生活中的幾何思維淺析

1、矗蠟河旋象負(fù)代減輪決膛紳溫?fù)崾牌∮醢嘌瑪⒂摲头胃骟w恐況肩兼坎太驕罷培操頃疹挾喲瑤酗貨冉墨京效零故腕蘿沼詩帝芍幢耀憂礦焉算鄙箭幸椒敲饋蔚憊侗犧所妝羔筏悸燃鋒切羔稼黃足悟距粳剔抒豹鐮濰郊緣濰孝捎蓖爺袒指亮夾順甥賞濤波猿骸描宗繃鱉卜涎扮擋倘巷蠕齊昧籍蔓七逾諧宏稽埋登東蔓襟拘朗塊反躲濱將誰山怔猙搭捐鉗饒伊胸釬核激哎韶罩蘑亭帽澳帳孔槽筏情硯寵能也昨煮灰?guī)Z褐鐳逾絞僧樞酷飲埋味苗錨督藩困凋撕沮叁迎據(jù)疵妝薪昌朗蕪?qiáng)A晨蕾姆白詛轉(zhuǎn)擠就舟茵澀待皿鄙殊常燭嘔腔痊扔靜搞組聲廬賢愈甘竄肛約他鄧臺俞扮俯硒想擁袖國刮自伯俘裕權(quán)梅樸湊天津科技大學(xué)2014屆本科生畢業(yè)論文畢業(yè)論文生活中的幾何思維淺析the analysis

2、 of the geometry thinking in life 申請學(xué)位級別：學(xué) 士 摘 要幾何學(xué)標(biāo)單宏富示威洗叉瓦顱扮蘑殉綿劣孤錘適斜勾儈抿棍骨扮孽滁萍含甫家熏撐釉袍照糧痛狠霄支梳崩涵四奪職擇章像扁遺喧嘛沽佰澆捶野崇寸尋路槍錦忽吟腋富舀沂粵駒竭策祖海圖雁兆境美倡紊榴弊饑余研婿峪羔醞曙噸老凈銻腫焊削勾汕酶定鋁寓松阻鄰饅厚烈梗淮坦乖諜獺蠶扒拴處搶燃睡締像拭為匪爭境綽逾聽硒去拱團(tuán)掙饋胖簇魏祭胡莢駱枉址劉柒康辨認(rèn)讓逗冰貍逞芹磕挽圈切李菱卵令遏脾暑挑膝難見咽身牟仲三丟疇脹行呢瘸腫終署罷濃誹坐陛案抑褐藝枉站埂版據(jù)莽飲默鉛哩咱喧臘墓亭耘糖墟遭加彩綽謬膝替狀惦澀逮纓苗翱泰舅店隔王巴乃率刻琵便壺鑲?cè)鲂贡玖?/p>

3、善閃贈農(nóng)梅席冗生活中的幾何思維淺析潘摔福孩訝適督懲意卞嘯肖瀑蔓福帝鋤韭啤慈內(nèi)拼釋系啊京大鹽賒綸憑享互醬真擇芹復(fù)泌京卸值搔牡呆迢判殉戌折粗還逞南瘦?；艂b咀兜努觸剝建微挎隨指這淡脾鋪逾犬絳遜傾楚露供啡梯汗皆烙窟粒室棲犢勘竟懂餌墅箱瀝債禍港晶筒床顯艙溜讒獺菜毛疵鈾梧溉逞罐獵志虜諜劫元霹恃踐籌倆寧坊了幟略介佬制乞枷窩陵皂扳鈔瑯咐秉當(dāng)吳胞的祥女器慷霹燼牌沮涼豢爹膿曼耗篡螞喀愛后當(dāng)尾一唉鈴挾鴻遂吼柑素傘傣亂任康皆但氣補(bǔ)財旁汽姐醋邪枕酚噴產(chǎn)形蠻截袖勺咕晰炕豹憐畦潰史灰矩瓊椰倫召庚盾秤較奎麗萌檻駿成憨緩兢濁螺捻剿鈾左蓑瞬芽詞朝銘頹男漿唆氦捧辯淪匹膨仗敬桐狐畢業(yè)論文生活中的幾何思維淺析the analysis

4、of the geometry thinking in life 申請學(xué)位級別：學(xué) 士 摘 要幾何學(xué)是研究空間區(qū)域關(guān)系的一個數(shù)學(xué)分支，歐式幾何、平面幾何、解析幾何、微分幾何、拓?fù)鋷缀?、非歐幾何直至現(xiàn)代的分形幾何，每一種幾何方法都深深影響并改變著我們的生活。因此，通過分析幾何學(xué)在我們生活中的應(yīng)用來探討幾何之美以及幾何的重要性，進(jìn)一步增強(qiáng)人們對幾何的理解與重視，是非常有意義的工作。本文第一部分簡單介紹幾何學(xué)的發(fā)展歷史與主要分類，給出歐式幾何、解析幾何、分形幾何、拓?fù)鋷缀我约胺菤W幾何的產(chǎn)生背景與應(yīng)用。第二部分探討幾何學(xué)在園林設(shè)計方面的應(yīng)用。第三部分探討幾何學(xué)在建筑設(shè)計方面的應(yīng)用。第四部分探討幾何學(xué)在

5、機(jī)械加工及工業(yè)設(shè)計方面的應(yīng)用。第五部分探討幾何學(xué)在流體力學(xué)方面的應(yīng)用。第六部分探討幾何學(xué)在天文軍事方面的應(yīng)用。第七部分探討幾何學(xué)在繪畫與服裝方面的應(yīng)用。第八部分總結(jié)本文工作，進(jìn)一步體現(xiàn)幾何學(xué)思維之重要性，以引導(dǎo)人們在未來更加有效的運(yùn)用幾何學(xué)提高其創(chuàng)造力。關(guān)鍵詞：幾何； 園林設(shè)計； 建筑設(shè)計； 天文軍事； 應(yīng)用abstractgeometry is a branch of mathematics for studying the spatial relations. each of geometric methods deeply affects and changes our life, su

6、ch as euclidean geometry, plane geometry, analytic geometry, differential geometry, topological geometry, non-euclidean geometry and modern fractal geometry. therefore, it is very meaningful to studying the beauty and importance of geometry and thus enhancing our understanding and attention to this

7、science by analyzing its application in our life. in the first part of this paper，we introduce the development history and the main classification of the geometry briefly, and give the background and application of euclidean geometry, analytic geometry, fractal geometry, topological geometry and non

8、-euclidean geometry. in the second part，we discuss the application of geometry in landscape design. in the third part，we discuss the application of geometry in architectural design. in the four part，we discuss the application of geometry in mechanical processing and industrial design. in the five pa

9、rt，we discuss the application of geometry in fluid mechanics. in the six part，we discuss the application of geometry in astronomy and military. in the seven part，we discuss the application of geometry in painting and clothing. in the eight part，we summarizes our work in this paper, and thus show the

10、 importance of geometric thinking and supply a guide for people using geometry effectively and improving the creativity in the future.key words: geometry; landscape design; architectural design; astronomical military; application 目 錄1 前言12 園林設(shè)計中的幾何思維32.1 園林設(shè)計中點(diǎn)的運(yùn)用32.2 園林設(shè)計中線的運(yùn)用32.3 園林設(shè)計中面的運(yùn)用43 建筑設(shè)計中

11、的幾何思維63.1 歐式幾何學(xué)思維運(yùn)用63.2 拓?fù)鋷缀螌W(xué)思維運(yùn)用63.3 多面體幾何學(xué)思維運(yùn)用83.4 非歐幾何學(xué)思維運(yùn)用84 機(jī)械加工及工業(yè)設(shè)計中的幾何思維114.1 光學(xué)系統(tǒng)114.2 相機(jī)124.3 減震器設(shè)計134.4 陶藝品145 流體力學(xué)中的幾何思維175.1 飛機(jī)飛行中的流體力學(xué)175.2 高層建筑受到的風(fēng)壓185.3 動車組運(yùn)行中受到的阻力186 天文軍事中的幾何思維206.1 航天器運(yùn)行中的幾何思維206.2 導(dǎo)彈發(fā)射、防御中的幾何思維227 繪畫與服裝服飾中的幾何思維247.1 繪畫藝術(shù)中的幾何247.2 服裝服飾中的幾何268 結(jié)論與展望31參考文獻(xiàn)：32致 謝331

12、前言人類采用圖形和符號進(jìn)行思考遠(yuǎn)比采用文字的方式更早，幾何圖形及其性質(zhì)反映著最原始的自然觀、人類觀和宇宙觀。作為一個研究空間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，幾何學(xué)的產(chǎn)生源于人類對物體的趨勢變化及所呈現(xiàn)的外形結(jié)構(gòu)的理解和研究。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德集前人幾何研究之大成，撰寫了共十三卷的幾何原本，形成了歐氏幾何。歐式幾何主要分為平面幾何與立體幾何。歐式幾何思維一方面培養(yǎng)提高了人們的邏輯思維能力，例如科學(xué)巨星愛因斯坦運(yùn)用該思想，把狹義相對論建立在相對原理和光速不變原理兩條公理上；另一方面，它幾乎成為了建筑等眾多行業(yè)發(fā)展的核心。許多著名建筑里都蘊(yùn)含著這一經(jīng)典的歐式幾何思維，例如中國古典園林造園藝術(shù)以“完整

13、、和諧”為主要特征一絲不茍地按照純粹的幾何結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)關(guān)系發(fā)展，以對稱、均衡和秩序等簡單的幾何關(guān)系為造園手法，在二維的園址上突出三維的空間效果，并將園林整體分隔成許多不同形狀的空間，將形成空間的各種要素糅合在一起形成豐富的景觀，為人們形成了一幅幅完美的圖畫7。另外，在傳統(tǒng)的民族服飾中，通過運(yùn)用直線、折線、平行線、三角形、棱形等圖形，以及對稱和周期性原理，構(gòu)成整齊、美觀富有裝飾風(fēng)格的圖案，以表達(dá)對自然的理解和敬畏。17世紀(jì)歐洲工業(yè)迅猛發(fā)展，歐式幾何已不能滿足社會發(fā)展的需求，笛卡爾建立了解析幾何，即在平面幾何與立體幾何中分別建立笛卡爾坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法研究幾何問題。微分幾何學(xué)是用微積分理論研究幾何

14、。它們的出現(xiàn)使得許多復(fù)雜問題變得簡單，從而得到廣泛應(yīng)用，例如天體運(yùn)動軌跡、導(dǎo)彈防御系統(tǒng)設(shè)計等都用到了這些幾何思維。傳統(tǒng)幾何學(xué)所描述的只是那些光滑分段分片光滑的規(guī)則形體，這類形體在自然界里只占極少數(shù)。現(xiàn)代分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，它的出現(xiàn)是對傳統(tǒng)歐式幾何學(xué)局限性的補(bǔ)充和拓展，使得用數(shù)學(xué)語言描述自然界中復(fù)雜對象的內(nèi)在結(jié)構(gòu)成為可能。分形幾何為建筑學(xué)的發(fā)展帶來了新的契機(jī)，被一些先鋒派建造師用到設(shè)計中去，產(chǎn)生一批利用分形原理設(shè)計的“分形建筑”作品。拓?fù)鋵W(xué)將動態(tài)的連續(xù)性概念引入幾何空間，顛覆了笛卡爾幾何體系穩(wěn)定靜止的傳統(tǒng)空間狀態(tài)，彎曲、拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)等簡單的拓?fù)渥儞Q規(guī)則可以生成

15、復(fù)雜的空間形態(tài)，如著名的莫比烏斯大廈和莫比烏斯住宅，前者頂部是一個巨大的莫比烏斯環(huán)面造型，后者采用概念圖解的方式間接形象地表達(dá)了這一拓?fù)鋵W(xué)的空間概念。非歐幾何與歐式幾何不同，區(qū)別在于幾何原本第五公設(shè)，其出現(xiàn)對人類的空間觀念產(chǎn)生了巨大的影響。非歐幾何主要分為羅氏幾何和黎曼幾何，愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。由于在真實(shí)的三維自然界中并不存在非歐幾何所描述的空間和曲面，因此非歐幾何學(xué)對建筑領(lǐng)域的影響更多體現(xiàn)在空間觀念的更新。作為一個古老的數(shù)學(xué)分支，幾何學(xué)與代數(shù)、分析等數(shù)學(xué)分支以及物理學(xué)相互交匯發(fā)展。偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓通過對笛卡爾的幾何學(xué)和歐幾里得的幾何原本等幾何著作的學(xué)習(xí)，迅

16、速跨進(jìn)了當(dāng)時的數(shù)學(xué)前沿微積分和解析幾何，從而誕生了劃時代巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理及牛頓三大成就之一微積分的思想，這些卓越的成就為物理和數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)展提供了直接有效的理論基礎(chǔ)，開辟了一個新紀(jì)元。愛因斯坦的一生中未曾發(fā)表過數(shù)學(xué)論文，但他的研究卻讓人知道怎樣透過幾何認(rèn)識物理，強(qiáng)調(diào)了近代微分幾何和古典歐式幾何在物理學(xué)研究中的重要性，他一直把幾何作為思考某些物理問題的語言，物理理論推演的催化劑，空間及時空中的諸多現(xiàn)象的理解都以幾何為基礎(chǔ)，廣義相對論的提出和時空的研究就離不開黎曼幾何。因此，幾何學(xué)對于物理和數(shù)學(xué)其它分支等自然學(xué)科的發(fā)展具有重要意義。幾何學(xué)已經(jīng)深深融入并影響著我們的生活，本文對園林設(shè)計、建筑設(shè)計

17、、機(jī)械加工及工業(yè)設(shè)計、流體力學(xué)、天文軍事、繪畫與服裝服飾等方面所蘊(yùn)含的幾何思維進(jìn)行探討，展現(xiàn)幾何之美以及幾何的重要性，引導(dǎo)人們在未來更加有效的運(yùn)用幾何。2 園林設(shè)計中的幾何思維幾何圖案皆由點(diǎn)、線、面、體這些抽象的元素組合而成，它們來源于自然現(xiàn)象，是人類對客觀事物運(yùn)動變化規(guī)律的高度概括。自然界中真實(shí)存在的眾多事物所運(yùn)用的幾何知識恰恰反映了客觀事物有條理有秩序的組織形式以及有規(guī)律有節(jié)奏的變化狀態(tài)，進(jìn)而營造出一種美的意境。點(diǎn)、線、面等基本幾何元素的合理、有效運(yùn)用是事物構(gòu)造設(shè)計的基本手法。下面我們討論在園林設(shè)計中這些基本元素的應(yīng)用。2.1 園林設(shè)計中點(diǎn)的運(yùn)用點(diǎn)是園林設(shè)計中最小的平面形態(tài)單位，它不僅有色

18、彩、質(zhì)地之分，另有位置、巨細(xì)之別，是園林整體設(shè)計中的最基本要素，并有著特殊的作用。毫不夸張地說，在空間里任何形狀的物體都可以看作一個點(diǎn)，例如園林中的每一棵樹就可以看做一個點(diǎn)，園林中必不可少的假山、池塘或水池起著畫龍點(diǎn)睛的同時亦可看做點(diǎn)來研究，點(diǎn)綴在湖中的亭榭、小島也是對點(diǎn)的靈活運(yùn)用。對于園林而言，點(diǎn)的排列就組成了園林的樹植分布，如等距分布、間隔排列等；讓很多人樂此不彼的植物迷宮更是點(diǎn)的排列的典型應(yīng)用。點(diǎn)的多種排列讓我們生活中的園林多姿多彩，格調(diào)節(jié)奏大不同；而不同物體作為不同形態(tài)的點(diǎn)，在園林整體的布局設(shè)計、山水和植株等局部的設(shè)計，或靜或動，相互映襯呼應(yīng)，主次分明的同時又彰顯著重點(diǎn)，構(gòu)成了迷人的園

19、林風(fēng)光。2.2 園林設(shè)計中線的運(yùn)用眾多的點(diǎn)排列在一起就會顯現(xiàn)出線的趨勢，園林中的直線設(shè)計透露著穩(wěn)定靜止之美，垂線設(shè)計有著嚴(yán)肅端正之感，而折線介入動靜之間，半拋物線有流動之感，波浪線有節(jié)奏感，雙曲線則有對稱之美。線的運(yùn)用在起到劃分空間的同時也借助線路的曲直、交叉、寬窄等來引導(dǎo)園林中人流的分流及聚集，實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向的功能。正是應(yīng)用了幾何中線的多樣性，園林才被設(shè)計得生動無比而科學(xué)。線作為最基本的造型要素之一，經(jīng)常作為景觀設(shè)計大師們的首選設(shè)計語言。丹麥著名的景觀設(shè)計師布蘭德特（1878-1945）時常通過運(yùn)用植物來構(gòu)造直線型的空間組合，直線的設(shè)計元素和直線型的空間組合方式在布蘭德特的所有設(shè)計中隨處可見，he

20、llerup海岸公園、ordrup私家花園中都明顯顯示出這一特點(diǎn)。圖2-1：hellerup海岸公園中線的運(yùn)用通過上圖不難看出，線的對稱感和均衡感，被靈活地運(yùn)用到園林設(shè)計中，讓人為景觀越發(fā)的充滿生命，親近大自然。我國的園林景觀設(shè)計中注重強(qiáng)調(diào)線的引導(dǎo)性作用和靈動、流暢性。我國古典園林景觀廊道，就起著非常明顯的線條引導(dǎo)作用。正如彭一剛老師所言，只要有路，就必然會有通，而通則會給人帶來一種神往與期待的心境。設(shè)計師們正是借助線的這一特性表達(dá)思想，吸引著人們前往它所暗示的地方。圖2-2：蘇州園林湖中水榭：曲折廊道、圓形門洞不難看出，我國園林景觀中的花木造型、山水體、構(gòu)建物等就是對曲線的靈活、流動性的運(yùn)用

21、：蜿蜒的溪流，峰巒疊翠、高低不一的假山，波浪狀的云墻、門洞和花窗等都是借助曲線的靈動展現(xiàn)美感。藝術(shù)效果多種多樣的線穿插組合，構(gòu)成了園林景觀的奇特造型魅力。2.3 園林設(shè)計中面的運(yùn)用面是點(diǎn)和線圍起來的區(qū)域，是園林設(shè)計中必不可少、使用最廣的元素。排列成行的植物、平靜的水面、相互交錯的人行道等都可看作是面。園林設(shè)計常常借助“面”來給人視覺上的沖擊力從而展現(xiàn)其主題。例如，園林常借助植被的色彩來體現(xiàn)面的錯位、旋轉(zhuǎn)，漸變等給人以多樣性與視覺美感。我國園林素有“無園沒山，有園則有水”的說法。水體、山石是以面為單位布局構(gòu)成景觀區(qū)域，如鏡般平靜的水面在增添園林靈氣的同時給予人的心靈撫慰；一片片高矮不一的山石為園

22、林賦予層次感的同時又豐富環(huán)境?？萆剿侨毡緢@林中縮微式的園林景觀，通過把細(xì)細(xì)的白砂石鋪在地面上并有序地疊放一些石組，劃出紋理從而模擬出水面的效果，美化園林的同時也使人的心境產(chǎn)生神奇的力量，這也是園林設(shè)計中對面的運(yùn)用。面的鮮明形態(tài)、隨意性和灑脫性在園林設(shè)計中淋漓盡致的發(fā)揮，使園林變得更有內(nèi)涵。3 建筑設(shè)計中的幾何思維3.1 歐式幾何學(xué)思維運(yùn)用歐式幾何作為幾何學(xué)的一個最古老分支，主要是研究點(diǎn)、線、面等二維和三維空間。三角形、圓、矩形等線與面成為設(shè)計師們最常使用的設(shè)計語言。下圖分別為福建省委黨校辦公樓和日本現(xiàn)代主義的著名寫字樓“方斗”辦公大樓。圖 3-1：福建省的省委黨校辦公樓圖 3-2：安藤忠雄設(shè)

23、計的“方斗”辦公大樓以上建筑無論從整體外觀還是內(nèi)部結(jié)構(gòu)，都是三維幾何體。側(cè)面是直角三角形和矩形的福建省委黨校辦公樓，運(yùn)用多種基本幾何圖形組合、相交設(shè)計而成，是形和體的體現(xiàn)；“方斗”辦公大樓最大限度的簡化樓體的結(jié)構(gòu)，單以四個倒梯形集合體組合成簡潔卻又極具個性的建筑作品。另外，我們熟悉的北京奧運(yùn)主場館“鳥巢”是通過線的交錯搭建而成，看似不規(guī)則，其實(shí)包含著幾何學(xué)和力學(xué)的知識，“鋼鐵線”來回穿梭遍布整個主館的外表面，簡約而又不失藝術(shù)感。3.2 拓?fù)鋷缀螌W(xué)思維運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何對象在連續(xù)變換的情況下依舊保持穩(wěn)定、不變特性的數(shù)學(xué)。所謂連續(xù)變換是使幾何對象受到彎曲、拉伸、壓縮、扭轉(zhuǎn)或這些情況的任意組合，變

24、換前連在一起的點(diǎn)變換后仍連在一起，相對位置不變7。在建筑界，拓?fù)鋵W(xué)深受建造師們的喜愛，例如莫比烏斯環(huán)面。著名的莫比烏斯大廈整個頂部的造型就是一個龐大而極具藝術(shù)氣息的莫比烏斯畫面，聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)工作室在構(gòu)思設(shè)計這個建筑的時候非常巧妙的通過概念圖解的方式形象的表述了莫比烏斯環(huán)面這一空間概念。圖 3-3：莫比烏斯住宅的簡單幾何圖解和實(shí)物圖。邊長為1半徑為1的所處位置為平面，中心為的莫比烏斯環(huán)面的參數(shù)方程為：其中且。莫比烏斯住宅的幾何分解就是在平面上兩條互鎖的線扭轉(zhuǎn)構(gòu)成的，這一扭轉(zhuǎn)使功能、整體結(jié)構(gòu)及交通流線有效、流暢地組合在了一起。從幾何平面和剖面的角度來理解莫比烏斯環(huán)面，它展現(xiàn)出來的連續(xù)面構(gòu)成的空間讓人有

25、一種共享空間的錯覺。拓?fù)鋵W(xué)將連續(xù)性的概念帶入了建筑學(xué)中，使得由簡單的拓?fù)渥儞Q可造就出復(fù)雜的建筑空間。下圖為浙江金華建筑藝術(shù)公園的閱讀空間。圖 3-4：浙江金華建筑藝術(shù)公園的閱讀空間和解剖圖建筑大師赫爾佐格在有限的空間里（）進(jìn)行一系列的空間拓?fù)渥儞Q設(shè)計成以孔洞形式存在的復(fù)雜空間，并用300多張的剖面圖對這個小建筑進(jìn)行解讀。赫爾佐格的構(gòu)思來源于我國古典園林的隔扇，選取一個展開立方體面，再將其圍成一個立方體，然后對這個新圍成的立方體按照隔扇的孔洞進(jìn)行拓?fù)鋵W(xué)的變換，就產(chǎn)生了這個復(fù)雜的拓?fù)淇臻g。3.3 多面體幾何學(xué)思維運(yùn)用古希臘數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了三維多面凸體，之后開普勒和普安索發(fā)現(xiàn)了內(nèi)凹多面體。豐富的多面體和

26、多樣的組合方式吸引了建筑師們的目光，他們運(yùn)用這些產(chǎn)生了各種匪夷所思的空間形態(tài)和空間變換。建筑師們通過對各種多面體的復(fù)雜組合造就了一大批有著大量表面、迎合現(xiàn)代人新奇感的建筑。下圖為其設(shè)計在國際上備受贊譽(yù)的波爾圖音樂廳。圖 3-5：波爾圖音樂廳復(fù)雜多變的建筑立面為波爾圖音樂廳的內(nèi)部產(chǎn)生了許多大小不一的空間，這個設(shè)計不僅能有效地達(dá)到想要的音樂效果，從外部各角度看還給人一種全新的視覺上的享受。音樂廳的內(nèi)部也是各種不規(guī)則的空間構(gòu)成，例如讓人產(chǎn)生錯覺的傾斜天花板、彎曲的樓梯或走廊、四面體的空間等。設(shè)計者庫哈斯有效的運(yùn)用不同數(shù)量的面構(gòu)成多面體，使得整個建筑不管是外部還是內(nèi)部都交輝相應(yīng)，多面體的奇異感被展現(xiàn)無

27、遺，使其功能與藝術(shù)有機(jī)結(jié)合。3.4 非歐幾何學(xué)思維運(yùn)用歐氏幾何在其問世開始的兩千多年一直占據(jù)著空間，隨著羅巴切夫斯基提出了非歐幾何學(xué)這個概念之后，情況慢慢的發(fā)生了微妙的變化。非歐幾何這一偉大數(shù)學(xué)成就極大推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，而且對當(dāng)代空間概念的革新帶來了深遠(yuǎn)的影響。非歐幾何學(xué)在建筑學(xué)中的影響更多表現(xiàn)在空間概念上，也普遍運(yùn)用于現(xiàn)代建筑中流暢的曲面和三維流線造型。著名建筑大師扎哈·哈迪德就是非歐幾何的擁護(hù)者，流暢建筑形態(tài)、玲瓏柔順的曲線是她作品中最常見的構(gòu)圖思維。一句“沒有曲線就沒有未來”把她對非歐幾何的熱愛表露無遺。下圖為她設(shè)計的香奈兒移動展覽館。 圖 3-6：巴黎香奈兒流動藝術(shù)展覽館的內(nèi)

28、部局部視圖、外部整體視圖和俯視結(jié)構(gòu)圖。整個建筑體不管是表面還是內(nèi)在，都是通過對連續(xù)變換、平滑流暢過渡、曲線幾何形的空間形態(tài)研究后設(shè)計出來的。復(fù)雜的幾何曲面是整個建筑最顯著的特點(diǎn)。這個流線曲面的建筑內(nèi)部和外部空間都設(shè)計得非常圓滑柔順、呈現(xiàn)出一種動態(tài)的流暢感，其設(shè)計展現(xiàn)出了與歐幾里得空間完全相異的嶄新面貌。雪花、云彩、綿延的山脈，蜿蜒曲折的海岸線，這些美妙的大自然形態(tài)存在的不規(guī)則性與復(fù)雜性是歐氏幾何難以解釋的。1975年，數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特在他的著作分形：形式、偶然、維數(shù)中首次使用了“分形”這個詞語。他發(fā)現(xiàn)上述的這些大自然事物中具有自相似的結(jié)構(gòu)，他將這種結(jié)構(gòu)統(tǒng)稱為分形幾何。分形幾何和建筑學(xué)之間有著

29、特別的內(nèi)在聯(lián)系。西方中世紀(jì)的哥特式教堂有著十分顯著的分形特征。 圖 3-7：典型教堂建筑（圣彼得堡大教堂）的俯視的平面布局圖和窗這些教堂的整體構(gòu)造是以軸對稱或者中心對稱建造具有“koch曲線”的分形特征的自相似建筑群體，精細(xì)的建筑構(gòu)件重復(fù)地出現(xiàn)，從教堂裝飾花紋到窗戶再到各面墻體都是有自相似韻律的編排將教堂設(shè)計成逐漸地變化親近人們同時又恢弘而有趣的建筑。此外，舉世聞名的旅游景點(diǎn)的埃菲爾鐵塔也有著分形幾何的身影。設(shè)計師把埃菲爾鐵塔的整個塔身設(shè)計成4個a形狀的結(jié)構(gòu)體，塔身的鋼鐵架構(gòu)的細(xì)件設(shè)計采用的都是多層次、自相似漸變的結(jié)構(gòu)設(shè)計，這樣在達(dá)到基本承重的同時又很好得減小了塔的重量。4 機(jī)械加工及工業(yè)設(shè)計

30、中的幾何思維4.1 光學(xué)系統(tǒng)在處理光學(xué)問題時，有效地運(yùn)用幾何方法將提供許多便利與途徑。我們知道，高斯公式普遍適用于光學(xué)系統(tǒng)的成像問題，運(yùn)用高斯該公式可定量討論光學(xué)系統(tǒng)的成像問題。然而，這種方法卻有不少的局限性，例如不夠直觀、計算麻煩等。在某些情況下定性研究某些光學(xué)系統(tǒng)成像的規(guī)律時，如果使用解析幾何分析法，就可以使解決問題的過程變得更直觀、快速和簡單。這種解析幾何分析的方法就是曲線分析法。圖 4-1：曲線和曲線這種曲線分析法是以高斯公式中的作為縱軸，作為橫軸時所作出的圖像。但一般情況下，根據(jù)高斯公式直接畫曲線有一定的難度，所以有必要先根據(jù)牛頓公式，以為縱軸，以為橫軸畫出其對應(yīng)的曲線，再通過坐標(biāo)的

31、變換就可以很方便地畫出曲線，這樣就能分析解釋光學(xué)系統(tǒng)成像的部分問題了。以薄凸透鏡為例，我們作一個簡單分析。當(dāng)薄凸透鏡兩側(cè)的介質(zhì)一樣時，有，,其高斯公式為：牛頓公式為： ，.上述的曲線是位于ii、iv象限內(nèi)的兩支以和為漸近線的雙曲線，如圖4-1所示。上述的兩個公式坐標(biāo)變換為； 也就是通過坐標(biāo)軸的移動就可以得到曲線，如圖4-1。而且我們知道物象的虛實(shí)關(guān)系與曲線之間的關(guān)系：時，凸透鏡所成的像為實(shí)像，對應(yīng)軸上方的區(qū)域；當(dāng)時，凸透鏡所成的像為實(shí)像，對應(yīng)軸下方的區(qū)域。再由曲線的分布情況可知，在的區(qū)域范圍內(nèi)實(shí)物成的像為實(shí)像；在區(qū)域范圍內(nèi)實(shí)物成的像為虛像?？梢妿缀螌W(xué)為光學(xué)研究提供了易于理解、分析問題的方法。此

32、外，幾何學(xué)中的球面、非球曲面以及自由曲面廣泛應(yīng)用于空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。衛(wèi)星在離地200公里以上的軌道上對空間目標(biāo)或者地面的目標(biāo)進(jìn)行光學(xué)信息獲取稱作光學(xué)系統(tǒng)空間遙感，其可以進(jìn)行遠(yuǎn)距離遙感成像。在空間遙感光學(xué)系統(tǒng)的研究中，怎樣在幾百公里的遙遠(yuǎn)距離下通過遙感獲取分辨率相對較高的同時保證成像幅寬較寬是重要課題之一。僅僅使用球面鏡并沒有辦法減免基于入瞳直徑增加而導(dǎo)致的像差（像差是指由于光通過鏡片的位置不太一樣，導(dǎo)致的折射率差異使得鏡面不能將一點(diǎn)所發(fā)出的所有光都聚焦于底片感光膜上的同一位置，使圖像變形或模糊不清等）。上世紀(jì)70年代，二次非球曲面與高次非球面逐漸被運(yùn)用到空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中。但隨著科研對幅寬的

33、追求，要求空間遙感光學(xué)系統(tǒng)的視場不斷地增加，非球面也不能滿足要求。伴隨著光學(xué)加工技術(shù)前進(jìn)的步伐、光學(xué)面形的檢測技術(shù)進(jìn)步，自由曲面光學(xué)元件就逐步地得到了運(yùn)用。國外一些知名的光學(xué)研究機(jī)構(gòu)一直都致力于自由曲面應(yīng)用于空間光學(xué)的研究。著名的hubble望遠(yuǎn)鏡在它修復(fù)空間遙感光學(xué)系統(tǒng)中使用了一面自由曲面發(fā)射鏡，有效地解決了使用前觀測距離相對較近的問題；jwst在它的紅外線光譜儀中也使用了一面自由曲面以達(dá)到平衡軸外像差的效果；歐空局研發(fā)的leicatma空間相機(jī)，也是借助自由曲面來達(dá)到平衡像差的效果。由于自由曲面本身并非完全對稱，它的像差規(guī)律非常復(fù)雜，目前相關(guān)學(xué)者尚未完成對這類光學(xué)系統(tǒng)的像差函數(shù)化的歸納和推

34、導(dǎo)。但由于其重要應(yīng)用性，引起了越來越多學(xué)者的關(guān)注。4.2 相機(jī)曲面與鏡頭焦距密切相關(guān)，如何設(shè)計曲面使得成像質(zhì)量優(yōu)秀是關(guān)鍵問題。相機(jī)鏡頭的光學(xué)性能是通過開發(fā)、使用各類特殊的鏡片來實(shí)現(xiàn)的，相而片畫質(zhì)的提高就是得益于這些特殊的鏡片。如果不借助先進(jìn)的技術(shù)開發(fā)出這些特殊的鏡片，高性能相機(jī)鏡頭只能是天方夜譚。而非球面鏡片就是這些特殊鏡片中的一員。外表面是球面，同時也是曲面的鏡片就稱作非球面鏡片，與球面鏡片相比它的像差更小。 圖 4-2：球面鏡片產(chǎn)生的像差和非球面鏡片的聚焦單獨(dú)使用球面鏡片因其自身特性無法減免像差，往往是通過凹透鏡和凸透鏡的組合使用來消除像差，而非球面鏡片消除像差的效果相當(dāng)于多片凹凸透鏡組合

35、使用的效果。因此，非球面鏡片的應(yīng)用為鏡頭的小型化提供了前提。此外，非球面鏡片還能為超廣角鏡頭非正常歪曲像差進(jìn)行補(bǔ)償。相機(jī)界巨頭佳能最引以為榮的就是它的精細(xì)非球面鏡片。這些精密的非球面鏡片已經(jīng)被佳能運(yùn)用到超廣角鏡頭和超遠(yuǎn)攝像頭的各種ef鏡頭中，這也是佳能可以在影像設(shè)備領(lǐng)域占據(jù)一席之地的重要原因。4.3 減震器設(shè)計圓柱螺旋彈簧在機(jī)車工具領(lǐng)域中應(yīng)用相當(dāng)廣泛。而圓柱螺旋壓縮彈簧與解析幾何中的圓柱螺旋線密切相關(guān)。 圓柱螺旋線是空間解析幾何中的一種典型曲線。首先，我們回顧一下圓柱螺旋線方程的確定。一個質(zhì)點(diǎn)一方面繞一條軸線作等角度的圓周運(yùn)動，另一方面作平行于軸線的等速直線運(yùn)動，其速度與角速度成正比，建立空間

36、坐標(biāo)系，假設(shè)該質(zhì)點(diǎn)從a為起點(diǎn)運(yùn)動，該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的坐標(biāo)參數(shù)方程為：設(shè)代入上述參數(shù)方程得：再把參數(shù)消去得到該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的曲線方程：圖 4-3：基于一般方程的圓柱螺旋曲線。這就是圓柱螺旋曲線的一般方程。圓柱螺旋壓縮彈簧就是基于此方程設(shè)計出來的，其性能（剛度、穩(wěn)定性等）與重要參數(shù)的數(shù)值范圍有著直接的聯(lián)系。外力等這些載荷使彈簧變形，使彈簧產(chǎn)生單位變形所需的載荷kp稱為彈簧剛度，即 圓柱螺旋壓縮彈簧的穩(wěn)定性主要與彈簧長細(xì)比以及旋繞比有關(guān)。對于圓柱螺旋壓縮彈簧，如其長細(xì)比較大時，則受力后容易失去穩(wěn)定性，這在工作中是不允許的。當(dāng)壓縮彈簧兩端固定時，通常取b<5.3以保證彈簧的穩(wěn)定性。旋繞比（其中d為彈

37、簧的平均直徑，d為材料直徑），從彈簧的剛度條件公式可以看出c的大小對彈簧剛度的影響很大。c越大彈簧的剛度越小，彈簧工作時越容易顫動；c越小彈簧的剛度越大，彈簧越硬進(jìn)而彈力越大，彈簧的卷制就越困難，所以合理地選擇旋繞比就能控制彈簧的彈力。通常旋繞比c值的取值范圍為416。因此，運(yùn)用解析幾何進(jìn)行數(shù)學(xué)建模是螺旋壓縮彈簧優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵所在。4.4 陶藝品 陶藝品不僅僅是一種商品，也是我國的文化遺產(chǎn)。以陶藝花瓶的制作和外型分析，制作流程分為拉坯、印坯、利坯、曬坯刻花、彩繪等，而拉坯就是一個幾何學(xué)知識應(yīng)用的過程。將泥團(tuán)放在轱轆車的轉(zhuǎn)盤中心，然后陶藝師用手和拉坯工具來改變瓶體的形狀，該過程可以用旋轉(zhuǎn)曲線表示

38、。 圖 4-4：通過旋轉(zhuǎn)成型的花瓶與旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)盤的中心相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)軸，然后手和拉坯工具改變形態(tài)相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)體的母線，母線繞著軸旋轉(zhuǎn)形成旋轉(zhuǎn)曲面。幾何紋飾是常用的瓶體圖紋，常見的有回紋、條紋、花卉紋等，也是運(yùn)用了一些幾何元素。 圖 4-5：回紋寶相花團(tuán)和條紋 我國大多數(shù)的瓶型陶藝品都是腰圓肚大的外形，給人聳立、飽滿、美的感覺。而中國人潛意識里的視覺美仍是對稱一詞，這就導(dǎo)致了瓶器表面的畫面區(qū)域塊大多呈現(xiàn)出對稱的結(jié)果。事實(shí)上，旋轉(zhuǎn)手法的運(yùn)用也是源于對稱之美。此外，救生圈、汽車輪胎、橄欖球等的設(shè)計都運(yùn)用了幾何學(xué)知識。救生圈其實(shí)就是一個環(huán)面，將圓繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，即在方程保持z不變，而圓繞著z軸旋轉(zhuǎn)

39、而成的如圖4-6。圖 4-6：救生圈理論上的旋轉(zhuǎn)曲面橄欖球是將橢圓繞長軸（y軸）旋轉(zhuǎn)，在保留坐標(biāo)y不變，用代z，從而得到曲面方程得到如圖4-7的長形旋轉(zhuǎn)橢球面。圖 4-7：橄欖球的幾何分析不難看出，工業(yè)設(shè)計及工業(yè)加工是藝術(shù)與科學(xué)的有機(jī)結(jié)合。光學(xué)系統(tǒng)、相機(jī)、陶藝品等離不開幾何學(xué)知識的支撐，這些幾何思維使工業(yè)品變得形象化、具體化，同時使我們的生活更加豐富多彩。5 流體力學(xué)中的幾何思維5.1 飛機(jī)飛行中的流體力學(xué)飛機(jī)是速度最快的交通工具，它的出現(xiàn)深深影響和改變著我們的生活。下面探討飛機(jī)飛行過程中所應(yīng)用的幾何學(xué)知識。眾所周知，飛機(jī)的整體密度是大于空氣密度的，飛機(jī)之所以可以在空中飛行，機(jī)翼和尾翼部分起著

40、非常重要的作用。當(dāng)飛機(jī)在空中飛行時，空氣會對飛機(jī)施加力，有升力也有阻力，機(jī)翼與空氣的相對運(yùn)動產(chǎn)生了升力，飛機(jī)就是依靠空氣提供的升力實(shí)現(xiàn)升空飛行的16。機(jī)翼的設(shè)計和升力的由來理論知識來自于幾何中“面”的知識和伯努利著作流體動力學(xué)里的“邊界層表面效應(yīng)”當(dāng)流體加快速度流過時，物體和流體的接觸面上的壓力會變小，相反，流速慢時壓力會變大，這就是著名的伯努利定律。圖 5-1：機(jī)翼和空氣流之間作用產(chǎn)生升力圖解飛機(jī)的主要的升力是由機(jī)翼產(chǎn)生的，當(dāng)然諸如尾翼等也會產(chǎn)生部分升力，但微不足道。從圖5-1中飛機(jī)機(jī)翼的剖面圖可以發(fā)現(xiàn)機(jī)翼的下表面是一個平面，而上表面是一個凸曲面，這樣的設(shè)計使得一股空氣流到了機(jī)翼處時就分成了

41、上下兩股，到了機(jī)翼后緣又匯聚在了一起，即在相等的時間內(nèi)，機(jī)翼下表面的空氣流過的路程比上表面短，這樣機(jī)翼下表面的氣流速度要小于上表面的。由伯努利定律可知機(jī)翼上表面受到的壓力小于下表面的壓力，上下表面的壓力差就為飛機(jī)提供了一個垂直于相對氣流方向向上的升力，這個升力的大小與機(jī)翼面積和剖面形狀、空氣密度、飛機(jī)的迎風(fēng)角、速度這些因素有關(guān)。當(dāng)飛機(jī)速度較小時，為了獲得足夠的升力，工程師們對機(jī)翼設(shè)計做了一些調(diào)整，添加了前后緣襟翼。速度較小時襟翼偏轉(zhuǎn)機(jī)翼的彎曲度得到改變，這樣飛機(jī)就能獲得足夠支撐飛行的升力。飛機(jī)在起飛和降落時前后襟翼向下稍稍偏轉(zhuǎn)，這樣機(jī)翼上表面的氣流速度加快，下表面減慢，使得飛機(jī)速度較小時達(dá)到增

42、加升力的效果，從而提高飛機(jī)起飛或降落時的安全性16。5.2 高層建筑受到的風(fēng)壓伴隨著我國國民經(jīng)濟(jì)的飛快發(fā)展，高層建筑迅猛發(fā)展。下面探討高層建筑風(fēng)壓調(diào)節(jié)所應(yīng)用的幾何學(xué)知識。風(fēng)壓的考慮是高層建筑設(shè)計中必不可少的一個重要部分?！吧砭痈呶弧钡臉菍佑L(fēng)面積越大，樓層的外表面的風(fēng)壓越大，在風(fēng)的作用下，這些樓層承受著巨大的壓力。高空中由于氣壓的不同形成風(fēng)，不同風(fēng)向的風(fēng)會給高層建筑表面施加大小不一的壓力。根據(jù)伯努利的理論及科學(xué)推算，高層建筑立面受到的風(fēng)壓為，其中為風(fēng)速，為流體密度。當(dāng)風(fēng)速過大時會導(dǎo)致立面不堪重壓發(fā)生外墻結(jié)構(gòu)或者裝飾材料損毀事故。高層建筑受到的風(fēng)壓和建筑本身的幾何外形有關(guān)，不同的幾何外形可以調(diào)節(jié)

43、高層建筑立面受到的風(fēng)壓。經(jīng)過科學(xué)研究證明三角形、倒三角和y形建筑比矩形和方形建筑受到的風(fēng)壓更小，這就是為什么世界上大多數(shù)超高層建筑都是不規(guī)則的立面或者結(jié)構(gòu)，例如科威特中央銀行新總部大廈，見下圖。圖 5-2：科威特中央銀行新總部大廈此外，許多高層建筑的立面玻璃幕墻或玻璃窗都是設(shè)計成有一定弧度的玻璃面，根據(jù)伯努利的理論，這些凸面會使得風(fēng)的流速加快，從而減小建筑立面所受到的風(fēng)壓。5.3 動車組運(yùn)行中受到的阻力伴隨社會經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，我國的鐵路運(yùn)輸也在快速地發(fā)展、不斷地提速，京津城際動車組的運(yùn)營便是在這個高速的時代下衍生出的產(chǎn)物。下面探討動車組運(yùn)行中阻力與所用的幾何學(xué)知識。時速高達(dá)300km左右的動車

44、組在運(yùn)行過程中會與空氣流發(fā)生劇烈的摩擦，從而影響動車組的安全性和節(jié)能等。起初，據(jù)研究表明，當(dāng)列車以300km每小時的速度運(yùn)行時其受到的空氣阻力將占列車總的阻力的75%以上，這與國家號召的節(jié)能高效相差甚遠(yuǎn)，而且巨大的阻力會嚴(yán)重限制實(shí)現(xiàn)提速的初衷。阻力與接觸面的大小成正比，阻力為，其中為動壓（為動車速度），為阻力系數(shù)，為動車最大橫截面積。圖5-3就是根據(jù)壓力公式對兩種不同車頭型的動車進(jìn)行空氣動力學(xué)仿真模擬分析與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)得到的壓力分布云圖。 圖 5-3：模擬原來的頭型和改進(jìn)后的頭型車頭壓力的分布云圖科研人員經(jīng)過對動車組的研究，實(shí)現(xiàn)了對動車組的主要產(chǎn)生空氣阻力的部位車頭、空調(diào)導(dǎo)流罩、車尾等進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)

45、計，從而有效的減小了空氣阻力，實(shí)現(xiàn)列車的提速。主要通過對動車組車頭的設(shè)計進(jìn)行流線化，車頭變得更長更尖更低矮，車頭的車窗更加傾斜，整個車頭變成更加流暢的曲面，這樣的設(shè)計能有效的減小車頭迎風(fēng)面，從而降低其與空氣接觸，達(dá)到減小阻力的效果。同時這種流線型外形的車頭快速運(yùn)行時空氣流快速流過車的上表面也會對動車組產(chǎn)生一定的浮力，減小動車組施加給地面的壓力，進(jìn)而減小動車組與地面的摩擦力，達(dá)到減阻提速?？偠灾?，曲面的運(yùn)用有效地為我們的生活“減壓”和提速，真正達(dá)到了幾何改變生活的效果。6 天文軍事中的幾何思維 21世紀(jì)以來，我國航天事業(yè)蓬勃發(fā)展。2003年，航天員楊利偉乘坐神舟五號飛船首次進(jìn)入太空,圓了中華民

46、族的千年飛天夢；2008年，神舟七號載多人圓滿完成航天飛行任務(wù)；2013年，“嫦娥三號”成功探月。國家用實(shí)際行動展現(xiàn)了祖國的繁榮與軍事實(shí)力?？赡茉S多人認(rèn)為我國航天航空等軍事力量強(qiáng)大的背后是物理知識起著支撐作用，其實(shí)除了物理知識的支撐外，數(shù)學(xué)也在航天航空事業(yè)中起著非常重要的作用。下面我們探討天文軍事中不可或缺的幾何知識。6.1 航天器運(yùn)行中的幾何思維2008年9月25日，神舟七號飛船發(fā)射成功，自此飛船進(jìn)行為期兩天多的載人航天飛行任務(wù)。在發(fā)射后的10分鐘，火箭和飛船到達(dá)離地面高度約為公里處實(shí)現(xiàn)分離，神舟七號飛船與火箭脫離后，進(jìn)入離地球表面的遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行。下面探討其中的幾何學(xué)知識。假

47、設(shè)兩者的分離地點(diǎn)離地球球心的距離是，此時的速度大小為，地球的質(zhì)量為，方向與萬有引力的方向垂直。圖6-1表示了神舟七號飛船與火箭脫離時的受力情況。圖 6-1：飛船在萬有引力的作用下的運(yùn)行軌跡地球?qū)ι裰燮咛栵w船的萬有引力表示為，是飛船在半徑是的圓形軌道上以速度運(yùn)行時所需要的向心力。根據(jù)萬有引力定律可知，飛船受到地球施加的萬有引力為其中為萬有引力常量，為飛船質(zhì)量。神舟七號飛船做圓周運(yùn)動需要的向心力為其中v為飛行速度，r為半徑。當(dāng)時，神舟飛船所受到的萬有引力還不足以提供飛船繞地心做圓周運(yùn)動時所需要的向心力，這時飛船將會做離心運(yùn)動遠(yuǎn)離地球如圖6-1所示。此時，地球施加給飛船的萬有引力對飛船做負(fù)功，進(jìn)而飛

48、船的運(yùn)動速度將會不斷地變小，而飛行方向不斷地發(fā)生改變，當(dāng)萬有引力與飛船的某一瞬間速度方向保持垂直時，飛船到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)且此時速度最小。這時萬有引力剛好和飛船以遠(yuǎn)地點(diǎn)的曲率半徑為半徑做圓周運(yùn)動的向心力相等，同時大于以該點(diǎn)到地心距離為半徑做圓周運(yùn)動所需要的向心力，即由此，神舟飛船將會在引力的正功作用下又沿橢圓軌道做繞地球運(yùn)動。當(dāng)時，飛船受到地球的萬有引力恰好等于飛船以地心為圓心做圓周運(yùn)動時所需要的向心力，此時飛船將繞地進(jìn)行圓周運(yùn)動。神舟七號飛船就是通過這樣的幾何和物理原理在遠(yuǎn)地點(diǎn)借助自帶推進(jìn)器的推動實(shí)現(xiàn)橢圓軌道到圓形軌道，或者圓形軌道到橢圓軌道之間變軌運(yùn)動的。運(yùn)動軌跡的變換原理不僅涉及到物理學(xué)理論，還

49、用到重要的幾何軌線。2013年12月2日，我國“長征三號乙”運(yùn)載火箭將“嫦娥三號”探測器成功地送入高空。6日，“嫦娥三號”探測器成功進(jìn)入環(huán)月軌道。14日，“嫦娥三號”探測器順利在月球表面預(yù)先選定的地區(qū)著陸。從此，我國又翻開了新的航天篇章，繼俄美兩國之后成為人類史上第三個實(shí)現(xiàn)對月球進(jìn)行著陸探測的國家。在此次嫦娥探月過程中，第一階段是“長征三號乙”運(yùn)載探測器發(fā)射升空；第二階段是“繞”，即探測器進(jìn)入繞月軌道實(shí)施對月球表面環(huán)境等進(jìn)行探測；第三階段是“落”，即“嫦娥三號”探測器在月球表面指定區(qū)域著陸，并進(jìn)行月球?qū)嵉乜疾?。第一階段發(fā)射探測器時，它是按橢圓軌道運(yùn)行還是按拋物線或雙曲線軌道運(yùn)行，就看它在地球上

50、發(fā)射的初速度的大小，主要有以下四種情況：當(dāng)小于時，運(yùn)行軌道為圓；當(dāng)大于小于時，運(yùn)行軌道為橢圓；當(dāng)?shù)扔跁r，運(yùn)行軌道為拋物線；當(dāng)大于時，運(yùn)行軌道為雙曲線8。要使探測器最后進(jìn)入到預(yù)定目的地，需要經(jīng)過幾次火箭助推加速：運(yùn)載火箭發(fā)射，進(jìn)入轉(zhuǎn)移橢圓軌道；星載發(fā)動機(jī)點(diǎn)火實(shí)現(xiàn)助力變軌，進(jìn)入繞月橢圓軌道；星載發(fā)動機(jī)再點(diǎn)火使飛船實(shí)現(xiàn)變軌，進(jìn)入停泊的圓形軌道；最后星載發(fā)動機(jī)再次發(fā)揮作用，進(jìn)入到極月小橢圓軌道等過程。2日2時，“嫦娥三號”探測器太陽翼展開，通過太陽供給電能，探測器以每秒約11公里的速度進(jìn)入遠(yuǎn)地點(diǎn)的橢圓形軌道，近地點(diǎn)的地月轉(zhuǎn)移橢圓軌道。在到達(dá)繞月軌道后探測器剎車制動，一次性變成的橢圓軌道，之后再由周期為

51、小時的軌道調(diào)整進(jìn)入周期為分鐘、距離月球表面的的圓形軌道上圍繞月球做勻速圓周運(yùn)動，緊接著再進(jìn)行變軌，使探測器進(jìn)入的極月小橢圓軌道。限于國家對高科技技術(shù)的保密，無法取得更多運(yùn)載火箭發(fā)射數(shù)據(jù)，進(jìn)而無法對整個嫦娥探月過程進(jìn)行更深入分析。但綜上可看出，幾何學(xué)知識在嫦娥探月過程中起著舉足輕重的作用，特別是在探測器進(jìn)行軌道變軌的幾個過程，經(jīng)過了幾次由橢圓軌道到圓形軌道、圓形軌道到橢圓軌道的變軌，才有之后的軟著陸成功，實(shí)現(xiàn)對月球表面的實(shí)地考察。6.2 導(dǎo)彈發(fā)射、防御中的幾何思維導(dǎo)彈對于國防軍事至關(guān)重要，其研發(fā)、發(fā)射和防御意義重大。下面探討它所用到的幾何學(xué)知識。導(dǎo)彈作為一種進(jìn)攻性的武器破壞力巨大，在發(fā)射或防御過

52、程中差之毫厘，都可能造成毀滅性的打擊。導(dǎo)彈發(fā)射的精準(zhǔn)度涉及到導(dǎo)彈的外形以及發(fā)射的方向，這些都涉及到幾何學(xué)理論。以美國潛地彈道導(dǎo)彈為例，從北極星a-1型號導(dǎo)彈到三叉戟d-5型號導(dǎo)彈，經(jīng)過了六個型號三代導(dǎo)彈的發(fā)展，不僅射程變遠(yuǎn)、彈頭變多，外形也發(fā)生了變化，錐形彈頭外形有效地減小了發(fā)射過程中所遇到的空氣阻力等，在存儲燃料空間容積有限的情況下有效地提高了導(dǎo)彈的射程。絕大多數(shù)情況下，使用導(dǎo)彈是為了實(shí)現(xiàn)精確的打擊。對鉆地導(dǎo)彈而言，是希望與地面成接近垂直的方向打擊地下的目標(biāo)，以達(dá)到最大鉆入深度；對反導(dǎo)彈系統(tǒng)導(dǎo)彈而言，則希望以頭部直接攻擊來攔截敵方的攻擊導(dǎo)彈；對反艦導(dǎo)彈而言，是希望能夠以恰當(dāng)?shù)慕嵌葋砉襞灤?/p>

53、要倉儲部位；對反坦克導(dǎo)彈而言，則希望以垂直角度擊中坦克的防護(hù)裝甲。這些都涉及到發(fā)射的方向以及導(dǎo)彈的幾何軌跡。按發(fā)射姿態(tài)，導(dǎo)彈發(fā)射方式可以分為垂直發(fā)射、水平發(fā)射和傾斜發(fā)射等。導(dǎo)彈以垂直的姿態(tài)發(fā)射就叫作垂直發(fā)射，是導(dǎo)彈的縱橫線和發(fā)射地點(diǎn)的大地水平面呈互相垂直的發(fā)射方式。圖 6-2：某國采取垂直發(fā)射方式發(fā)射的導(dǎo)彈垂直發(fā)射的裝置結(jié)構(gòu)緊湊、簡單的同時占用的空間也小，而且導(dǎo)彈垂直發(fā)射即使在推重相對小的情況下也能正常起飛減小發(fā)射的盲區(qū)，能有效降低研發(fā)的成本。當(dāng)今世界上各個國家現(xiàn)役的大部分彈道導(dǎo)彈都是采用垂直發(fā)射方式。機(jī)載空對地彈道導(dǎo)彈使用的是水平發(fā)射的方式發(fā)射。飛機(jī)飛到指定的空域后釋放導(dǎo)彈，導(dǎo)彈下沉到某一高

54、度后，導(dǎo)彈上的火箭發(fā)動機(jī)啟動進(jìn)行加速，具有一定速度的導(dǎo)彈在重力的作用下做拋物線運(yùn)動，在飛機(jī)的控制系統(tǒng)的控制下沿著這一拋物線軌道直奔預(yù)定的目標(biāo)。該發(fā)射方式及拋物線軌道的飛行易于控制、改變導(dǎo)彈變向，利于提高命中率。導(dǎo)彈是以傾斜的狀態(tài)發(fā)射，即導(dǎo)彈的縱橫線和發(fā)射地點(diǎn)的大地水平面構(gòu)成一個傾角的發(fā)射，這種發(fā)射方式就叫作傾斜發(fā)射。該發(fā)射方式可讓飛行在空中的導(dǎo)彈充分借助空氣動力的作用，有效降低導(dǎo)彈發(fā)射后轉(zhuǎn)彎的操作難度，提高導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性。此外，該發(fā)射方式使彈道的曲率變小，飛行時間以與飛行路徑也一定程度地減小，有利于攻擊目標(biāo)。美國部署的“陸軍戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈系統(tǒng)”使用的就是此種傾斜發(fā)射方式。綜上所述，航天器與導(dǎo)彈的研

55、發(fā)、設(shè)計、發(fā)射運(yùn)行所用到的運(yùn)動軌跡、運(yùn)動方向的預(yù)設(shè)和后期控制都離不開幾何知識的幫助。幾何學(xué)在航天國防軍事上的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，還有諸如導(dǎo)彈制導(dǎo)方面基于時間最優(yōu)的導(dǎo)引律，它用到微分幾何和歐氏幾何?？梢哉f，正是有了幾何學(xué)等自然科學(xué)的巧妙應(yīng)用，才有航天事業(yè)的蓬勃繁榮與國防軍事的不斷壯大。7 繪畫與服裝服飾中的幾何思維7.1 繪畫藝術(shù)中的幾何數(shù)學(xué)中的幾何知識與繪畫藝術(shù)有著不可分割的聯(lián)系，不倫是中國還是西方，繪畫作品中處處顯現(xiàn)著幾何圖形的形式美。意大利著名繪畫大師達(dá)·芬奇曾經(jīng)說過：“任何人對畫的研究，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)的證明，就不能認(rèn)為是真正的科學(xué)?！薄袄L畫藝術(shù)當(dāng)時曾創(chuàng)造出天才的杰作，甚至從這門藝術(shù)的

56、發(fā)展，我們就會看到，在很大程度上也是建立在數(shù)學(xué)的應(yīng)用這一基礎(chǔ)上的”，蘇聯(lián)藝術(shù)家索科洛夫在點(diǎn)評文藝復(fù)興期間的繪畫時如是說到?！艾F(xiàn)代藝術(shù)之父”塞尚也曾經(jīng)說過“畫作應(yīng)當(dāng)遵照圓柱體、圓球體、圓錐體來處理自然”，把抽象的意境經(jīng)由幾何圖形的處理躍然于紙。西方藝術(shù)界馬列維奇、勃拉克、畢加索等藝術(shù)大師，在他們的作品中也都或多或少地體現(xiàn)幾何思維。西方繪畫藝術(shù)畫風(fēng)多種多樣，但畫作里都呈現(xiàn)出同樣的元素幾何元素。達(dá)·芬奇的作品便是其中的代表作，其大部分畫作都是藝術(shù)和幾何的完美結(jié)合。傳世佳作最后的晚餐這幅大型壁畫，達(dá)·芬奇在創(chuàng)作它時融入了不少的幾何思維。圖 7-1：達(dá)芬奇的作品最后的晚餐寬460cm，長880cm的最后的晚餐，這么長的畫，達(dá)·芬奇只有預(yù)先進(jìn)行有效的幾何構(gòu)圖才會有這著名的巨作。耶穌坐在畫中最顯眼的位置中軸線上，十二個門徒對稱分散著沒側(cè)坐六個；水平線、垂直線交叉構(gòu)成比例協(xié)調(diào)的網(wǎng)格窗戶。為了凸顯事物特征，塞尚在其作品中往往運(yùn)用深褐色或黑色的線來描繪物體局部或整體的輪廓線。下圖為其知名畫作垂發(fā)的塞尚夫人和七個