平差教學(xué)成曉倩協(xié)因數(shù)傳播律PPT課件

1、第1頁/共42頁設(shè) 方差為 ，協(xié)方差為 ,ijL L22,ijij2201iiiiQp令：2201jjjjQp20ijijQ為 的協(xié)因數(shù)iiQiL為 的協(xié)因數(shù)jjQjL為 關(guān)于 的互協(xié)因數(shù)或相關(guān)權(quán)倒數(shù)ijQjLiLiiiQ202jjjQ20220ijijQ第2頁/共42頁2201iiiiQp2201jjjjQp20ijijQ協(xié)因數(shù)與權(quán)成反比，故亦為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)協(xié)因數(shù)與權(quán)成反比，故亦為衡量精度的相對(duì)指標(biāo)當(dāng)當(dāng) =0=0，說明兩觀測值獨(dú)立（不相關(guān)），說明兩觀測值獨(dú)立（不相關(guān)）ijQ第3頁/共42頁2111222200011121222122122222200020122122220001nnn

2、nXXnnnnnnnQQQQQQDQQQXXXXQD20XXQ協(xié)協(xié)因因數(shù)數(shù)陣陣n n維隨機(jī)向量,1 nX第4頁/共42頁111212122212nnXXnnnnQQQQQQQQQQ1. 1.主對(duì)角元素主對(duì)角元素 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)；的協(xié)因數(shù)，即權(quán)倒數(shù)；iXiiQ2.2.非主對(duì)角元素非主對(duì)角元素 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量 關(guān)于隨機(jī)變量關(guān)于隨機(jī)變量 的互協(xié)因數(shù)，且有的互協(xié)因數(shù)，且有 ，故協(xié)因數(shù)陣為對(duì)稱陣；，故協(xié)因數(shù)陣為對(duì)稱陣； iXjiQijjXjiijQQ 3. 3. 表明隨機(jī)變量表明隨機(jī)變量 與與 獨(dú)立，不相關(guān)獨(dú)立，不相關(guān)iXjiQij 0jX第5頁/共42頁設(shè)有觀測向量 和

3、 ，它們的方差陣分別為 和 ， 關(guān)于 的互協(xié)方差陣為 ，令1 ,nXnnXXD,1 , rYrrYYD,rnXYD,1 ,nX1 , rYXXnnXXDQ20,1YYYYQD20XYXYQD20YYrrYYDQ20,1XYrnXYDQ20,1XXXXQD20為 的協(xié)因數(shù)陣nnXXQ,1 ,nXrrYYQ,為 的協(xié)因數(shù)陣1 , rY為 關(guān)于 的互協(xié)因數(shù)陣rnXYQ,1 ,nX1 , rY第6頁/共42頁1. 1. 中的元素就是中的元素就是 關(guān)于關(guān)于 的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；XYQiXjY2. 2. 為為 關(guān)于關(guān)于 的的相關(guān)權(quán)逆陣相關(guān)權(quán)逆陣；XYQXY3.3.因因 ，所以，所以 ；TYXXYD

4、DTXYYXQQ4.4. 和和 是相互獨(dú)立的觀測向量；是相互獨(dú)立的觀測向量；XY0TXYYXQQrnnnrryxyxyxyxyxyxyxyxyxXYD2122212121111 11212 122212rrnnnrx yx yx yx yx yx yXYx yx yx yQQQQQQQQQQ第7頁/共42頁 1. 1. 中的對(duì)角元素是各個(gè)中的對(duì)角元素是各個(gè) 的權(quán)倒數(shù)，非對(duì)角元的權(quán)倒數(shù)，非對(duì)角元素是素是 關(guān)于關(guān)于 的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；jiXjXXQiXiX2. 2. 中的元素就是中的元素就是 關(guān)于關(guān)于 的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；的相關(guān)權(quán)倒數(shù)；XYQiXjY3.3. 和和 為為 和和 的權(quán)逆陣；的權(quán)逆

5、陣； 為為 關(guān)于關(guān)于 的相關(guān)的相關(guān)權(quán)逆陣；權(quán)逆陣；XYQYYQXXQXYXY4. 4. 為對(duì)稱陣為對(duì)稱陣 ， ；XYTYXQQXXQ 和和 是相互獨(dú)立的觀測向量；是相互獨(dú)立的觀測向量；5.5.XY0TXYYXQQ第8頁/共42頁YXZ20201ZZZZZZZZQDDQYYYXXYXXZZDDDDDYYYXXYXXZZQQQQQ2022201iiiipp精度評(píng)定中常用的兩種形式，精度評(píng)定中常用的兩種形式，不僅適用于觀測值還適用于觀測值函數(shù)不僅適用于觀測值還適用于觀測值函數(shù)第9頁/共42頁第10頁/共42頁nnnnnnXXPPPPPPP稱對(duì)22211211,0,11iiiippQ1iiiQp,1X

6、XXXQP1XXXXPQ120XXXXPD第11頁/共42頁nnXXXX211 ,22221,0000000nnnXXDnnnXXPPPP00000021,202202220212000000001nXXXXDQnppp101000121IQPQPXXXXXXXX11. 是由獨(dú)立觀測值 的權(quán) 構(gòu)成的對(duì)角陣。iXXXPip2. 與權(quán)逆陣（協(xié)因數(shù)陣）與權(quán)逆陣（協(xié)因數(shù)陣） 互為逆陣，通常稱互為逆陣，通常稱 為為 的權(quán)陣的權(quán)陣XXPiXXXPXXQ第12頁/共42頁1. 1.獨(dú)立觀測值的協(xié)因數(shù)陣獨(dú)立觀測值的協(xié)因數(shù)陣 、權(quán)陣、權(quán)陣 是對(duì)角陣，是對(duì)角陣，權(quán)陣主對(duì)角元素就是相應(yīng)觀測值的權(quán)。權(quán)陣主對(duì)角元素就是

7、相應(yīng)觀測值的權(quán)。XXPXXQ2.2.相關(guān)觀測值的協(xié)因數(shù)陣相關(guān)觀測值的協(xié)因數(shù)陣 、權(quán)陣、權(quán)陣 是非對(duì)角陣，是非對(duì)角陣，權(quán)陣的主對(duì)角元素不再是相應(yīng)觀測值的權(quán)。權(quán)陣的主對(duì)角元素不再是相應(yīng)觀測值的權(quán)。XXPXXQ1212222111211XXnnnnnnXXQPPPPPPPPPP， 也稱為也稱為 的權(quán)陣。的權(quán)陣。XXXP對(duì)于相關(guān)的觀測向量對(duì)于相關(guān)的觀測向量 仍令仍令I(lǐng)QPQPXXXXXXXX1X第13頁/共42頁例：已知觀測值向量 的權(quán)陣為 ，試求觀測值 的權(quán) 1 , 3L321242123P321,LLLip解：觀測值向量的協(xié)因數(shù)陣11321242123 PQLL21012101241由協(xié)因數(shù)的定義

8、可知：2142332211QQQ21321iiQppp無論觀測值相關(guān)還是獨(dú)立，其協(xié)因數(shù)陣無論觀測值相關(guān)還是獨(dú)立，其協(xié)因數(shù)陣 主對(duì)角元主對(duì)角元素均為相應(yīng)觀測值素均為相應(yīng)觀測值 的權(quán)倒數(shù)。的權(quán)倒數(shù)。XXQiX第14頁/共42頁第15頁/共42頁設(shè)有觀測值向量 和 的線性函數(shù)XY00FFYWKKXZ根據(jù)協(xié)方差傳播律：TXYZWTYXWZTYYWWTXXZZKDFDFKDDFDFDKKDDQD20顧及協(xié)方差陣與協(xié)因數(shù)陣的關(guān)系：TXYTXYZWTYXTYXWZTYYTYYWWTXXTXXZZKFQKQFQFQKFQKQFFQFQFQKQKKQKQ202020202020202020202020TXYZW

9、TYXWZTYYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ化簡得：1. 1.線性函數(shù)線性函數(shù)第16頁/共42頁如果Z和W的各個(gè)分量是X和Y的非線性函數(shù)2. 2.非線性函數(shù)非線性函數(shù)),(),(),(,),(),(),(21212211212121221121rWrrWrWrnZtnZnZtYYYfYYYfYYYfWWWWXXXfXXXfXXXfZZZZFdYdWKdXdZ求微分法，線性化nZtZtZtnZZZnZZZXfXfXfXfXfXfXfXfXfK212221212111rWrWrWrrWWWrWWWYfYfYfYfYfYfYfYfYfF212221212111TXYZWTYXWZT

10、YYWWTXXZZKFQQFQKQFFQQKQKQ第17頁/共42頁3.3.獨(dú)立觀測值獨(dú)立觀測值對(duì)于獨(dú)立觀測值 ，假定各 的權(quán)為 則 的權(quán)陣、協(xié)因數(shù)陣均為對(duì)角陣 1 ,nLiLiP1 , nLnLLpppP00000021nnnLLpppQQQQ100010001000000212211若有函數(shù)),(21nLLLfZnnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1)(1)(12222121nnnTLLZZLfLfLfpppLfLfLfKQQ212121100010001KdLdLLfdLLfdLLfdZnn2211第18頁/共42頁例：設(shè)有函數(shù)：0KKXZ0FFYWWZSFYKXRX的協(xié)因數(shù) ，Y的協(xié)

11、因數(shù) ，X關(guān)于Y的互協(xié)因數(shù)陣為 （ ）， 又 為常系數(shù)陣。求XXQYYQXYQTXYYXQQFKFK、00ZYZXRRSSWZWWZZQQQQQQQ、解：TXXZZKKQQTYYWWFFQQTXYZWFKQQTYYTYXTXYTXXWWWZZWZZSSFFQKFQFKQKKQQQQQQYXFKFYKXRTYYTYXTXYTXXTTYYYXXYXXRRFFQKFQFKQKKQFKQQQQFKQ0KKXZXXTXXZXKQIKQQXYTXYZYKQIKQQ0000KYXKKKXZYXIY0XYXYXXYYYXXYXXZYKQIKQKQIQQQQKQ000第19頁/共42頁例：設(shè)獨(dú)立觀測值 的權(quán)均為

12、 ，試求算術(shù)平均值的權(quán)), 2 , 1(niLip nLx xp解： nnLLLnnnLnLnLnnLx.1.111112121nnnpppnnnpQnxxx1111.011.11121nppnnpppn11)111(122nppx第20頁/共42頁例：設(shè)獨(dú)立觀測值 的權(quán)均為 ，試求的權(quán)ip), 2 , 1(niLi pLxpxp解： 11221nnpLxp Lp Lp Lpp 22212212111111nxnppppppppp xpp此時(shí)x為帶權(quán)平均值，帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和帶權(quán)平均值的權(quán)等于各觀測值權(quán)之和應(yīng)用權(quán)倒數(shù)傳播律：第21頁/共42頁例：已知觀測向量 和

13、 的協(xié)因數(shù)陣 和互因數(shù)陣 ，1X2X1122X XX XQQ、12X XQ12XXX11122122X XX XXXX XX XQQQQQ12YFXZKX設(shè)有函數(shù) ，試求Y關(guān)于Z的協(xié)因數(shù)陣YZQ解：120XYFX120XZKX1112212200X XX XYZTX XX XQQQFQQK12TYZX XQFQK第22頁/共42頁第23頁/共42頁Applications of Generalized Propagation in Surveying1. 由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差 Standard deviation of angle observations calculated by

14、the closure error of triangle Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第24頁/共42頁三角測量方法是布設(shè)水平控制網(wǎng)的主要方法之一1.1.由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差Standard deviation of angle observations calculate

15、d by the closure error of triangle中國天文大地網(wǎng)第25頁/共42頁1.1.由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangleiCiAiB180iiiiWABC二等三角網(wǎng)三角形閉合差為真誤差第26頁/共42頁n 個(gè)三角形的 3n 個(gè)獨(dú)立等精度的角度觀測量12,nW WW121212,nnnB BBC CC m180iiiiWABCn 個(gè)獨(dú)立等精度的三角形閉合差WWWmn2222iWmmmmi

16、WWmm3iWmm3WWmn1.1.由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle第27頁/共42頁1.1.由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle3WWmn 菲列羅公式 Ferreros Formula應(yīng)用：三角測量外業(yè)結(jié)束后用于估計(jì)測

17、角中誤差，初步評(píng)定測角觀測量的精度等 級(jí)一 等二 等三 等四 等測角中誤差0.70.7 1.01.0 1.81.8 2.52.5 第28頁/共42頁Applications of Generalized Propagation in Surveying1. 由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差 Standard deviation of angle observations calculated by the closure error of triangle Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Preci

18、sion True Errors Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第29頁/共42頁n，21n，21)(2，iiNL)0(2，Ni觀測值 的方差為iLn2nLLL，21一組同精度獨(dú)立觀測值2. 2. 用不等精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差用不等精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 同精度獨(dú)立的真誤差計(jì)算中誤差同精度獨(dú)立的真誤差

19、計(jì)算中誤差第30頁/共42頁數(shù)學(xué)期望、方差和權(quán)分別為: 、 和i2iipiiiL)(2iiiNL，)0(2iiN，nLLL，21現(xiàn)在設(shè)是一組不同精度的獨(dú)立觀測值2. 2. 用不等精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差用不等精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors 問題：如何利用一組不同精度的真誤差來求得單位權(quán)中誤差0現(xiàn)設(shè) 是一組同精度，且權(quán) 的獨(dú)立真誤差：i1ip 設(shè)：iii 2111iiipp權(quán)倒數(shù)傳播律：iipiiip 第31頁/共42頁

20、0n 0pn 0limnpn理論值理論值估值估值不同精度獨(dú)立的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差不同精度獨(dú)立的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差2. 2. 用不等精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差用不等精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差 Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors iiip 第32頁/共42頁Applications of Generalized Propagation in Surveying1. 由三角形閉合差計(jì)算測角中誤差 Standard deviation of angle

21、 observations calculated by the closure error of triangle Standard deviation of Unit Weight Variance calculated by the Diff-Precision True Errors Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第33頁/共42頁測量中，常常對(duì)一系列被觀測量進(jìn)行成對(duì)觀測，測量中，常常對(duì)一系列被觀測量進(jìn)行成對(duì)觀測，這種成對(duì)觀測稱為這種成對(duì)觀測稱為雙觀測雙觀測。設(shè)對(duì)量 ，觀測兩次，

22、得獨(dú)立觀測值和權(quán) ：nXXX，21nLLL，21第一次：nLLL ，21第二次：權(quán)：nppp，21 和 是對(duì)同一量 的兩次觀測，稱為一個(gè)觀測對(duì)iLiL iX設(shè)對(duì)內(nèi)精度相同，對(duì)間精度不同。3. 3. 由雙觀測值之差求中誤差由雙觀測值之差求中誤差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observations第34頁/共42頁兩次觀測值的差數(shù)：第i對(duì)觀測值平均值的方差：iiiLLd )21(ni，iiiiiidddLLXXi 0)()(npddnpddd220iLLpii12022 iLXpii2122022觀測值 和

23、的方差：iLiL 由權(quán)倒數(shù)傳播律：單位權(quán)方差：3. 3. 由雙觀測值之差求中誤差由雙觀測值之差求中誤差 Mean Square Errors calculated by the difference of double observationsiiidppppi21112idppi由雙觀測值之差由雙觀測值之差求得單位權(quán)方差求得單位權(quán)方差第35頁/共42頁例：設(shè)分5段測定A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，每段各測兩次，其結(jié)果列于下表中， 試求：（1）每公里觀測高差的中誤差；（2）第二段觀測高差的中誤差； （3）第二段高差的平均值的中誤差；（4）全長一次（往測或返測）觀測 高差的中誤差及全長平均值的中誤差段

24、段號(hào)號(hào)高差（高差（m）距離距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.7044.03.22.02.63.4iLiL第36頁/共42頁解：（1）單位權(quán)中誤差（每公里觀測高差的中誤差）為段段號(hào)號(hào)高差（高差（m）距離距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.63.416.020.024.524.67.4 15.292.5iiidLLiLiLiid diiiiiid dp d dS092.53.0210pddmmn 公里第37頁/共42頁段段號(hào)號(hào)高差（高差（m）距離距離S（km）12345+3.248+0.348+1.444-3.360-3.699+3.240+0.356+1.437-3.352-3.704+8-8+7-8+564644964254.03.22.02.6