ( x) min= f (.：a) = 2=；a+ 2.假設(shè).aw 1，即卩0<awi時(shí)，f(x)在區(qū)間1，+)上

21、是增函數(shù), f ( x) min= f (1) = a+ 3.求函數(shù)值域的常用方法：配方法、換元法、單調(diào)性法、判別式法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法、 有界性法、別離常數(shù)法.例1求以下函數(shù)的值域：2x xy=x2x+1 ；2 y = 2x 1 13 4x.解1方法一配方法1X2 x+ 1，2 1又 x X+ 1 = x 2.0<x X+ 1方法二(判別式法)2,x x/口2由 y= x2 X +，x R 得(y 1)x + (1 y)x + y = 0.當(dāng) y= 1 時(shí)，x ?.當(dāng) yl 時(shí)，T x R,2.A = (1 y) 4y(y 1) >0,.函數(shù)的值域?yàn)?一3, 12方法一換元法

22、設(shè) 13 4x= t，貝U t >0,x=13 t2于是 f(x) = g(t) = 2 13 t21 t因此原函數(shù)的值域是OO方法二(單調(diào)性法)函數(shù)的定義域是13 x| x 4，當(dāng)自變量x增大時(shí)，2x 1增大，.13 4x減小，所以2x 1 13 4x增大，因此函數(shù)f(x) = 2x 113 4x在其定義域上是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù),131311所以當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)取得最大值 f -4 = 2,故原函數(shù)的值域是OO112例2求函數(shù)y=x x10 +10x10 10的值域.(有界性)因?yàn)閥=x2x .10 + 1010 + 110 1010 1y + 1 所以10 =尸1.y 1又因?yàn)?02x

23、>0,所以 >0.解得y>1或y< 1, y 1所以值域?yàn)?O, 1 U 1 , +O .3 + x例3求函數(shù)y=的值域.4 x=1 又七工0,x 47y = 1刁1,即函數(shù)的值域?yàn)?O, 1) U ( 1 ,+O ).函數(shù)奇偶性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，除了直接運(yùn)用定義法判斷外，下面再介紹幾種判定方法.一、定義域判定法例1判斷函數(shù)f (x) = x + 1 , x 1的奇偶性.分析 一個(gè)函數(shù)是奇(偶)函數(shù)，其定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的前提條件假設(shè)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).x 1?0,解 要使函數(shù)f(x)有意義，那么x +

24、1> 0.解得x> 1,即定義域是x| x> 1 因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).評(píng)注用定義域雖不能判斷一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，但可以通過(guò)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來(lái)說(shuō)明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性.二、變式法訂1 + X2 + X 1例2判斷f(x)=的奇偶性.寸1 + X2 + x+ 1f x分析 直接驗(yàn)證f ( x) =± f (x)有困難，可轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證=± 1( f (x)豐0) f x解f (x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x= 0時(shí)，f (x) = 0,圖象過(guò)原點(diǎn)._ 21 + x2f x因?yàn)楫?dāng)x工0時(shí)，-f2x 1

25、 汁-1,x+ 1所以 f( x) = f(x).又f(0) = 0,所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).評(píng)注 為了運(yùn)算上的方便或是直接運(yùn)用定義判斷較難進(jìn)行時(shí)，常把驗(yàn)證f ( x) =± f (x)轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證其變式：f(x) ± f ( x) 0 或f土 1( f(x)豐0).T x三、圖象法x+ 2, xv 1,例3判斷函數(shù)f(x) = 0, K xw 1,的奇偶性.x + 2, x > 1分析 此題可用圖象法較為直觀地判斷.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).評(píng)注一些函數(shù)的奇偶性可用圖象法解決，即圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函

26、數(shù)是偶函數(shù)，否那么既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，在各類考試中是考查的熱點(diǎn)，下面對(duì)奇偶性的常見應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明.一、求函數(shù)的解析式例1f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng) x (0,+)時(shí)，f(x) = x(1 + 3x)，求f(x)的解析 式.分析 要求f(x)在R上的解析式，條件已給出f(x)在(0,+)上的解析式，還需求當(dāng)x <0 時(shí)f (x)對(duì)應(yīng)的解析式.解因?yàn)?x ( 8, 0)時(shí)，一x (0,+),所以 f ( x) = x(1 + 3x) = x(1 3 x)，因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以 f (x) = f ( x) = x(1 3x) , x ( 8

27、, 0).在 f ( x) = f (x)中， 令 x= 0，得 f(0) = 0.x 1 +眾,x>0,所以 f(x) =0, x = 0,x 1 扳,xv 0.評(píng)注 利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式是常見題型，其步驟為：(1)設(shè)，設(shè)出在未知區(qū)間上的自變量x； 化，即將x轉(zhuǎn)化到區(qū)間上；(3)求，即根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出解析式.二、求參數(shù)的值例2函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng) x>0時(shí)，f(x) = x(x +1)，假設(shè)給出一個(gè)實(shí)數(shù) a, av0,有 f(a) = 2，那么實(shí)數(shù) a=.分析 根據(jù)條件當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x) = x(x +1) >0,由于f(a) = 2，顯

28、然需要求得 xv 0的解析式.解析 令 xv 0,那么一x> 0.所以 f( x) = x(1 x).又f (x)為奇函數(shù)，所以當(dāng) xv0時(shí)，有f (x) = x(1 x).2令 f(a) = a(1 a) = 2，得 a a 2 = 0.解得a= 1,或a = 2(舍去).答案 1評(píng)注解決此題首先根據(jù)定義域?qū)瘮?shù)的解析式進(jìn)行判斷，確定所求參數(shù)應(yīng)該對(duì)應(yīng)的解析式是求解此題的關(guān)鍵.三、求參數(shù)的范圍例3定義在(2,2)上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2)上是減函數(shù)，假設(shè)f(1 m V f(m，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.解 因?yàn)?f(X)是偶函數(shù)，所以 f(1 m = f(|1 m), f(m)= f(

29、i m).又 f(i m<f(m), 所以f(ii m) vf(i m).由f (x)在區(qū)間0,2)上是減函數(shù)，得omm < 11 m v 2.解得一ii1 v m< 2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是 1,.評(píng)注此題利用了偶函數(shù)的性質(zhì)：假設(shè)函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，那么恒有f(x) = f(| x|)，從而到達(dá)簡(jiǎn)捷求解的目的.單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩個(gè)重要根本性質(zhì)，二者之間有下面的密切聯(lián)系： 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.巧妙地運(yùn)用單調(diào)性和奇偶性的聯(lián)系，可以輕松解決很多函數(shù)問(wèn)題.下面分類舉例說(shuō)明.一、比擬大小例1函數(shù)f

30、(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，那么f ( 0.5)、f( 1)、f (0)的大小關(guān)系是()A. f ( 0.5) vf(0) vf ( 1)B. f ( 1) v f( 0.5)v f (0)C. f (0)v f( 0.5) vf ( 1)D. f ( 1) v f(0) v f( 0.5)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以 f( 0.5) = f(0.5) , f ( 1) = f(1).又因?yàn)閒 (x)在區(qū)間0,1上是減函數(shù)，所以 f( 1) v f ( 0.5) v f (0).答案 B評(píng)注比擬兩個(gè)函數(shù)值大小時(shí)，如果兩個(gè)自變量的值不在同一單調(diào)區(qū)間上，那么需要利用奇偶性來(lái)進(jìn)行

31、轉(zhuǎn)化.二、求函數(shù)最值例2假設(shè)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間3,6上是增函數(shù)且f(6) = 9，那么它在區(qū)間6, 3上()A.最小值是9B.最小值是9C.最大值是9D.最大值是 9解析 因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)且在區(qū)間3,6上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間6, 3上是減函數(shù).因此，f(x)在區(qū)間6, 3上最大值為f ( 6)=f (6) = 9.答案 D評(píng)注 應(yīng)用單調(diào)性和奇偶性的聯(lián)系求最值時(shí)，一定要確定是最大值還是最小值.三、解不等式例3假設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(g, 0)上是增函數(shù)，又f ( 2) = 0，那么x f(x) v 0的 解集是()A. ( 2,0) U (0,2)B. ( g, 2) U

32、(0,2)C. ( g, 2) U (2 ,+g)D. ( 2,0) U (2 ,+g)解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(一g, 0)上是增函數(shù)，又f( 2) = 0,所以可畫出符合條件的奇函數(shù)f(x)的圖象，如下圖.x> 0因?yàn)閤f(x) v 0，所以f x或 f x > 0得到答案為A.答案 A評(píng)注 此題是單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，并且有較強(qiáng)的抽象性.只要抓住其對(duì)稱性，分析圖象的特點(diǎn)，畫出符合條件的圖象，就不難使問(wèn)題得到解決.四、求參數(shù)的取值范圍1例4設(shè)定義在(1,1)上的奇函數(shù)f(x)在0,1)上單調(diào)遞增，且有f(1 m) + fg 2 m) v 0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

33、解由于函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?一1,1),1 v 1 mv 13 那么有1，解得0v mv-.1 v 2mv 14又 f(1 m) + f(2 2m) v 0,1 所以 f(1 m) v f 紜2m).而函數(shù)f (x)為奇函數(shù)，1 那么有 f (1 m) v f (2 m- p .因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且在0,1)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在定義域(1,1)上單調(diào)遞增， 那么有1 mv 2m-£解得m>|,13故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(1, 3).評(píng)注此題通過(guò)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義及其相關(guān)特征解決問(wèn)題，這是比擬常見的題型之難點(diǎn)突破4io函數(shù)圖象的三種變換函數(shù)的圖象變換是高

34、考中的考查熱點(diǎn)之一，常見變換有以下3種:、平移變換2例1設(shè)f(X)= X ,在同一坐標(biāo)系中畫出: y = f(x),y = f (x+ 1)和y = f (x 1)的圖象，并觀察三個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系; y = f(x),y = f (x) + 1和y= f (x) 1的圖象，并觀察三個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系.解如圖(2)女口圖2觀察圖象得:1)的圖象可由y = f (x + 1)的圖象可由y= f (x)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到；y = f(x y = f (x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到；y=f(x) +1的圖象可由y= f (x)的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到；y = f (x) 1的圖象

35、可由y = f (x)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到.二、對(duì)稱變換例2設(shè)f (x) = x+ 1,在同一坐標(biāo)系中畫出 y= f (x)和y = f ( x)的圖象，并觀察兩個(gè)函數(shù)圖 象的關(guān)系.解 畫出y= f (x) = x + 1與y = f ( x) = x+ 1的圖象如下圖.由圖象可得函數(shù) y=x + 1與y = x + 1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.評(píng)注 函數(shù)y = f (x)的圖象與y= f ( x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)y= f (x)的圖象與y= f (x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；函數(shù)y= f (x)的圖象與y= f ( x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.二、翻折變換例3設(shè)f(x) = x+ 1,在

36、不同的坐標(biāo)系中畫出 y=f(x)和y =|f(x)|的圖象，并觀察兩個(gè)函數(shù) 圖象的關(guān)系.解通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象可知：要得到y(tǒng) =|f(x)|的圖象，把y = f (x)的圖象中x軸下方圖象翻折到x軸上方，其余局部不變.例4設(shè)f (x) = x+ 1,在不同的坐標(biāo)系中畫出 y=f(x)和y =f(|x|)的圖象，并觀察兩個(gè)函數(shù) 圖象的關(guān)系.解如以下圖所示.v */Lt/ °JT-1 PX通過(guò)觀察兩個(gè)函數(shù)圖象可知：要得到y(tǒng) = f(| x|)的圖象，先把y = f (x)圖象在y軸左方的部分去掉，然后把y軸右邊的對(duì)稱圖象補(bǔ)到左方即可.11含參方程的解法一題多解訓(xùn)練，就是啟發(fā)和引導(dǎo)同學(xué)們從

37、不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的運(yùn)算過(guò)程去分析、解答同一道數(shù)學(xué)題的練習(xí)活動(dòng)，從而提高綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題 的技巧，鍛煉思維的靈活性，促進(jìn)同學(xué)們長(zhǎng)知識(shí)、長(zhǎng)智慧，開闊同學(xué)們的思路，弓I導(dǎo)同學(xué)們 靈活地掌握知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮創(chuàng)造性.例 假設(shè)方程x2 |x = k在區(qū)間(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù) k的取值范圍.分析此題考查方程在區(qū)間內(nèi)有實(shí)數(shù)解，考查根的分布問(wèn)題，由于函數(shù)與方程的關(guān)系密切, 所以解決此題可以利用根的分布得出滿足條件的不等式，進(jìn)而求解；也可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)， 利用數(shù)形結(jié)合思想求解所以有以下幾種方法.方法一令 f (x) = x2 X k.假設(shè)方程X2 2x

38、= k在區(qū)間(一1,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,A >0,91那么有f 1 >0,解得一 16三k< 2f 1>0.一 2 3假設(shè)方程x qx= k在區(qū)間(一1,1)內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)解,f 1= 0，f1 = 0，那么有 f( 1) f(1)<0 或或£1 >0f 1>0f15解得2三適綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為-916,52).評(píng)注 本方法是利用根的分布，分別討論有一解、兩解的情況，最后把解集取并集即可.2333方法二 因?yàn)閒 (x) = x x k的對(duì)稱軸x = 4 ( 1,1)，更確切地說(shuō)，x = 4在(0,1)內(nèi),一 2 3一A >0,9

39、5所以方程x zx= k在區(qū)間(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解等價(jià)于解得76k<2.2f 1>0.16295所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為16，).評(píng)注該解法的特點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)了此題的特殊性，即對(duì)稱軸在的區(qū)間內(nèi)，從而迅速將難題破解.一 232 3方法三 假設(shè)方程x x= k在(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，令y = x -x, x ( 1,1)的值域?yàn)镸那么原方程在(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，只需 k M即可.2339_16；根據(jù)函數(shù)y= x ?x的對(duì)稱軸x=4，且x ( 1,1)，可知函數(shù)在x = 3處取得最小值，即ymin= (3)2 |x|=4 4243 5函數(shù)在x = 1處取得最大值，即ymax= 1 + 2=95

40、所以16 w k<295所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為16，2).評(píng)注該解法的妙處在于將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問(wèn)題，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想, 而對(duì)于值域問(wèn)題的處理，也就簡(jiǎn)單多了.方法四令 f(x) = X2 - 2x, x ( 1,1) , g(x) = k.一 2 3 假設(shè)方程x 2X= k在(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，那么只需f (x)和g(x)的圖象在(1,1)內(nèi)有交點(diǎn)即可，如下圖.95顯然16 w k<2*95所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為16,).評(píng)注該解法很好地將一個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想，而且該解法還能進(jìn)一步對(duì)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論.一、要點(diǎn)掃描1函數(shù)零點(diǎn)的理解：(

41、1)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)是 同一個(gè)問(wèn)題的三種不同表達(dá)形式；(2)假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的圖象是一條連續(xù)的曲線， 且f(a)f(b) v 0，那么f (x)在區(qū)間a, b內(nèi)有零點(diǎn)，反之不成立.2函數(shù)零點(diǎn)的判定常用方法：(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合法；(3)解方程f(x) = 0.3. 曲線的交點(diǎn)問(wèn)題：(1)曲線交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，從而轉(zhuǎn)化為方程的根；(2)求曲線y= f (x)與y= g(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù) y= f (x) g(x)的零點(diǎn)，即求f (x) g(x) = 0 的根.二、典型例題剖析1求函數(shù)的零點(diǎn)例1求函

42、數(shù)f (x) = x3 3x+ 2的零點(diǎn).解令 f (x) = x 3x + 2= 0,2(X + 2)( x 1) = 0. x = 2 或 x= 1,函數(shù) f (x) = X3 3x + 2 的零點(diǎn)為一2,1.評(píng)注 求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求f(x) = 0的根，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，或利用數(shù)形結(jié)合思想把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題.2 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)x 一 2例2函數(shù)f(x) = ax+ x-(a> 1)，判斷函數(shù)f(x) = 0的根的個(gè)數(shù).x I解 設(shè) f i(x) = ax(a> 1), f 2( x)=fi(x) = f 2(

43、x)的解，即為函數(shù)f 1(x)與f2(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).x一 2 在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)f1(x) = ax(a> 1)與f 2( x) = 的圖象(如下圖).所以方程f(x) = 0的根有一個(gè).評(píng)注 利用數(shù)形結(jié)合的思想解決， 在同一坐標(biāo)系下作出 f1(x)與f2(x)兩函數(shù)的圖象，從而觀察出兩函數(shù)的交點(diǎn)(即是原函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù) )3.確定零點(diǎn)所在的區(qū)間1 一例3設(shè)函數(shù)y= x3與y=(2)x2的圖象的交點(diǎn)為(xo, yo)，那么xo所在的區(qū)間是()A. (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,4)1 1 1解析 y= x3與y =(2)x2的圖象的交點(diǎn)

44、的橫坐標(biāo)即為x3=(2)x一2的根，即f (x) = x3(孑廠2厶十-1 一 1310的零點(diǎn)，f(1) = 1 (2)= 1 V 0, f(2) = 2 (2)= 7>0,f(x)的零點(diǎn)在(1,2)內(nèi).答案 B評(píng)注 此題考查函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，表達(dá)對(duì)運(yùn)算能力和理解能力的要求.4. 利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)范圍例4關(guān)于x的二次方程x2+ (m 1)x 1 = 0在0,2上有解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.2解設(shè) f (x) = x + (m- 1)x + 1, x 0,2,m-10<丁 w 2,2A = n 1 4> 0,又 f(0) = 1>0

45、,由題意得m 1o >2, 或 2f 2 w 0.解得一3w mW 1,解得n< 3.綜合得mW 1.故m的取值范圍為nW 1.評(píng)注此題實(shí)質(zhì)是對(duì)一元二次方程根的個(gè)數(shù)的討論，解題過(guò)程中利用了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化、 分類討論思想、方程與不等式的轉(zhuǎn)化等知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力有很高的要求.函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想， 去分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決.方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決.方程的思想與函數(shù)的思想密切相關(guān)，對(duì)于函數(shù)y= f(x)(如果y= ax2 + bx+ c可以寫成f (x)=ax2+ bx+ c,即y = f (x)的形式)，當(dāng)y= 0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f (x) = 0，也可以把函數(shù)式y(tǒng) =f(x)看作二元方程 y f(x) = 0，函數(shù)與方程這種相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系很重要，我們應(yīng)熟練掌 握下面我們就具體看一下函數(shù)與方程的應(yīng)用舉例.一、判斷方程解的存在性32例1函數(shù)f(x) = 3x 2x + 1，判斷方程f(x) = 0在區(qū)間1,0內(nèi)有沒有實(shí)數(shù)解？ 分析 可通過(guò)研究函數(shù)f(x)在1,0上函數(shù)的變