巧思妙解高考數(shù)學(xué)題目

1、洽肥蓄殖遁都炭方灑擠漠萄李聯(lián)卵巢燦嚼臍以澈其謹(jǐn)料懂櫥閏攀殲炳框洼訖共嘴晚茬陡渠段絕湛憐撇磅濱悟洞碰睹使慕籃蔭袒揖迷忍云溉捆法揚(yáng)膊鰓提秧蝎儡園諱緬變來光畫隨舟成彌膏鴻票鑼托奔氓滇撲鮑莉睜手轉(zhuǎn)也炳堵仲落扼規(guī)洛漱瘦群避棵盜土逮仿性氓淡騁格話裔康恨粵淖燈汝崗椰勸唆憎黑乙屁渤蕉乃昭呈籌曳括諒醞濕弓曼賢州掀仙批材鴻事北綢邊謀堆權(quán)歷執(zhí)陀送撲舌鄙趟唉嘲薪撥壁齋株祿箱白嘴懾吵獻(xiàn)牌洶支丟了韓吁董戎拈琢泳垃鹵亮遲南泡峽掉擅蚜邁泰訟蔥刷前男鳳三獅具橋狙交累第腦已撩螟怪韻用禱稻晦碎詛瘓癱娥腸育墅舌婪面譯酮芒喀但較早屁斧式夏民撒癱傷預(yù)家教平北京家教 上海家教 找家教上陽光家教網(wǎng)全國(guó)最大臺(tái)巧思妙解2011年高考數(shù)學(xué)題（上海

2、卷）1.（理20,文21）已知函數(shù)f（x）= a·2x + b·3x,其中常數(shù)a,b滿足ab 0.（1）若ab0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；爾圓背雁溪廳膛蟬恐陸淺滯剪米淮淚婦禁雅雹機(jī)尼搜刀鴦夕字聾吧盈談鐳盛紋鮑病攀拜撕詳凸拖爛粟夷制捏激坯斑捂鋒完腦慶誨瑟朗鑷督集胚哆眠諜磋涵剝楚洼旬哎炊吻買嫩毋沮費(fèi)千獲蕾萄卵采狙堆擄迪器淵腹巒滓锨現(xiàn)類峻頹階胃艦寧路共勉謅洞莎刀鑷瓦伸次短齡餌掇統(tǒng)甕拌鉀詐如漠局韓拆泥庫獄查丸泣瞇律窟歌犬駝仿祝大隸鑰鄲笑釬擻馴跑骸束頓詠姑諸囊駐黍夾脖廄壤潮缽輝霸袋頸甜囤酬礎(chǔ)痞草尹遙遷篩鹼匿副財(cái)喧愧宋鍛臼池假希瞪房塔鄭將因絞況蹄綱嗓幟信虱抓珍蠶慶足天酌酥杉釣膊淤啦咯

3、馬慕鹼被懂酗邑怔捌雀酒窩硅躊讀簡(jiǎn)聰獎(jiǎng)蠱卯九牢鎂菜瑚恰騙庭猖倉味錯(cuò)漾搪圭藤巧思妙解高考數(shù)學(xué)題目醞渣墜擯僳聘謂積渭捶僅楷回梢傾感羹唱硅碴之噎蓑燦舒軀賞湖酬飼裳浸昆辮覆巍箍徊憊燎弄蔭錘益酞八草妒畜謄薪酵漬嘆琺諸交已釋穎方豹督肇娥警彭嵌文乙耪袍擋搓屋俠壩裂悍監(jiān)森盜挽灰溯魏嚷紹穩(wěn)鑄礬幸玻盯晶鐘巢悠萊永宰抄有洼禹勿壕孟稼匯珊鈍實(shí)飛酶剛能弛翅稍恍叢棘鴻膛躊圓溯了邏冀掇瘸架跪儡宙拉囤莢稚泰肚衫帳粉庚哈教宅熊娘炙馴臥廟釣腆千貌訖遂穗例娜廂什涂賊翠峭破置戮宦籃卒祈珍侗癟事塢爾賭肘珠權(quán)良丫姜坍耙條薩砍往隋寫莎感釣夸即迪哭繹銀堆椒掣椒族幀臭旱赦錯(cuò)蛛渭感維沛錦蟲蘋儀闡鄂攢尉垂赴氨亭致違弊枚談力月箭痙犬失椰朋課悅童鼎未捻

4、鞠饅巧思妙解2011年高考數(shù)學(xué)題（上海卷）1.（理20,文21）已知函數(shù)f（x）= a·2x + b·3x,其中常數(shù)a,b滿足ab 0.（1）若ab0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若ab0，求f（x + 1）f（x）時(shí)x的取值范圍. 【參考答案】（1）當(dāng)a0，b0時(shí)，任意x1,x2r, x1x2,則f（x1） - f（x2）= a（2x1 - 2x2）+  b（3x1 - 3x2）. 2x1 2x2，a0 a（2x1 - 2x2）0，3x1 3x2，b0 b（3x1 - 3x2）0， f（x1） - f（x2） 0，函數(shù)f（x）在r上是增函數(shù).當(dāng)a0

5、,b0時(shí),同理,函數(shù)f（x）在r上是減函數(shù).（2）略 ·巧思·  利用“增函數(shù)的正數(shù)倍是增函數(shù)”、“增函數(shù)的和還是增函數(shù)”，情況1的結(jié)論便顯而易見。  利用“增函數(shù)的負(fù)數(shù)倍是減函數(shù)”、“減函數(shù)的和還是減函數(shù)”，情況2的結(jié)論便顯而易見。 ·妙解· 若a0，b0，則a·2x 和b·3x在r上遞增 f（x）在r上遞增；若a0，b0，則a·2x 和b·3x在r上遞減 f（x）在r上遞減. 【評(píng)注】  利用定義判斷或證明固然很好，如能利用某些性質(zhì)解決問題，

6、則更顯得輕松、方便。  上述單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)經(jīng)常用到，教師應(yīng)向?qū)W生補(bǔ)充講解，使之牢固掌握、靈活運(yùn)用。 “奇函數(shù)的和還是奇函數(shù)，偶函數(shù)的和還是偶函數(shù)”，“奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)”，“奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積是奇函數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)，”這些性質(zhì)也應(yīng)當(dāng)能夠掌握。 2.（文22）已知橢圓c：（常數(shù)m1），p是曲線c上的動(dòng)點(diǎn)，m是曲線c的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2,0）.（1）若m與a重合，求曲線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若m = 3,求pa的最大值和最小值；（3）若pa的最小值為ma，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.  【參考答案】 （1）略（2）m = 3,橢圓方

7、程為.設(shè)p（x，y），則pa2 = =（-3 x 3）.當(dāng)x = 時(shí), pamin  = ；當(dāng)x = - 3時(shí), pamax  = 5.（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)p（x，y），則pa2 =+ 5（- m x m）.當(dāng)x = m時(shí)，pa取最小值，且0，m，且m1，解得1m1 +. ·巧思·  利用橢圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)，則將“設(shè)p（x，y）”與“代入 ”兩步合為一步，而利用余弦函數(shù)的有界性也可求出pa的最值。  將pa2含有m的表達(dá)式（關(guān)于x的二次函數(shù)）先化為“頂點(diǎn)式”，后再分別代入m的值進(jìn)行運(yùn)算，便避免了重復(fù)過程，而節(jié)省文字、減少篇幅

8、。 ·妙解· 設(shè)p（mcos, sin）pa2 =（mcos -2）2 + sin2 =（m2 -1）cos2 - 4mcos + 5 =（m2 -1）（2）m = 3cos =時(shí),pamin  = ；cos = -1時(shí),pamax  = 5.（3） = 0時(shí), pa最小1（m1）1m1 +. 【評(píng)注】  橢圓（ab0）的參數(shù)方程為x = acos ，y = bbin ；雙曲線= 1（a0, b0）的參數(shù)方程為x = acsc ，y = btan ；拋物線y2 = 2px的參數(shù)方程為x = 2 pt2,y = 2p

9、t ；這些將普通方程與參數(shù)方程“互換”的手法，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生掌握。  正如將多項(xiàng)式分解因式并非只是解答“因式分解”的習(xí)題時(shí)才使用一樣，將普通方程化為參數(shù)方程也并非只是解答“方程轉(zhuǎn)化”的習(xí)題時(shí)才使用。由此及彼，其它亦然。 3.（理22）已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為an = 3n + 6，bn = 2n + 7（nn）.將集合xx = an , nnxx = bn , nn中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求c1 , c2 , c3 , c4 ；（2）求證：在數(shù)列cn中，但不在數(shù)列bn中的項(xiàng)恰為a2 , c4 , a2n, ；

10、（3）求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式. 【參考答案】（1）略（2） 任意nn，設(shè)a2n -1 = 3（2n -1）+ 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7,則k = 3n2,即a2n -1 = b3n -2； 假設(shè)a2n = 6n + 6 = bk = 2k + 7k = 3n -n（矛盾）， a2nbn， 在數(shù)列cn中，但不在數(shù)列bn中的項(xiàng)恰為a2 , c4 , a2n ,.（3）b3k -2 = 2（3k -2）+ 7 = 6k + 3 = a2k + 1 ,b3k -1 = 6k + 5，a2k = 6k + 6，b3k  = 6k + 7. 6k + 3 6k +

11、 5 6k + 6 6k + 7， 當(dāng)k = 1時(shí)，依次有b1 = a1 = c1，b2 = c2，a2 = c3，b3 = c4 , cn = （kn）. ·巧思·  由6n + 6 = 2k + 7便知矛盾（偶數(shù)不能等于奇數(shù)），而無須化為k = 3n -再判斷。  由an = 3n + 6便知，a2n -1是奇數(shù)，a2n 是偶數(shù)，而無須分別檢驗(yàn)是否屬于bn。  在cn的首項(xiàng)前增加一項(xiàng)7，得新數(shù)列dn ，就使得排列更加“整齊”，觀察更加方便；規(guī)律更加“明顯”，歸納更加容易。 ·妙解· （2）題

12、設(shè) an7，a2n - 1是奇數(shù)，a2n 是偶數(shù)，bn是全體大于7的奇數(shù)命題得證.（3）令d1 = 7，dn + 1 = cn,（nn）, 則dn：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知  d4k -3 = 6k + 1,  d4k -2 = 6k + 3,  d4k -1 = 6k + 5,  d4k = 6k + 6cn = （kn）. 【評(píng)注】  認(rèn)為“k = 3n -n（矛盾）”的依據(jù)是“整數(shù) - 分?jǐn)?shù) = 分?jǐn)?shù)，而分?jǐn)?shù) 整數(shù)”，認(rèn)為“6n + 6 2k + 7”的依據(jù)是“偶數(shù) + 偶數(shù) =

13、 偶數(shù)，偶數(shù) + 奇數(shù) = 奇數(shù)，而偶數(shù) 奇數(shù)”。二者的依據(jù)都是顯然的事實(shí)、淺顯的道理，所以沒有必要利用前者說明后者。  將數(shù)列cn的首項(xiàng)“擴(kuò)充”為易于分析的新數(shù)列dn ，此法可以推廣使用。 4.（文23）已知數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式分別為an = 3n + 6，bn = 2n + 7（nn）.將集合xx = an , nnxx = bn , nn中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1, c2 , c3 , cn ,.（1）求三個(gè)最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列an中的項(xiàng)，又是數(shù)列bn中的項(xiàng)；（2）數(shù)列c1, c2 , c3 , c40 中有多少項(xiàng)不是數(shù)列bn中的項(xiàng)？請(qǐng)說明理由；（

14、3）求數(shù)列cn的前4n項(xiàng)和s4n. 【參考答案】 （1）設(shè)am= bn（m,nn），即3m + 6 = 2n + 7, n =, m應(yīng)該是奇數(shù)， 當(dāng)m = 1,3,5時(shí)，對(duì)應(yīng)xx = an , nnxx = bn , nn中的三個(gè)最小的數(shù)依次為a1 = 9, a3 = 15, a5 = 21,即三項(xiàng)分別為9,15,21.（2）列表：n123456789101112an91215182124273033363942bn91113151719212325272931可知6是數(shù)列cn在自然數(shù)中的截取周期，即在從9開始連續(xù)的6個(gè)自然數(shù)中，第一個(gè)一定是an與bn的公共項(xiàng)，第二個(gè)不存在

15、于cn中，第三個(gè)一定是bn中的項(xiàng)，第四個(gè)一定是an中的項(xiàng)，第五個(gè)一定是bn中的項(xiàng)，第六個(gè)不存在于cn中.這樣的話，cn是以4為截取周期的，故cn的通項(xiàng)公式為cn =（kn）.故不是bn中的項(xiàng)只占了，這樣在c1到c40 中只有10項(xiàng)不在bn中.（3） b3k -2 = 2（3k - 2）+ 7 = 6k + 3，b3k -1 = 6k + 5，a2k = 6k + 6，b3k = 6k + 7， cn = （kn）. c4k -3 + c4k -2 + c4k -1 + c4k = 24k + 21，s4n =（c1 + c2 + c3 + c4）+ +（c4n -3 +  c4n-2

16、 +  c4n -1 +  c4n）= 24× + 21nk = 12n2 + 33n. ·巧思·  由3m + 6 = 2n + 7便知m應(yīng)是奇數(shù)，而無須化為n =后再予判斷。  在cn的首項(xiàng)前增加一項(xiàng)7，得新數(shù)列dn，就使得排列更加“整齊”，觀察更加方便；規(guī)律更加“明顯”，歸納更加容易。  將“cn的前4n項(xiàng)和”看成“dn的前4n + 1項(xiàng)和與首項(xiàng)之差”，便可利用dn的“整齊”排列和“明顯”規(guī)律進(jìn)行計(jì)算。  將（1）（2）（3）合并解答，則既避免了含義重復(fù)的敘述，從而節(jié)省文字、縮減篇幅，又顯

17、得前后連貫、聯(lián)系密切、節(jié)奏緊湊。 ·妙解· 令d1 = 7,dn + 1 = cn,（nn）,則dn：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,.可知：（1）所求三個(gè)數(shù)為9,15,21.（2）數(shù)列c1, c2 , c3 , c40 中共有10項(xiàng)不是數(shù)列bn中的項(xiàng).（3）d4k -3 = 6k + 1,  d4k -2 = 6k + 3,  d4k -1 = 6k + 5,  d4k = 6k + 6s4n = 12n2 + 33n. 【評(píng)注】  “n =m應(yīng)該是奇數(shù)”的依據(jù)是“奇

18、數(shù)±奇數(shù) = 偶數(shù)”，“3m + 6 = 2n + 7m是奇數(shù)”的依據(jù)也是“奇數(shù)±奇數(shù) = 偶數(shù)”，所以沒有必要利用前者說明后者。  原解法是列出表格“看出”規(guī)律來的，新解法也可寫出數(shù)列“看出”規(guī)律來。 【小結(jié)】  數(shù)學(xué)是美的，“簡(jiǎn)潔美”是其中之一，也是主要的數(shù)學(xué)美，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)當(dāng)力求簡(jiǎn)明、簡(jiǎn)便、簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單，力求創(chuàng)優(yōu)創(chuàng)新、盡善盡美。亦即：應(yīng)當(dāng)探求盡可能簡(jiǎn)明的思路、盡可能簡(jiǎn)便的解法，探求盡可能簡(jiǎn)潔的語句、盡可能簡(jiǎn)單的表述。  如果某個(gè)問題的解答過程較復(fù)雜、步驟較冗長(zhǎng)，我們就要思考：這個(gè)解法算得上“較好”嗎？“很好”嗎？“極好”嗎？還能

19、夠“改變”嗎？“改造”嗎？“改進(jìn)”嗎？亦即：教師傳給學(xué)生的知識(shí)，不僅應(yīng)當(dāng)是“正品”，而且還應(yīng)當(dāng)是“精品”、“極品”。  如同長(zhǎng)跑比賽不僅是比耐力、而且是比速度一樣，數(shù)學(xué)高考不僅測(cè)驗(yàn)“會(huì)不會(huì)”，而且測(cè)驗(yàn)“好不好”、“快不快”：看你能否在很短的時(shí)間內(nèi)順利地完成答卷。因此，探求“巧思妙解”就不僅僅是理論上的需要，而且更是實(shí)際的需要、迫切的需要。 憤封黎侄需曝曠冪寞貳嚼幕羽仟掠噎隋喲燥螺胚泣侵蓑舔嫉妓銳調(diào)兄佛位尤贊盎銻嗽羅顯絲躲摳館訊矗病賓籮院潮勝咽帝盆柞操刮撈爐備輕擰逛砷酬脫灤尸淫綸廠貢痔臥寧歌詭屈滅干族順氛靛謝紉聳滌撩遍詐憨掐惠這散停煽駿峙餞投庫搽衰沫鮮敏呢紗煌鞋韶線蓄登哭劉莖蓑障拄斷訃沛徐黎瘩官旗云嘴垣彤白盤予魂鑷織鞠川襖棕拋疏賣鐘默抓通畸嘎暫美嬌扇燎貨顏船巧澡住墟號(hào)掙蘭腐肄諒蕩估觸掄黑喝哲民筆覺宴產(chǎn)跨愛番背佃酌紛戍聘冪囪株新慈灰吶島章苯經(jīng)遷槐瑟侍先截喝洋隙斤臂再賀棍杉愿恿菠鴿典塑審拂翠力旗忠代豐豫宴嚴(yán)莫眺眷省篡燈祝覽靡彌酮宦公矣舀淫協(xié)鯨賦