二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系解析

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達定理，其逆定理也成立，它是由16世紀(jì)的法國 數(shù)學(xué)家韋達發(fā)現(xiàn)的.它揭示了實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，它形式簡單但內(nèi)涵豐 富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.【知識要點】AC0左+益=-勺它=1 .如果方程以/+8x + c = 0（aHO）的兩根為K, 內(nèi),那么以， 以，這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2 .如果兩個數(shù)的和為m,積為n,則以這兩個數(shù)為根的一元二次方程為/-以差+腎=0.3 .若已知一元二次方程的一個根，可不直接解原方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出另一根.4 .求一元二次方程根的對稱式的值，關(guān)鍵在于利用兩根和及兩根積表示所給對稱式.

2、3;0X, ,= < 05 .當(dāng)一元二次方程以'4*x + w = 0（aWO）有兩根才1,全時：若 a ,則方bc程有一正一負根：（2）若。，I 2以 ，則方程有兩個正根：（3）若AC= > 0d, d,則方程有兩個負根.【趨勢預(yù)測】利用根與系數(shù)關(guān)系，可以解決許多有關(guān)方程的問題，有些非方程類的問題我們也可以通過根 與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，然后用一元二次方程的知識來解.因此預(yù)測以后競賽的重點 在以下幾個方而：求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；求代數(shù)式的值：結(jié)合根的判別式，判斷根的符號特征：構(gòu)造一元二次方程解題：證明代數(shù)等式，不等式；與一元二次方程的整數(shù)根有關(guān)的問題.【范例

3、解讀】題1 （1997 陜西）已知二次方程以-+以+二=OgcWO）有兩異號實根m和n,且m<n,那么，二次方程+ （功-以= 0的根的情況是（）（A）有兩個負根（B）有兩個正根（C）兩根異號 （D）無實數(shù)根分析 首先考慮方程u”十（飛一切口大一口 一 °的判別式的符號.如果由判別式符號確定方程 有實根，還要通過根與系數(shù)關(guān)系來確定兩根的正負號.解m，n異號且men.G mn = < 0.，n<0, n>0,從而 a , H 一刑;0 .方程cM +(2-«>x-a = 0的判別式：d = a+ 4ac = a2 (的一？sf 十上 =a2(p?

4、2+ «)2 > 0”，故方程ex2 + (m 一支)ax 一以=0必有兩實根.設(shè)這兩個實根為K,九,則由根與系數(shù)關(guān)系得a za、dXy + Xy = 02 -網(wǎng))< 0= " > 0C,。 ，可知血,%均為負數(shù)，故選(A).題2 (1997 上海)若a和b是方程/+2»+3 = 0的兩個實根，c和d是方程 /+2qx + 3 = 0的兩個實根，e和f是方程.+2(/-/» + 3 = 0的兩個實根，則 g-O3 - c)g+d)+d)° + /的值為.分析由已知可得 ab=3, cd = 3, ef=3, a+b=-2p,

5、c+d=-2q, f = -2(>2 -g2),將 (a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展開，把上列數(shù)值代入，可得所求值.但若全部展開，結(jié)果很繁，因此 考慮局部展開，分步代入.解由方程根與系數(shù)關(guān)系得ab=3, cd=3, ef=3, a+b=-2p> c+d=-2q, e + f = -2(>2 - <72) , IjiiJ(a - c)(b -c)(a + d)(b +_ (ab + ad -be - cd)(ab bd -ac -cd + f©+/_ (3 +ad - be - 3)(3-bd - ac -3) _ (ad - bc)(bd - ac)

6、=abd2 - a cdcd + 以be' = 3("。-t?2 -b1 +c2)。十/e十，=3(c+d)2 2cd 0 十8)2 + 2aM = 3(4g2 -4夕"=&-2面 -8)題3 （1996 祖沖之杯）己知。，。是方程-7萬+8=0的兩根，u>B，不解方程，求2 + 3"a 的值.分析待求式中a，B是不對稱的，但根與系數(shù)的關(guān)系具有對稱性，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個與待求 式相對應(yīng)的代數(shù)式一起輔助解決問題.解由根與系數(shù)的關(guān)系得。+B=7, a B=8, 十42 一+ #)2 _ 2as - 72 - 2x8 - 33,9一4)2 =(c+2

7、-4c/= 17.因a>B,故a-?=舊，£-。，=-和幺=2+3尸2 =7 + 3/記 C ，令 有 ，從而AB=2 - + - + 3(a2 + Z?2) = 2(+ +3(g2 + ff2) = + 3x33 = 100-產(chǎn)ff jaff84"0 = 2二+ 3(，一/)= £ + 39+/)(0-切(a0)a£=a/1Z+3乂 了 必-而)=-竺而，84* = > +約+ > -£)伍0目_1舊=4。3 - 85而.224 4 J 8題4 (2000 江蘇)已知81 - 2沸一 5 二0 , 5M 242制-3 = 0

8、,其中m, n為實數(shù)，則1濘I 一一 = n分析根據(jù)兩個方程系數(shù)的特點，可作恰當(dāng)?shù)淖冃?，使兩個方程具有相同的結(jié)構(gòu).把兩個變 元看成關(guān)于某個字母的一元二次方程，然后用根與系數(shù)關(guān)系來求值.解由已知等式可變形成23-2-5 =03型2 - 2m - 5 = 0與附2片 ,1 制一一 n=0由于m, Z的關(guān)系沒有給定，故應(yīng)分兩種情況:1 m = 當(dāng) 力時,11沙X 0當(dāng) 附時，可知m,附是方程32工-5 = 0的兩個根，則由根與系數(shù)關(guān)系1215圖十一=一沈,一= 一一 得 修3 , n3 .1八 p陋一 一二0"綜合，得刈 或？.題5 (1996 江蘇)設(shè)/一。左+ 1 = °的兩

9、個實根為。，B, 求以尸'為根的一元二次方程；若以尸3為根的一元二次方程仍是-。左+ = 0,求所有這樣的一元二次方程.分析 根據(jù)方程根與系數(shù)關(guān)系求C十方"和&的值，由此即可作出新方程：根據(jù)新方程的一次項系數(shù)等于-P，常數(shù)項等于q,可求得p，q的值.解由根與系數(shù)關(guān)系得a+B=p, aB=q,c? +£? =(c +?)3+=, a"尸3=()£了=/.所求方程是M 一面 _ 3,q)/ + / = 0 :(/ -3期二， 寸=0, 則p 0J, - 1 092,20q 017根據(jù)七種情況的值依次得以下七個方程:x2 - 2x+l = 0

10、, x2 +2x + l = 0 ,x2 = 0 ,差2-x=0, x2 + x = 0 , x2 +1 = 0 t x2 -1 = 0.其中僅/+1 = 0無實數(shù)根，舍去.故所有這樣的一元二次方程有六個，分別為：x2 = 0,萬 2 一元=0, x2 + x = 0 , x2 -2x+l = 0t x2 +2x + l = 0 , x2 -1 = 0 .題6 (2000 全國)設(shè)關(guān)于x的二次方程 (V - 6亡十&-十(2上2 - 6亡-4)工一亡2+4=。的兩根都是整數(shù).求滿足條件的所有實數(shù)k的值.分析根據(jù)方程系數(shù)的特點，可先用十字相乘法求出方程兩根，然后利用兩根都是整數(shù)設(shè)法 先消

11、去是求得兩根后，再求出是的值.解原方程可化為 (七一4)(太一2)/ 十(2兌2 - 6兌-4)/一次一2)(4+ 2) = 0.(k<)(k-2)H0,，解得方程兩根為勺一匕一一上1 k-A k-A ,24上 一4 = - 上 一 2 = -.（Z, h 1 亢，-1）芫1+1與+1消去k,得巧巧+ 3占+ 2 =0 ,，勺(芍+3)=-2.由于才1,內(nèi)都是整數(shù)，故-2二210對應(yīng)的k的值分別為6, 3, 3 .【方法指引】1 .構(gòu)造對偶式法.對一個已知代數(shù)式或一個已知命題，我們構(gòu)造一個與之對應(yīng)的代數(shù)式或 對應(yīng)的命題，然后一起參與運算(通常是加、減、乘、除)，從而使問題獲得巧解.這種方

12、法 稱為構(gòu)造對偶式法.常用的構(gòu)造方法有利用倒數(shù)關(guān)系、有理化因式、配對等.2 .解一元二次方程的整數(shù)根問題的基本方法有：(1)直接求解法.若根可用有理式表示，則先求出根，再結(jié)合整除性求解.(2)利用判別式法.在二次方程有根的前提下通過判別式確定字母或根的范圍，運用枚舉法 討論，不等式分析求解.運用根與系數(shù)的關(guān)系.由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去 待定字母，再通過因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解.(4)巧換主元法.若運用相關(guān)方法直接求解困難時，可選擇換主元的方法，結(jié)合整除知識求 解.本周強化練習(xí)【綜合能力訓(xùn)練】1 . AABC的一邊長為5,另兩邊長恰好是方程21 -12為物二0的兩根

13、，那么m的取值 范圍是.2 .設(shè)K1,全是方程/-2酥+ 1» + (/+2) = 0的兩實根，且Q+1)(藥+1) = 8,則k 的值是 ()(A)-3 或 1 (B)-3(C)lJ.(D)不小于萬的一切實數(shù)x2 - 2j + = 03 .若方程2的兩根為a, B,它也是方程K +0工十=°的兩個根，則 p=.a4 .若 abHl,且有5/+2001" 9 = 0,及9/+ 2001/ 5 = 0 ,則& 的值是()95_ 2001_ 2001(A)5(b)9(C)5(D)95 .在RtZABC中，NC=90° ,若sinA和sinB是方程N一

14、、叵左一上=0的兩根，求NA 和NB的度數(shù)及k的值.6 .求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程上一十的+ 1)五十太-1 = 0的根都是整數(shù)。清收胃傕業(yè)后再冒答臬！參考答案【綜合能力訓(xùn)練】.ab =-1 .設(shè)另外兩邊長為a、b,則"方=6,2 ,因為a, b是實數(shù)，所以120,即(-12)2-4x2x2 0,< 18由三角形兩邊之差小于第三邊，有aJ（以41）a -4ab = 436 - 2雨 < 536-2掰 <25,K11 11 / m > < < 18/.2 ,故m的取值范圍為2o2 .由根與系數(shù)關(guān)系得 勺+% =2（4 + 1） ,x2

15、=k2 +2 ,而（5+ 1）（2 + 1）=刀1工2+（勺+電）+1 =大？+2 +1）+1 =+ 2無+ 5.由題意得/+2歸+5 = 8,解得用=-3,%=1。而當(dāng)上=-3時，J = -28 < 0 ,無實數(shù)根,舍去：當(dāng)a=1時，方程的兩個實數(shù)根為1和3。故選（C）。2,招 nx - 2x + =03.由8/是方程2 的兩根得a +尸=工,儲+/=但+2_24=4-、/5 由外/是方程/+F +4 =0的兩根，得C?十 pc?十 = 0,#4+,£2+1=0。兩式相減,得P = -（。2 +為=拈-4。4.原式可變形為5+200M + 9 = 0,5+ 20011 + 9 = 0, r 以b1 b ,又 aS X1 即 b ,j_，a,苫是方程5-十200b+9 = 0的兩根。1 9« 9a、一= b 5 ,即2 5.故選（A）o5.由根與系數(shù)關(guān)系，得 sin 工 + sin. B =短, sin Asm B = 一左/ ZA+ZB=90° , Sin S = cos J o于是有Jsin AcosA =、也 sinA - cos A =-ksin-cos = - 由式兩邊平方，得2,由、式知尸一;.2，即,A A-，泛 X + 1=0又由、式可得sin工，cos月是方程2的兩根，則有sin = cos = si