格林公式及應(yīng)用(7)課件

1、1一、幾個概念 1 1、設(shè)、設(shè)D D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, , 如果如果D D內(nèi)任一閉曲內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于線所圍成的部分都屬于D, D, 則稱則稱D D為平面單為平面單連通區(qū)域連通區(qū)域, , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域. .復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域DD單連通區(qū)域單連通區(qū)域是無無“洞洞”區(qū)域 復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域是區(qū)域 第三節(jié)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)格林公式及其應(yīng)用用2連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL2 2、邊界曲線、邊界曲線L L的正向的正向: 當(dāng)觀察者沿邊界行走時當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域區(qū)域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1

2、LD.向向為為逆逆時時針針方方向向單單連連通通域域邊邊界界曲曲線線的的正正3 設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線L圍圍成成, ,函函數(shù)數(shù)),(),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , 則則有有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( ( (1 1) ) 其其中中L是是D的的取取正正向向的的邊邊界界曲曲線線, , 公公式式( (1 1) )叫叫做做格格林林公公式式. . 二、格林公式定理定理1 14),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )

3、(1yx LDdyyxQdxdyxQ),(LDdxyxPdxdyyP),(和和:只只要要證證明明 DLdxdyyPxQQdyPdx)(若區(qū)域若區(qū)域D滿足平行于滿足平行于坐標(biāo)軸的直線和邊界至多坐標(biāo)軸的直線和邊界至多交于兩點交于兩點.5dxxQdydxdyxQyydcD)()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(.其它情況類似可

4、證其它情況類似可證BA6三、簡單應(yīng)用三、簡單應(yīng)用1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分,)()(dyxexdxxeyyLy222221計算計算例例.)(的的正正向向為為閉閉曲曲線線其其中中4222yxL:解解22222xexyxQxeyyxPyy),(,),(所以由格林公式 dyxexdxxeyyLy)()(22222DdxdyyPxQ)(Ddxdyyx)(22 cos40222)sin(cos2dd d)sincos(cos22343128 167例例2. 計算計算,)()(dyxydxyxL223其中其中L為上半圓周為上半圓周24xxy從從 O (0, 0) 到到 A (4, 0).DyA

5、xoL解解: 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段AO, 它與它與L 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D , 則則原式原式y(tǒng)dxyxdyxAOL)()(2233644DydxdAOydxyxdyx)()(223204- x dxDdxdyyPxQ)(3648 8dyyyedxyyexABx)cos()sin(弧弧計計算算例例3.),(),(第一象限的單位圓弧第一象限的單位圓弧到到弧為從弧為從其中其中0110BAAB解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L,OABOL 弧弧弧弧ABOABOOABOABDOABOABxxdxdyyPxQdyyyedxyye)()cos()sin(弧弧xyoAB

6、9Dxxdxdyyeye)coscos(1Ddxdy4 BOxxdyyyedxyye)cos()sin(0100 dxOAxxdyyyedxyye)cos()sin(10dyyy)(cos211 sin41212114 sin)(sin原式原式xyoAB10例例 4 4 計算計算 Lyxydxxdy22, , 則則當(dāng)當(dāng)022 yx時時, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所圍成的閉區(qū)域為所圍成的閉區(qū)域為D, 解解令令2222,yxxQyxyP ,.:條條件件應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式要要注注意意其其注注意意.)()()(的的正正向向為為圓圓周周111122yxL.)(的的正正向向為

7、為正正方方形形12 yxL11由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內(nèi)內(nèi)圓圓周周 222ayxl:, 記記1D由由L和和 l所所圍圍成成, 應(yīng)用格林公式應(yīng)用格林公式,得得.)()()(的的正正向向為為圓圓周周111122yxL.)(的的正正向向為為正正方方形形12 yxLLyxydxxdy22lLyxydxxdy22lyxydxxdy22取順時針方向。取順時針方向。121DdxdyyPxQ)(lyxydxxdy22lyxydxxdy22 022222sincos)sin(sincoscos dttatatatatata 02 dt 2 13格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA. . 計算平面面積計算平面面積14正向閉曲線正向閉曲線 L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 的面積的面積LxdyydxA21格林公式格林公式LDydQxdPydxdyPxQ例如例如, 橢圓橢圓 20sincos:byaxL所圍面積所圍面積LxdyydxA2