概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一節(jié)課件

1、第三章第三章隨機(jī)向量隨機(jī)向量本章開始學(xué)習(xí)本章開始學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .它是第二章內(nèi)容的推廣它是第二章內(nèi)容的推廣第一節(jié)二維隨機(jī)向量第一節(jié)二維隨機(jī)向量第二節(jié)二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布第二節(jié)二維隨機(jī)向量函數(shù)的分布第三節(jié)二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征第三節(jié)二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征*第五節(jié)第五節(jié)n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量第四節(jié)二維正態(tài)分布第四節(jié)二維正態(tài)分布第六節(jié)中心極限定理第六節(jié)中心極限定理*第七節(jié)大數(shù)定

2、理第七節(jié)大數(shù)定理(本章共七節(jié)）本章共七節(jié)） 第第1 1周周 第第2 2周周第第3 3周周習(xí)題課習(xí)題課 第第4 4周周 1 二二 維維 隨隨 機(jī)機(jī) 向向 量量定義定義,XYX Y 如如果果樣樣本本空空間間 中中的的樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)同同時(shí)時(shí)對對應(yīng)應(yīng)著著兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 和和以以這這兩兩個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為分分量量的的向向量量( () )稱稱為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量，或或二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量。例子例子 考考察察某某地地區(qū)區(qū)成成年年男男子子的的身身體體狀狀況況，令令X：該該地地區(qū)區(qū)成成年年男男子子的的身身高高；(,)X Y則則就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量Y：該地區(qū)成年男子的

3、體重；：該地區(qū)成年男子的體重； 對對一一目目標(biāo)標(biāo)進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊，令令：X：彈彈著著點(diǎn)點(diǎn)與與目目標(biāo)標(biāo)的的水水平平距距離離；Y：彈彈著著點(diǎn)點(diǎn)與與目目標(biāo)標(biāo)的的垂垂直直距距離離；(,)X Y則則就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量 考考察察某某地地區(qū)區(qū)的的氣氣候候狀狀況況，令令：X：該該地地區(qū)區(qū)的的溫溫度度；(,)X Y則則就就是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量Y：該該地地區(qū)區(qū)的的濕濕度度注意注意二二維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量也也稱稱為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量； 我我們們應(yīng)應(yīng)把把二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量XY（ ， ）XY看看作作一一個(gè)個(gè)整整體體，因因?yàn)闉榕c與之之間間是是有有聯(lián)聯(lián)系系的的；(,)X

4、Y在在幾幾何何上上，二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量可可看看作作平平面面上上的的隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù) , XYxyXYXY定定義義3 3. .2 2 設(shè)設(shè)，是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量，則則對對于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ，二二元元函函數(shù)數(shù)稱稱為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量，的的, , 或或稱稱為為 和和的的分分布布函函數(shù)數(shù)聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù). . 2 , ( ,)Fx yPXxYyx yR ，稱稱(),XFxP XxxR XY分分別別為為關(guān)關(guān)于于和和的的邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)。(),YFyP YyyR (, ) (, )

5、X YXYX YXYXY注注意意：如如果果是是一一個(gè)個(gè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則它它的的分分量量和和 都都是是一一維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，關(guān)關(guān)于于 或或 的的邊邊緣緣分分布布也也就就是是一一維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量 或或 的的分分布布。聯(lián)合分布函數(shù)的概率意義聯(lián)合分布函數(shù)的概率意義yo(x, y)(X, Y )( , ),F x yP Xx Yy x ( , )( , )F x yx y表表示示平平面面上上的的 隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)落落在在以以 為為右右上上頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的無無窮窮矩矩 形形中中的的概概率率一個(gè)重要的公式一個(gè)重要的公式 ( )P aXbF bF a （ ）yxo P aXbcYd ，cdab(

6、b , d)(b , c)(a , d)(a , c),F b d （）( , )F b c ( , )F a d ( , )F a c 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：2.2.F (x , y )是變量是變量 x , y 的不減函數(shù)，即的不減函數(shù)，即對于任意固定的對于任意固定的x , 當(dāng)當(dāng) y1 y2時(shí)，時(shí)，( , ),F x yP Xx Yy 對于任意固定的對于任意固定的y, 當(dāng)當(dāng) x1 x2時(shí)，時(shí)，21. 0( , )1, ( , )F x yx yR12(, )(, );F xyF xy 12( ,)( ,).F x yF x y 1122(, ),(, ),F xyP Xx

7、YyF xyP Xx Yy 4 4. .F (x , y )關(guān)于關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù)也右連續(xù).（固定（固定y）3. (, )lim( , )0 xFyF x y （固定（固定x）( ,)lim( , )0yF xF x y (,)lim( , )0 xyFF x y (,),Fx yP Xx Yy (, )( ,)FyF x (,)lim( , )1xyFF x y 聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)的關(guān)系: :( ) ( ) , ( , )XYFxFyF x y， ( )XFxP Xx , P XxY ( ,)F x ( ), ()YFyP

8、 YyP XYyFy ， ( )( ,) ( )(, ) XYFxF xFyFy離散型二維隨機(jī)變量離散型二維隨機(jī)變量(,)(,)X YX Y 若若二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的取取值值是是有有限限個(gè)個(gè)或或可可列列無無窮窮個(gè)個(gè)，則則稱稱為為二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量聯(lián)合概率函數(shù)和邊緣概率函數(shù)聯(lián)合概率函數(shù)和邊緣概率函數(shù),(,) , 1,2,1,2, (,)(,) ,ijijijijijX YxypijijPX YxypP XxYypX YXY 定定義義 如如果果離離散散型型二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量( () )的的可可能能值值為為, ,其其概概率率記記為為 即即 或或概概率率函函數(shù)數(shù)， ，稱

9、稱之之為為( () )的的或或 與與 聯(lián)聯(lián)合合概概率率函函數(shù)數(shù)。相應(yīng)地，記相應(yīng)地，記(1)(2 ) , 1,2, 1,2,iijjP XxpiP Yypj 分別稱為關(guān)于分別稱為關(guān)于X、關(guān)于關(guān)于Y的的邊緣概率函數(shù)邊緣概率函數(shù)。聯(lián)合概率函數(shù)可以用表格來表示：聯(lián)合概率函數(shù)可以用表格來表示：(X,Y) P 11122122(,) ( , ) (, ) (, ) ( , ) ijx yx yxyxyx y11122122 ijppppp2P Xx (1)2p (2)33P Yyp 如如稱之為一維表稱之為一維表XY12 jyyy 12 ixxx111212122212 jjiiijppppppppp(,)

10、X Y 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律也也可可以以由由下下表表表表示示稱之為二維表稱之為二維表聯(lián)合概率函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合概率函數(shù)的性質(zhì)1.01, ( ,1,2,)ijpi j,2.1iji jp（正定性）（正定性）（歸一性）（歸一性）XY12 jyyyXP 12 ixxx111212122212 jjiiijpppppppppYP1jjp2jjp2 jjp1()P Xx2()P Xx () iP Xx聯(lián)合概率與邊緣概率的關(guān)系：聯(lián)合概率與邊緣概率的關(guān)系：1 iip2iip ijipXY12 jyyyXP 12 ixxx111212122212 jjiiijpppppppppYP1jjp2jjp2 jjp1

11、()PYy2()PYy()jPYy1()P Xx2()P Xx () iP Xx 1 1()PYy2()PYy()jPYy1()P Xx2()P Xx () iP XxXY12 jyyyXP 12 ixxx111212122212 jjiiijpppppppppYP1jjp ijjp1 iip2iip ijip2jjp若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量( X,Y )的聯(lián)合概率函數(shù)為的聯(lián)合概率函數(shù)為則關(guān)于則關(guān)于X的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為()iijjPXxp ()jijiP Yyp 關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣概率函數(shù)為的邊緣概率函數(shù)為(,)ijijPXxYyp 聯(lián)合概率與邊緣概率的關(guān)系：聯(lián)合概率與邊

12、緣概率的關(guān)系：即在二維聯(lián)合概率分布表中即在二維聯(lián)合概率分布表中將各行聯(lián)合概率分別累加將各行聯(lián)合概率分別累加即在二維聯(lián)合概率分布表中即在二維聯(lián)合概率分布表中將各列聯(lián)合概率分別累加將各列聯(lián)合概率分別累加例例1 5件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有2件次品件次品3件正品，每次從中任取一件，件正品，每次從中任取一件，不放回地連續(xù)取兩次。用不放回地連續(xù)取兩次。用X、Y分別表示第一、二次取分別表示第一、二次取到的次品數(shù)，寫出到的次品數(shù)，寫出(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布。的聯(lián)合分布和邊緣分布。解：解：隨機(jī)向量隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能值為的所有可能值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。0,0P XYX的

13、可能取值為的可能取值為0,1，Y的可能取值也是的可能取值也是0,13 235 410 0,1P XY3 235 410 1,0P XY2 335 410 1,1P XY2 115 410 XY3100101310310110XY3100101310310110XP35250P X1P XXY3100101310310110XPYP35250P X1P XXY3100101310310110XPYP352510P X1P X0P Y 1P Y 3525與第一章學(xué)與第一章學(xué)過的全概率過的全概率公式吻合公式吻合例例 2 (,)(0,0)(1,1)(1,1), (0,0)1, (,)X YppX Y

14、二二維維兩兩點(diǎn)點(diǎn)分分布布：只只取取和和兩兩個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn), ,且且取取的的概概率率為為則則取取的的概概率率為為的的分分布布如如下下表表所所示示 (X,Y) (0, 0) (1, 1) P 1- -p pXY1 P010100PXPYP1 PP11 PP顯然一維隨機(jī)變量顯然一維隨機(jī)變量X、Y均服從一維均服從一維01分布分布也可列成二維聯(lián)合概率表也可列成二維聯(lián)合概率表 (,)1 1,6(0,1)3X YXYF設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量僅僅取取( (0 0, ,0 0) ), ,( (- -1 1, ,1 1) ), ,( (1 1, ,- -1 1) ), ,( (1 1, ,1 1) )四四個(gè)個(gè)值值

15、，且且取取前前三三值值的的概概率率依依次次2 2為為， ， 求求與與 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布及及邊邊緣緣分分布布，并并3 39 9求求例例。 21111,11-()36918P XY 解解 由由聯(lián)聯(lián)合合概概率率函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)可可得得X與與Y的聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布列表如下的聯(lián)合概率分布和邊緣概率分布列表如下(0,1)F0,1P XY215366 定義定義 對于二維隨機(jī)變量對于二維隨機(jī)變量 ( X,Y )，如果存在非負(fù)如果存在非負(fù)可積函數(shù)可積函數(shù) f (x , y )，使得對于平面上的任意可度使得對于平面上的任意可度量的區(qū)域量的區(qū)域D，都，都有：有：則稱則稱 ( X,Y ) 為連續(xù)型二維

16、隨機(jī)變量，函數(shù)為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，函數(shù) f (x , y )稱稱為二維隨機(jī)變量為二維隨機(jī)變量 ( X,Y )的的密度函數(shù)密度函數(shù)，或稱為，或稱為 X 和和 Y 的的聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)，記為，記為 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量2(,)( , ) , ( , )X Yf x yx yR 聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)： (,)( , )DPX YDf x y dxdy 聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)：21. ( , )0 , ( , )f x yx yR 2.( , )1f x y dxdy （正定性）（正定性）（歸一性）（歸一性）2( , )(,)f x y dxdyPX YR

17、 ( 事實(shí)上，事實(shí)上，,PXY ()1)P ( , )( , )DPx yDf x y dxdy 聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)：21. ( , )0 , ( , )f x yx yR 2.( , )1f x y dxdy （正定性）（正定性）（歸一性）（歸一性）( ,)f x y滿滿足足以以上上兩兩條條基基本本性性質(zhì)質(zhì)的的任任何何一一個(gè)個(gè)二二元元函函數(shù)數(shù)都都可可作作為為某某二二維維隨隨機(jī)機(jī)向向量量的的聯(lián)聯(lián)合合密密注注意意：度度函函數(shù)數(shù)。聯(lián)合密度函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系聯(lián)合密度函數(shù)與聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系：-( , )( , )xyF x yf s t dsdt 2( , )( , )F

18、x yf x yx y ,( , )bdacP aXb cYdf x y dydx ,( , )( , ) ( , )( , )P aXb cYdF b dF b cF a dF a c 計(jì)算概率的公式計(jì)算概率的公式：( , )( , )DPx yDf x y dxdy 22( , )(1)(1)Cf x yxy 01,01.PXY 例例(P131) (P131) 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為(1).(1).求常數(shù)求常數(shù)C； (2).(2).求分布函數(shù)求分布函數(shù)F( (x , y) )； (3).(3).求概率求概率 1fxy dxdy ，22(1)(1)Cd

19、xdyxy arctan|arctan|Cxy 21C 2211(1)(1)Cdxdyxy 解解(1) (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)得由密度函數(shù)的性質(zhì)得 2C 分離變量分離變量 (2) ( , )( , )xyF x yf s t dtds 2221( , )(1)(1)f x yxy 2221(1)(1)xydtdsst 21arctanarctanxyst 21(arctan)(arctan)22xy 222111(1)(1)xydsdtst (3) 01,01PXY 或或01,01PXY 221()()()424224222 2 1100( ,)f x y dxdy 11222001(1)(

20、1)dxdyxy 1100211arctanarctan16xy (1,1)(1,0)(0,1)(0,0)FFFF 21 ( , )(arctan)(arctan) 22F x yxy 116 例例 的密度函數(shù)為，設(shè)二維隨機(jī)變量YXC求常數(shù) ；200( ,)0 xyCexyfx y，其 它(, )( , )X YF x y 求的聯(lián)合分布函數(shù)；(, )22PX YDDxyxy求,其中區(qū)域 是由 軸、 軸和直線圍成。解：由密度函數(shù)的性質(zhì)，得 dxdyyxf，1200 xyCedxdy 200yxCedyedx2C2C2001()()2yxCee200( ,)0 xyCexyfx y，其 它00 x

21、y當(dāng)且時(shí)，(2 )00( , )2yxstF x yedtds 211xyee2(1)(1)000 xyeexyF xy，其它(2)( , )F x y；，0yxF00 xy當(dāng)或時(shí)，( , )yxf s t dsdt 200() ()xystee 2200(,)0 xyexyfx y ，其其 它它220()xeedx21 3e (, )( , )DPX YDf x y dxdy20 d x(, )22PX YDDxyxy求,其中區(qū)域 是由 軸、 軸和直線圍成。120 xd y212200(2)xxyeedy dx212200()xxyeedx220(1)xxeedx (2)2xyexy12O2

22、2xy1 2xy x二維均勻分布二維均勻分布的密度函數(shù)為，如果二維隨機(jī)變量YX上的均勻分布服從區(qū)域，則稱二維隨機(jī)變量DYX 10DxyDSfxyxyD ，設(shè)D是平面上的有界區(qū)域，其面積記為 DS二維均勻分布幾何意義二維均勻分布幾何意義中的位置無關(guān)在的形狀以及而與面積成正比，內(nèi)的概率與該子區(qū)域的域內(nèi)任一個(gè)子區(qū)內(nèi)；并且落在落在區(qū)域只，為隨機(jī)點(diǎn)均勻分布，我們可以認(rèn)上的服從區(qū)域，如果二維隨機(jī)變量DDDDDDYXDYX111邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)Dxyo(,)X Yabdc(,)( ,)X Yf x y XY( )XXfx ( )YYfy 和和 分別稱為分別稱為(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的邊緣密度函數(shù)

23、的邊緣密度函數(shù)( )Xfx( )Yfy聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)若若 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為則則( X,Y )關(guān)于關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為( , )f x y( )( , )Xfxf x y dy P aXb ,P aXbY ( )Xfx (,) bafx y dy dx 若若 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為則則( X,Y )關(guān)于關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為關(guān)于關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為( , )f x y( )( , )Xfxf x y dy ( )( , )Yfyf x y dx 例（例（P135） (,)( , )|, ,

24、 , ,X YDDx yaxb cyda b c dXY 設(shè)設(shè)服服從從區(qū)區(qū)域域 上上的的均均勻勻分分布布，其其中中為為常常數(shù)數(shù)求求 與與 的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)和和邊邊緣緣密密度度函函數(shù)數(shù)。()(),DSba dc 解解：由由于于聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)為為 , ( ,)( ,)0 , x yDf x y 其其他他1( - )( - )b a d cxaxb 當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí)，()(,)Xfxfx y dy 關(guān)于關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為axb當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，() cdXcdfxdydydy 1ba ()00Xfxdy + +( ,)0f x y 1()()b a d c 001, ,

25、 ()()( , )0 , ax b cy db a d cf x y 其其他他 , Xa b即即一一維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服從從區(qū)區(qū)間間上上的的均均勻勻分分布布。1 ()-0Xaxbfxba 所所以以 其其他他1 ( )0 , YcydfydcYU c d 同同理理可可得得其其他他即即。若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X,Y)服從矩形區(qū)域服從矩形區(qū)域D上的均上的均勻分布，則其分量勻分布，則其分量X和和Y均服從一維均勻分布均服從一維均勻分布 例（例（P135） 設(shè)設(shè)(X，Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分布，上的均勻分布，其中其中D是由直線是由直線 y = x與拋物線與拋物線 圍成，求圍成，求X與

26、與Y的聯(lián)合密度及邊緣密度。的聯(lián)合密度及邊緣密度。解解 如圖，首先求區(qū)域如圖，首先求區(qū)域D的面積，易得的面積，易得則則X與與Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為2yx 1201()6DSxxdx 6( , )( , )0( , )x yDf x yx yD xyo11y=x2yxxyo11y=x2yxD下面求邊緣密度下面求邊緣密度6( , )( , )0( , )x yDf x yx yD ( )( , )Xfxf x y dy 當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)，時(shí)，( )00Xfxdy 0 1xx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，01x 22( )060 xxXxxfxdydydy 26()xx xyo11y=x2yx用類似的方法求出用類

27、似的方法求出區(qū)域區(qū)域D上的二維均勻分布，其分量不一上的二維均勻分布，其分量不一定是一維均勻分布，除非定是一維均勻分布，除非D是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域( )( , )Yfyf x y dx 26()01( )0Xxxxfx 其其它它6()010yyy 其其它它隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性兩事件兩事件A,B獨(dú)立的定義：獨(dú)立的定義：P(AB)=P(A)P(B) 設(shè)設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對任意的是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對任意的x,y，都有，都有則稱則稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 .)()(),(yYPxXPyYxXP用隨機(jī)變量的語言表達(dá)，即：用隨機(jī)變量的語言表達(dá)，即：有關(guān)獨(dú)立性的幾個(gè)充分必要條件：有關(guān)獨(dú)立性

28、的幾個(gè)充分必要條件：,ijijP Xx YyP XxP Yy 1.隨機(jī)變量隨機(jī)變量X,Y相互相互獨(dú)立的充分必要條件是獨(dú)立的充分必要條件是( , )( )( )XYF x yFx Fy .離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X,Y相互相互獨(dú)立的充分必要條件是獨(dú)立的充分必要條件是3.連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互相互獨(dú)立的充分必要條件是獨(dú)立的充分必要條件是( , )( )( )XYf x yfx fy )()(),(yYPxXPyYxXP定理定理3.2定理定理3.1另外，還有如下結(jié)論：另外，還有如下結(jié)論： 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 與與 Y 相互獨(dú)立，則它們的連續(xù)相互獨(dú)立，則它們的連續(xù)函數(shù)函數(shù)g

29、(X)與與 h (Y) 也相互獨(dú)立。也相互獨(dú)立。例如：例如： 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 與與 Y 相互獨(dú)立，則隨機(jī)相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量變量 2X + 3 與與 也相互獨(dú)立。也相互獨(dú)立。2Y例例1 1(,X Y設(shè)設(shè)二二維維離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量) )的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為, ,XY 試試確確定定常常數(shù)數(shù)使使得得隨隨機(jī)機(jī)變變量量與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立 XY解解 由由表表可可得得隨隨機(jī)機(jī)變變量量與與 的的邊邊緣緣分分布布律律為為 Y X1 2 31111 69181 2 3 1212P XYP XP Y ，若若X,Y相互獨(dú)立，則有相互獨(dú)立，則有29 11 1()93 9 Y X1 2 3

30、Xp11111 6918311 2 33 111 12918Yp 19 111()18318 1313P XYP XP Y ，又有又有 Y X1 2 3 ip11111 6918311 2 33 111 12918jp Y X1 2 3 ip11111 691831212 2 3993111 1236jp可可以以驗(yàn)驗(yàn)證證，此此時(shí)時(shí)有有2199XY 因因此此當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)，與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立(1,2; 1,2,3)ij ijijP XxYyP XxP Yy，例（例（P140）設(shè)設(shè)X與與Y的分布由下表給出的分布由下表給出XP0 1 YP- -1 0 1 已知已知01P XY , 求求X和和Y的聯(lián)合分

31、布并的聯(lián)合分布并判斷判斷X與與Y的獨(dú)立性。的獨(dú)立性。解解 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值為的所有可能取值為(0,- -1) (0,0) (0,1) (1,- -1) (1,0) (1,1)接下來先列出接下來先列出 (X,Y)的二維聯(lián)合概率分布表的二維聯(lián)合概率分布表XP0 1 YP- -1 0 1 XY0XPYP011 1 01P XY 11P21P00P XY 2123 0PP 12P13P22P23P0011P 13P 22P 120P 進(jìn)一步可得進(jìn)一步可得 0XY0XPYP011 1 00 00,00P XY 0 0P XP Y 而而 0000P XP YP XY 即即，故故X與與Y不獨(dú)立。不獨(dú)立。例（例（P141）(, )(1) ( , )|, , , ,X YDDx yaxb cyda b c d 設(shè)設(shè)服服從從區(qū)區(qū)域域 上上的的均均勻勻分分布布，其其中中為為常常數(shù)數(shù)；222(2) ( , )0Dx y xyRR 判斷判斷X與與Y的獨(dú)立性。的獨(dú)立性。解解 (1)1 ( )-0XaxbXfxb a 其其他他1 ( )0 YcydYfydc 其其他他( , )( )( )XYf x yfxfy 所以所以X與與Y獨(dú)立。獨(dú)立。1, ,()()( , )0 , axb cydba