函數(shù)的單調(diào)性與最值(1)課件

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)與方程函數(shù)與方程抽象函數(shù)抽象函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)、二分法、一元二次方程根的分布函數(shù)零點(diǎn)、二分法、一元二次方程根的分布單調(diào)性：同增異減單調(diào)性：同增異減賦值法賦值法函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的函數(shù)的基本性質(zhì)基本性質(zhì)單調(diào)性單調(diào)性奇偶性奇偶性周期性周期性對稱性對稱性最值最值1.求單調(diào)區(qū)間：定義法、導(dǎo)數(shù)法、用已知函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間：定義法、導(dǎo)數(shù)法、用已知函數(shù)的單調(diào)性.2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減.1.先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看f(-x)=f(x)還是還是-f(x).2.奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

2、若奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若x=0有意義，則有意義，則f(0)=0.3.偶函數(shù)圖象關(guān)于偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立軸對稱，反之也成立.f f (x+T T)=f f (x)；周期為；周期為T的奇函數(shù)有：的奇函數(shù)有： f f (T T)=f f (T T/2)=f f (0)=0.二次函數(shù)、基本不等式，對勾函數(shù)、三角函數(shù)有界性、二次函數(shù)、基本不等式，對勾函數(shù)、三角函數(shù)有界性、線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)、利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等線性規(guī)劃、導(dǎo)數(shù)、利用單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合等.函數(shù)的概念函數(shù)的概念定義定義列表法列表法解析法解析法圖象法圖象法表示表示三要素三要素觀察法、判別式法、分離常數(shù)法、觀察法、判別式法、分離常數(shù)

3、法、單調(diào)性法、最值法、重要不等式、單調(diào)性法、最值法、重要不等式、三角法、圖象法、線性規(guī)劃等三角法、圖象法、線性規(guī)劃等定義域定義域?qū)?yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系值域值域函數(shù)常見的函數(shù)常見的幾種變換幾種變換平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換平移變換、對稱變換、翻折變換、伸縮變換.基本初等基本初等函數(shù)函數(shù)正正(反反)比例函數(shù)比例函數(shù); 一次一次(二次二次)函數(shù)函數(shù); 冪、指、對函冪、指、對函數(shù)數(shù);定義、圖象、定義、圖象、性質(zhì)和應(yīng)用性質(zhì)和應(yīng)用函函 數(shù)數(shù)常見函數(shù)模型常見函數(shù)模型冪、指、對函數(shù)模型；冪、指、對函數(shù)模型；分段函數(shù)；分段函數(shù)；對勾函數(shù)模型對勾函數(shù)模型憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性

4、函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)定定義義 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮：如果對于定義：如果對于定義域域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量上的任意兩個(gè)自變量x1, x2 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)時(shí), 都都 有有_ ,那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)上是增函數(shù) 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有_ , 那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是減函數(shù)上是減函數(shù)圖圖象象描描述述自左向右看圖象是自左向右看圖象是_自左向右看圖象是自左向右看圖象是_f(x1) f(x2)上升的上升的下降的下降的(1)單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)函數(shù)的定義憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要

5、點(diǎn)點(diǎn)2函數(shù)的最值函數(shù)的最值前前提提設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M滿足滿足條條件件(1)對于任意對于任意xI，都有，都有 _；(2)存在存在x0I, 使得使得 _.(3)對于任意對于任意xI,都有都有 _；(4)存在存在x0I, 使得使得 _.結(jié)結(jié)論論M為最大值為最大值M為最小值為最小值(2)單調(diào)區(qū)間的定義單調(diào)區(qū)間的定義 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是上是_或或_,則稱函則稱函數(shù)數(shù)f(x)在這一區(qū)間具有在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的嚴(yán)格的)單調(diào)性，單調(diào)性，_叫做叫做 yf(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)區(qū)間區(qū)間Df(x)Mf(x)Mf(

6、x0)Mf(x0)M 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,如果對于定義域如果對于定義域I內(nèi)的內(nèi)的某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1、x2,當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)時(shí),都有都有f(x1)f(x2),那么就說那么就說f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)上是增函數(shù).1.函數(shù)單調(diào)性的定義函數(shù)單調(diào)性的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果對于定義域，如果對于定義域I內(nèi)內(nèi)的某個(gè)區(qū)間的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1、x2, 當(dāng)當(dāng)x1f(x2) , 那么就說那么就說f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上是增函數(shù)上是增函數(shù).憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點(diǎn)點(diǎn)任取

7、任取x1, x2D,且且x10時(shí)，時(shí)，f(x)0，f(x1x2)0，即，即f(x1)f(x2)因此因此 f(x)在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù)方法二方法二12()()f xf x函數(shù)的單調(diào)性與不等式函數(shù)的單調(diào)性與不等式 (1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義應(yīng)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義應(yīng)該構(gòu)造出該構(gòu)造出f(x2)f(x1)并與并與0比較大小比較大小 (2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號“f”運(yùn)用單調(diào)性運(yùn)用單調(diào)性“去掉去掉”, 是本小題的切入點(diǎn)是本小題的切入點(diǎn). 要構(gòu)造出要構(gòu)造出f(M)f(N)的形式的形式. 解函數(shù)不等式的問題的一般步驟解函數(shù)不等式的問題

8、的一般步驟：第一步：確定函數(shù)第一步：確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為第二步：將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)x2)； (2)作差作差f(x1)f(x2)，然后變形；，然后變形； (3)判定判定f(x1)f(x2)的符號；的符號； (4)根據(jù)定義得出結(jié)論根據(jù)定義得出結(jié)論2. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是其定義域首先應(yīng)注意函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間都是其定義域的子集；其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)的子集；其次掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用方法：根據(jù)定義，利用圖象和單

9、調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還區(qū)間常用方法：根據(jù)定義，利用圖象和單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，還可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可以利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)3. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 對于復(fù)合函數(shù)對于復(fù)合函數(shù)yf(g(x)，若，若tg(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，且yf(t)在區(qū)間在區(qū)間(g(a)，g(b)或者或者(g(b)，g(a)上是單調(diào)函上是單調(diào)函數(shù)，若數(shù)，若tg(x)與與yf(t)的單調(diào)性相同的單調(diào)性相同(同時(shí)為增或減同時(shí)為增或減)，則，則yf(g(x)為增函數(shù)；若為增函數(shù)；若tg(x)與與yf(t)的單調(diào)性相反，則的單調(diào)性相反，則yf(g(x)為減函數(shù)簡稱為：同增異減為減函數(shù)簡稱為：同增異減 1

10、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間要分開寫，個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減單調(diào)區(qū)間要分開寫，即使在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表即使在兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同，也不能用并集表示示 2兩函數(shù)兩函數(shù)f(x), g(x)在在x(a，b)上都是增上都是增(減減)函函數(shù)，則數(shù)，則f(x)g(x)也為增也為增(減減)函數(shù)函數(shù), 但但f(x)g(x), 等等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比)(1xf一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題題號題號123答案答案BDA6. (1,) 4. 3,)

11、5.A組組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組三、解答題三、解答題三、解答題三、解答題一、選擇題一、選擇題二、填空題二、填空題題號題號123答案答案BBC6. 1,) 且且5.00ab B組專項(xiàng)能力提升題組組專項(xiàng)能力提升題組4.(,0)(1,3 7.解解:(1)任取任取x1, x21, 1, 且且x10時(shí)，時(shí)，f(x)1,且對任意的且對任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求求f(0)的值；的值； (2)判斷判斷f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性.一、抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值一、抽象函數(shù)的單調(diào)性與最值解解: (1)令令 a = b = 0, 則則2(0)(0),ff (0)0,(0)1

12、.ff 任取任取x1, x2R，且，且x10 恒成立恒成立.(0)( )(),ff xfx ( )()1f xfx即即. .由于當(dāng)由于當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，f (x) 1,則則 f(x2)=f(x2- -x1)+x1 f( x1).即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù).=f(x2- - x1)f(x1) f(x2- - x1)1. 【1】若對一切實(shí)數(shù)】若對一切實(shí)數(shù)x, y 都有都有 (1)求求f(0)的值的值; (2)判定判定f(x)的奇數(shù)偶性的奇數(shù)偶性. .()( )( ).f x yf xf y 令令 x = y = 0, 則則令令y = - -x , 則

13、則故故 f (x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).解解:因?yàn)閷τ谌魏螌?shí)數(shù)因?yàn)閷τ谌魏螌?shí)數(shù) x, y 都有都有(0)( )(),ff xfx (0)2 (0),ff (0)0.f ()( ).fxf x ()( )( ),f x yf xf y 證明證明: 任取任取 x1, x2R，且，且 x10, f(x2- - x1)1. = =f(x2- - x1)- -1.f(x2)- -f(x1)0， 即即 f(x2)f(x1). f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù). 【 2 】 若 函 數(shù)若 函 數(shù) f ( x ) 對 任 意對 任 意 a , b R 都 有都 有 f(a+b)=f(a)+f(b)- -

14、1, 并且當(dāng)并且當(dāng)x0 時(shí)時(shí), 有有 f(x)1. 求證求證: f(x) 是是 R 上上 的增函數(shù)的增函數(shù).f(x2- - x1)- -10. =f(x2- - x1)+f(x1) - -1- - f(x1) 【3】已知函數(shù)】已知函數(shù) f (x) 對于任何實(shí)數(shù)對于任何實(shí)數(shù) x, y 都有都有 f (x+y)+f(x- -y)=2f (x) f (y) 且且 f (0)0求證求證: f (x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù).令令 x = y = 0, 則則令令 x = 0 , 則則故故 f (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).解：已知函數(shù)解：已知函數(shù) f (x) 對于任何實(shí)數(shù)對于任何實(shí)數(shù) x, y 都有都有 f (x+

15、y)+f(x- -y)=2f (x) f (y)，( )()2 ( ),f yfyf y 22 (0)2(0),ff(0)0,(0)1.ff ( )(),f yfy( )().f xfx 即即例例2.2.判斷函數(shù)判斷函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(- -1,1)上的單調(diào)性上的單調(diào)性.2( )1xf xx 解解: :設(shè)設(shè)則則 f( (x1 1) )f( (x2 2) )12221211xxxx ) 1)(1(222122121221 xxxxxxxx12212212(1)().(1)(1)x xxxxx 1x1x21,1+x1x20,x2x10,221210,10,xx f(x1)f(x2)0 .即即 f(

16、x1)f(x2) .故此函數(shù)在故此函數(shù)在( (- -1,1)1,1)上是減函數(shù)上是減函數(shù). .1211,xx 二、函數(shù)單調(diào)性的判定及證明二、函數(shù)單調(diào)性的判定及證明例例3. 設(shè)設(shè) 為奇函數(shù)為奇函數(shù),且定義域?yàn)榍叶x域?yàn)镽.(1)求求b的值；的值；(2)判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(3)若對于任意若對于任意t R, 不等式不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍的取值范圍12( )22xxbf x 22(2 )(2)0f ttftk 解解: (1)由由 f ( x ) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), 則則 f(- -x )=- -f (x),整理整理, 得得1.b 1122,2222x

17、xxxbb 111220,2 222xxxxbb (1)(21)0,2(21)xxb 證明證明: (2) 任取任取 x1, x2 , 且且x1 x2 , 12()()f xf x 則則1212()()0,()().f xf xf xf x 即即所以函數(shù)所以函數(shù) f(x) 在在R內(nèi)是減函數(shù)內(nèi)是減函數(shù).( 21) 211( ),22(21)21xxxf x 121111()222121xx 121111()222121xx 2112220.(21)(21)xxxx 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是解解: (3) 因?yàn)橐驗(yàn)?f(x)定義域?yàn)槎x域?yàn)镽的奇函數(shù)的奇函數(shù),且是減函數(shù)且是減函數(shù),從而判別式從而判別式4120,k 1.3k 22(2 )(2)0,f ttftk22(2 )( 2),f ttftk2222,tttk 所以對任意所以對任意t R, 不等式不等式 恒成立恒成立.2320ttk 從而不等式從而不等式等價(jià)于等價(jià)于1.3k 所以實(shí)數(shù)所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是設(shè)設(shè)22(2 )(2)0,f ttftk22(2 )( 2),f ttftk2222,tttk 所以對任意所以對任意t R, 恒成立恒成立.232ktt 從而不等式從而不等式等價(jià)于等價(jià)于1.3k min( ).kg t 從而從而只須只