高等數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)學(xué)案

1、 高等數(shù)學(xué)(上)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo) 09年12月目 錄第一部分 常考題型與相關(guān)知識(shí)提要 1第二部分 理工大學(xué)0108級(jí)高等數(shù)學(xué)(上)期末試題集（8套題） 180108級(jí)高等數(shù)學(xué)(上)期末試題試題參考解答 26第三部分 高等數(shù)學(xué)(上)期末模擬練習(xí)題（5套題） 39模擬試題參考解答 46第四部分 09級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）考前最后沖刺題（1套題） 57第一部分 ?？碱}型與相關(guān)知識(shí)提要 題型一 求極限的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要須熟記下列極限:(1)基本的極限： 1）， 2）， 3） (2) 重要極限 1） 2）() 常見的等價(jià)無窮小 ， 其中 ()時(shí)，無窮大量的級(jí)別依次從小到大排列.求極限的方法:方法1、運(yùn)用四則運(yùn)算

2、法則運(yùn)用四則運(yùn)算法則求極限時(shí)要注意運(yùn)算條件：1）所有極限存在.2）分母極限不為；3）有限成立.方法2、運(yùn)用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：如，則方法3、運(yùn)用定理：有界量乘無窮小量仍是無窮小量方法4、運(yùn)用兩邊夾法則方法5 利用左右極限方法6、利用通分、約分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素方法7、利用重要極限方法8、用等價(jià)無窮小替換要注意使用條件：只能代換極限式的分子或分母中的因子，而不能代換“項(xiàng)”.方法9、用羅比塔法則要注意條件：（1）、必須是標(biāo)準(zhǔn)型未定式 （2）、必須極限存在技巧：使用前先用下列方法化簡(jiǎn)（1）、使用變量代換（2）、使用無窮小代換 （3）、先將能定形的極限算出01-08年相關(guān)考題較基本的極限

3、：1（01、一（1）、）2= . （05、一（1）、3）3若,則= . （02、一（1）、3）4則 . （04、一（2）、3）5數(shù)列，則_（03、一（1）、3）6、在的某去心鄰域內(nèi)無界是的_條件. （03、一（2）、3）7.計(jì)算.（07.二.1.68.則 .（08一 、1、3）可用羅比塔法則或等價(jià)無窮小替換法計(jì)算的極限：9求（01、二(2)、5）10求 （03、二（1）、5）11（03、二（2）、5）型的極限12.= （05、一（2）、3）13極限（06、一（2）、3）14函數(shù) （04、一（3）、3）15.,則 16. . （08一 、2、3）含有積分號(hào)的極限：17.（02、二（1）、5）18

4、求極限.（06、二（1）、6）19計(jì)算極限：（04、二（1）、6）20計(jì)算極限.（05、二（1）、6） 21.已知連續(xù)，求（08二、2 、7）題型二 求導(dǎo)數(shù)的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要求導(dǎo)數(shù)方法：1）用定義2）用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)法則、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、隱函數(shù)與參數(shù)方程求導(dǎo)法則、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則、冪指函數(shù)求導(dǎo)法則及積分上限求導(dǎo)法則.求導(dǎo)時(shí)要注意下列事項(xiàng):(1)當(dāng)未知函數(shù)可導(dǎo)或分段函數(shù)的分界點(diǎn)當(dāng)用定義求;(2)表示;(3) 冪指函數(shù)要取對(duì)數(shù)才能求導(dǎo);(4)參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)要分清求導(dǎo)對(duì)象:(5)給定點(diǎn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)先求導(dǎo)再代值.(6)對(duì)積分上限的求導(dǎo)公式中,被積函數(shù)中不得含有求導(dǎo)對(duì)象,否則要作代換使被積函數(shù)

5、中不得含有求導(dǎo)對(duì)象后再用求導(dǎo)公式.01-08年相關(guān)考題求顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1,求.（01、二（2）、5）2，求.（05、二（2）、6）3，其中可導(dǎo)，求.（02、二（2）、5. . （08一 、4、3）求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):5.求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（01、二（3）、5）6.設(shè)函數(shù)由方程確定，求.（05、二（3）、6）7.函數(shù)由方程確定，求.（06、二（3）、6）8設(shè)函數(shù)由方程確定，求.（07.二.3.6）求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)9，求和（04、二（3）、6）10求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（06、二、2）11. 設(shè)求.（08二、1 、7）積分上限求導(dǎo)12.設(shè)則 （02、一（3）、3）13設(shè)，求（04、二

6、（8）、6）14.設(shè)可導(dǎo)，為正整數(shù)，證明：（07.五4）15設(shè)，求.（07.二2，6）16.設(shè)由方程所確定，則 . （08一 、7、3）求微分17存在, 求（03、二（3）、5）18. （01、一（2）、3）19.設(shè)，求 （04、二（2）、6）20.設(shè)，（），求.（02、二（3）、5）21設(shè)，可導(dǎo)，則 （07、一3.3）題型三 關(guān)于連續(xù)與可導(dǎo)概念的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要 左右極限存在的間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn), 左右極限相等的間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn). 左右極限存在但不相等的點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)，左右極限至少有一者不存在的間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn)01-08年相關(guān)考題 函數(shù)的連續(xù)性:1.函數(shù),當(dāng)= 時(shí)連續(xù). （02、一

7、（2）、5）2，若在連續(xù)，則= （05、一（3）、3）3是函數(shù)的第 類間斷點(diǎn)（04、一（4）、3）.4.使函數(shù)在處連續(xù)，應(yīng)補(bǔ)充定義 .（06、一（1）、3）5是的可去間斷點(diǎn),則常數(shù)的取值范圍是_（03、一（3）6.點(diǎn)是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)中的 間斷點(diǎn)（07.一2）7. 曲線上經(jīng)過點(diǎn)的切線方程為 . （08一 、3、3）函數(shù)的可導(dǎo)性:8設(shè)為了使在連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)取什么值？（05、三、8）9、設(shè)，在處可導(dǎo)，求.（03、三、5）10討論為何值時(shí)，函數(shù)在處可導(dǎo).（03、一（4）、8）11.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 （01、一（8）、3）（03、一（5）12、已知連續(xù)，（為常數(shù)），求（1）;（2）;（3）討論在

8、處的連續(xù)性. （08五 、6） 13. 存在，則極限.（ 06、一（3）、3）14.則與之間的關(guān)系是 題型四 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凸凹區(qū)間與拐點(diǎn)的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要由得到分界點(diǎn)將的定義域分為若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上用的符號(hào)即可判別的單調(diào)性,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;由得到分界點(diǎn)將的定義域分為若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上用的符號(hào)即可判別的凸凹性,從而得到函數(shù)的凸凹區(qū)間; 凸凹區(qū)間的分界點(diǎn)即為拐點(diǎn).01-07年相關(guān)考題單調(diào)區(qū)間的考題1函數(shù)在內(nèi)單調(diào) . （ 04、一（5）、3）2函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 . （ 05、一（5）、3）凸凹區(qū)間與拐點(diǎn)的考題:3.當(dāng) 時(shí),點(diǎn)(1, 3)為的拐點(diǎn). （ 02、一（5

9、）、3）4曲線在區(qū)間 上是凸的，在 上是凹的，拐點(diǎn)是 .（ 04、一（6）、3）5.曲線的拐點(diǎn)是_（ 06、一（5）、3）6曲線的拐點(diǎn)為 （ 05、一（6）、3） 7.設(shè)，試問點(diǎn)是否是曲線的拐點(diǎn)，為什么？（ 03、四、8）8.曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 （07、一、5、3）題型五 求極值與最值的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要1)對(duì)一元函數(shù)由得到”可疑點(diǎn)”,再用判別法一或判別法二(對(duì)駐點(diǎn)) 即可判別點(diǎn)是否為極值點(diǎn);2) 對(duì)一元函數(shù)由得到”可疑點(diǎn)”,將其值與端點(diǎn)處的值比較即可得到閉區(qū)間上的最值.01-08年相關(guān)考題1.可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的必要條件是_.（ 03、一（6）、3）2.的極值. （ 06、二（4）、6）3

10、.在1-4上的最小值為 . （ 02、一（10）、3）4.討論在其定義域上的最大值與最小值. （ 01、七、6）5求函數(shù)在何處取得最小值（ 05、二（4）、6）6求的極值.（07、二、6）7.求函數(shù)的極值. （08三、1 、7）題型六 求（不）定積分的計(jì)算的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要1)主要方法:直接積分法與換元法(特別式三角代換和根式代換)和分部積分法.2)記住16個(gè)積分公式及下列補(bǔ)充公式:, , , , 3)掌握下列常見湊微分的式子: 4) 掌握奇偶函數(shù)的積分方法其中 為偶函數(shù)，為奇函數(shù)5) 掌握形如的積分方法（1）（2）(3)6)掌握分段函數(shù)的積分法:逐段積分后再相加.01-08年相關(guān)考題可以直

11、接計(jì)算或用湊微分方法求解的積分1.求 （ 01、一（4）、3） 2.求（ 01、二（4）、5）3.求（ 02、二（4）、5） 5.求 （ 01、三（2）、5）6求 （02、三（1）、5） 7求（02、三（2）、5）8.計(jì)算定積分.（ 06、二（6）、6） 9.求 （ 04、二（4）、6）10計(jì)算（ 05、二（5）、6）11計(jì)算（ 02、三（3）、5）12計(jì)算不定積分（07、二、5、6）可以用換元法求解的積分13 （ 05、二（6）、6） 14. （ 04、二（6）、6）15.（ 01、二（5）、5） 16計(jì)算.（07、二、6、6）17. （08三、2 、7）可以用分部積分法求解的積分:18.

12、（ 04、二（5）、6） 19 （ 02、三（4）、5）20. （ 02、二（5）、5） 21. （ 06、二（5）、6）22. （08三、3 、7）奇偶函數(shù)的積分23.設(shè)在連續(xù)并且為偶函數(shù),則 （ 01、一（3）、3）24設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則（04、一（7）25.（ 05、一（7）、3）26.用奇偶性計(jì)算定積分.（ 06、一（6）、3）27. . （ 02、一（7）、3）28. （ 01、三（1）、5） 29.求（02、二、（6）、5）30 （07.二、7、6）31.為常數(shù)） . （08一 、6、3）與積分概念有關(guān)的積分32.使公式成立的常數(shù)應(yīng)滿足的條件是 .（ 03、一（7）、3）33.設(shè)是

13、的一個(gè)原函數(shù),則= （ 02、一（6）、3）34.設(shè)物體以速度做直線運(yùn)動(dòng), 則上物體經(jīng)過的路程是_（ 03、一（8）、3）35.設(shè)，在處可導(dǎo)，求.（03、三）、3）36定積分 （07、一、4、3）37設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則 （07、一、6、3）38. 已知的一個(gè)原函數(shù)為，則 . （08一 、5、3）題型七 求廣義積分的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要 與正常積分的計(jì)算方法類似,但要注意到中間有瑕點(diǎn)時(shí)要在瑕點(diǎn)處分開計(jì)算.01-08年相關(guān)考題1= . （ 05、一（8）、3） 2當(dāng) 時(shí)，反常積分收斂. （ 04、一（8）、3）3.計(jì)算反常積分=_.（ 06、一（7）、3）題型八 級(jí)數(shù)斂散性的判別的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提

14、要常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別方法是利用下列常見的級(jí)數(shù)的斂散性及判別程序進(jìn)行判別.常見的級(jí)數(shù)的斂散性：等比級(jí)數(shù) -級(jí)數(shù) 調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的. 級(jí)數(shù)收斂的判斂程序：任 是 用正 發(fā)散 用萊氏 收斂 意項(xiàng)級(jí)數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法 準(zhǔn)則 條件收斂 否 收斂 發(fā)散 發(fā)散 絕對(duì)收斂 發(fā)散其中：1）、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂程序： 比較法極限形式及等價(jià)無窮小判別法 比較法一般形式比值法根值法 是 否 發(fā)散 收斂 發(fā)散 其中特別要優(yōu)先使用等價(jià)無窮小判別法：如的斂散性與的斂散性一樣.2）、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判斂法萊氏準(zhǔn)則： 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件，(n = 1,2,),則級(jí)數(shù)收斂，且和，余項(xiàng)的絕對(duì)值.01-08年相關(guān)考題：1、判別級(jí)數(shù)的斂散性（

15、 01、三（3）、5） 2、級(jí)數(shù)當(dāng) 時(shí)發(fā)散.（ 02、一（9）、3）3、級(jí)數(shù)的斂散性為_（ 06、一（10）、3）4、判斷級(jí)數(shù)的收斂性. （ 02、六、5）5、當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.( 05、一（10）、3）（08、一、8、3） 6、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為 （ 07、一、9） 解答：1、解：故收斂. 2、解：1. 3、解：發(fā)散. 4、解：用比值法 ,故原級(jí)數(shù)收斂.5、解：. 6、解：收斂.題型九 求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要 1）、冪級(jí)數(shù)的收斂域的求法先求收斂半徑： 若 或 ，則收斂半徑從而得收斂區(qū)間，再求端點(diǎn)處的斂散性即可到收斂域.特別要注意收斂域與收斂區(qū)間的區(qū)別.2）、冪級(jí)數(shù)的和先

16、在收斂域內(nèi)通過逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分將冪級(jí)數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再對(duì)于得到的和函數(shù)作逆運(yùn)算，即得原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，收斂區(qū)間不變，但要注意端點(diǎn)處的收斂性可能會(huì)發(fā)生變化 需記住的基本展開式：1) ；2) ；3) ；01-08年相關(guān)考題：1、已知級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù)的和是 （ 01、一（6）、3）（08、一、8） 2、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 （ 07、一、10）3、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間（ 01、三（4）、5） 4、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,并求和函數(shù). （ 01、四、7） 5、求冪級(jí)數(shù)的收斂域,并求和函數(shù). （ 05、四、8） 6、設(shè)冪級(jí)數(shù)1）、寫出它的一般項(xiàng);2）、求收斂半徑及收斂域. （

17、02、七、8） 7、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域，并求其和函數(shù). （ 06、三、8） 8、設(shè)冪級(jí)數(shù)為，求（1）收斂半徑及收斂區(qū)間；（2）和函數(shù).（08、七、8）9、利用冪級(jí)數(shù)的展開式：(1)、寫出的無窮級(jí)數(shù)展開式；(2)、再利用數(shù)的無窮級(jí)數(shù)的展開式，求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和. （ 07、四、9）10.已知，則 . （08、一、7）本題型解答：1、解：. 2、解：.3、解：，收斂區(qū)間為.4、解：令，收斂區(qū)間為（-1，1）.5、解：設(shè)， 則 =， .故=.當(dāng)原級(jí)數(shù)為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂域?yàn)?6、解：1）一般項(xiàng)為；2），收斂半徑,當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)為發(fā)散,時(shí)，冪級(jí)數(shù)為發(fā)散,故收斂域?yàn)椋?1，1）.7、解：

18、由級(jí)數(shù)兩端積分得: 為所求的和函數(shù). 收斂區(qū)間為(-1,1)，時(shí),原級(jí)數(shù)為,發(fā)散, 時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂,故收斂域?yàn)椋?、解：（1），所以：；（2）.題型十 關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要若，則.方向余弦， ， 且與向量同方向的單位向量為 與的夾角為 arccos， ，其中之中有一個(gè)為“0”或兩個(gè)為“0”時(shí)，如或，01-08年相關(guān)考題1.設(shè)點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)分別為a(2,3,-1),b(1,1,1)及c(0,4,-3)求 及.（ 01、三（5）、5）2.設(shè)，則 （ 02、一（8）、3）3.向量且滿足，則數(shù)（ 06、一（8）、3）4設(shè)，則（ 05、一（9）、3）5則 （04、一（9）、3）6

19、.投影 則_（ 03、一（9）、3）7.與平行的充要條件是_（ 03、一（10）、3）8設(shè)，則 （07.一7.3）9. 設(shè)向量且與軸垂直，則 . （08一 、8、3）題型十一 求直線方程與平面(曲面)方程的題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要1） 平面方程及平面與平面的關(guān)系（1）點(diǎn)法式方程（2）一般式方程 （3）截距式方程 （4）平面間的關(guān)系設(shè)兩平面 與(a) (b) (c)與的夾角 (d) 點(diǎn)到平面的距離 2）直線的方程及相互關(guān)系（1）對(duì)稱式方程 （2）一般式方程 （3）參數(shù)式方程 （4）兩點(diǎn)式方程（5）直線間的關(guān)系設(shè)兩直線 與(a) (b) (c) 與之間的夾角.3）空間曲面方程(1) 旋轉(zhuǎn)曲面的方程將yo

20、z面上的曲線繞y軸（或z軸）旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為（或） (2) 二次曲面的方程（1）球面 其中為球心，r為半徑.（2）橢球面 （3）園柱面 （4）拋物柱面 （5）橢園拋物面 （6）錐面 4 空間曲線方程(1) 一般式方程 (2) 參數(shù)式方程 (3) 空間曲線在三坐標(biāo)面上的投影方程設(shè)空間曲線：， 從該方程組中消去z，得到一個(gè)母線平行于z軸的柱面方程，將與z = 0聯(lián)立，即得在xoy平面上的投影方程 01-08年相關(guān)考題1.過點(diǎn)和的直線方程是 （ 01、一（5）、3）2.過點(diǎn)且與向量垂直的平面方程為 （ 04、一（10）、3）3.寫出直線的參數(shù)方程并求此直線與平面的交點(diǎn). （ 01、二（

21、8）、6）4.過點(diǎn)（4，-1，3）且平行于直線的直線方程是_（ 06、一（9）、3）5.求過點(diǎn)p(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程. （ 01、五、7）6.一直線過點(diǎn)（0，2，4）且與兩平面和平行，求直線方程. （ 02、五、9） 7.求過點(diǎn)且與兩平面平行的直線方程. （ 04、二（7）、6）8.求的對(duì)稱式方程. （ 03、二（7）、5）9.求到的距離為1的動(dòng)點(diǎn)軌跡. （ 03、二（8）、5）10、求過點(diǎn)且與兩平面，平行的直線方程.（07、二、8、6）11經(jīng)過點(diǎn)且與平面垂直的直線方程是 . （08一 、9、3）12、面上的曲線：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 （07、一、8、3）13（1

22、）求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程.（2）求點(diǎn)到直線的距離. （08四、1 、9）題型十二 證明題題型相關(guān)知識(shí)點(diǎn)提要1）證明不定式的方法：若，若 2）方程根的存在性與唯一性的證明方法：由零點(diǎn)存在定理或羅爾定理先證明根的存在性，再由單調(diào)性證明根的唯一性.01-08年相關(guān)考題證明不等式的題型1.證明：當(dāng)時(shí)（ 02、八、4） 2.證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立. （ 06、二（7）、3）3.設(shè)，證明：對(duì)于任意有（ 05、六、4） 方程根的存在性與唯一性的證明4.設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，證明在的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必有方程的實(shí)根. （ 04、五、5） 5.設(shè)且，試證：方程 在內(nèi)有且只有一根.（6分）（ 03、六、6） 6.設(shè)

23、函數(shù)在區(qū)間0，1上連續(xù)，且，證明 在區(qū)間（0，1）內(nèi)僅有唯一實(shí)根.（06、五、4） 第二部分 昆明理工大學(xué)0108級(jí)高等數(shù)學(xué)(上)期末試題集 2001級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷一、填空題（每小題3分、共24分）1、;2、;3、設(shè)在連續(xù)并且為偶函數(shù),則;4、;5、過點(diǎn)和的直線方程是 ;、已知級(jí)數(shù),則級(jí)數(shù)的和是 ;、.曲線在點(diǎn)處的曲率是 ;8、函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 ;二、計(jì)算下列各題(每小題5分,共25分)1、 2、求.3、求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4、 5、三、計(jì)算下列各題(每小題5分,共25分)1、 2、判別級(jí)數(shù)的斂散性 、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間5、設(shè)點(diǎn)a,b,c的坐標(biāo)分別為a(2,3,-1),b

24、(1,1,1)及c(0,4,-3)求 及.、(7分)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,并求和函數(shù).五、(7分)求過點(diǎn)p(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程.六、(6分)求由曲線及所圍圖形的面積.七、(6分)討論在其定義域上的最大值與最小值.2002級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試題一、填空題（3分×10=30分）1、若,則= .2、函數(shù),當(dāng)= 時(shí)連續(xù).3、設(shè)則 .4、曲線在處的法線方程為 .5、當(dāng) 時(shí),點(diǎn)(1, 3)為的拐點(diǎn).6、設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則= .7、 .8、設(shè)，則 .、級(jí)數(shù)當(dāng) 時(shí)發(fā)散.10、在1-4上的最小值為 .二、試解下列各題（5分×3=15分）1、.2、設(shè)，其中可導(dǎo)，求.3、設(shè)，

25、（），求.三、求積分（5分×4=20分）1、 2、3、 4、9分設(shè)平面圖由及x=2所圍成，求：1）平面圖形的面積a（要求作草圖）;2）平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積.五、9分一直線過點(diǎn)（0，2，4）且與兩平面和平行，求直線方程.、5分判斷級(jí)數(shù)的收斂性.、8分設(shè)冪級(jí)數(shù)1）、寫出它的一般項(xiàng);2）、求收斂半徑及收斂域.八、4分證明：當(dāng)時(shí)2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷一、 填空題：（共10題，每題3分）1、 數(shù)列，則_.2、 在的某去心鄰域內(nèi)無界是的_條件.3、 是的可去間斷點(diǎn),則常數(shù)的取值范圍是_.4、 可導(dǎo), , 則曲線在點(diǎn)處的切線斜率是_.5、 則與之間的關(guān)系是_.6、 可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極

26、值的必要條件是_.7、 使公式成立的常數(shù)應(yīng)滿足的條件是 .8、 設(shè)物體以速度做直線運(yùn)動(dòng), 則上物體經(jīng)過的路程是_.9、 投影 則_.10、與平行的充要條件是_.二.計(jì)算題（共8題，每題5分）1、求 2、求 3、存在, 求 4、求5、求 6、求7、求的對(duì)稱式方程.8、求到的距離為1的動(dòng)點(diǎn)軌跡.三、設(shè)，在處可導(dǎo)，求.（8分）四、設(shè)，試問點(diǎn)是否是曲線的拐點(diǎn)，為什么？（8分）、設(shè)拋物線試確定之值，使拋物線與直線所圍面積為，并且繞軸旋轉(zhuǎn)的體積最小.（8分）六、設(shè)且，試證：方程 在內(nèi)有且只有一根.（6分）2004級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷一、 填空題（每題3分，共30分）1、設(shè)則= .2、若則 .3、函數(shù)

27、.4、是函數(shù)的第 類間斷點(diǎn).5、函數(shù)在內(nèi)單調(diào) .6、曲線在區(qū)間 上是凸的，在 上是凹的，拐點(diǎn)是 .7、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則 .8、當(dāng) 時(shí)，反常積分收斂.9、則 .10、過點(diǎn)且與向量垂直的平面方程為 .二、計(jì)算下列各題（每題6分，共48分）1、計(jì)算極限： 2、設(shè)，求3、設(shè)，求和 4、求 5、求 6、計(jì)算定積分7、求過點(diǎn) 且與兩平面平行直線方程.8、設(shè)，求、（9分）設(shè)有位于曲線的下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以及軸上方之間的圖形：（1）求切線方程；（2）求平面圖形的面積；（3）求此平面圖形圍繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.四、（8分）討論為何值時(shí)，函數(shù)在處可導(dǎo).五、（5分）設(shè)在區(qū)間上可導(dǎo)，證明在的任意兩個(gè)零

28、點(diǎn)之間必有方程的實(shí)根.2005級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷一、填空題(每題3分,共30分)1、= .2、= .3、，若在連續(xù)，則= .4、曲線在點(diǎn)的切線方程為.5、函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為 .6、曲線的拐點(diǎn)為 .7、.8、= .9、設(shè)，則.、當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.二、計(jì)算下列各題（每題6分，共42分）1、計(jì)算極限. 2、，求.3、設(shè)函數(shù)由方程確定，求. 4、問函數(shù)在何處取得最小值.5、計(jì)算 6、計(jì)算 7、過點(diǎn)且與兩平面垂直的平面方程.三、（8分）設(shè) 為了使在連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)取什么值？ 、（8分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域,并求和函數(shù).、(8分)由直線及拋物線圍成一個(gè)平面圖形1求平面圖形的面積a.2求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的

29、旋轉(zhuǎn)體體積.六、(4分)設(shè)，證明：對(duì)于任意有 2006級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）試卷一、填空題：（每小題3分，共30分）1、使函數(shù)在處連續(xù)，應(yīng)補(bǔ)充定義 .2、極限.3、 存在，則極限.4、線在點(diǎn)（1，e）處的切線方程為 .5、線的拐點(diǎn)是_.6、用奇偶性計(jì)算定積分.7、計(jì)算反常積分=_.8、向量且滿足，則數(shù).9、過點(diǎn)（4，-1，3）且平行于直線的直線方程是_.、級(jí)數(shù)的斂散性為_.二、 計(jì)算下列各題：（每小題6分，共42分）1、求極限.2、求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3、設(shè)函數(shù)由方程確定，求.4、的極值.5、計(jì)算不定積分.6、計(jì)算定積分.7、證明：當(dāng)時(shí)，不等式成立.8、寫出直線的參數(shù)方程并求此直線與平面的

30、交點(diǎn).、（8分）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域，并求其和函數(shù).、（8分）由曲線與直線及軸圍成一個(gè)平面圖形，1、求此平面圖形的面積a；2、求此平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.五、（4分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間0，1上連續(xù)，且，證明 在區(qū)間（0，1）內(nèi)僅有唯一實(shí)根.2007級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）試卷一、填空題：（每小題3分，共30分）1、,則 2、點(diǎn)是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)中的 間斷點(diǎn)3、設(shè)，可導(dǎo)，則 4、定積分 5、曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是 6、設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則 7、設(shè)，則 8、面上的曲線：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為 、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 二、計(jì)算下列各題：（每小題6分，共4

31、8分）1、計(jì)算極限.2、設(shè)，求.3、設(shè)函數(shù)由方程確定，求.4、求的極值.5、計(jì)算不定積分.6、計(jì)算.7、計(jì)算.8、求過點(diǎn)且與兩平面，平行的直線方程.三 (9分)、(1)、求曲線在點(diǎn)處的切線方程；()、求曲線 與直線所圍成平面圖形的面積；()、求（2）中的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積. (9分)、利用冪級(jí)數(shù)的展開式：(2)、寫出的無窮級(jí)數(shù)展開式；(3)、再利用數(shù)的無窮級(jí)數(shù)的展開式，求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.五（4分）、設(shè)可導(dǎo)，為正整數(shù)，證明：. 2008級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）試卷一、填空題（每題3分，共30分）1.則 . . 曲線上經(jīng)過點(diǎn)的切線方程為 . . 已知的一個(gè)原函數(shù)為，則 .為常數(shù)） .7.設(shè)

32、由方程所確定，則 .8. 設(shè)向量且與軸垂直，則 .9.經(jīng)過點(diǎn)且與平面垂直的直線方程是 . 設(shè)，則 .二、計(jì)算下列各題（每題7分，共14分）1. 設(shè)求. 2.已知連續(xù)，求三、計(jì)算下列各題（每題7分，共28分）1.求函數(shù)的極值. 2.3. .設(shè)求四、計(jì)算下列各題（每題9分，共18分）1（1）求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程，（2）求點(diǎn)到直線的距離.將已知正數(shù)分解為三個(gè)正數(shù)之和，并使它們的倒數(shù)之和為最小.五、（6分）已知連續(xù)，（為常數(shù)）求（1）;（2）;（3）討論在處的連續(xù)性. 六、（4分）設(shè)在上可微，且 證明：存在，使得 試題參考解答2001級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷解答一、填空題（每小題3分、共24分

33、）1.0; 2.; 3. ; 4.； 5.； 6.；7.略； 8.不存在.二. 計(jì)算下列各題(每小題5分,共25分)1、解：.2、解： .3、解：.4、解：.5、 解：令，.三.計(jì)算下列各題(每小題5分,共25分)1、解：.2、解：.3、解：故收斂.4、解：，收斂區(qū)間為.5、解，四、解：令，收斂區(qū)間為（-1，1）.五、解：平面法向量， 平面法向量 .取所求平面的法向量 .由點(diǎn)法式方程可得所求平面方程為 ,即.六、解：曲線及所圍圖形為無界區(qū)域，其面積為 .七、解：的定義域?yàn)?，令得駐點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在其定義域上的最小值為，無最大值.2002級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷解答一、填空題（每小題3分、共

34、24分）1 ；21；3；4；5；6；70；812；91；10二、試解下列各題(每小題5分,共15分)1解：原式.2解： .3解：取對(duì)數(shù) ，兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 ， 故 .三、求積分(每小題5分,共20分)1、解：原式.2、解：原式= .3、解：令,原式.4、解：原式. .四、解：1）.2）.五、解：設(shè)求直線的方向向量為,由于且，則,故直線方程為 .六、解:用比值法 ,故原級(jí)數(shù)收斂.七、解：1）一般項(xiàng)為.2），收斂半徑,當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)為發(fā)散,時(shí)，冪級(jí)數(shù)為發(fā)散,故收斂域?yàn)椋?1，1）.八、證明：設(shè)，故當(dāng)時(shí)，即時(shí) 單增，故當(dāng)時(shí)，從而，.2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷解答一、填空題（每小題3分、共30分）1

35、、 ； 2、必要； 3、； 4、 ； 5、6、 ； 7、； 8、； 9、； 10、.二、計(jì)算題（共8題，每題5分）1、因?yàn)? （2分）故原式= （5分）2、原式= （2分） = （5分）3、 （2分） （5分）4、原式 = （2分）= （5分）5、原式 = （2分） = （5分）6、因?yàn)?（2分） （4分）故原式 （5分）7、直線過點(diǎn) （2分）其方向向量 （4分）故所求的對(duì)稱式方程為 （5分）8、解法一：由于動(dòng)點(diǎn)平行于平面，故可設(shè)所求的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為 （2分）又過點(diǎn)，故有 （3分）動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為 （5分）解法二：動(dòng)點(diǎn)到平面，即 （3分）故動(dòng)點(diǎn)軌跡方程為 （5分） 三、解： （2分）， （4分）

36、 （6分） （8分）四、解： （2分） （4分） （6分）凹，凸，故是的拐點(diǎn). (8分)五、解： （4分） （6分）,所以最小.故. （8分）六、證明：存在性：令，則，由零點(diǎn)存在定理，在內(nèi)有存在零點(diǎn); （3分）唯一性：如若在內(nèi)必有兩個(gè)零點(diǎn)，由羅爾定理，存在,使得,此與題設(shè)矛盾.因此在內(nèi)僅有一零點(diǎn). （3分）2004級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷解答一、填空題（每小題3分、共30分）1.; 2.; 3.; 4. 二; 5.減少; 6.; 7. 0 ; 8. 9.30; 10.二、計(jì)算下列各題（每題6分，共48分）1原式=. 2.，所以.3.； 4.原式=5.原式=6令當(dāng)，.7.取,所求直線方程為.8.

37、令,當(dāng),當(dāng),.三、解：.(1)、,設(shè)為切點(diǎn),切線方程為:,切線過原點(diǎn)得:, 切線方程為: ,即.(2)、面積.(3)、體積.四、解：由連續(xù)性，又,由.五、證明：令，設(shè)為的任意兩個(gè)零點(diǎn).即則 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且由rolle定理可知至少存在一點(diǎn)使得，即，因此，在的任意兩個(gè)零點(diǎn)之間必須有方程的實(shí)根.2005級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試卷解答一、填空題（每小題3分、共30分）1; 2. 3. ; 4. , 5; 6.;7.; 8. ;9. ; 10.二、計(jì)算下列各題（每題6分，共42分）1.解：原式=.2.解： 3.解：兩邊對(duì)求導(dǎo)得 ,解得4.解：，令 得駐點(diǎn),當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故為極小點(diǎn),極小值為.5.解：

38、=6.解：令原式：=2.7.解：所求直線的方向向量垂直于兩已知平面的法向量 ,故取=所求直線方程為： .三（8分）解： ，, 故當(dāng) 時(shí)， 在 處連續(xù).又 故當(dāng)時(shí)，存在,即當(dāng) 時(shí)，在 處連續(xù)可導(dǎo).四（8分）解：當(dāng),即時(shí)原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng),即時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散,故收斂半徑，當(dāng)原級(jí)數(shù)為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，收斂域?yàn)?設(shè) =故 =.五(8分)解：求交點(diǎn)得1a=.2.六(4分)證明：不妨設(shè)，分別在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理存在,使： 因?yàn)?又,故單調(diào)減，所以,故即 .2006級(jí)高等數(shù)學(xué)（上）期末試題答案及評(píng)分細(xì)則一、 填空題：（每小題3分，共30分）1. 2/3; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. 1; 8. 2; 9.