可降階的高階微分方程(21)課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 一、一、 型的微分方程型的微分方程 二、二、 型的微分方程型的微分方程 三、三、 型的微分方程型的微分方程 四、小結(jié)四、小結(jié))()(xfyn ),( yxfy ),( yxfy 一、一、 型的微分方程型的微分方程)()(xfyn 解法解法例例1：xxycos 解：解： 兩邊積分可得：兩邊積分可得： xdxxycos1cossincxxx 再積分一次得：再積分一次得：21sin2coscxcxxxy 這種方程的通解可經(jīng)過(guò)積分這種方程的通解可經(jīng)過(guò)積分 次而求得。次而求得。n求特解時(shí)求特解時(shí),一般應(yīng)在每次積分后確定一個(gè)常數(shù)一般應(yīng)在每次積分后確定

2、一個(gè)常數(shù).解解 )(txx 設(shè)設(shè) 表示在時(shí)刻表示在時(shí)刻 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置,t根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為）（tFdtxdm 22由題設(shè)由題設(shè),0)0(0FFt 時(shí)時(shí)， , 且力隨時(shí)間的增大而均且力隨時(shí)間的增大而均勻地減小勻地減小; 所以所以;)(0ktFtF 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)受力的質(zhì)點(diǎn)受力 的作用沿的作用沿 軸作直線軸作直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng).設(shè)力設(shè)力 僅是時(shí)間僅是時(shí)間 的函數(shù)的函數(shù): .在開(kāi)始時(shí)在開(kāi)始時(shí)刻刻 時(shí)時(shí) ,隨著時(shí)間隨著時(shí)間 的增大的增大,此力此力 均均勻地減小勻地減小,直到直到 時(shí)時(shí), .如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)位

3、于原點(diǎn),且初速度為零且初速度為零,求質(zhì)點(diǎn)在求質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)的運(yùn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)規(guī)律.)(tFF mFOxFt0 t0)0(FF tFTt 0)( TFTt 0, 0)(, TFTt時(shí)時(shí)又又當(dāng)當(dāng)從而從而)1()(0TtFtF 方程為方程為)1(022TtmFdtxd 初始條件為初始條件為0|, 0|00 ttdtdxx兩端積分得兩端積分得120)2(CTttmFdtdx 代入初始條件代入初始條件00|10 Cdtdxt得得于是方程變?yōu)橛谑欠匠套優(yōu)?2(20TttmFdtdx 再積分一次得再積分一次得2320)62(CTttmFx 將條件將條件 代入上式代入上式,得得0|0 tx02 C于是于是,所求質(zhì)

4、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為T(mén)tTttmFx 0)62(320二、不顯含未知函數(shù)二、不顯含未知函數(shù) 的二階微分方程的二階微分方程y形式為形式為 的微分方程。的微分方程。),( yxfy 解法：解法：,py 令令, py 則則),(pxfp 故故有有此時(shí)，該二階微分方程變?yōu)橐浑A微分方程，求出此時(shí)，該二階微分方程變?yōu)橐浑A微分方程，求出一階微分方程的通解后再兩邊積分即可。一階微分方程的通解后再兩邊積分即可。例例3的特解。的特解。滿足初始條件滿足初始條件求微分方程求微分方程3|, 1|2)1(00 2 xxyyxyyx解：解：代代入入方方程程并并分分離離變變量量有有設(shè)設(shè),py dxxxpdp21

5、2 兩邊積分得到兩邊積分得到cxp )1ln(ln2)1(21xcyp 即即)(1cec 得得由由條條件件, 3|0 xy31 c)1(32xy 所所以以?xún)蛇呍俜e分得兩邊再積分得233cxxy 得得又又由由條條件件, 1|0 xy12 c于是所求方程的特解為：于是所求方程的特解為：133 xxy三、不顯含自變量三、不顯含自變量 的二階微分方程的二階微分方程x的的微微分分方方程程。形形如如),( yyfy 解法：解法：的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，即即化化為為對(duì)對(duì)把把法法則則并并利利用用復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的求求導(dǎo)導(dǎo)令令yypy , dydppdxdydydpdxdpy 這時(shí)方程變?yōu)橐浑A微分方程：這時(shí)方程變?yōu)橐浑A

6、微分方程：),(pyfdydpp .02的的通通解解求求方方程程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1ycP 可可得得.12xcecy 原方程通解為原方程通解為,1ycdxdy 例例 4四、小結(jié)四、小結(jié)解法解法 通過(guò)代換將其化成較低階的方程來(lái)求解通過(guò)代換將其化成較低階的方程來(lái)求解.一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: : 1 1、xxey ； 2 2、21yy ； 3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. . 二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,1,01113 xxyyyy； 2 2、1,0,0002 xxyyyay； 3 3、2,1,300 xxyyyy. . 三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)過(guò)點(diǎn))1,0(M且在此點(diǎn)與直線且在此點(diǎn)與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . . 練練 習(xí)習(xí) 題題練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、32123CxCxCexeyxx ； 2 2、21)cos(lnCCxy ； 3