大學(xué)物理教案(上)(共140頁)

1、第一章 質(zhì)點運動學(xué)§1-1 質(zhì)點運動的描述一、參照系 坐標(biāo)系 質(zhì)點1、參照系為描述物體運動而選擇的參考物體叫參照系。2、坐標(biāo)系為了定量地研究物體的運動，要選擇一個與參照系相對靜止的坐標(biāo)系。如圖1-1。說明：參照系、坐標(biāo)系是任意選擇的，視處理問題方便而定。3、質(zhì)點忽略物體的大小和形狀，而把它看作一個具有質(zhì)量、占據(jù)空間位置的物體，這樣的物體稱為質(zhì)點。說明： 質(zhì)點是一種理想模型，而不真實存在（物理中有很多理想模型） 質(zhì)點突出了物體兩個基本性質(zhì) 1）具有質(zhì)量 2）占有位置 物體能否視為質(zhì)點是有條件的、相對的。二、位置矢量 運動方程 軌跡方程 位移1、位置矢量定義：由坐標(biāo)原點到質(zhì)點所在位置的矢

2、量稱為位置矢量（簡稱位矢或徑矢）。如圖12，取的是直角坐標(biāo)系，為質(zhì)點的位置矢量 （1-1）位矢大?。?（1-2）方向可由方向余弦確定：，2、運動方程質(zhì)點的位置坐標(biāo)與時間的函數(shù)關(guān)系，稱為運動方程。運動方程 矢量式： （1-3） 標(biāo)量式：， （1-4）3、軌跡方程從式（1-4）中消掉，得出、之間的關(guān)系式。如平面上運動質(zhì)點，運動方程為，得軌跡方程為（拋物線）4、位移以平面運動為例，取直角坐標(biāo)系，如圖13。設(shè)、時刻質(zhì)點位矢分別為、，則時間間隔內(nèi)位矢變化為 （1-5）稱為該時間間隔內(nèi)質(zhì)點的位移。 （1-6）大小為討論： 比較與：二者均為矢量；前者是過程量，后者為瞬時量 比較與（AB路程）二者均為過程量；

3、前者是矢量，后者是標(biāo)量。一般情況下。當(dāng)時，。 什么運動情況下，均有？三、速度為了描述質(zhì)點運動快慢及方向，從而引進(jìn)速度概念。1、平均速度如圖1-3， 定義： （1-7）稱為時間間隔內(nèi)質(zhì)點的平均速度。 (1-8）方向：同方向。說明：與時間間隔相對應(yīng)。2、瞬時速度粗略地描述了質(zhì)點的運動情況。為了描述質(zhì)點運動的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時速度。定義：稱為質(zhì)點在時刻的瞬時速度，簡稱速度。 （1-9）結(jié)論：質(zhì)點的速度等于位矢對時間的一階導(dǎo)數(shù)。 （1-10）式中 ， 。 、分別為在、軸方向的速度分量。的大小：的方向：所在位置的切線向前方向。與x正向軸夾角滿足。3、平均速率與瞬時速率定義：（參見圖1-3）稱為質(zhì)點在時間段內(nèi)

4、得平均速率。為了描述運動細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時速率。定義：稱為時刻質(zhì)點的瞬時速率，簡稱速率。當(dāng)時（參見圖1-3），有 可知： 即 （1-11）結(jié)論：質(zhì)點速率等于其速度大小或等于路程對時間的一階導(dǎo)數(shù)。說明： 比較與：二者均為過程量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。 比較與：二者均為瞬時量；前者為標(biāo)量，后者為矢量。四、加速度為了描述質(zhì)點速度變化的快慢，從而引進(jìn)加速度的概念。1、平均加速度定義：（見圖1-4）稱為時間間隔內(nèi)質(zhì)點的平均加速度。2、瞬時加速度為了描述質(zhì)點運動速度變化的細(xì)節(jié)，引進(jìn)瞬時加速度。定義：稱為質(zhì)點在時刻的瞬時加速度，簡稱加速度。 （1-12）結(jié)論：加速度等于速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)或位矢對時間的二階導(dǎo)

5、數(shù)。式中： ，。、分別稱為在x、y軸上的分量。的大?。?的方向： 與x軸正向夾角滿足說明：沿的極限方向，一般情況下與方向不同（如不計空氣阻力的斜上拋運動）。 瞬時量：，綜上： 過程量：，矢量：，標(biāo)量：，五、直線運動質(zhì)點做直線運動，如圖1-51、位移：沿+x軸方向；：沿-x軸方向。2、速度，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。3、加速度，沿+x軸方向；，沿-x軸方向。由上可見，一維運動情況下，由、的正負(fù)就能判斷位移、速度和加速度的方向，故一維運動可用標(biāo)量式代替矢量式。六、運動的二類問題運動方程、等例1-1：已知一質(zhì)點的運動方程為（SI），求： t=1s和t=2s時位矢； t=1s到t=2s內(nèi)位移； t

6、=1s到t=2s內(nèi)質(zhì)點的平均速度； t=1s和t=2s時質(zhì)點的速度； t=1s到t=2s內(nèi)的平均加速度； t=1s和t=2s時質(zhì)點的加速度。解： m m m m/s m/sm/s m/s2 m/s2例1-2：一質(zhì)點沿x軸運動，已知加速度為(SI)，初始條件為：時，m。求：運動方程。解：取質(zhì)點為研究對象，由加速度定義有（一維可用標(biāo)量式）由初始條件有：得： 由速度定義得：由初始條件得：即m由上可見，例1-1和例1-2分別屬于質(zhì)點運動學(xué)中的第一類和第二類問題。§1-2圓周運動一、自然坐標(biāo)系圖2-1中，BAC為質(zhì)點軌跡，時刻質(zhì)點P位于A點，、分別為A點切向及法向的單位矢量，以A為原點，切向和

7、法向為坐標(biāo)軸，由此構(gòu)成的參照系為自然坐標(biāo)系（可推廣到三維）二、圓周運動的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如圖1-7，質(zhì)點做半徑為的圓周運動，時刻，質(zhì)點速度 （2-1）式（2-1）中，為速率。加速度為 （2-2）式（2-2）中，第一項是由質(zhì)點運動速率變化引起的，方向與共線，稱該項為切向加速度，記為 （2-3）式（2-3）中， （2-4）為加速度的切向分量。結(jié)論：切向加速度分量等于速率對時間的一階導(dǎo)數(shù) 。 2、法向加速度式（2-2）中，第二項是由質(zhì)點運動方向改變引起的。如圖1-8，質(zhì)點由A點運動到B點，有因為，所以、夾角為。 （見圖1-9）當(dāng)時，有。因為，所以由A點指向圓心O，可有式（2-2）

8、中第二項為：該項為矢量，其方向沿半徑指向圓心，稱為法向加速度，記為 （2-5）大小為 （2-6）式（2-6）中，是加速度的法向分量。結(jié)論：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑 。3、總加速度 （2-7）大?。?（2-8）方向：與夾角（見圖1-10）滿足4、一般曲線運動圓周運動的切向加速度和法向加速度也適用于一般曲線運動，只要把曲率半徑看作變量即可。討論： 如圖1-10，總是指向曲線的凹側(cè)。 時，質(zhì)點做直線運動。此時時，有限，質(zhì)點做曲線運動。此時三、圓周運動的角量描述1、角坐標(biāo)如圖1-11，時刻質(zhì)點在A處，時刻質(zhì)點在B處，是OA與x軸正向夾角，是OB與x軸正向夾角，稱為時刻質(zhì)點角坐標(biāo)，為時間間

9、隔內(nèi)角坐標(biāo)增量，稱為在時間間隔內(nèi)的角位移。2、角速度平均角速度：定義： （2-9）稱為平均角速度。平均角速度粗略地描述了物體的運動。為了描述運動細(xì)節(jié)，需要引進(jìn)瞬時角速度。定義： （2-10） （2-11）結(jié)論：角速度等于角坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。說明：角速度是矢量，的方向與角位移方向一致。3、角加速度為了描述角速度變化的快慢，引進(jìn)角加速度概念。（1）平均角加速度：設(shè)在內(nèi)，質(zhì)點角速度增量為定義： （2-12）稱為時間間隔內(nèi)質(zhì)點的平均角加速度瞬時角加速度：定義： （2-13）稱為時刻質(zhì)點的瞬時角加速度，簡稱角加速度。 （2-14）結(jié)論：角加速度等于角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)或等于角坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。

10、說明：角加速度是矢量，方向沿方向。4、線量與角量的關(guān)系把物理量、等稱為線量，等稱為角量。（1）、與關(guān)系如圖2-7，時，有 即 （2-15）（2）、與關(guān)系式（2-15）兩邊對求一階導(dǎo)數(shù)，有即 （2-16）（3）、與關(guān)系即 （2-17）§1-3相對運動本節(jié)討論一個質(zhì)點的運動，用兩個參考系來描述，并得出兩個參考系中物理量（如：速度、加速度）之間的數(shù)學(xué)變換關(guān)系。一、相對位矢設(shè)有參照系E、M，其上固連的坐標(biāo)系，如圖1-13，二坐標(biāo)系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，M相對于E運動。質(zhì)點P相對E、M的位矢分別為、，相對位矢為： (2-18) 結(jié)論：P對E的位矢等于P對M的位矢與對E的位矢的矢量和。二、相對位移由（

11、2-18）有 （2-19）結(jié)論：P對E的位移等于P對M的位移與對E的位移的矢量和。三、相對速度將式（2-18）兩邊對時間求一階導(dǎo)數(shù)有 （2-20）結(jié)論：P對E的速度等于P對M的速度與M對E的速度的矢量和。四、相對加速度由式（2-20）對時間求一階導(dǎo)數(shù)有 （2-21）結(jié)論：P對E的加速度等于P對M的加速度與M對E的加速度的矢量和。例1-3：質(zhì)點做平面曲線運動，其位矢、加速度和法向加速度大小分別為，和，速度為，試說明下式正確的有哪些？解：因為標(biāo)量矢量，所以不對。又，而，故不對。而，因此正確。由于中為曲率半徑，而這里為位矢的大小，不一定是曲率半徑，所以不對。例1-4：在一個轉(zhuǎn)動的齒輪上，一個齒尖P沿

12、半徑為的圓周運動，其路程隨時間的變化規(guī)律為，其中，都是正的常數(shù)，則時刻齒尖P的速度和加速度大小為多少？解：例1-5：一質(zhì)點運動方程為（SI），求：（1）（2）解： m/sm/s2(注意此方法，給定運動方程，先求出、，之后求，這樣比用求簡單)例1-6：拋射體運動，拋射角為，初速度為，不計空氣阻力，問運動中變化否？、變否？任意位置、為多少？拋出點、最高點、落地點、各為多少？曲率半徑為多少？解：如圖所取坐標(biāo)，x軸水平，y軸豎直，為拋射點。質(zhì)點受重力恒力作用，有，故不變.，而改變，變。而不變，變，變。任意位置P處，質(zhì)點的、為拋射點處，有最高點：，落地點：與出射點對稱 例1-7：一質(zhì)點從靜止（）出發(fā)，沿

13、半徑為m的圓周運動，切向加速度大小不變，為m/s2,在時刻，其總加速度恰與半徑成45°角，求解：依題意知，與夾角為45°，有 由有得： s例1-8：某人騎自行車以速率向西行使，北風(fēng)以速率吹來（對地面），問騎車者遇到風(fēng)速及風(fēng)向如何？解：地為靜系E，人為動系M。風(fēng)為運動物體P絕對速度：，方向向南；牽連速度：，方向向西；求相對速度方向如何？ 有圖1-15。 45° 方向：來自西北?；驏|偏南45°。第二章 牛頓運動定律§2-1牛頓運動定律 力一、牛頓運動定律1、第一定律時， （2-1）說明：反映物體的慣性，故叫做慣性定律。給出了力的概念，指出了力是改變

14、物體運動狀態(tài)的原因。2、第二定律 （2-2）說明： 為合力 為瞬時關(guān)系 矢量關(guān)系 只適應(yīng)于質(zhì)點 解題時常寫成（直角坐標(biāo)系） （2-3） （自然坐標(biāo)系） （2-4）3、第三定律 （2-5） 說明： 、在同一直線上，但作用在不同物體上。 、同有同無互不抵消。二、幾種常見的力1、力力是指物體間的相互作用。2、力學(xué)中常見的力（1）萬有引力 （2-6）即任何二質(zhì)點都要相互吸引，引力的大小和兩個質(zhì)點的質(zhì)量、的乘積成正比，和它們距離的平方成反比；引力的方向在它們連線方向上。說明：通常所說的重力就是地面附近物體受地球的引力。（2）彈性力彈簧被拉伸或壓縮時，其內(nèi)部就產(chǎn)生反抗力，并企圖恢復(fù)原來的形狀，這種力稱為彈

15、簧的恢復(fù)力。（3）摩擦力 當(dāng)一物體在另一物體表面上滑動或有滑動的趨勢時，在接觸面上有一種阻礙它們相對滑動的力，這種力稱為摩擦力。3、兩種質(zhì)量由可證明： ，適選單位可有 。以后不區(qū)別二者，統(tǒng)稱為質(zhì)量。§2-2力學(xué)單位制和量綱（自學(xué)）§2-3慣性系 力學(xué)相對性原理一、慣性參照系在運動學(xué)中，參照系可任選，在應(yīng)用牛頓定律時，參照系不能任選，因為牛頓運動定律不是對所有的參照系都適用。如圖2-1，假設(shè)火車車廂的桌面是水平光滑的，在桌面上放一小球，顯然小球受合外力=0，當(dāng)火車以加速度向前開時，車上人看見小球以加速度向后運動。而對地面上人來說，小球的加速度為零。如果取地參系，小球的合外力等

16、于零，故此時牛頓運動定律（第一、二定律）成立。如果取車廂為參照系，小球的加速度，而作用小球的合外力，故此時牛頓運動定律（第一、第二定律）不成立。凡是牛頓運動定律成立的參照系，稱為慣性系。牛頓定律不成立的參照系稱為非慣性系。說明：（1）一個參照系是否為慣性系，要由觀察和實驗來判斷。天文學(xué)方面的觀察證明，以太陽中心為原點，坐標(biāo)軸的方向指向恒星的坐標(biāo)軸是慣性系。理論證明，凡是對慣性系做勻速直線運動的參照系都是慣性系。（2）地球是否為慣性系？因為它有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，所以地球?qū)μ栠@個慣性系不是作勻速直線運動的，嚴(yán)格講地球不是慣性系。但是，地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的角速度都很小，故可以近似看成是慣性系。二、力學(xué)相對性

17、原理在1-3中已講過，參照系E與M，設(shè)E是一慣性系，M相對E以做勻速直線運動，即OM也是一慣性系，二參照系相應(yīng)坐標(biāo)軸平行，在E、M上牛頓第二定律均成立，設(shè)一質(zhì)點P1質(zhì)量為m，相對E、M有 （2-7）設(shè)P相對E、M的速度分別為、，有 （2-8）上式兩邊對求一階導(dǎo)數(shù)有 （2-9）可見，P對E和M的加速度相同。綜上可知，對于不同的慣性系，牛頓第二定律有相同的形式（見（2-7），在一慣性系內(nèi)部所做的任何力學(xué)實驗，都不能確定該慣性系相對其它慣性系是否在運動（見（2-9），這個原理稱為力學(xué)相對性原理或伽利略相對性原理。§2-4牛頓定律應(yīng)用舉例例2-1: 如圖2-2，水平地面上有一質(zhì)量為M的物體，

18、靜止于地面上。物體與地面間的靜摩擦系數(shù)為，若要拉動物體，問最小的拉力是多少？沿何方向？解：研究對象：M受力分析：M受四個力，重力，拉力，地面的正壓力，地面對它的摩擦力，見圖2-3。牛頓第二定律：合力： 分量式：取直角坐標(biāo)系x分量： y分量： 物體啟動時，有 物體剛啟動時，摩擦力為最大靜摩擦力，即，由解出N，求得 為： 代中：有 可見：。時，要求分母最大。設(shè) 時，。代入中，得：方向與水平方向夾角為時，即為所求結(jié)果。強(qiáng)調(diào)：注意受力分析，力學(xué)方程的矢量式、標(biāo)量式（取坐標(biāo)）。例2-2：質(zhì)量為的物體被豎直上拋，初速度為，物體受到的空氣阻力數(shù)值為，為常數(shù)。求物體升高到最高點時所用時間及上升的最大高度。解：

19、研究對象：m受力分析：m受兩個力，重力及空氣阻力，如圖2-4。牛頓第二定律：合力：y分量：即 時，物體達(dá)到了最高點，可有為 時，例2-3：如圖2-5，長為的輕繩，一端系質(zhì)量為的小球，另一端系于原點o，開始時小球處于最低位置，若小球獲得如圖所示的初速度，小球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)作圓周運動，求:小球在任意位置的速率及繩的張力。解：研究對象：m受力分析：小球受兩個力，即重力，拉力，如圖2-6。牛頓定律：應(yīng)用自然坐標(biāo)系，運動到處時，分量方程有，方向： 方向： 由有： 即 作如下積分： 有 得： 代中，得：例2-4：如圖2-6，一根輕繩穿過定滑輪，輕繩兩端各系一質(zhì)量為和的物體，且，設(shè)滑輪的質(zhì)量不計，滑輪與繩及軸

20、間摩擦不計，定滑輪以加速度相對地面向上運動，試求兩物體相對定滑輪的加速度大小及繩中張力。解：研究對象：、受力分析：、各受兩個力，即重力及繩拉力，如圖2-7。牛頓定律設(shè)對定滑輪及地加速度為、，對定滑輪及地加速度為、，：如圖所選坐標(biāo)，并注意，有解得： 例2-5：如圖2-8，質(zhì)量為的三角形劈置于水平光滑桌面上，另一質(zhì)量為的木塊放在的斜面上，與間無摩擦。試求對地的加速度和對的加速度。解：研究對象：、受力分析：受三個力，重力，正壓力，地面支持力。受兩個力，重力，的支持力， 如圖2-9所。取坐標(biāo)系，設(shè)對地加速度為，對的加速度為，對地的加速度為有 由牛頓得二定律有： ：x分量： y分量： ： 由、有：強(qiáng)調(diào)：

21、相對運動公式的應(yīng)用。第三章 動量守恒和能量守恒定律§3-1質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理一、質(zhì)點的動量定理1、動量質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積稱為質(zhì)點的動量，記為。 （3-1）說明：是矢量，方向與相同是瞬時量是相對量坐標(biāo)和動量是描述物體狀態(tài)的參量2、沖量牛頓第二定律原始形式由此有積分： （3-2）定義：稱為在時間內(nèi)力對質(zhì)點的沖量。記為 （3-3）說明：是矢量是過程量是力對時間的積累效應(yīng)的分量式 （3-4）分量式（34）可寫成 （3-5）、是在時間內(nèi)、平均值。3、質(zhì)點的動量定理由上知 （3-6）結(jié)論：質(zhì)點所受合力的沖量=質(zhì)點動量的增量，稱此為質(zhì)點的動量定理。說明：與同方向分量式 （3-7）過程量可

22、用狀態(tài)量表示，使問題得到簡化成立條件：慣性系動量原理對碰撞問題很有用二、質(zhì)點系的動量定理概念：系統(tǒng)：指一組質(zhì)點內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點間作用力外力：系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點作用力設(shè)系統(tǒng)含個質(zhì)點，第個質(zhì)點的質(zhì)量和速度分別為、，對于第個質(zhì)點受合內(nèi)力為，受合外力為，由牛頓第二定律有對上式求和，有因為內(nèi)力是一對一對的作用力與反作用力組成，故， 有 （3-8）結(jié)論：系統(tǒng)受的合外力等于系統(tǒng)動量的變化，這就是質(zhì)點系的動量定理。式（3-8）可表示如下 （3-9）即 （3-10）結(jié)論：系統(tǒng)受合外力沖量等于系統(tǒng)動量的增量，這也是質(zhì)點系動量定理的又一表述。例3-1：質(zhì)量為的鐵錘豎直落下，打在木樁上并停下。設(shè)打擊時間，打擊前鐵

23、錘速率為，則在打擊木樁的時間內(nèi)，鐵錘受平均和外力的大小為？解：設(shè)豎直向下為正，由動量定理知：強(qiáng)調(diào)：動量定理中說的是合外力沖量=動量增量 例3-2：一物體受合力為（SI），做直線運動，試問在第二個5秒內(nèi)和第一個5秒內(nèi)物體受沖量之比及動量增量之比各為多少？解：設(shè)物體沿+x方向運動，N·S（沿方向）N·S（沿方向）例3-3：如圖3-1，一彈性球，質(zhì)量為kg，速率m/s，與墻壁碰撞后跳回。設(shè)跳回時速率不變，碰撞前后的速度方向和墻的法線夾角都為°。求碰撞過程中小球受到的沖量設(shè)碰撞時間為s，求碰撞過程中小球 受到的平均沖力解：如圖3-1所取坐標(biāo)，動量定理為方法一用分量方程解N

24、·S方法二用矢量圖解如上圖3-1所示。,故為等邊三角形。m/s,沿方向N·S，沿方向。N注意：此題按求困難（或求不出來）時，用公式求方便。§3-2動量守恒定律由式（3-8）知，當(dāng)系統(tǒng)受合外力為零時 (3-11)即系統(tǒng)動量不隨時間變化,稱此為動量守恒定律。說明：動量守恒條件：，慣性系。動量守恒是指系統(tǒng)的總動量守恒，而不是指個別物體的動量守恒。內(nèi)力能改變系統(tǒng)動能而不能改變系統(tǒng)動量。時，若在某一方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的動量分量守恒。動量守恒是指（不隨時間變化），此時要求。動量守恒是自然界的普遍規(guī)律之一。例3-4：如圖3-2，質(zhì)量為的水銀球，豎直地落到光滑的水

25、平桌面上，分成質(zhì)量相等的三等份，沿桌面運動。其中兩等份的速度分別為、，大小都為0.30m/s。相互垂直地分開，試求第三等份的速度。解：方法一用分量式法解研究對象：小球受力情況：只受向下的重力和向上的桌面施加的正壓力，即在水平方向不受力，故水平方向動量守恒。在水平面上如圖3-2取坐標(biāo)，有方法二用矢量法解 及 即 即有圖3-3?？傻胢/s得 強(qiáng)調(diào)：要理解動量守恒條件例3-5：如圖3-4，在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為長為的小車，車上一端有一質(zhì)量為的人，起初、均靜止，若人從車一端走到另一端時，則人和車相對地面走過的距離為多少？解：研究對象：、為系統(tǒng)此系統(tǒng)在水平方向受合外力為零，在此方向動量守恒。方法一

26、 （對地）即 如圖所取坐標(biāo)，標(biāo)量式為即 積分（，在A處，在B處） 即 得 由圖3-4知：<方法二 標(biāo)量式：即 積分： 可知： 由、得：例3-6：質(zhì)量為的人手里拿著一個質(zhì)量為的物體，此人用以與水平方向成角的速率向前跳去。當(dāng)他達(dá)到最高點時，他將物體以相對于人為的水平速率向后拋出，問：由于人拋出物體，他跳躍的距離增加了多少？（假設(shè)人可視為質(zhì)點）解：如圖3-5，設(shè)P為拋出物體后人達(dá)到的最高點，、分別為拋球前后跳躍的距離。研究對象：人、物體組成的系統(tǒng)， 該系統(tǒng)在水平方向上合外力=0， 在水平方向上系統(tǒng)的動量分量守恒。設(shè)在P點，人拋球前、后相對地的速度分別為、，在P點拋球后球相對地速度為，有標(biāo)量式：

27、 即 得： 強(qiáng)調(diào)：，。因為是與同時產(chǎn)生的，而人速度為時，還沒產(chǎn)生§3-3碰撞一、碰撞碰撞特點：碰撞時物體間相互作用內(nèi)力很大，其它力相對比較可忽略。即碰撞系統(tǒng)合外力=0。故動量守恒。機(jī)械能二、完全彈性碰撞1、對心情況（一維）如圖3-6，以與為系統(tǒng)，碰撞中 （3-12） （3-14）（，沿+x方向；反之，沿-x方向）解得： （3-15）討論： （交換速度） 2、非對心情況設(shè)，且，可知，、系統(tǒng)動量及動能均守恒，即 （3-16） （3-17）可知，、是以為斜邊的直角三角形，如圖3-7。§3-4動能定理一、功定義：力對質(zhì)點所做的功為力在質(zhì)點位移方向的分量與位移大小的乘積。1、恒力的功

28、恒力：力的大小和方向均不變。如圖3-8，功為 (3-18)即 (3-19)說明：為標(biāo)量 功是過程量功是相對量功是力對空間的積累效應(yīng) 作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零。2、變力的功設(shè)質(zhì)點做曲線運動，如圖3-9。為變力，在第個位移元中，看作恒力，對物體做功為 質(zhì)點從過程中，對質(zhì)點做的功為功的精確數(shù)值為 即： （3-20）討論：恒力功直線運動設(shè)，如圖3-10，質(zhì)點在中，功為合力功設(shè)質(zhì)點受個力，合力功為二、功率定義：力在內(nèi)對物體做功為，下式稱為在時間間隔內(nèi)的平均功率。下式稱為瞬時功率，即 （3-21）三、質(zhì)點的動能定理1、動能定義： （3-20）式（3-20）中，、分別為物體質(zhì)量和速率。稱為質(zhì)點

29、的動能。說明：為標(biāo)量； 為瞬時量；為相對量。2、質(zhì)點的動能定理設(shè)做曲線運動，如圖3-11，合力為，在a、b二點速度分別為、。在c點力為，位移為，由牛頓定律有：（切線上）即即 做如下積分：可寫成： （3-21）結(jié)論：合力對質(zhì)點作的功等于質(zhì)點動能的增量,稱此為質(zhì)點的動能定理。說明：為過程量，為狀態(tài)量，過程量用狀態(tài)量之差來表示，簡化了計算過程。動能定理成立的條件是慣性系。功是能量變化的量度。例3-7：如圖3-12，籃球的位移為，與水平線成角，球質(zhì)量為，求重力的功。解：研究對象：球 重力為恒力強(qiáng)調(diào)：恒力功公式的使用.例3-8：如圖3-13，遠(yuǎn)離地面高處的物體質(zhì)量為，由靜止開始向地心方向落到地面，試求：

30、地球引力對做的功。解：c點：例3-9：力(SI)作用在的質(zhì)點上。物體沿x軸運動，時，。求前二秒內(nèi)對作的功。解：研究對象：直線問題，沿+x軸方向方法一按作在此有： 做如下積分： 有 即 方法二用動能定理作例3-10：質(zhì)量為的物體作直線運動，受力與坐標(biāo)關(guān)系如圖3-14所示。若時，試求時，解：在到過程中，外力功為由動能定理為：即 §3-5 保守力與非保守力 勢能一、萬有引力、重力、彈性力的功及其特點1、萬有引力功及特點如圖3-15，設(shè)質(zhì)量為物體在質(zhì)量為的引力場中運動，（不動），從中，引力功=？ 在任一點c處， （變力） （3-22） 又 （3-23）特點：萬有引力只與物體始末二位置有關(guān)，而

31、與物體所經(jīng)路程無關(guān)。2、重力功及特點如圖3-16，質(zhì)點經(jīng)acb路徑由，位移為，在地面附近重力可視為恒力，故功為 （3-24）特點：重力功只與物體始末二位置有關(guān)，而與其運動路徑無關(guān)。3、彈性力功及特點如圖3-17，稱為彈簧振子，處于x處時，它受彈性力為從坐標(biāo)過程中，彈性力做功為 （3-25）特點：彈性力功僅與物體始末位置有關(guān)而與過程無關(guān)。如：物體可以從處向左移，然后向右平移至處，也可以從處直接移到處。但是，無論怎樣從處移到處，彈性力做的功都是上述結(jié)果。二、保守力和非保守力 1、保守力與非保守力如果力對物體做的功只與物體始末二位置有關(guān)而與物體所經(jīng)路徑無關(guān)，則該力稱為保守力，否則稱為非保守力。數(shù)學(xué)表

32、達(dá)依次為： （3-26）及 （3-27）由上可知，重力、彈性力、萬有引力均為保守力，而摩擦力、汽車的牽引力等都是非保守力。三、勢能對任何保守力，則它的功都可以用相應(yīng)的勢能增量的負(fù)值來表示，即： （3-28）結(jié)論：保守力功=相應(yīng)勢能增量的負(fù)值 。 *從理論上講，即是無旋的，與有對應(yīng)關(guān)系，可定義為與相應(yīng)的勢能。也就是說，保守力場中才能引進(jìn)勢能的概念?？梢姡M(jìn)勢能概念是有條件的。注意：勢能是相對的，屬于系統(tǒng)的。 （3-29） （3-30） （3-31）說明： （1）（2）（3）§3-6 功能原理 機(jī)械能守恒定律一、質(zhì)點系的動能定理系統(tǒng)中有個物體，第個物體受合外力為，合內(nèi)力為，在某一過程中

33、，合外力功為，合內(nèi)力功為，由單個質(zhì)點的動能定理，對第個質(zhì)點有： （3-32）。對上式兩邊求和，有 （3-33） （3-34）結(jié)論：合外力功與合內(nèi)力功之和等于系統(tǒng)動能的增量。稱此為系統(tǒng)的動能定理。二、功能原理作用在質(zhì)點上的力可分為保守力和非保守力，把保守力的受力與施力者都劃在系統(tǒng)中，則保守力就為內(nèi)力了，因此，內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，內(nèi)力功可分為保守內(nèi)力功和非保守內(nèi)力功。由質(zhì)點動能定理 有 （3-35）結(jié)論：合外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能（動能+勢能）的增量。稱此為功能原理。說明：功能原理中，功不含有保守內(nèi)力的功，而動能定理中含有保守內(nèi)力的功。功是能量變化或轉(zhuǎn)化的量度能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單

34、值函數(shù)三、機(jī)械能守恒定律由功能原理知，當(dāng)時，有 （3-36）結(jié)論：當(dāng)時，系統(tǒng)機(jī)械能=常量，這為機(jī)械能守恒定律。（注意守恒條件）例3-11：如圖3-18，在計算上拋物體最大高度時，有人列出了方程（不計空氣阻力）列出方程時此人用了質(zhì)點的動能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律中的那一個？解：動能定理為合力功=質(zhì)點動能增量功能原理為外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能增量（取、地為系統(tǒng)）機(jī)械能守恒定律即 可見，此人用的是質(zhì)點的動能定理。例3-12：如圖3-19，質(zhì)量為的物體，從四分之一圓槽A點靜止開始下滑到B。在B處速率為，槽半徑為。求從AB過程中摩擦力做的功。解：方法一按功定義，在任一點c處，切線方向的牛頓

35、第二定律方程為 方法二用質(zhì)點動能定理受三個力，由有即 方法三用功能原理取、地為系統(tǒng)， 無非保守內(nèi)力 ，功為（不作功，及槽對地的力也不做功）由 有即注意：此題目機(jī)械能不守恒。例3-13：質(zhì)量為、的二質(zhì)點靠萬有引力作用，起初相距，均靜止。它們運動到距離為時，它們速率各為多少？解：以二質(zhì)點為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的動量及能量均守恒，即 由、解得： 第四章 剛體的轉(zhuǎn)動§4-1剛體運動一、剛體定義：物體內(nèi)任意二點距離不變的物體稱為剛體。說明： 剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的。二、剛體運動剛體運動：（1）平動：剛體內(nèi)任一直線方位不變。 特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：、等都相同，故可用一個點來代表

36、剛體運動。 （2）轉(zhuǎn)動：1）繞點轉(zhuǎn)動 2）繞軸轉(zhuǎn)動：剛體中所有點都繞一直線作圓周運動說明：剛體的任何運動都可看作平動與轉(zhuǎn)動的合成。（如：乒乓球飛行等）三、定軸轉(zhuǎn)動（本章僅討論此情況）定義：轉(zhuǎn)軸固定時稱為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動特點： 剛體上各點的角位移相同（如：皮帶輪），各點的、相同。 剛體上各點的、一般情況下不同。說明： 是矢量，方向可由右手螺旋法則確定。見圖4-1。 §4-2 力矩 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量一、力矩1、外力在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-2：定義：力矩： （4-1）力矩 ：大小：（，稱為力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、構(gòu)成的平面即與軸平行。注意：是、間夾角。2、外力不在垂直于軸的平

37、面內(nèi)如圖4-3： 對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn) 對轉(zhuǎn)動有貢獻(xiàn)的僅是。產(chǎn)生的力矩即的力矩，故上面的結(jié)果仍適用。說明：平行軸或經(jīng)過軸時 。二、轉(zhuǎn)動定律時，轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變，即，那么與的關(guān)系如何？這就是轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容。推導(dǎo)：如圖4-4，把剛體看成由許多質(zhì)點組成的系統(tǒng)，這些質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運動?？紤]第個質(zhì)點：質(zhì)量：到軸的距離： 受力：外力：；內(nèi)力： （設(shè)、在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)）在切線方向上由牛頓定律有： （4-2）即 （4-3）（4-3）×: （4-4）每一個質(zhì)點都有一個這樣方程，所有質(zhì)點對應(yīng)方程求和之后，有 （4-5）可證明。證明如下：如圖4-5，剛體內(nèi)力是各質(zhì)點間的相互作用力，他們是一對一對的作

38、用力和反作用力。對、兩質(zhì)點，相互作用力的力矩之和=？設(shè)為第個質(zhì)點對第個質(zhì)點作用力，為第個質(zhì)點對第個質(zhì)點作用力。與共線力臂相等又 與等值反向與產(chǎn)生力矩等值反向，故與力矩合=0由此可知：剛體的所有內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0。令 （4-6）即：剛體角加速度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比，這稱為轉(zhuǎn)動定律。說明：,與方向相同為瞬時關(guān)系轉(zhuǎn)動中與平動中地位相同，是產(chǎn)生的原因，是產(chǎn)生的原因。*比較為合外力矩=各個外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動慣量1、： 轉(zhuǎn)動慣量=剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和。2、轉(zhuǎn)動慣量的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度。例4-1：如圖4-6，在不計質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂角上，

39、各固定一個質(zhì)量為的小球，三角形邊長為。求：系統(tǒng)對過質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動慣量；系統(tǒng)對過A點，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動慣量；若A處質(zhì)點也固定在B處，的結(jié)果如何？解： 討論：與質(zhì)量有關(guān)（見、結(jié)果）與軸的位置有關(guān)（比較、結(jié)果）與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較、結(jié)果）平行軸定理：對平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量=對質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量+剛體質(zhì)量×該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如例4-2：如圖4-7，質(zhì)量為長為的勻質(zhì)桿，求：它對過質(zhì)心且與桿垂直的軸c的轉(zhuǎn)動慣量為多少？它對過一端且平行于c軸的A軸轉(zhuǎn)動慣量為多少？解：如圖4-7所取坐標(biāo)，如圖4-8所取坐標(biāo)，用平行軸定理解：說明：一些特殊形狀的剛體轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)會計算并記住。

40、如：勻質(zhì)桿、圓柱、圓盤、圓環(huán)、球等。例4-3：如圖4-9，輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪c連接兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為、，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦，求B的加速度，AC、BC間繩的張力大小。解：受力分析：重力，桌面支持力，繩的拉力；：重力，繩的拉力；：重力，軸作用力，繩作用力、取物體運動方向為正，由牛頓定律及轉(zhuǎn)動定律得：及，解得：討論：不計時，（即為質(zhì)點情況）例4-4：一質(zhì)量為的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一輪軸的軸上，如圖4-11。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為，整個裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，在時間內(nèi)下降了

41、一段距離，試求整個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量（用，和表示）解：受力分析由牛頓第二定律及轉(zhuǎn)動定律得：及，§4-3 轉(zhuǎn)動動能 力矩的功 轉(zhuǎn)動動能定理一、轉(zhuǎn)動動能如圖4-13，剛體繞過O處軸（垂直圖面）轉(zhuǎn)動，角速度為，在轉(zhuǎn)動中剛體各個質(zhì)點都具有動能，剛體轉(zhuǎn)動動能=各個質(zhì)點動能之和。設(shè)各質(zhì)點質(zhì)量為，與軸距離為，轉(zhuǎn)動動能為： （4-6）*比較：二、力矩的功如圖4-14，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，設(shè)作用在剛體P點力（可以是內(nèi)力，或外力，也可以是合力或單個力），在作用下剛體有一角位移，力的作用點的位移為，則在該位移中作的功為： （4-7）即 ：力矩元功=力矩×角位移（力矩與角位移點積）在力矩作用下，從過程中，

42、力矩的功為 （4-8）說明：常力矩功力矩功是力矩的空間積累效應(yīng)內(nèi)力矩功之和=0（與質(zhì)點情況不同）力矩的功功率： 比較：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理即 做如下積分 可得 （4-9）即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，稱此為剛體的轉(zhuǎn)動動能定理。例4-5：在例4-3中，若B從靜止開始下落時，合外力矩對c做的功=？c的角速度=？解：由例3知，對c的合外力矩為（常力矩） 例4-6：如圖4-16所示，一輕彈簧與一勻質(zhì)細(xì)桿相連，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)，細(xì)桿質(zhì)量為。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動。若當(dāng)時彈簧為原長，那么細(xì)桿在的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？解：取、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機(jī)械能守恒。，。，代入得注意：機(jī)械能守恒定律條件及應(yīng)用。§4-4 角動量 角動量定理 角動量守恒定律一、 角動量1、角動量定義：，稱為剛體角動量（或動量矩）說明：2、沖量矩轉(zhuǎn)動定律 （4-10） （4-11）做如下積分： 定義：為在內(nèi)對剛體的沖量矩 （4-12）說明：（1）沖量矩是矢量 （2）沖量矩是力矩的時間積累效應(yīng)* 比較：二、角動量定理由上知 （4-13）即：合外力矩對剛體的沖量矩等于剛體角動量增量。稱此為角動量（或動量矩）定理。三、角動量守恒定律已知 當(dāng)時， 有 （4-14）即：當(dāng)合