初三《圓》知識點(diǎn)及定理

1、高圖教育數(shù)學(xué)教研組盧老師專用圓知識點(diǎn)及定理一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2 、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3 、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑 的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線 （也叫中垂線）；3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡

2、是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點(diǎn)dRr;外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)dRr;相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)Rrd R r ；內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)dRr ;內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)dRr ;、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圖5圖41、點(diǎn)在圓內(nèi)dr2、點(diǎn)在圓上dr3、點(diǎn)在圓外dr三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離2、直線與圓相切3、直線與圓相交點(diǎn)C在圓內(nèi);點(diǎn)B在圓上;點(diǎn)A在圓外;五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；

3、（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理:個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：AB是直徑 AB CD CEM AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，AB / CD弧 AC 弧 BDDE 弧BC 弧BD 弧ACAB-2 -高圖教育數(shù)學(xué)教研組盧老師專用六、圓心角定理即：在。中,圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論， 即： AOB DO

4、E; AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD2 .四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形3 C BAD 180 B D 180DAE C九、切線的性質(zhì)與判定定理(1)切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在。中，. C、 D都是所對的圓周角 C D推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對

5、的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在。中，.AB是直徑或. C 90 C 90AB 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB， ABC是直角三角形或C 90注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上 的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理： 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角。即：MN OA且MN過半徑OA外端 MN是O O的切線(2)性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2:過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理

6、及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線， 它們的切線長相 等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：: PA、PB是的兩條切線PA PBAPO平分 BPAH一、圓哥定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩 條線段的乘積相等。即：在。中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P, PA PB PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半 是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在。中，直徑AB CD ,D高圖教育數(shù)學(xué)教研組盧老師專用 CE2 AE BE行：OD:BD:OB 1：T3：2

7、;-7 -(2)正四邊形 同理，四邊形OE:AE:OA 1:1:的有關(guān)計(jì)算在Rt OAE(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線, 切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比 例中項(xiàng)。即：在。中，.PA是切線，PB是割線PA2 PC PB(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條 線段長的積相等(如上圖)。即：在。中，.PB、PE是割線 PC PB PD PE(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAB中進(jìn)行，AB:OB:OA 1: 3:2.十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓 的的公共弦。如圖：QO2垂直平分AB。即：

8、:©。1、o O2相交于A、B兩點(diǎn)十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形：(1)弧長公式：l -n-R -180n R21(2)扇形面積公式：S -1R3602O1O2垂直平分 AB十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：(1)公切線長：Rt 0102c 中，AB2 CO12 JO1O22 CO22 ;(2)外公切線長：C02是半徑之差；內(nèi)公切線長：C02是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1)正三角形在O 0中4 ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 Rt BOD中進(jìn)n :圓心角 R ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑S：扇形面積2、圓柱：(1)圓柱側(cè)面展開圖S表 S« 2s底=2

9、rh 2 r2(2)圓柱的體積：Vr2h(2)圓錐側(cè)面展開圖(1)S表 S側(cè) $底=Rr r 2l:扇形弧長圖 23-12高圖教育數(shù)學(xué)教研組 盧老師專用(2)圓錐的體積：V 1 r2h3十六、圓中常見的輔助線1) .作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等.2) .作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距” 間的關(guān)系進(jìn)行證明.3) .作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算.4) .作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角.5)、作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角一一直角.6) .遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角.7) .遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角.

10、8) .欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況： (1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié) 公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑.9) .遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn).10) .遇到三角形的內(nèi)心，常作： (1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂 與 八、11) .遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線.12) .遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線.13) .求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一 條直角邊.十七、圓中較特殊的輔助線1) .過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線.2) .將割線、相交弦補(bǔ)充完整.3) .作輔助圓.例1如圖23-11 , CA為。的切線，切點(diǎn)為 A,點(diǎn)B在O。上，如果/ CAB= 55° ,那 么/AO射于()A. 35°B. 90°C. 110°D. 120°例2如果圓柱的底面半徑為 4cm,母線長為5cm,那么側(cè)面積等于()A.加uCb . 40 ji cm2c . 2口 cWD. Lw例3如圖23-12 ,在半徑為4的。中，AR CD是兩條