級(jí)(上)第18次課第三節(jié)泰勒公式課件

1、上一頁下一頁返回第三節(jié)第三節(jié) 泰勒公式泰勒公式一、問題的提出一、問題的提出二、近似多項(xiàng)式和余項(xiàng)二、近似多項(xiàng)式和余項(xiàng)三、泰勒中值定理三、泰勒中值定理四、簡單的應(yīng)用四、簡單的應(yīng)用五、小結(jié)五、小結(jié)上一頁下一頁返回一、問題的提出一、問題的提出1 1. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù), ,則則有有2 2. .設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有例例如如, , 當(dāng)當(dāng)x很很小小時(shí)時(shí), , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 上一頁下一頁返

2、回xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上一頁下一頁返回不足不足:問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP, ,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計(jì)計(jì)1、精確度不高；、精確度不高； 2、誤差不能估計(jì)。、誤差不能估計(jì)。設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到 )1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,)(xP為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù) nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤誤差差 )()()(xPxfxRnn 上一頁下一頁返回0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 x

3、fxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點(diǎn)相交點(diǎn)相交0 x上一頁下一頁返回),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 上一頁下一頁返回三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值

4、值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的某某個(gè)個(gè)開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí), , )(xf可可以以表表示示為為)(0 xx 的的一一個(gè)個(gè)n次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式與與一一個(gè)個(gè)余余項(xiàng)項(xiàng))(xRn之之和和: : 上一頁下一頁返回證明證明: : 由由假假設(shè)設(shè), ,)(xRn在在),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1( n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,且且兩兩函函數(shù)數(shù))(xRn及及10)( nxx在在以以0 x及及x為為端端點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件, ,得得)()(1()(0011之之間間

5、與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上一頁下一頁返回如如此此下下去去, ,經(jīng)經(jīng)過過)1( n次次后后, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之之間間與與在在 xxnnRnn 上一頁下一頁返回 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項(xiàng)項(xiàng)式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱為稱為)(xf按按)(0

6、xx 的冪展開的的冪展開的 n n 階泰勒公式階泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則由上式得則由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 證畢證畢上一頁下一頁返回拉格朗日余項(xiàng)拉格朗日余項(xiàng))()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾余項(xiàng)皮亞諾余項(xiàng)0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即當(dāng)當(dāng)(1)( )nfx 有界有界上一頁下一頁返回注意注意: :1 1. . 當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,泰泰勒勒公公式式

7、變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0與與x之間之間, ,令令)10( x 則余項(xiàng)則余項(xiàng) 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 此時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式此時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式上一頁下一頁返回)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麥克勞林麥克勞林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上一頁下一頁返回四、簡單的應(yīng)用四、簡單的應(yīng)用解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff,) ()1(xn

8、exf 注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上一頁下一頁返回由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估計(jì)誤差估計(jì)誤差)0( x設(shè)設(shè)!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR上一頁下一頁返回 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxx

9、xx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上一頁下一頁返回例例 2 2 計(jì)計(jì)算算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原原式式上一頁下一頁返回xy xysin 播放播放五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁下一頁返回泰勒展開式播放泰勒展開式播放2 2. .T Taylo

10、raylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回思考題思考題利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限30sin(1)limxxexxxx上一頁下一頁返回思思考考題題解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30sin(1)limxxexxxx23333301()()(1)2!3!3!limxxxxxo xxo xxxx 33330()2!3!limxxxo xx 61 上一頁下一頁返回xy xysin 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁下一頁返回x

11、y xysin ! 33xxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁下一頁返回xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁下一頁返回xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁下一頁返回xysin !11! 9!7! 5!

12、 3119753xxxxxxy o五、小結(jié)1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似計(jì)計(jì)算算中中的的應(yīng)應(yīng)用用; ;上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2.

13、.T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼近局部逼近. .上一頁下一頁返回2 2. .T Tayloraylor 公式的數(shù)學(xué)思想公式的數(shù)學(xué)思想-局部逼