第六章靜不定

1、材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院1一、靜定靜不定概念一、靜定靜不定概念 1、靜定問(wèn)題靜定問(wèn)題僅用靜力平衡方程就能求出全部未知力，僅用靜力平衡方程就能求出全部未知力， 這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題. 實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。2、靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力， 又稱超靜定問(wèn)題。又稱超靜定問(wèn)題。 實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。實(shí)質(zhì)：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。第六章第六章 簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題 6.2

2、 概述及拉壓靜不定問(wèn)題概述及拉壓靜不定問(wèn)題材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院23、靜不定次數(shù)：靜不定次數(shù)：未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目之差，未知力數(shù)目與平衡方程數(shù)目之差， 也是需要補(bǔ)充的方程數(shù)目。也是需要補(bǔ)充的方程數(shù)目。未知力：未知力：4個(gè)個(gè)平衡方程：平衡方程：2個(gè)個(gè)靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) = 42 = 2需要補(bǔ)充需要補(bǔ)充2個(gè)方程個(gè)方程此結(jié)構(gòu)可稱為此結(jié)構(gòu)可稱為2 2次靜不定結(jié)構(gòu)次靜不定結(jié)構(gòu)材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院35、多余約束力：多余約束力：多余約束提供的約束力。多余約束提供的約束力。 靜不定次數(shù)靜不定次數(shù) = 多余約束力數(shù)目多余約束力數(shù)目4、多

3、余約束：多余約束：結(jié)構(gòu)保持靜定所需約束之外的約束，若沒(méi)有這結(jié)構(gòu)保持靜定所需約束之外的約束，若沒(méi)有這 些約束結(jié)構(gòu)也能保持一定的幾何形狀。些約束結(jié)構(gòu)也能保持一定的幾何形狀。(靜定靜定)材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4二、拉壓靜不定問(wèn)題的解法二、拉壓靜不定問(wèn)題的解法 1、判斷靜不定次數(shù)；、判斷靜不定次數(shù)； 2、列靜力平衡方程；、列靜力平衡方程； 3、列幾何方程：、列幾何方程：反映各桿變形之間的幾何關(guān)系反映各桿變形之間的幾何關(guān)系(變形協(xié)調(diào)方變形協(xié)調(diào)方 程程)，具體問(wèn)題具體分析，具體問(wèn)題具體分析，一般通過(guò)一般通過(guò)“變形幾何圖變形幾何圖”列方程。列方程。 特別注意：力與變形相對(duì)應(yīng)

4、！特別注意：力與變形相對(duì)應(yīng)！ （即桿件的（即桿件的伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)或或縮短縮短必須與受力圖的桿件的必須與受力圖的桿件的拉拉壓壓對(duì)應(yīng)）對(duì)應(yīng)） 4、列物理方程：變形與力的關(guān)系；、列物理方程：變形與力的關(guān)系； 5、列補(bǔ)充方程：物理方程代入幾何方程即得補(bǔ)充方程、列補(bǔ)充方程：物理方程代入幾何方程即得補(bǔ)充方程。 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院5 2D Dl2=D Dl1 +D Dl3 2(D Dl2+D Dl1 ) = D Dl3 +D Dl1 2(D Dl2+D Dl3 ) =D Dl1 +D Dl3幾何方程幾何方程圖示靜不定結(jié)構(gòu)，圖示靜不定結(jié)構(gòu)，可列如右變形圖?？闪腥缬易冃螆D。F剛剛

5、 體體aa123（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6還可列出其它變形圖，但必須保證變形圖與受力圖一致。還可列出其它變形圖，但必須保證變形圖與受力圖一致。對(duì)應(yīng)受力圖對(duì)應(yīng)受力圖FFN1FN2FN3（b）FFN1FN2FN3（c）FFN1FN2FN3（a）（a）l1l2l3（b）l1l2l3（c）l1l2l3材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院7D Dl3D Dl2FABCD300300l圖示支架承受力圖示支架承受力F 作用，作用，桿的抗拉剛度桿的抗拉剛度為為EA，桿的桿的抗拉剛度為抗拉剛度為1.5EA，

6、桿的桿的抗拉剛度為抗拉剛度為2EA。求各桿的軸力。求各桿的軸力。解：平衡方程為解：平衡方程為AFFN1FN2FN300N1N2N300N1N3cos30cos300sin30sin300FFFFFF變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程AD Dl13003003003003000320210020cot30sin30()cos30tan30sin30lllllDDDD D化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得2133 lllD D D材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院8物理關(guān)系為物理關(guān)系為N1N3N212322331.52FlFlF llllEAEAEAD DD，代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充

7、方程N(yùn)2N1N322FFF聯(lián)立平衡方程求得聯(lián)立平衡方程求得N1142 30.7623FFFN23 320.1423FFFN3322 31.24 ( )23FFF求拉壓靜求拉壓靜不定結(jié)構(gòu)不定結(jié)構(gòu)注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)內(nèi)力假設(shè)與變形假設(shè)應(yīng)一致。內(nèi)力假設(shè)與變形假設(shè)應(yīng)一致。內(nèi)力假設(shè)受拉，變形只能假設(shè)伸長(zhǎng)。內(nèi)力假設(shè)受拉，變形只能假設(shè)伸長(zhǎng)。內(nèi)力假設(shè)受壓，變形只能假設(shè)縮短。內(nèi)力假設(shè)受壓，變形只能假設(shè)縮短。材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院9OAB為剛性梁，為剛性梁，寫幾何方程。寫幾何方程。llF450OABlllFa aOABlb bCOAB為剛性梁，為剛性梁， 、兩桿材料相同，兩桿材料相同

8、，抗彎剛度相等，求兩桿軸力之比?？箯潉偠认嗟龋髢蓷U軸力之比。D Dl1D Dl2212sin45llD DD Dl1122sinsinllabDDN1N2122()()coscosFFllllEAEAabD D，N1N222sincossincosFlFlEAEAaabbN1N2sin2sin2FFab材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院10aaF450OABOAB為剛性梁，為剛性梁，、兩桿材料相同，兩桿材料相同，EA2=2EA1。求。求桿與桿與桿的應(yīng)力之比。桿的應(yīng)力之比。D Dl1D Dl2解：變形協(xié)調(diào)關(guān)系解：變形協(xié)調(diào)關(guān)系2102sin45llD D212llDD即即由

9、物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程，考慮對(duì)由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程，考慮對(duì)O取矩得平衡方程，聯(lián)取矩得平衡方程，聯(lián)立求出兩桿軸力，再求應(yīng)力后得結(jié)果。立求出兩桿軸力，再求應(yīng)力后得結(jié)果。小技巧小技巧2112121122llllllDDD22111EE材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院11內(nèi)力按剛度比分配。內(nèi)力按剛度比分配。思考：靜定結(jié)構(gòu)是否也是這樣？思考：靜定結(jié)構(gòu)是否也是這樣？剛度較大剛度較大內(nèi)力較大內(nèi)力較大靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（1）FABCDaaFABCaa剛度增加剛度增加內(nèi)力不變內(nèi)力不變材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院12靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（靜不定結(jié)構(gòu)的

10、特點(diǎn)（2） 裝配應(yīng)力裝配應(yīng)力ABCABCD靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu) 無(wú)裝配應(yīng)力無(wú)裝配應(yīng)力靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu) ？產(chǎn)生裝配應(yīng)力產(chǎn)生裝配應(yīng)力材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院13解：因制造誤差，裝配時(shí)解：因制造誤差，裝配時(shí)各桿必須變形各桿必須變形， 因此產(chǎn)生裝配內(nèi)力。因此產(chǎn)生裝配內(nèi)力。一次靜不定問(wèn)題。一次靜不定問(wèn)題。幾何方程：幾何方程：D Dl1D Dl2 / cosq q =d d平衡方程：平衡方程：FN2=FN3 FN12FN2cosq q=0 已知三根桿已知三根桿EA相同，相同，1桿有制造誤差桿有制造誤差d d，求裝配后各桿的應(yīng)力。求裝配后各桿的應(yīng)力。d dq q1 12 23

11、 3lABCDq qD Dl1D Dl2FN1AFN3FN2q q q q物理方程代入幾何方程得變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)合平衡方程求得物理方程代入幾何方程得變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)合平衡方程求得32N1N2N3332coscos=( )12cos12cosFEAFFEAllqdqdqq 物理方程：物理方程：N2N1123coslFF llllEAEAqDD D注意注意1 1桿變形計(jì)算時(shí)用桿變形計(jì)算時(shí)用l材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院14裝配應(yīng)力是不容忽視的，如：裝配應(yīng)力是不容忽視的，如：d d/l=0.001， E=200GPa， q q=30 1 =113MPa ， 2 = 3 =

12、65.2MPa 正確正確注意：注意：1桿伸長(zhǎng)，只能是拉力，桿伸長(zhǎng)，只能是拉力，2、3桿縮短桿縮短 , 應(yīng)為壓力。應(yīng)為壓力。FN1AFN3FN2q q q qFN1AFN3FN2q q q q不正確不正確32123332coscos=12cos12cosEEllqdqdqq材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院15圖示懸吊結(jié)構(gòu)圖示懸吊結(jié)構(gòu)AB梁剛性，各桿梁剛性，各桿EA相同，桿相同，桿3短短d d，求各桿裝配應(yīng)力。求各桿裝配應(yīng)力。l剛剛 體體123aad dAB解：解：1、平衡方程、平衡方程FN1FN2+ +FN3=0FN1=FN32、幾何方程、幾何方程D Dl1D Dl2D

13、Dl312312()()lllldD D D D即即1232llldD DD3、物理方程、物理方程剛剛 體體aABFN3aFN1FN23 3桿用理論長(zhǎng)度計(jì)算變形桿用理論長(zhǎng)度計(jì)算變形N1N2N3123F lF lF llllEAEAEAD DD，材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院164、補(bǔ)充方程、補(bǔ)充方程N(yùn)1N2N32F lF lF lEAEAEAd+補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立解得:N1N3N2( )63EAEAFFFlldd ；變形協(xié)調(diào)關(guān)系變形協(xié)調(diào)關(guān)系210()2sin45lldDD平衡方程平衡方程0N1N22sin45FF兩桿均為拉力，計(jì)算兩桿均為

14、拉力，計(jì)算桿伸長(zhǎng)必須用理論長(zhǎng)度，不用實(shí)際長(zhǎng)度。桿伸長(zhǎng)必須用理論長(zhǎng)度，不用實(shí)際長(zhǎng)度。13263EElldd ；AB為剛性梁，為剛性梁，寫出所需方程。寫出所需方程。a2a450Ad dBCD Dl1D Dl2材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院17靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（靜不定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)（3） 溫度應(yīng)力溫度應(yīng)力ABCaa升溫升溫T oC結(jié)構(gòu)不因結(jié)構(gòu)不因溫度變化溫度變化產(chǎn)生內(nèi)力產(chǎn)生內(nèi)力ABCDaa升溫升溫T oC結(jié)構(gòu)會(huì)因結(jié)構(gòu)會(huì)因溫度變化溫度變化產(chǎn)生內(nèi)力產(chǎn)生內(nèi)力當(dāng)溫度變化為當(dāng)溫度變化為 D Dt =t2- -t1 時(shí)，桿件因溫度變化而產(chǎn)生的變形為：時(shí)，桿件因溫度變化而產(chǎn)生的變形為： 式中

15、：式中：a a 材料的線膨脹系數(shù)。材料的線膨脹系數(shù)。 tlltaD D材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院18解：受力圖如圖示（設(shè)二桿均受壓）解：受力圖如圖示（設(shè)二桿均受壓）圖示結(jié)構(gòu)，圖示結(jié)構(gòu)，EA及線膨脹系數(shù)及線膨脹系數(shù)a a相同的兩桿相同的兩桿和和與剛體相連，當(dāng)桿與剛體相連，當(dāng)桿溫度升高溫度升高D Dt度時(shí)，兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力分別為多少？度時(shí)，兩桿的內(nèi)力和應(yīng)力分別為多少？ l2lllAAFN1FN2FAxFAy列平衡方程列平衡方程 S SMA=0桿在溫度影響下伸長(zhǎng)，在軸力作用桿在溫度影響下伸長(zhǎng)，在軸力作用下縮短，下縮短，桿在軸力作用下縮短。剛桿在軸力作用下縮短。剛體繞體繞

16、A轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)，變形幾何關(guān)系圖如圖示。變形幾何關(guān)系圖如圖示。q qq qD Dl1D Dl2由圖可列出變形幾何關(guān)系方程由圖可列出變形幾何關(guān)系方程 2D Dl1=D Dl2N1N212F lF lll tlEAEAaD D D，22FlFlFF N1N2N1N2得得N1N222F lF ll tEAEAaD 結(jié)合平衡方程，求得結(jié)合平衡方程，求得N11N2244552255FEAtEtFEAtEtaaaaD DD D材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院19剛性梁剛性梁AB懸掛于三根平行桿上。懸掛于三根平行桿上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d d=0.2m。1

17、桿由黃銅制成，桿由黃銅制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a a1=16.510-6/ 0C。2和和3桿由碳鋼制成，桿由碳鋼制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ，a a2=a a3=12.510-6/0C，F(xiàn)=40kN。 設(shè)溫度升高設(shè)溫度升高20 0C，求各桿的應(yīng)力。，求各桿的應(yīng)力。l剛剛 體體123abd dABcFFN2abd dABcFFN1FN3解：平衡方程為解：平衡方程為FN1+FN2+FN3F=0FN1a+Fc FN3b=0變形協(xié)調(diào)方程為變形協(xié)調(diào)方程為2131llallabdDDDDD Dl1D Dl2D Dl3材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)

18、院中南大學(xué)土木工程學(xué)院20物理方程為物理方程為N11111N22222N33333F llTlE AF llTlE AF llTlE AaaaD DDDDD物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程，再聯(lián)立平衡方程求得：物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程，再聯(lián)立平衡方程求得： FN1=7.92kN，F(xiàn)N2=10. 2kN，F(xiàn)N3=21.9kN由此求得應(yīng)力為由此求得應(yīng)力為 1=39.6MPa， 2=102MPa， 3=73MPaFN2abd dABcFFN1FN3D Dl1D Dl2D Dl3材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院21解解: : 受力分析受力分析, ,建立平衡方程建立平

19、衡方程0 0 (a)xABMMMM未知力偶矩未知力偶矩2 2個(gè)，平衡方程個(gè)，平衡方程1 1個(gè)，一次超靜定個(gè)，一次超靜定變形分析變形分析, ,列變形協(xié)調(diào)方程列變形協(xié)調(diào)方程0 (b)ABM aM b聯(lián)立求解方程聯(lián)立求解方程(a)(a)與與(b)(b)建立補(bǔ)充方程建立補(bǔ)充方程代入上式代入上式1pp()AACTaMaGIGI2ppBCBT bM bGIGI0ABACCB ABMbMaMMabab，試求圖示軸兩端的約束力偶矩。試求圖示軸兩端的約束力偶矩。6.36.3 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院22AB設(shè)有設(shè)有A、B兩個(gè)凸緣的圓軸，在力偶兩個(gè)凸緣的

20、圓軸，在力偶M的作用下發(fā)生了變形。這時(shí)把一個(gè)的作用下發(fā)生了變形。這時(shí)把一個(gè)薄壁圓筒與軸的凸緣焊接在一起，然后解除薄壁圓筒與軸的凸緣焊接在一起，然后解除M。設(shè)軸和圓筒的抗扭剛度。設(shè)軸和圓筒的抗扭剛度分別是分別是G1Ip1和和G2Ip2，試求軸內(nèi)和筒內(nèi)的扭矩。，試求軸內(nèi)和筒內(nèi)的扭矩。MM解：由于筒與軸的凸緣焊接在一起，外加力偶解：由于筒與軸的凸緣焊接在一起，外加力偶M解除后，圓軸必然力圖恢解除后，圓軸必然力圖恢復(fù)其扭轉(zhuǎn)變形，而圓筒則阻抗其恢復(fù)。這就使得在軸內(nèi)和筒內(nèi)分別出現(xiàn)扭復(fù)其扭轉(zhuǎn)變形，而圓筒則阻抗其恢復(fù)。這就使得在軸內(nèi)和筒內(nèi)分別出現(xiàn)扭矩矩T1和和T2。設(shè)想用橫截面把軸與筒切開(kāi)，因這時(shí)已無(wú)外力偶矩

21、作用，平衡。設(shè)想用橫截面把軸與筒切開(kāi)，因這時(shí)已無(wú)外力偶矩作用，平衡方程為方程為T1T2T1- -T2=0材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院23焊接前軸在焊接前軸在M作用下的扭轉(zhuǎn)角為作用下的扭轉(zhuǎn)角為1 p1MlG IMM 2 112變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件111 p1TlG I222p2T lG I121 p12p21 p1TlT lMlG IG IG IT1T2=02p2121p12p2MG ITTG IG I材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院24一、相當(dāng)系統(tǒng)的建立一、相當(dāng)系統(tǒng)的建立 1、相當(dāng)系統(tǒng)的特點(diǎn)：、相當(dāng)系統(tǒng)的特點(diǎn)： 靜定結(jié)構(gòu)；靜定結(jié)構(gòu)； 含有

22、多余約束力；含有多余約束力； 主動(dòng)力與原結(jié)構(gòu)相同。主動(dòng)力與原結(jié)構(gòu)相同。 2、建立相當(dāng)系統(tǒng)的步驟：、建立相當(dāng)系統(tǒng)的步驟： 判斷靜不定次數(shù)；判斷靜不定次數(shù)； 解除多余約束，代之以多余約束力；解除多余約束，代之以多余約束力； 其余照原問(wèn)題畫。其余照原問(wèn)題畫。 6.4 6.4 彎曲簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題彎曲簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院25解：解：建立相當(dāng)系統(tǒng)建立相當(dāng)系統(tǒng)=處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。確定靜不定次數(shù)，用多余約束力代確定靜不定次數(shù)，用多余約束力代替多余約束所

23、得到的靜定結(jié)構(gòu)替多余約束所得到的靜定結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)。原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)。B畫出圖示靜不定結(jié)構(gòu)的彎矩圖。畫出圖示靜不定結(jié)構(gòu)的彎矩圖。qlAEIMAqlAEIB或或FBqlAEIB幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0BBBqBFwww物理方程物理方程變形與力的關(guān)系變形與力的關(guān)系3483BBBqBFF lqlwwEIEI ；材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院26補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程34083BF lqlEIEI38BqlF求解其它問(wèn)題（應(yīng)力、變形等）求解其它問(wèn)題（應(yīng)力、變形等）FBqlAEIB+=FBlAEIBqlAEIBM220.1258qlql2290.0703128

24、qlql38lBqlAEI彎矩圖彎矩圖材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院27ABClld dllABCd d超靜定梁的裝配應(yīng)力超靜定梁的裝配應(yīng)力圖示三支座等截面梁，由于制造不精確，軸承有高低。已知梁的抗彎圖示三支座等截面梁，由于制造不精確，軸承有高低。已知梁的抗彎剛度剛度EI及及d d和和l ，求兩種情況下的最大彎矩。，求兩種情況下的最大彎矩。BBd dAClld dBFBllACFBB解：各梁的相當(dāng)系統(tǒng)如圖解：各梁的相當(dāng)系統(tǒng)如圖3(2 )482BFlEId3(2 )48BFlEId33BEIFld36BEIFldmax22342BF lEIMldmax2234BF lE

25、IMld材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院28323333RRR( )( )51322 ()332234864BllFFF lFllFlFlwEIEIEIEIEIEI懸臂梁懸臂梁AB，用短梁，用短梁DG加固，試分析加固效果。加固，試分析加固效果。P209，6-17解：解：1 1、靜不定分析、靜不定分析CGww3233RR( )()( )( )(52)222232348CllllFFFFF lwEIEIEIEI33RR()2324GlFF lwEIEIR54FF 2、加固效果分析、加固效果分析最大彎矩減少最大彎矩減少 62.5%與與 相比，減少相比，減少39.1%33FlE

26、IFl加固前加固前加固后加固后38Fl材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院293N/ 2 3BFFlwEINN22FlF llEAEAD 3NN223FFlF lEIEA2N226 2FAlFIAl懸臂梁同時(shí)受拉桿約束，試求桿懸臂梁同時(shí)受拉桿約束，試求桿BC的軸力。的軸力。2BwlD解：梁彎曲時(shí)的軸向變形一般忽略不計(jì)解：梁彎曲時(shí)的軸向變形一般忽略不計(jì)如考慮梁的軸向變形，如何求解如考慮梁的軸向變形，如何求解? ?解除約束代約束力并考慮變形幾何關(guān)系。解除約束代約束力并考慮變形幾何關(guān)系。BBD DlCBD DlABwB材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院30梁

27、梁AB和和BC在在B處鉸接，處鉸接，A、C兩端固定，梁的抗彎剛度均為兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。畫梁的剪力圖和彎矩圖。 FB FBwB1wB2解：解除解：解除B處約束代之以約束力，使超靜處約束代之以約束力，使超靜 定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。定結(jié)構(gòu)變成兩個(gè)懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：變形協(xié)調(diào)方程為：21BBww物理關(guān)系物理關(guān)系3414483BBFqwEIEI33224222323BBFFFwEIEIEI 物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程：物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程得補(bǔ)充方程：334334442283323BBFFqFFEIEIEIEIEI8.75

28、kNBF 材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院31由此可以確定由此可以確定A端和端和C端的約束力。端的約束力。FAFCMCMA125kN m71.25kNAAMF115kN m48.75kNCCMFFS（kN）71.258.7548.754.4375mM（kNm）12511517.51.91材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院32長(zhǎng)為長(zhǎng)為l，剛度為，剛度為EI的梁兩端固定，承受均布荷載作的梁兩端固定，承受均布荷載作用，畫出梁的彎矩圖并求跨中的撓度。用，畫出梁的彎矩圖并求跨中的撓度。P208，6-15lqABC解：此結(jié)構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱外力作用，解：此結(jié)

29、構(gòu)為對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受對(duì)稱外力作用，所以在對(duì)稱軸處對(duì)稱內(nèi)力所以在對(duì)稱軸處對(duì)稱內(nèi)力(彎矩彎矩)不等于零，不等于零，反對(duì)稱內(nèi)力反對(duì)稱內(nèi)力(剪力剪力)等于零。對(duì)稱軸處對(duì)稱位等于零。對(duì)稱軸處對(duì)稱位移移(撓度撓度)不等于零，反對(duì)稱位移不等于零，反對(duì)稱位移(轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角)等于等于零。于是相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示。零。于是相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示。l/2qACMCwC補(bǔ)充方程為補(bǔ)充方程為3( 2)( 2)06CCMlq lEIEIq跨中撓度為跨中撓度為244( 2)( 2)82384CCMlq lqlwEIEIEI 224ql212ql212qlM圖圖224CqlM求得求得材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院33

30、解：相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示，其變形解：相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示，其變形 幾何關(guān)系為幾何關(guān)系為202BBBF lM lEIEIq3232BBBF lM lwEIEI Dmaxmax226/23MEIhE hWlIlDD0=BBwqD，26EIlD26EIlDM圖圖P209，6-19maxmax22212/26MEIrE rWlrIhldddD ， = ；高度為高度為h的等截面梁兩端固定的等截面梁兩端固定, ,支座支座B下沉下沉D D，求，求 max=?=?32126 BBEIEIFMllDD，求得求得材料力學(xué)材料力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院34lABq qFAMA解：解除解：解除A端約束，并代之以端約