導數與恒成立、能成立問題及課后練習(含答案)

1、導數與恒成立、能成立問題專題、基礎理論回顧41、恒成立問題的轉化:a f x恒成立 a f x max ； a f x恒成立min2、能成立問題的轉化:a f x能成立 a f x min ； a f x能成立max3、恰成立問題的轉化:a f x在m上恰成立a f x的解集為Maf x在M上恒成立af x在CRM上恒成立另一轉化方法：若 x D,f(x)A在D上恰成立，等價于 f (x)在D上的最小值fmin(x)A ,若x D, f(x) B在d上恰成立，則等價于f (x)在D上的最大值fmax(x) B .4、設函數f x、g x ,對任意的5、設函數f x、g x ,對任意的6、設函數

2、f x、g x ,存在xi7、設函數f x、g x ,存在x18、若不等式f x g x在區(qū)間上方；9、若不等式f x g x在區(qū)間Xia, b ,存在x2c , d ,使得 fXia, b ,存在X2c, d ,使得 fa ,b,存在 X2 c,d ,使得 f Xia ,b,存在 X2 c,d ,使得 f Xid上恒成立，等價于在區(qū)間 D上函數yD上恒成立，等價于在區(qū)間 D上函數yXigX2,貝IJfminxgmin Xx1gx2,則fmaxXg max Xg X2 ，貝U f max x g min xg X2 ，貝 1 fmin x gmax xfx和圖象在函數ygx圖象fx和圖象在函數

3、ygx圖象下方;二、經典題型解析題型一、簡單型例1、已知函數2a_f (x) x 2ax 1, g(x) ，其中 a 0 , x 0. x1)對任意1,2,都有f(x) g(x)恒成立，求實數 a的取值范圍;(構造新函數)2)對任意X11,2, X2 2,4,都有f(Xi) g(X2)恒成立，求實數a的取值范圍；(轉化)簡解：(1 )由x2axx3 x ,2一 成立，只需滿足 (x) 2x2 13x2xTxx的最小值大于a即可.對13(x) 2bx 4口一求導,1(x)422x x(2x2 1)21c ，、-0,故(x)在 x1,2是增函數,2 ，min (x)(1)二，所以3a的取值范圍是0

4、例2、設函數h(x)，一 J 一，、b ,對任息a - ,2,都有h(x)“110 在 x ,14恒成立，求實數 b的范圍.分析：思路、解決雙參數問題一般是先解決一個參數，再處理另一個參數.以本題為例,實質還是通過函數求最值解決.方法:化歸最值，h(x)10h max ( x)方法:變量分離，b 10(axx)或ax2(10b)x ；方法:變更主元(新函數),、1(a) - ax100,己2簡解：方法1：對 ah(x)一求導,bh(x)(xjra)(x a),(單調函數)x，、.1由此可知，h(x)在-,1上的最大值為.1.h(-)與h(1)中的較大者.11h(-) 104a -44h(1)

5、101 a bb 1010h 39 b 4b 94a1,對于任意a ,2,得b的取值范圍是 2例3、已知兩函數f (x)g(x)m ,對任意x10,2 ,存在x21,2 ,使得 f(x1) g x2則實數m的取值范圍為答案:題型二、更換主元和換元法例1、已知函數f (x) ln(ex a)(a為常數)是實數集R上的奇函數， 函數g x f(x)shx是區(qū)間 1,1上的減函數,(1)求2的值；(n)若g(x)t2t1在x1,1上恒成立，求t的取值范圍;(n)分析：在不等式中出現了兩個字母:及t,關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數。顯然可將 視作自變量，則上述問題即可轉化為在內關于

6、的一次函數大于等于 0恒成立的問題。(n)略解:由(I)知：f(x) x, g(x)sinx, Q g(x)在11上單調遞減,g (x)cosx 0cosx 在1上恒成立,1, g(x) maxg(1)sin1, 只需sin1t2 t 1(t1) t2 sin10 (其中1)恒成立,由上述結論：可令(t1) tsin11 0(1),則t 1 0t2 sin1 1 0t21sin1。,而t2 tsin10恒成立，t例2、已知二次函數 f (x)2ax0,2恒有f(x)0,求a的取值范圍。解：對x 0,2恒有f(x) 0即2ax210變形為ax(x 1)x0時對任意的a都滿足f(x)0只須考慮x

7、0的情況(x 1)現求2x1xg(t)max又 f(x)要滿足題意只要保證0,2上的最大值。令t2ax例3、對于足0答案:a比右邊的最大值大就行。3一 所以a41是二次函數g(t)a 0所以a 一2的所有實數a求使不等式x ax4x3都成立的x的取值范圍題型三、分離參數法(欲求某個參數的范圍，就把這個參數分離出來)此類問題可把要求的參變量分離出來，單獨放在不等式的一側,將另一側看成新函數，于是將問題轉化成新函數的最值問題：若對于x取值范圍內的任一個數都有f (x) g(a)恒成立，則g(a)f(x)min；若對于x取值范圍內的任一個數都有f (x) g(a)恒成立，則 g(a) f(x)max

8、.例1、當x 1,2時,不等式2x mx 40恒成立，則m的取值范圍是解析：當x (1,2)時,由x2mx 4 0 得例2、已知函數f ( x)ln(exa) ( a為常數)是實數集R上的奇函數，函數g(x) x cosx在區(qū)間26上是減函數(I)求a的值與 的范圍;(n)若對（I）中的任意實數都有g（x）1在一，2上恒成立，求實數 3 3t的取值范圍（田）若m 0,試討論關于ln xx的萬程f(x)2ex m的根的個數.解：（I）、（田）略（n）由題意知，函數g (x) x cosx在區(qū)間上是減函數.g ( x)max g ( 3)上恒成立1t - - (Q3 2題型四、數形結合（恒成立問題

9、與二次函數聯系（零點、根的分布法）例1、若對彳J意x R,不等式|x|ax恒成立，則實數a的取值范圍是解析:y對 xR,不等式|x | ax恒成立、則由一次函數性質及圖像知例2、不等式ax<x(4 x)在 x0,3內恒成立，求實數 a的取值范圍。解：畫出兩個函數y ax 和 yv-x(4 x)在x 0,3上的圖象如圖2230,3時總有ax qx(4 x)所以a 3例4、已知函數y f (x)3x 6,x6 3x,x,若不等式f(x)2x m恒成立，則實數m的取值范圍解：在同一個平面直角坐標系中分別作出函數y 2x m 及f(x)的圖象，由于不等式f (x) 2x m恒成立，所以函數2x

10、m的圖象應總在函數yf(x)的圖象下方，因此，當2時，y 4 m 0,所以4,故m的取值范圍是4,題型五、其它(最值)處理方法若在區(qū)間D上存在實數x使不等式A成立，則等價于在區(qū)間xmaxA;若在區(qū)間D上存在實數x使不等式B成立，則等價于在區(qū)間上的f x min利用不等式性質21、存在實數x,使得不等式|x 3 |x 1 a 3a有解，則實數a的取值范圍為。22解：設 f X |x 3 |x 1 ,由 f x a 3a 有解， a 3a f x min ,又 |x 3 |x 1 x 3 x 14, a2 3a 4,解得 a 4或 a1。2、若關于x的不等式x 2 x 3a恒成立，試求a的范圍解：

11、由題意知只須 a比x 2 x 3的最小值相同或比其最小值小即可，得a (x 2 x 3)min由 x2 x 3 x 2 (x 3) 5 所以 a 5利用分類討論1、已知函數f(x)x2 2ax 4在區(qū)間-1 , 2上都不小于2,求a的值。2解：由函數f(x) x 2ax 4的對稱軸為x=a所以必須考察a與-1 , 2的大小，顯然要進行三種分類討論1) .當 a 2 時 f(x)在-1 , 2上是減函數此時f (x) min = f(2)=4-4a+42即a 結合a 2,所以a 222) .當a 1時f(x)在-1 , 2上是增函數，此時 f(-1)=1+2a+42一、c，3f (x)min =

12、 f(-1)=1+2a+42結合 a 1即 a 3) .當-1<a<2 時 f(x)min = f(a)= x2 2a2 4 2即aV2或a/2所以V2 a 2綜上1 , 2, 3滿足條件的a的范圍為：a 3或a J22利用導數迂回處理一、1 ,，八,1、已知f(x) -lg(x 1) g(x) lg(2x t)若當x 0,1時f(x) g(x)在0,1恒成立，求實數t的取值范圍解：f(x) g(x)在0, 1上恒成立，即dx 1 2x t 0在0, 1上恒成立即jx 2x t 0在0 , 1上的最大值小于或等于0令 F (x) x)n 2x t 所以-1F (x)2.x2 1 4

13、 x 11 2x 10,1所以F(x) 0即F(x)在0, 1上單調遞減所以 F (x)maxF(0),即 F(x)F(0)2、已知函數flnx lax222x a存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍解:因為函數存在單調遞減區(qū)間，所以ax 2ax2 2x 1 -00,有解.即a1"2 x由題設a12x2 x0,所以3、已知函數f(x)(I)(n)i)ax2 1 3211得,a的取值范圍是umin1,00,x(ln x m), g(x) a x3x.2時，求f (x)的單調區(qū)間;3一時，不等式23ln x 一2，亦即由h (x) 0得x 1.且當0 xg(x)ln x1時,1.于是，a1,

14、f(x)恒成立，求實數a的取值范圍.ag(x) f (x)即 3x3 tx(ln x )恒成立.由于2113(lnx -)一，所以 a 22-.令 h(x)2x1 3(lnx -) 網 h(x) x6ln x-3，xh(x) 0；當x 1時，h (x) 0,即h(x)在(0,1)上單調遞增，在一、一一一、一”、3 口 (1,)上單調遞減，所以 h(x)在x 1處取得極大值h(1) 一，也就是函數 h(x)在定義域上的最大值.因此要21、3(1nx 2)33使a 2/ 恒成立，需要 a 一，所以a的取值范圍為 一,x222注：恒成立問題多與參數的取值范圍問題聯系在一起,是近幾年高考的一個熱門題型

15、，往往與函數的單調性、極值、最值等有關。小結：恒成立與有解的區(qū)別:不等式f x M對x I時恒成立fmax(X)M?, X I。即f x的上界小于或等于M ；不等式f X M對x I時有解fmin(X) M?, X I或f X的下界小于或等于M ；不等式f XM對x I時恒成立fmin(X) M?, X I即f x的下界大于或等于M ；不等式f x M對x I時有解fmax (X) M , X I或f x的上界大于或等于M ;三、恒成立、能成立問題專題練習1、已知兩函數7x 28xg x 2x 4x 40x(1)對彳J意x 3,3 ,都有f x g x )成立，求實數c的取值范圍；(2)存在x

16、 3,3 ,使f x g x成立，求實數c的取值范圍；(3)對彳J意x1 ,x23,3 ,都有f x1 g x2 ,求實數c的取值范圍；(4)存在x1 ,x23,3 ,都有f k g x2 ,求實數c的取值范圍；2 一2、設a 1,若對于任意的 x a,2a,都有y a, a 滿足方程log ax log a y 3,這時a的取值集合為(A) a|12(B) a|a 2(C) a|2 a 3(D) 2,33、若任意滿足x y 5 0的實數x,y ,不等式a(x2 y2) (x y)2恒成立，則實數 a的最大值是y 3 04、不等式sin2x 4sin x 1 a 0有解，則a的取值范圍是 5、

17、不等式ax Jx 4x-在x 0,3內恒成立，求實數 a的取值范圍。13226、設函數 f(x) -x 2ax 3ax b (0 a 1, b R). 3(i)求函數 f x的單調區(qū)間和極值；(n)若對任意的 x a 1,a 2,不等式f x a成立，求a的取值范圍。7、已知A、B、C是直線 上的三點，向量 oA, oB, oC滿足：OA y 2f 1 OB ln x 1 OC 0.(1 )求函數y = f(x)的表達式；2x(2)若 x>0,證明：f(x) >x + 21222(3)若不等式x fx m 2bm 3時，x 1,1及b 1,1都怛成立，求實數 m的取值范圍. 2、一

18、qp8、設fx px 一 2皿*,且£6 qe 一 2 (e為自然對數的底數) xe(I) 求p與q的關系;(II)若f x在其定義域內為單調函數，求 p的取值范圍;、一 2e ，,，. .，一(III)設gx ，若在1, e上至少存在一點xo ,使得f xo gxo成立，求實數p的取值范圍.x課后作業(yè)答案:1、解析：(1 )設h x g2x3 3x212x c,問題轉化為3,3時，h x 。恒成立，故hmin x0。2令 h x 6x 6x 12 6 x°,得x1或2。由導數知識,可知h x在 3, 1單調遞增，在 1,2單調遞減，在2,3單調遞增3 c 45h x極大值

19、h 1 ch x極小值c 20 h 3 c 9hmin X h 3 c 45 ,由 c45 0，得 C 45(2)據題意：存在 x 3,3，使f x g x成立，即為：h x g x3,3有解，故hmax X由(1 )知 hmax x c 7 0 ,于是得c 7(3)它與(1)問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對任意X1 , X23,3 ,都有 f Xig x2 成立，不等式的左右兩端函數的自變量不同,X1, X2的取值在3,3上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：fmax(X)gmin(X)?X 3冏。2x 7x2 c 28,x3,3 f X max f 3147 c ,2

20、.g x 6x 8x402 3x 10 x g X 0在區(qū)間3,3上只有一個解x 2 o g x min g 248147 c48,即 c 195.(4 )存在 x1 , x23,3,都有f x1為 ,等價于fminX1g max X2,由(3)得 fmin X1c 28,gmax X2g102, c28102 c 130點評：本題的三個小題，表面形式非常相似，究其本質卻大相徑庭,應認真審題,深入思考，多加訓練,準確使用其成立的充要條件。2、B。解析:由方程 10g ax 10g a y3可彳導y3,對于任意的 x xa2a,2 a,可得 2a2,依題意a得2a3、答案:25132解析：由不等

21、式 a(xy2) (x2y)2可得2_y ,由線性規(guī)劃可得x4、解：原不等式有解a sin2 x 4sin x1 sin x 2sin x21有解，而sin x 23min所以a 2。5、解：畫出兩個函數y ax和y Jx 4X在x 0,3上的圖象如圖知當x 3時y當a V,x0,3時總有axJx 4 x所以a22一6、斛：(I) f (x) x 4ax 3a (1 分)令f (x)0,得f (x)的單調遞增區(qū)間為(a,3a )令f (x)0,得f (x)的單調遞減區(qū)間為(，a)和(3a , +)3 3.當 x=a 時，f (x)極小值= -a b;4當x=3a時，f (x)極小值=b.( 6

22、分)(4分)(n)由 |f (x) | <a,得a<x2+4ax3a2 (a.(7 分)-.1 0<a<1 ,a+1>2a.f (x) x2 4ax 3a2在a 1, a 2上是減函數.(9 分)f ( x) maxf (a 1) 2a 1.f (x)m.f(a 2) 4a 4.于是，對任意x a1,a 2,不等式恒成立，等價于a；a,4,解得 5a 1.4.又 0 a 1,- a 1.57、解：(1) .qA y+ 2f/(1)ObT +ln(x +1)oC =0, OA = y+ 2f/(1)。 ln(x +1)oC由于 A、B、C 三點共線即y + 2f/(

23、1) +ln(x + 1) = 1 2分.y = f(x) =ln(x +1) + 1 2f/(1)1 1f/(x) =x + 1，彳# f/(1) =2，故 f(x) = ln(x + 1) 4分2x12(x + 2) 2x x2(2 )令 g(x) = f(x) x + 2，由 g/(x)= x + 1 (x + 2)2= (x + 1)(x + 2)2. x>0,g/(x) >0,.g(x)在(0, +8 )上是增函數 6分故 g(x) > g(0) = 02x即 f(x) >x + 21(3)原不等式等價于2x2 f(x2) < m2 - 2bm 3112x x3 - x令 h(x) =2x2f(x2) =2x2 ln(1 + x2),由 h/(x) =x-1 + x2 = 1 + x2 10分 當 x 6 1 , 1時，h(x)max =0,m2 2bm 3> 0Q(1) =m2 -2m - 3>0令 Q(b) = m2 2bm 3 ,則Q(-1) = m2 +2m -3>012分8、解：(I) f epe q 2ln e qe 2ee1-1p q e -0而 e 0,所以 pqee(II)