6-1-9和倍問(wèn)題（三）教師版

1、6-1-5.和倍問(wèn)題1. 學(xué)會(huì)分析題意并且熟練的利用線段圖法能夠分析和倍問(wèn)題2. 掌握尋找和倍的方法解決問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明：和倍問(wèn)題就是已知兩個(gè)數(shù)的和以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的問(wèn)題.解答此類應(yīng)用題時(shí)要根據(jù)題目中所給的條件和問(wèn)題，畫出線段圖，使數(shù)量關(guān)系一目了然，從而找出解題 規(guī)律，正確迅速地列式解答。和倍問(wèn)題的特點(diǎn)是已知兩個(gè)數(shù)的和與大數(shù)是小數(shù)的幾倍，要求兩個(gè)數(shù)，一般是把較小數(shù)看作1倍數(shù)，大數(shù) 就是幾倍數(shù)，這樣就可知總和相當(dāng)于小數(shù)的幾倍了，可求出小數(shù)，再求大數(shù).和倍問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系式是：和m（倍數(shù)+1 ）=小數(shù)小數(shù)x倍數(shù)二大數(shù) 或和一小數(shù)=大數(shù)如果要求兩個(gè)數(shù)的差，要先求1份數(shù)：1份數(shù)

2、x（倍數(shù)一1）=兩數(shù)差.解決和倍問(wèn)題，關(guān)犍是學(xué)會(huì)畫線段圖，這樣可以幫助我們更好的弄清各數(shù)量之間的關(guān)系?！纠?某項(xiàng)競(jìng)賽分一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍，每個(gè)二等獎(jiǎng)的 獎(jiǎng)金是每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍.如果評(píng)出一、二、三等獎(jiǎng)各2人，那么每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是308元.如 果評(píng)出1個(gè)一等獎(jiǎng)，2個(gè)二等獎(jiǎng)，3個(gè)三等獎(jiǎng)，那么一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是多少元？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】5星 【題型】解答【解析】我們把每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金看作1份，那么每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是2份，每個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金則是4份.當(dāng)一、二、 三等獎(jiǎng)各評(píng)2人時(shí)，2個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金之和是（308x2）元，2個(gè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金之和等于1個(gè)一等獎(jiǎng)的 獎(jiǎng)金

3、308元，2個(gè)三等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金等于1個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金（30 :元.所以獎(jiǎng)金總額是： 30& 2b 3 0-83 0-8 =2元.當(dāng)評(píng)1個(gè)一等獎(jiǎng)，2個(gè)二等獎(jiǎng)，3個(gè)三等獎(jiǎng)時(shí)，1個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金看做4份，2個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金2x2 = 4（份），3個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的份數(shù)是1x3 = 3 （份），總份數(shù)就是：4 + 4 + 3 = 11 （份）這樣，可以求出1份數(shù)為1078-11 = 98元，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為：98x4 = 392 （元）.【答案】392元【例2有5堆蘋果，較小的3堆平均有18個(gè)蘋果，較大的2堆，蘋果數(shù)之差為5個(gè)；又較大的3堆平均有 蘋果26個(gè)，較小的2堆蘋果之差為7個(gè)；最大堆與最小堆平均有22個(gè)蘋果，

4、問(wèn)：各堆各有多少個(gè) 蘋果？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】5星【題型】解答【解析】方法二：作圖表示題目各個(gè)量之間的關(guān)系能讓復(fù)雜的關(guān)系看起來(lái)簡(jiǎn)潔明了且不易混亂，用下圖表示 它們的關(guān)系： 7個(gè)最大堆與最小堆平均22個(gè)，那么最大堆與最小堆一共有22 x 2 = 44 （個(gè)）；較大的2堆，蘋果數(shù)之 差為5個(gè)，得知次大堆比最大堆少5個(gè)蘋果；較小的2堆蘋果之差為7個(gè)，說(shuō)明次小堆比最小堆多 7個(gè)蘋果，因此，得知次小堆和次大堆之和為：44-5 + 7 = 46 （個(gè)），這樣最大堆、最小堆、次大堆、 次小堆四堆蘋果數(shù)量之和是：44 + 46 = 90 （個(gè)），較大的3堆蘋果之和：26x3 = 78 （個(gè)），較小的 3堆

5、蘋果之和：18x3 = 54 （個(gè)），較大的3堆蘋果和較小的3堆蘋果總和等于最大堆、次大堆、最小 堆、次小堆以及2個(gè)中間堆的數(shù)量之和.所以，中間堆的數(shù)量是：（78 + 54-90）一2 = 21 （個(gè)），最大堆與次大堆的和是：78-21 = 57 （個(gè)）， 最大堆有蘋杲：（57 + 5）*2 = 31 （個(gè)），次大堆有：57-31 = 26 （個(gè)），同理最小堆有蘋果：（54-21 -7）4-2 = 13 （個(gè)），次小堆有蘋果:13 + 7 = 20 （個(gè)）.方法一：最大堆與最小堆共22x2=44個(gè)蘋果.較大的2堆與較小的2堆共44x 2+ 7-5=90個(gè)蘋 果.所以中間的一堆有：（18x3 +

6、 26x3 90）一2 = 21個(gè)蘋果；較大的2堆有：26x3-21=57個(gè)蘋果；最大的一堆有：（57 + 5）一2 = 31個(gè)蘋果；次大的一堆有：57-31 = 26個(gè)蘋果；較小的2堆有：18x3 21 = 33個(gè)蘋果；次小的一堆有：（33 + 7） + 2 = 20個(gè)蘋果；最小的一堆有：20-7 = 13個(gè)蘋果.【答案】最小的有13個(gè)，次小的有20個(gè)，中間的有21個(gè)，次大的有26,最大的有31【例3】食堂買來(lái)5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到10種不同重量（單位：千克）：47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 57, 58, 59.問(wèn)：這五只羊各重多少千克？【考點(diǎn)】和倍

7、問(wèn)題【難度】5星 【題型】解答【解析】可以設(shè)定羊的重量從輕到重分別為a, b , c, d, e.則4 + b = 47, d + e = 59.同時(shí)不難整 體分析得到a+ 3+ c+ d+s-0 百1荷2 +5 3+ 5 4+ 5牛 5夕 5f8 :千克.則c = 1 3 4- 47- 5臺(tái)千克.不難有a + c = 50, £ + 0 = 58 .則a = 22千克，£ = 30千克，3 = 25千克，£> = 29千克.【答案】這五只羊重為：22, 25, 28, 29, 30【例4】某小學(xué)五年級(jí)和六年級(jí)參加創(chuàng)新杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽共有16人，其中：五年級(jí)的學(xué)

8、生比六年級(jí)的學(xué)生多； 六年級(jí)的男生比五年級(jí)的男生多；五年級(jí)的男生比五年級(jí)的女生多；六年級(jí)的女生至少有1人.那 么六年級(jí)的男生有人.【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【關(guān)犍詞】2008年，湖北省，第六屆，創(chuàng)新杯【解析】因“五年級(jí)的學(xué)生比六年級(jí)的學(xué)生多”，故五年級(jí)學(xué)生至少有9人，而六年級(jí)學(xué)生至多有7人；因“五 年級(jí)男生比五年級(jí)的女生多”，所以五年級(jí)男生至少有5人；因“六年級(jí)男生比五年級(jí)男生多"，所以 六年級(jí)男生至少有6人，而六年級(jí)男生不能多于6人，否則再加上六年級(jí)的女生至少有1人，則六 年級(jí)的學(xué)生人數(shù)就會(huì)多于7人，這不可能.因此，六年級(jí)的男生恰好有有6人.【關(guān)鍵詞】6人 【例5某校

9、師生共為地震災(zāi)區(qū)捐款462000元，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，他們各自所捐的錢數(shù)，共有10種不同檔次最低檔次共有10人，而每上升一個(gè)檔次，捐款人數(shù)就減少1人；且從第二檔次開(kāi)始，以后各檔次的捐款錢數(shù)，分別為最低檔次的2倍、3倍、4倍10倍，那么捐款最多的人捐款元.【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級(jí)，初試，9題【解析】本題是一道和倍問(wèn)題，最高檔次是1個(gè)人，恰好是最低檔次10人合捐的10倍,則把最低檔次10人看作”1“份，則共 10x1+9x2+8x3+7x4+5x6+2x9+1x10=220 份,462000220=2100 元，則最高檔次即捐款最多的人捐款為2100x10=2

10、1000元【答案】21000元【例6()a、b、c、d、e五人坐在一起聊天.小明想知道這五個(gè)人的年齡和.可五人都沒(méi)有直接回答.e說(shuō)：“a、b、c、d四個(gè)人的年齡和101歲”.d說(shuō)：“b、c、e三個(gè)人的年齡和105歲”.c說(shuō)： “a、b、d、e四個(gè)人的年齡和115歲” b說(shuō)：“a、d、e三個(gè)人的年齡和80歲”a說(shuō)：“ a、c、d 三個(gè)人的年齡和66歲”.請(qǐng)問(wèn)：五人的年齡和是歲?！究键c(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)組，復(fù)試，5題【解析】這是一道應(yīng)用題，考察的是同學(xué)們整體觀察的能力.將5人說(shuō)的話列成下表：abcde年齡和11111011118011111151116611

11、1105從整體看問(wèn)題：a共用4次，b共用3次，c共用3次，d共用4次，e共用3次所以，將b、c、e 再補(bǔ)上一次，a、b、c、d、e就各用 4 次.所以五人的年齡和是 (101+ 80 +115+ 65+ 105x2) 一4 = 133 .【答案】133 【例7】有兩盒圍棋子。第一盒中的白子數(shù)量是黑子數(shù)量的9倍，第二盒中的黑子數(shù)量是白子數(shù)量的9倍:兩盒中白子的總數(shù)是黑子總數(shù)的4倍，那么第一盒中棋子的數(shù)量是第二盒中棋子數(shù)量的倍?！究键c(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】3星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級(jí)，初賽，12題【解析】逐步操作法.假設(shè)第一盒中有1個(gè)黑子，9個(gè)白子，第二盒中有9個(gè)黑子，1個(gè)白子，此時(shí)兩

12、盒中白 子的總數(shù)是黑子總數(shù)的(9+1) -(9+1) =1倍，不滿足4倍，所以要再添第一盒的棋子，我們可以 加至第一盒棋子數(shù)量的2倍、3倍依次可算出兩盒中白子的總數(shù)是黑子總數(shù)的幾倍，發(fā)現(xiàn)加至第 一盒棋子數(shù)量的7倍時(shí)，兩盒中白子的總數(shù)是黒子總數(shù)的4倍，即第一盒中棋子的數(shù)量是第二盒中 棋子數(shù)量的7倍.【答案】7倍【例8盒子里有紅球和白球若干，若每次從里面拿出1個(gè)紅球和1個(gè)白球，那么當(dāng)拿到?jīng)]有紅球時(shí)，還剩 下白球50個(gè)，若每次拿出1個(gè)紅球和3個(gè)白球，則拿到?jīng)]有白球時(shí)，還剩下50個(gè)紅球，那么盒子 里有紅球和白球各多少個(gè)？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】3星 【題型】解答【解析】方法一：第二次拿到?jīng)]有白球的時(shí)候

13、還剩下50個(gè)紅球，因此如果再增加150個(gè)白球，可以使得“每次拿出1個(gè)紅球和3個(gè)白球''兩種球都不剩下，這樣增加150個(gè)白球后，按照第一種取 法，白球會(huì)剩下50 + 150 = 200 (個(gè))，這說(shuō)明白球增加150個(gè)后，白球的數(shù)量是紅球的3 倍且白球比紅球多200個(gè)，轉(zhuǎn)化為差倍問(wèn)題，所以，紅球的數(shù)量是200 + 2 = 100 (個(gè))，此 時(shí)白球的數(shù)量是：1()()x3 = 3()()(個(gè))，不過(guò)這個(gè)數(shù)量是白球增加150個(gè)之后的結(jié)果，所以 原來(lái)盒子里有白球300-150 = 150 (個(gè))，紅球100個(gè).方法二：用下圖表示它們的關(guān)系：紅球i亠 白球i亠 i把紅球的數(shù)量減去50個(gè)看

14、做“1倍量"，可以得到，“2倍量''的數(shù)量是(50 + 50)個(gè).所以 紅球的數(shù)量有50 + (50 + 50)一2 = 100 (個(gè))，白球的數(shù)量比紅球多50個(gè)，有100 + 50 = 150 (個(gè)).可以看出作圖表示簡(jiǎn)潔明了得多，也更容易發(fā)現(xiàn)隱含的關(guān)系.【答案】紅球100,白球150 【例91 一家汽車銷售店有若干部福特汽車和豐田汽車等待銷售。福特汽車的數(shù)量是豐田汽車的3倍，如果 每周銷售2輛豐田汽車和4輛福特汽車，豐田汽車銷售完時(shí)還剩下30輛福特汽車請(qǐng)問(wèn)：原有豐田汽 車和福特汽車各多少輛？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】4星 【題型】解答【解析】假設(shè)福特汽車的數(shù)量是3份

15、，豐田車的數(shù)量是1份，根據(jù)福特車銷售量是豐田車的兩倍知道，銷售 完一份豐田車肯定要銷售完2份福特車，也就是說(shuō)當(dāng)豐田車銷售完的時(shí)候，福特車應(yīng)該只剩下1份, 所以我們知道1份數(shù)量是30,那么原來(lái)的豐田車和福特車就分別應(yīng)有30輛和90輛?！敬鸢浮控S田30輛，福特90輛【例10超市運(yùn)來(lái)一批水果糖和巧克力糖，其中水果糖的顆數(shù)比巧克力糖的3倍還多10顆.售貨員將這些糖包裝成相同的小袋，每袋內(nèi)裝了3顆巧克力糖和7顆水果糖.最后巧克力糖全部裝完，水果糖 還剩下170顆.請(qǐng)問(wèn)：這批糖果共有幾顆水果糖，幾顆巧克力糖？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】由題意，如果每袋里裝3顆巧克力糖和9顆水果糖，則只

16、剩下10顆水果糖：現(xiàn)在每袋里裝了 3顆巧 克力糖和7顆水果糖，結(jié)果剩下了 170顆水果糖.由此可以算出總的袋數(shù)為：(170-10)4-(9-7) = 80 (袋)，因此水果糖總數(shù)為80x7 + 170 = 730 (顆)，巧克力糖總數(shù)為80x3 = 240 (顆).【答案】共有730顆，巧克力有240顆【例11某日停電，房間里燃起了長(zhǎng)、短兩根蠟燭，它們?nèi)紵俣仁且粯拥?開(kāi)始時(shí)長(zhǎng)蠟燭是短蠟燭長(zhǎng)度的2倍，當(dāng)送電后吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)此時(shí)長(zhǎng)蠟燭是短蠟燭長(zhǎng)度的3倍.短蠟燭燃燒掉的長(zhǎng)度是5厘 米.問(wèn)原來(lái)兩根蠟燭各有多長(zhǎng)？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】5星【題型】解答【解析】我們要注意發(fā)掘題目中真正的不變量，實(shí)際上本

17、題中兩根蠟燭的長(zhǎng)度差是不變的(因?yàn)閮筛灎T燃燒 的速度一樣).所以我們根據(jù)題意可知：原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)度=2倍原短蠟燭長(zhǎng)度，差為1倍原短蠟燭長(zhǎng)度； 后長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)度=3倍后短蠟燭長(zhǎng)度，差為2倍后短蠟燭長(zhǎng)度；所以原短蠟燭長(zhǎng)度=2倍后短蠟燭長(zhǎng)度， 也就是說(shuō)短蠟燭燃燒了 1倍后短蠟燭長(zhǎng)度，為5厘米，所以原短蠟燭長(zhǎng)10厘米，原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)20厘米.【答案】原短蠟燭長(zhǎng)10厘米，原長(zhǎng)蠟燭長(zhǎng)20厘米【鞏固】某日停電，房間里同時(shí)點(diǎn)燃了兩支同樣長(zhǎng)的蠟燭.這兩支蠟燭的質(zhì)量不同，一支可以維持3小時(shí)， 另一支可以維持5小時(shí)，當(dāng)送電時(shí)吹滅蠟燭，發(fā)現(xiàn)其中一支剩下的長(zhǎng)度是另一支剩下長(zhǎng)度的3倍.這 次停電時(shí)間是多少小時(shí)？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難

18、度】5星【題型】解答【解析】?jī)芍灎T長(zhǎng)度相同，一支可以維持3小時(shí)，另一支可以維持5小時(shí)，所以從兩支蠟燭中取相同長(zhǎng)度的 部分，可以燃燒的時(shí)間之比為3:5.現(xiàn)在可以維持5小時(shí)的那支蠟燭剩下的長(zhǎng)度是另外一支的3倍， 所以剩下的部分可以燃燒的時(shí)間是另外一只剩下部分可以燃燒時(shí)間的3x5-3 = 5倍，由于燃燒了相 同的時(shí)間，所以這支剩下的部分可以燃燒的時(shí)間比另外一只剩下部分可以燃燒的時(shí)間要長(zhǎng)5-3 = 2 小時(shí).所以另外一支剩下的部分可以燃燒的時(shí)間為24-(5-1) = 0.5小時(shí)，這次停電的時(shí)間為 3-0.5 = 2.5 小時(shí).【答案】這次停電的時(shí)間為2.5小時(shí)【例12下面有三道加法題，當(dāng)正方形、三角

19、形、圓形各代表什么數(shù)時(shí)，才能使下面的等式成立？+ +0=16 + +a +0=13 + +0+0=11(3)【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】4星 【題型】解答【解析】先求口、o三種圖形的代表數(shù)之和，再減去其中兩圖形代表數(shù)之和，從而求出其中一圖形 代表的數(shù)，進(jìn)而求出其他圖形的代表數(shù).由、相加4 個(gè) 口+4 個(gè) +4 個(gè) 0=404x(d+a +0)=40得，+ +0=10由-得：= 16-10=6由-得：二13-10=3由得：0=11-10=1檢驗(yàn)，將口=6, a =3, 0=1分別代入原等式、，三等式成立，說(shuō)明求解正確.【答案】口=6, a =3, 0=1【鞏固】用中國(guó)象棋的車、馬、炮分別表示不同的自

20、然數(shù)。如果，車三馬=2,炮三車=4,炮馬=56,那么“車+ 馬+炮,，等于多少？【考點(diǎn)】和倍問(wèn)題【難度】4星 【題型】解答【解析】車、馬、炮表示的三個(gè)數(shù)中，馬表示的數(shù)最小，我們以馬表示的數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，畫出線段圖如下： 馬二 1|把馬表示的數(shù)看作1份，車表示的數(shù)就是2份，炮表示的數(shù)就是4個(gè)2份, 所以，馬表示的數(shù)為：56-? (2x4-1) =8o“車+馬 + 炮”等于:8x (1+2+2x4) =88 o【答案】88【例13甲、乙兩個(gè)小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒.如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的 糖粒數(shù)的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3倍.那么甲、乙兩個(gè)小

21、朋友共有多少粒糖？【考點(diǎn)】差倍問(wèn)題【難度】1星 【題型】解答2 3【解析】總體和部分，比較分析.甲給乙一定數(shù)量糖后，甲占總數(shù)的三，乙給甲一定數(shù)量后，甲占總數(shù)的？ 則3 43 9 111前后變化三_三=丄.又由于前后變化為2倍的“同樣數(shù)量的糖=所以每次變化丄十2 =丄，所以糖4 3 121224的總數(shù)能被24整除.由于每袋糖不超過(guò)20粒，則糖的總數(shù)不超過(guò)40粒，又是24的倍數(shù)，則只能 是24.【答案】24 【例14 一小、二小兩校春游的人數(shù)都是10的整數(shù)倍，出行時(shí)兩校人員不合乘一輛車，且每輛車盡量坐滿現(xiàn)在知道，若兩校都租用14座的旅游車，則兩校共需租用這種車72輛；若兩校都租用19座的旅游 車，

22、則二小要比一小多租用這種車7輛.問(wèn)兩校參加這次春游的人數(shù)各是多少？【考點(diǎn)】差倍問(wèn)題【難度】1星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，兩?？?cè)藬?shù)不少于14x(72-2) + 1 + 1=982人，且不多于14x72 = 1008人，因?yàn)槭?0的整數(shù)倍，所以總?cè)藬?shù)為1000人，或990人.由于二小比一小多租用7輛19座的旅游車，所以二小與一小的人數(shù)之差不小于6x19 + 1 = 115人，不 大于8x19-1 = 151人，又是10的倍數(shù)，可能的情況有：120、130、140、150.二小有560人；二小有565人，不符;二小有570人；二小有575人，不符;如果總?cè)藬?shù)為1000人，兩校人數(shù)之差：

23、如為 120,則一小有(1000-120)4-2 = 440, 如為 130,則一小有(1000-130)一2 = 435, 如為 140,則一小有(1000-140)4-2 = 430, 如為 150,則一小有(1000-150)一2 = 425,檢驗(yàn)可知一小430人、二小570人符合題意.如果總?cè)藬?shù)為990人，同樣檢驗(yàn)兩校人數(shù)之差分別為120、130、140、150的情況，可知都沒(méi)有符合 條件的答案.所以這次春游人數(shù)一小是430人，二小是570人.【答案】一小是430人，二小是570人 【例15 在一次考試中，甲、乙兩人考試結(jié)果如下：甲答錯(cuò)了全部試題的丄，乙答錯(cuò)了 7道題，甲、乙3 都答錯(cuò)的題目占全部試題的丄，則甲、乙兩人都答對(duì)的題目最少多少道？【考點(diǎn)】差倍