高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.2兩條直線的位置關(guān)系課件理北師大版

1、9.2兩條直線的位置關(guān)系第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行：()對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2 .()當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.兩條直線垂直：()如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2 .()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1l2.知識梳理k1k2k1k21(2)兩條直線的交點直線l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組

2、的解.2.幾種距離(1)兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之間的距離|p1p2| .(2)點p0(x0，y0)到直線l：axbyc0的距離d .(3)兩條平行線axbyc10與axbyc20(其中c1c2)間的距離d .1.直線系方程(1)與直線axbyc0平行的直線系方程是axbym0(mr且mc).(2)與直線axbyc0垂直的直線系方程是bxayn0(nr).2.兩直線平行或重合的充要條件直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc20平行或重合的充要條件是 .【知識拓展】a1b2a2b103.兩直線垂直的充要條件直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc2

3、0垂直的充要條件是 .4.過直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20的交點的直線系方程為a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括l2.5.點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對應(yīng)相等.a1a2b1b20題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為1.()(3)已知直線l1：a1xb1yc10，l2：

4、a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2為常數(shù))，若直線l1l2，則a1a2b1b20.()基礎(chǔ)自測123456(4)點p(x0，y0)到直線ykxb的距離為 .()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()(6)若點a，b關(guān)于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線ab的斜率等于 ，且線段ab的中點在直線l上.()123456題組二教材改編題組二教材改編2.已知點(a,2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于 解析答案1234563.已知p(2，m)，q(m,4)，且直線pq垂直于直線xy10，則m .解析123456答案1所以m42m，所以m1.

5、題組三易錯自糾題組三易錯自糾4.(2017鄭州調(diào)研)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m等于 a.2 b.3 c.2或3 d.2或3解析解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，解析123456答案5.直線2x2y10，xy20之間的距離是 .解析答案1234566.若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a .解析0或1答案解析解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.123456題型分類深度剖析典例典例 (2018青島模擬)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件

6、的a，b的值.(1)l1l2，且l1過點(3，1)；題型一兩條直線的位置關(guān)系師生共研師生共研解答解解由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過點(3，1)，k20，即k1，k2都存在且不為0.又l1過點(3，1)，3ab40. (*)由(*)(*)聯(lián)立，解得a2，b2.(2)l1l2，且坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等.解答解解l2的斜率存在，l1l2，又坐標(biāo)原點到這兩條直線的距離相等，且l1l2，(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x，y的系數(shù)不

7、能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；解答解解方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；綜上可知，當(dāng)a1時，l1l2.方法二由a1b2a2b10，得a(a1)120，由a1c2a2c10，得a(a21)160，故當(dāng)a1時，l1l2.(2)當(dāng)l1l2時，求a的值.解答解解方法一當(dāng)a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，

8、故a1不成立；當(dāng)a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；當(dāng)a1且a0時，解析答案題型二兩直線的交點與距離問題自主演練自主演練而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點p(2,1)，斜率為k的動直線.兩直線的交點在第一象限，兩直線的交點必在線段ab上(不包括端點)，動直線的斜率k需滿足kp akkpb.2.若直線l過點p(1,2)且到點a(2,3)和點b(4,5)的距離相等，則直線l的方程為 .解析x3y50或x1答案解析解析方法一當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也

9、符合題意.即x3y50.當(dāng)l過ab的中點時，ab的中點為(1,4).直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.(1)求過兩直線交點的直線方程的方法先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：點p(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.思維升華思維升華解析題型三對稱問題多維探究多維探究解析解析設(shè)l1與l的交點為a(a,82a)，則由題意知，點a關(guān)于點p的對稱點b(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點a(4,0)在直線l

10、上，所以直線l的方程為x4y40.命題點命題點1點關(guān)于點中心對稱點關(guān)于點中心對稱典例典例 過點p(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點p平分，則直線l的方程為 .x4y40答案命題點命題點2點關(guān)于直線對稱點關(guān)于直線對稱典例典例 如圖，已知a(4,0)，b(0,4)，從點p(2,0)射出的光線經(jīng)直線ab反射后再射到直線ob上，最后經(jīng)直線ob反射后又回到p點，則光線所經(jīng)過的路程是 解析答案解析解析直線ab的方程為xy4，點p(2,0)關(guān)于直線ab的對稱點為d(4,2)，關(guān)于y軸的對稱點為c(2,0)，命題點命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題直線關(guān)于直線的對稱問

11、題典例典例 已知直線l：2x3y10，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程.解答解解在直線m上任取一點，如m(2,0)，則m(2,0)關(guān)于直線l的對稱點m必在直線m上.設(shè)對稱點m(a，b)，得n(4,3).又直線m經(jīng)過點n(4,3)，由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.解決對稱問題的方法(1)中心對稱思維升華思維升華直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.(2)軸對稱直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 已知直線l：3xy30，求：(1)點p(4,5)關(guān)于l的對稱點；解答解解設(shè)p(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對稱點為p(x，

12、y)，又pp的中點在直線3xy30上，把x4，y5代入得x2，y7，點p(4,5)關(guān)于直線l的對稱點p的坐標(biāo)為(2,7).(2)直線xy20關(guān)于直線l對稱的直線方程；解答解解用分別代換xy20中的x，y，化簡得7xy220.(3)直線l關(guān)于(1,2)的對稱直線.解答解解在直線l：3xy30上取點m(0,3)，關(guān)于(1,2)的對稱點m(x，y)，l關(guān)于(1,2)的對稱直線平行于l，k3，對稱直線方程為y13(x2)，即3xy50.妙用直線系求直線方程思想方法思想方法思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答一、平行直線系一、平行直線系由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系

13、數(shù)與常數(shù)項有必然的聯(lián)系.典例典例1 求與直線3x4y10平行且過點(1,2)的直線l的方程.思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 因為所求直線與3x4y10平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1).規(guī)范解答規(guī)范解答解解由題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因為直線過點(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答二、垂直直線系二、垂直直線系由于直線a1xb1yc10與a2xb2yc20垂直的充要條件為a1a2b1b20.因此，當(dāng)兩直線垂直時，它們的一次項系數(shù)有必然的聯(lián)系.可以考慮用直線系方程求解.典例典例2 求經(jīng)過a(2,1)，且與直線

14、2xy100垂直的直線l的方程.思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解.規(guī)范解答規(guī)范解答解解因為所求直線與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yc10，又直線過點a(2,1)，所以有221c10，解得c10，即所求直線方程為x2y0.思想方法指導(dǎo)三、過直線交點的直線系三、過直線交點的直線系典例典例3 (2017湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過兩條直線2x3y10和x3y40的交點，并且垂直于直線3x4y70的直線方程為 .思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 可分別求出直線l1與l2的交點及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出所求方程，再把交點坐標(biāo)代入求解

15、；又可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解.解析答案4x3y90所求直線與直線3x4y70垂直，即4x3y90.代入4x3ym0，得m9，故所求直線方程為4x3y90.方法三由題意可設(shè)所求直線方程為(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140， 又所求直線與直線3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直線方程為4x3y90.方法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x3ym0，課時作業(yè)1.直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是 a.平行 b.垂直c.相交但不垂直 d.不能確定基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析解析直線2xym0的

16、斜率k12，解析答案則k1k2，且k1k21. 故選c.2.(2018邢臺模擬)“a1”是“直線ax3y30和直線x(a2)y10平行”的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件c.充要條件 d.既不充分又不必要條件解析答案12345678910111213141516解得a1，故選c.3.從點(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為 a.x2y40 b.2xy10c.x6y160 d.6xy80答案12345678910111213141516解析其與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2)，又點(2,3)關(guān)于y軸的對稱點為(2,3)，所以反射光線過點(2,

17、3)與(0,2)，由兩點式知a正確.4.(2017蘭州模擬)一只蟲子從點o(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：xy10上的p點，再從p點出發(fā)爬行到點a(1，1)，則蟲子爬行的最短路程是 a. b.2 c.3 d.4解析答案12345678910111213141516解析解析點o(0,0)關(guān)于直線xy10的對稱點為o(1,1)，5.若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2之間的距離為 解析答案解析解析l1l2，a2且a0，123456789101112131415166.若直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2經(jīng)過定點 a.(0,4) b.(0

18、,2)c.(2,4) d.(4，2)答案12345678910111213141516解析解析解析直線l1：yk(x4)經(jīng)過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)，又直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，故直線l2經(jīng)過定點(0,2).解析答案123456789101112131415167.若三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點，則m的值為 .9點(1,2)滿足方程mx2y50，即m12250，m9.答案12345678910111213141516解析8.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m

19、n .解析解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線，解析解析直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點p，且l1l2，a11(a2)0，解析答案123456789101112131415169.已知直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點p，若l1l2，則a ，此時點p的坐標(biāo)為 .1(3,3)易得x3，y3，p(3,3).10.已知直線l1：axy10，直線l2：xy30，若直線l1的傾斜角為 ，則a ；若l1l2，則a ；若l1l2，則兩平行直線間的距離為 .故a1；若l1l2，

20、則a11(1)0，故a1；解析123456789101112131415161答案1若l1l2，11.已知方程(2)x(1)y2(32)0與點p(2,2).(1)證明：對任意的實數(shù)，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標(biāo)；解解顯然2與(1)不可能同時為零，故對任意的實數(shù)，該方程都表示直線.方程可變形為2xy6(xy4)0，解答12345678910111213141516故直線經(jīng)過的定點為m(2，2).(2)證明：該方程表示的直線與點p的距離d小于4 .證明證明過p作直線的垂線段pq，由垂線段小于斜線段知|pq|pm|，當(dāng)且僅當(dāng)q與m重合時，|pq|pm|，此時對應(yīng)的

21、直線方程是y2x2，即xy40.但直線系方程唯獨不能表示直線xy40，證明1234567891011121314151612.已知三條直線：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1與l2間的距離是 .(1)求a的值；解答12345678910111213141516又a0，解得a3.(2)能否找到一點p，使p同時滿足下列三個條件：點p在第一象限；點p到l1的距離是點p到l2的距離的 ；點p到l1的距離與點p到l3的距離之比是若能，求點p的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.解答12345678910111213141516解解假設(shè)存在點p，設(shè)點p(x0，y0).若點p滿足條件

22、，則點p在與l1，l2平行的直線l：2xyc0上，若點p滿足條件，由點到直線的距離公式，12345678910111213141516即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于點p在第一象限，所以3x020不可能.12345678910111213141516技能提升練答案12345678910111213141516解析13.(2017湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y2x是abc中c的平分線所在的直線，若點a，b的坐標(biāo)分別是(4,2)，(3,1)，則點c的坐標(biāo)為 a.(2,4) b.(2，4)c.(2,4) d.(2，4)12345678910111213141516解析解析設(shè)