多項式長除法精講精練(共16頁)

1、實用文檔多項式長除法 是中的一種算法，用一個同次或低次的多項式去除另一個多項式。是常見算數(shù)技巧長除法的一個推廣版本。它可以很容易地手算，因為它將一個相對復雜的除法問題分解成更小的一些問題。例計算寫成以下這種形式：然后商和余數(shù)可以這樣計算：1. 將分子的第一項除以分母的最高次項（即次數(shù)最高的項，此處為x）。結(jié)果寫在橫線之上(x3 ÷ x = x2).2. 將分母乘以剛得到結(jié)果（最終商的第一項），乘積寫在分子前兩項之下 (x2 · (x 3) = x3 3x2).3. 從分子的相應項中減去剛得到的乘積（注意減一個負項相當于加一個正項），結(jié)果寫在下面。(x3 12x2) (x3

2、3x2) = 12x2 + 3x2 = 9x2)然后，將分子的下一項“拿下來”。4. 重復前三步，只是現(xiàn)在用的是剛寫作分子的那兩項5. 重復第四步。這次沒什么可以“拿下來”了。橫線之上的多項式即為商，而剩下的 (123) 就是余數(shù)。算數(shù)的可以看做以上算法的一個特殊情形，即所有 x 被替換為10的情形。除法變換使用多項式長除法可以將一個多項式寫成 除數(shù)-商 的形式（經(jīng)常很有用）。 考慮多項式 P(x), D(x) （(D)的次數(shù) < (P)的次數(shù)）。 然后，對某個商多項式 Q(x) 和余數(shù)多項式 R(x) （(R)的系數(shù) < (D)的系數(shù)），這種變換叫做除法變換，是從算數(shù)等式 . 得

3、到的。應用:多項式的因式分解有時某個多項式的一或多個根已知，可能是使用 得到的。如果一個 n 次多項式 P(x) 的一個根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多項式長除法因式分解為 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一個 n-1 次的多項式。簡單來說，Q(x) 就是長除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一個根、余式必定為零。相似地，如果不止一個根是已知的，比如已知 r 和 s 這兩個，那么可以先從 P(x) 中除掉線性因子 x-r 得到 Q(x)，再從 Q(x) 中除掉 x-s，以此類推?；蛘呖梢砸淮涡缘爻舳我蜃?x2-(r+s)x+rs。使用這種方法，有時超過四次的多項式的

4、所有根都可以求得，雖然這并不總是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用來求得一個五次方程的一個（比例）根，它就可以被除掉以得到一個四次商式；然后使用四次方程求根的顯式公式求得剩余的根。尋找多項式的切線多項式長除法可以用來在給定點上查找給定多項式的切線方程。 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的余式也即，除以 x2-2rx+r2那么在 x=r 處 P(x) 的切線方程是 y=R(x)，不論 r 是否是 P(x) 的根。§2 一元多項式及整除性下面主要討論帶余除法，最大公因式，互素的性質(zhì)，因式分解，重根判定，求有理根的方法。學習本章應掌握：求最大

5、公因式，求有理根的方法。定義4 設(shè)是一個數(shù)域，是一個文字，形式表達式其中是數(shù)域中的數(shù)，是非負整數(shù)）稱為數(shù)域上的一元多項式，通常記為。稱為次項的系數(shù)。例如： 是多項式不是多項式，因為不是非負整數(shù)。定義5 如果數(shù)域上多項式，同次項系數(shù)都相等，稱與相等記為：=一個多項式里可以人員添上系數(shù)為0的項，約定定義6 在（1）中如果，稱為多項式的次數(shù)，記為。零多項式不定義次數(shù)。下面給出多項式加法與乘法：設(shè)是數(shù)域是的多項式。規(guī)定。易驗證多項式加法與乘法滿足下列算律：加法交換律：加法結(jié)合律：乘法交換律乘法結(jié)合律乘法對加法的分配律關(guān)于多項式次數(shù)，我們有定理2 設(shè)，是數(shù)域上的兩個多項式，則(1) 當+時+(2) 當時

6、證明：略。明顯地利用定理5不難證明推論：若 則Top of Form一個三位數(shù) 1：三個數(shù)相加為20。2：百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大5。3：個位上的數(shù)是十位上數(shù)的3倍，這個3位數(shù)是什么？Bottom of FormTop of Form設(shè)十位數(shù)為x，百位數(shù)（x+5），各位3x。相加為20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.第五講 多項式1.()2.(二、最大公因式)(本頁)3.() 4.()5.()6.()如果多項式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 稱為 與 的公因式.定義 3設(shè) . 如果 上多項式 滿足以下條件:(1) 是 與 的公因式;(2) 與 的任何公因式都是

7、 的因式,則稱 是 與 的一個最大公因式.引理如果有等式成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.由于在上述引理中, 我們可得到次數(shù)比 的次數(shù)小的 . 因此求, 的最大公因式的問題可轉(zhuǎn)化為求次數(shù)低一些的一對多項式 , 的最大公因式的問題. 如此下去, 這就是下面輾轉(zhuǎn)相除法的思想.定理 3數(shù)域 上任意兩個多項式 與 一定有最大公因式, 且除相差一個非零常數(shù)倍外, 與 的最大公因式是唯一確定的, 且 與 的任意最大公因式 都可以表示成 與 的一個組合, 即有 中的多項式 , 使得 當 與 不全為零時, 其最大公因式 , 而 與 的任一最大公因式必為 的形式, 其中 為 上非零數(shù). 在這些最大公因式

8、中有唯一的一個首項系數(shù)是1, 我們用 來表示. 如果 , 則最大公因式只有一個零多項式, 記作 (0,0)=0.例 2 設(shè)求 , 并把它表示成 , 的一個組合.解 用輾轉(zhuǎn)相除法:第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .最后一個不為0的余式是 , 所以最終得:定義 4如果 的最大公因式 , 則稱 與 互素.定理 4兩個多項式 互素的充分必要條件是存在 , 使得證明 必要性 如果 與 互素, 那么 . 由定理3, 存在 , 使得充分性. 如果 令 是 與 的最大公因式. 于是從而, . 故 必為零次多項式. 所以 與

9、互素.互素多項式的一些性質(zhì)(1) 若 , 且 , 則 .(2) 若 , , 且 , 則()我們可以自然地把最大公因式及互素等概念推廣到任意多個多項式的情況.定義 5設(shè) (). 如果多項式 滿足以下兩個條件:(1) ;(2) 的任何公因式都是 的因式. 則稱 是 的最大公因式.如果 全等于0, 則其最大公因式等于0, 否則, 它們的最大公因式不等于0. 與 的情況一樣, 可知它們的任意兩個最大公因式只差一個非零常數(shù)倍. 我們?nèi)杂?表示它們中首項系數(shù)為1的最大公因式. 則有定理 5該定理告訴我們, 求多個多項式的最大公因式問題最終可歸結(jié)為求兩個多項式的最大公因式問題.例 3 設(shè) , , . 求 解

10、 利用定理5來計算. 由計算可知所以, .22多項式的整除性一、教學思考1、在內(nèi)，除法不是永遠可以施行的，因此關(guān)于多項式的整除性的研究，也就是一個多項式能否除盡另一個多項式的研究，在多項式理論中占有重要地位。本節(jié)限于數(shù)域上討論多項式的整除性，其與整數(shù)的整除性類似，注意對照學習。2、多項式的整除性是多項式之間的一種關(guān)系（等價關(guān)系），為加深對此概念的理解，需掌握一些特殊多項式（零多項式，零次多項式）間的整除關(guān)系及整除的性質(zhì)。3、數(shù)域上任意兩個多項式總有帶余除法結(jié)論成立，其證法思想是在中學代數(shù)中多項式的長除法的運算表示實質(zhì)的一般化，唯一性用同一法。4、證明的思想可從定義、帶余除法得到的充要條件以及將

11、分解成兩項之和而每一項能被整除，或?qū)⒎蛛x出作為一個因子來考慮。5、整除性不隨數(shù)域擴大而改變是由帶余除法得到的一個非顯而易見的結(jié)論。二、內(nèi)容、重點、要求1、內(nèi)容：一元多項式整除的定義、性質(zhì)，帶余除法。2、重點：整除的定義、帶余除法定理。3、要求：正確理解掌握整除概念、性質(zhì)，掌握帶余除法定理。三、教學過程約定：2.2-2.5節(jié)在數(shù)域中討論多項式，是上一元多項式環(huán)。1、多項式的整除及性質(zhì)（1）定義1：設(shè)若使得（1） 則稱整除（除盡）；用符號表示。用符號表示不整除當時，稱是的一個因式，是的一個倍式。注：（1）整除是多項式之間的一種關(guān)系，非多項式的運算。（2）符號“”不要與“”混淆，后者是分式，后者中；

12、而前者中由定義，即零多項式整除零多項式。（3）多項式整除性與整數(shù)的整除性非常相似，而不同的是：在多項式整除定義中，只要求存在適合條件（1）的，不要求是否唯一，這就使得多項式整除比整數(shù)整除有更廣的含義，如在多項式整除意義下。（2）性質(zhì)A）若、，則；（傳遞性）B）若、，則；C）若，則對有；特別，；D）由B、C若，則對，有；E）零次多項式整除任一多項式；F）對，有；特別；（1）本章討論不涉及分式，有時用表示非零多項式整除所得的商，即若時，用表示。（2）因在數(shù)域中，一般不絕對唯一（可差常數(shù)因子）。（3）整數(shù)整除不同。G）若、，則。以上性質(zhì)由定義容易證明，下面僅證G）：由條件，使得（1），則有（2）。若

13、，由（1）得；若，則由（2）及消去律得，于是，從而，；這樣是F中非零常數(shù)。注：1）由A、F、G知“整除關(guān)系”是一種“等價關(guān)系”；2）B、C提供了證明的兩個思路：一、要證，若能將表示為，而；二、要證，若能將表示為而或。3）為理解概念、性質(zhì)，注意如下問題：A）（因?qū)?，有）；B）零多項式是否整除任意多項式？若，由A）；若，對。（可知零多項式僅能整除零多項式）C）任意多項式是否整除零多項式？，使。D）性質(zhì)B之逆是否成立？即若，是否且。（不真。如：）E）性質(zhì)C之逆是否成立？即若，是否或。（不真。如：）2、帶余除法引例：中學代數(shù)里，用長除法求一個多項式去除另一個多項式得商式及余式。即對，求使， 其中或。如

14、：作法： 今寫為： 則商式為，余式為。有上述過程具體可總結(jié)為：第一步：將寫成降冪的形式，缺項補0；第二步：消最高次項（首項）；為此商，作差，得。 （第三步：消的首項；為此商，作差，得。 （結(jié)束）（1）注意格式，降冪排列，缺項補0。由此，一般地可作如下：設(shè)，令若，設(shè)，同樣消首項，作得，且具有性質(zhì)：或者或者。重復對的討論，由于，即，的次數(shù)是遞減的，而是有限數(shù)，因此有限步（步）后可得這樣一個多項式 （為首項系數(shù)），而或者。這樣得一串等式：把這些等式加起來得：，于是有，滿足要求。（1）降冪排列；（2）消項： 作商，作差（3）討論。上述結(jié)論敘述為：定理2.2.1（帶余除法）設(shè)，且，則（1）使得； （）其

15、中或。（2）滿足（）式及條件的只有一對。（分析：定理要求滿足（）式及條件的存在且唯一，上述一般討論已說明存在性，下重點證唯一性，注意條件，用同一法。）證明：（1）存在性：若或，取便滿足（）式；若，由上述討論可得成立。（2）唯一性：假設(shè)還有使得，且或，上式與（）式相減得：。若，則，此時，而，矛盾；因此（即），又，所以，即。注：（1）定理的證明過程給出了求商式與余式的方法，實質(zhì)為作長除法的過程。（2）注意定理唯一性的條件是在或下。（3）定理的理論意義及作用在下面討論多項式的整除性及最大公因式時有重大作用。注：設(shè)；（1）；（2）除的余式為0。事實上：（1）由定義及零多項式的特征顯然；（2）若由TH2.2.1使得，因此。問題：設(shè)是兩個數(shù)域，且，顯然，若，且 （在內(nèi)）；問題在內(nèi)是否？（下答）推論2：設(shè)是兩個數(shù)域，且，若，且在內(nèi) ，則在內(nèi)。（即多項式的整除性不隨數(shù)域的擴大而改變。）證明：若因在內(nèi)，所以故在內(nèi)顯然。（因0僅整除0）若，則在內(nèi)使得，且，；而，即上式在內(nèi)仍成立，于是由的唯一性及推論1得在內(nèi)。例1：當適合什么條件時：。解：（法一）作帶余除法由推論1：；故當時。（法二）（待定系數(shù)法）由整除的定義： 由多項式相等定義得：。例2：證