水星的運動規(guī)律

1、水星的運動規(guī)律摘要本文主要在已知水星的遠日點和繞日運行的線速度的條件下，通過建立微分方程模型，使用解析法和數(shù)值方法求解水星的軌道方程與位置。解析法的求解的過程中，結(jié)合了開普勒三大定律，準確的給出了微分方程的精確解，求得水星到太陽的最近距離，水星繞太陽運行的周期約為88天。數(shù)值計算求解水星自遠日點運行50天后的位置時，本文分別采用了Simpson求積法，基于壓縮映射的求根方法以及經(jīng)典的四階龍格庫塔法，使用matlab數(shù)學軟件編程，得到了較為合理的行星運行模型的近似解，三種方法所得結(jié)果對應(yīng)分，及，。關(guān)鍵詞 行星軌道 微分方程 Simpson法 四階龍格庫塔法 matlab一 問題重述水星到太陽的最

2、遠距離為m，此時水星繞太陽運行的線速度為ms。試求問題一 水星到太陽的最近距離問題二 水星繞太陽運行的周期問題三 從遠日點開始的第50天（地球天）結(jié)束時水星的位置并畫出軌道曲線二 問題分析求水星到太陽的最近距離以及水星繞太陽運行的周期等，需要先將水星軌道方程求出，因此可以根據(jù)Newton第二定律及萬有引力定律，建立微分方程模型，將原問題轉(zhuǎn)化為求解帶有初值條件的微分方程問題，進而采用解析法或數(shù)值方法求解遠日點和周期。三 模型假設(shè)1水星運行的軌道是以太陽為一個焦點的橢圓2從太陽指向水星的線段在單位時間內(nèi)掃過的面積相等3水星運行周期的平方與其運行軌道橢圓長軸的立方之比為常量四 符號系統(tǒng)1 水星在遠日

3、點的線速度2. 太陽的質(zhì)量3. 水星的質(zhì)量4. 水星在遠日點的距離5. 周期五 建立模型與求解模型一 水星的軌跡方程設(shè)太陽中心所在的位置為復(fù)平面的原點O，在時刻t，水星位于 所表示的點P。這里均為t的函數(shù)，分別表示的模和輻角。于是水星的速度為，加速度為（1.1），而太陽對行星的引力依萬有引力定律，大小為，方向由行星位置P指向太陽的中心O,故為，其中為太陽的質(zhì)量，m為水星的質(zhì)量，為萬有引力常數(shù)。依Newton定律，我們得到 (1.2)，將（1.1）代入(1.2)，然后比較實部與虛部，就有這是兩個未知函數(shù)的二階微分方程組。在確定某一行星軌道時，需要加上定解條件。假設(shè)當t=0時，行星正處于遠日點，而

4、遠日點位于正實軸上，距原點O為，行星的速度為。那么就有初值條件：因此問題轉(zhuǎn)化為求解帶初值問題的微分方程組又將兩邊同乘以r ，即得，從而（1.3）,其中，這樣有向線段在時間內(nèi)掃過的面積等于，這個正是Kepler的第二定律，從太陽指向水星的線段在單位時間內(nèi)掃過的面積相等。將（1.3）代入得，于是我們可以得到水星運行的較為簡單形式的數(shù)學模型：為了求得行星的軌跡方程，要消去變量t，令，那么可以改寫為從而將上式代入，化簡后為 (1.4)，其中，引進，立即可以求出，這里A和是待定的常數(shù)。記，上式可以寫為這個就是水星的軌道方程，是一條平面二次曲線。由于水星繞太陽運行，故必有。由于r在t=0時取道最大值（遠日

5、點），這個就意味著此時函數(shù)取道最大值1.于是就有 ，從而軌跡方程為 。對于水星而言，又水星的近日點到太陽的距離。依據(jù)已知數(shù)據(jù)，可知，從而計算水星到太陽的最近距離為模型二 水星的運行周期設(shè)水星的周期為T，那么利用Kepler第二定律，我們有 （1.4）上式左端為水星軌跡橢圓所圍的面積，記為S，由于橢圓的半長軸，半短軸，從而有將上式代入式（1.4）,解得 （1.5）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，易得 模型三 水星的位置由于水星的運行滿足Kepler第二定律，則該式可改寫為，從而可得如果我們要求時相應(yīng)的和，則意味著首先要解方程 ， ，其中在求出了時的后，立即可以由得到相應(yīng)的r。下面用數(shù)值方法求解水星的位置1. S

6、impson法由被積函數(shù)的恒正性可知單調(diào)，從而方程的根必存在且唯一。取，記。若，那么位于與之間，在h適當小時，可取。計算可采用不同的數(shù)值積分法，本文采用Simpson法，取步長h=0.001，具體求解過程見附錄一，最后結(jié)果為，2. 基于壓縮映像的求根方法我們引入水星軌道橢圓的參數(shù)方程，由于橢圓的半長軸，半短軸，從而中心到焦點的距離為。因左焦點為原點，故橢圓中心位于（ae，0），于是得到參數(shù)方程它們與的關(guān)系為此式可改寫成 當時解方程記，那么上式即，就是說要去求函數(shù)的不動點，求解方程不動點可以采用簡單迭代法，對于水星，我們已計算出，由于e很小，因此迭代收斂理論上可以很快，當時間從遠日點開始的第50

7、天結(jié)束時，意味著,從而不妨取，于是故由式，可以計算出相應(yīng)的，即由得 0.64891，而 此時的距離為 （m）3. 經(jīng)典四階Runge-Kutte法由我們將由最初的微分方程組求解水星的位置，方程組見下令，那么我們可以得到一階微分方程組： 若記這個微分方程組中方程的右端依次為，則相應(yīng)的四階Runge-Kutte迭代格式法為這里對于，有初值為，則對于給定的步長值h，類似可以逐步計算一系列的，由于行星繞著太陽運行，只需取，而取得行星軌道上一系列點的近似坐標（），再通過極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)換，繼而可以繪出軌道曲線。通過matlab編程求解得，軌道曲線如下 程序見附錄二。六 模型推廣本文建立的微分方程模型

8、對于求解行星繞日運行軌道具有廣泛的應(yīng)用空間，只需給出行星的遠日點和在遠日點的運行線速度即可計算出軌道方程，用數(shù)學軟件繪出近似的軌道曲線，對于研究天體運行有所幫助。此外，本文采用的求解微分方程的數(shù)值方法，具有較為快速且準確的收斂效果，可以用來求解其他類似的微分方程模型。 七 參考文獻【1】 樂經(jīng)良，數(shù)學實驗，北京，高等教育出版社，1999年10月【2】 周品 ，matlab數(shù)值分析，北京，機械工業(yè)出版社，2009年1月八 附錄附錄一 function q1=y2(x)q1=(1-0.2055*cos(x).-2;h=0.001;k=1;x=h*k;f=quad('y2',0,x)

9、while f(k)<3.8091 k=k+1; x=k*h; f(k)=quad('y2',0,x);endx 附錄二format longc1=2.7132e15;M=1.989e30;G=6.672e-11;Q=inline('2.7132e152/(r3)-1.989e30*6.672e-11/(r2)');R=inline('q');S=inline('2.7132e15/(r2)');q=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;while theta<=2*pi K1

10、=Q(r);L1=R(q);N1=S(r); K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1); K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2); K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3); t=t+h; q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr(k)=r; ee(k)=theta; xx(k)=rr(k)*cos(ee(k);%水星任意

11、位置的橫坐標 yy(k)=rr(k)*sin(ee(k);%水星任意位置的縱坐標 k=k+1;end;plot(xx,yy)%畫出水星的軌道曲線text(0,0,'太陽')text(0.6982e11,0,'遠日點')text(-4.6078e+010,0,'近日點')hold on;plot(0,0,'r.','MarkerSize',20);hold offhold on;plot(0.6982e11,0,'r.','MarkerSize',20);hold offhold on

12、;plot(-4.6078e+010,0,'r.','MarkerSize',20);hold offtitle('水星繞太陽運行的軌道曲線')clcq=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;while t<=50*24*3600%求水星自遠日點開始第50天的位置 K1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r); K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1); K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2); K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3); t=t+h; q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr(k)=r; ee(k)=theta; xx(k)=rr(k)*cos(