§44大數(shù)定律與中心極限定理PPT課件

1、4.4 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科規(guī)律性的學(xué)科. 隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出同的條件下進行大量重復(fù)試驗時才會呈現(xiàn)出來來. 也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然也就是說，要從隨機現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象的法則，應(yīng)該研究大量隨機現(xiàn)象. 研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究形式，由此導(dǎo)致對極限定理進行研究. 極極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩限定理的內(nèi)容很廣泛

2、，其中最重要的有兩種種:與與大數(shù)定律大數(shù)定律中心極限定理中心極限定理設(shè)隨機變量 X 的期望E(X)與方差 D(X)存在，則對于任意實數(shù) 0,2)()| )(|XDXEXP1. 切比雪夫不等式或2)(1)| )(|XDXEXP26. 已知正常男性成人血液中，每一毫已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在數(shù)在52009400之間的概率之間的概率 .解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為解：設(shè)每毫升白細胞數(shù)為X依題意，依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為所求為 P(5

3、200 X 9400) P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300) = P(-2100 X-E(X) 2100)2)2100()(1XD = P( |X-E(X)| 2100)由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P( |X-E(X)| 2100)2)2100700(198911即估計每毫升白細胞數(shù)在即估計每毫升白細胞數(shù)在52009400之間的之間的概率不小于概率不小于8/9 .2. 大數(shù)定律大數(shù)定律 大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 大數(shù)定律的客觀背景：大數(shù)定律的客觀背景：大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)

4、頻率貝努里大數(shù)定律設(shè) nA 是 n 次獨立重復(fù)試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù), p 是每次試驗中 A 發(fā)生的概率, 則0有0limpnnPAn或1limpnnPAn在概率的統(tǒng)計定義中, 事件 A 發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率 在 n 足夠大時, 可以用頻率近似代替 p . 這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里大數(shù)定律的意義貝努里大數(shù)定律的意義切比雪夫大數(shù)定律且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差, 2 , 1,)(,)(2kXDXEkk則0有01lim1nkknXnP或11lim1nkknXnP,21nXXX相互獨立，設(shè) r.v. 序列當(dāng) n 足夠大時, 算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學(xué)期望

5、和方差的獨立 r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)算術(shù)均值均值數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)期望期望近似代替可被定理的意義定理的意義3. 中心極限定理中心極限定理中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景: 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響因素所產(chǎn)生總影響. 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布般都服從或近似服從正態(tài)分布. 設(shè)隨機變量序列,2

6、1nXXX獨立同一分布, 且有期望和方差：, 2 , 1,0)(,)(2kXDXEkk則對于任意實數(shù) x ,xtnkkndtexnnXP21221lim)(x定定理理一一林德伯格-列維中心極限定理 獨立同分布的中心極限定理獨立同分布的中心極限定理 注注)(limxxYPnn即 n 足夠大時，Y n 的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量的分布函數(shù)nnXYnkkn1記)1 ,0( NYn近似nkkX1),(2nnN近似服從它表明它表明: :當(dāng)當(dāng)n充分大時，充分大時，n個具有期望和方差個具有期望和方差的獨立同分布的的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布之和近似服從正態(tài)分布. . 設(shè) Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,則對任一實數(shù) x，有xtnndtexpnpnpYP2221)1 (limY n N (np , np(1-p) (近似)定定理理二二棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 二項分布以正態(tài)分布為極限分布二項分布以正態(tài)分布為極限分布 )(x即 n 足夠大時，例 某單位有200臺電話分機，每臺分機使用外線的概率為0.2, 假定每臺分機是相互獨立的，問要安裝多少條外線，才能以95%以上的概率保證分機用外線時不等待？解：設(shè)有X部分機同時使用外線，則有),(pnBX n200,p