AMie米散射理論基礎(chǔ)

1、米散射( Miescattering) ;又稱“粗粒散射 ”。粒子尺度接近或大于入射光波長(zhǎng) 的粒子散射現(xiàn)象。德國(guó)物理學(xué)家米 (GustavMie,1868 1957) 指出 ,其散射光強(qiáng) 在各方向是不對(duì)稱的 ,順入射方向上的前向散射最強(qiáng)。粒子愈大 ,前向散射愈強(qiáng)。 米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長(zhǎng)可比擬時(shí)，必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分 布。此散射情況下， 散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成， 它們 在入射電磁場(chǎng)的作用下 ,形成振蕩的多極子 ,多極子輻射的電磁波相疊加，就構(gòu)成 散射波。又因?yàn)榱Ｗ映叨瓤膳c波長(zhǎng)相比擬， 所以入射波的相位在粒子上是不均勻 的，造成了各子波在空間和時(shí)間上的相

2、位差。 在子波組合產(chǎn)生散射波的地方， 將 出現(xiàn)相位差造成的干涉。 這些干涉取決于入射光的波長(zhǎng)、 粒子的大小、 折射率及 散射角。當(dāng)粒子增大時(shí)，造成散射強(qiáng)度變化的干涉也增大。因此，散射光強(qiáng)與這 些參數(shù)的關(guān)系 ,不象瑞利散射那樣簡(jiǎn)單 ,而用復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá)，該級(jí)數(shù)的收斂相當(dāng) 緩慢。這個(gè)關(guān)系首先由德國(guó)科學(xué)家 G. 米得出，故稱這類散射為米散射。它具有 如下特點(diǎn)： 散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多， 散射強(qiáng)度隨波長(zhǎng)的變化不如瑞利散射 那樣劇烈。 隨著尺度參數(shù)增大， 散射的總能量很快增加， 并最后以振動(dòng)的形式趨 于一定值。散射光強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值， 當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)， 極值的個(gè)數(shù)也增加。 當(dāng)尺度參

3、數(shù)增大時(shí)， 前向散射與后向散射之比增大， 使粒 子前半球散射增大 。當(dāng)尺度參數(shù)很小時(shí)， 米散射結(jié)果可以簡(jiǎn)化為瑞利散射； 當(dāng)尺 度參數(shù)很大時(shí)， 它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一致； 而在尺度參數(shù)比較適中的范圍 內(nèi)，只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果。 所以米散射計(jì)算模式能廣泛地描述 任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn)。19 世紀(jì)末，英國(guó)科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中，起主 要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落。 分子散射的光強(qiáng)度和入射波長(zhǎng)四次方 成反比，因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中，紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和 紅色彩光為強(qiáng)，最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色。從而建立了瑞利散射理論。20

4、世紀(jì)初，德國(guó)科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，又稱粗進(jìn)一步解決了均勻球形 粒子的散射問(wèn)題，建立了米散射理論， 粒散射理論。質(zhì)點(diǎn)半徑與波長(zhǎng) 接近時(shí)的 散射， 特點(diǎn)：粗粒散射與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)，對(duì)各波長(zhǎng)的散射能力相同， 大氣較混濁時(shí)， 大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時(shí)，天空呈灰白色。米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來(lái)的均質(zhì)球形粒子在電磁場(chǎng)中對(duì)平面 波散射的精確解。一般把粒子直徑與入射光波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為 米散射。米散射適合于任何粒子尺度 ,只是當(dāng)粒子直徑相對(duì)于波長(zhǎng)而言很小時(shí)利 用瑞利散射、 很大時(shí)利用夫瑯和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問(wèn)題。 米散 射理論最早是由 G1Mie在研究膠體金屬粒子的散射

5、時(shí)建立的。1908年 ,米氏通過(guò)電磁波的麥克斯韋方程 ,解出了一個(gè)關(guān)于光散射的嚴(yán)格解 , 得出了任意直徑、 任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律 ,這就是著名的米氏理論 4-6 。 根據(jù)米散射理論 ,當(dāng)入射光強(qiáng)為 I0,粒子周圍介質(zhì)中波長(zhǎng)為的自然光平行入射到 直徑為D的各向同性真球形粒子上時(shí) ,在散射角為 ,距離粒子 r處的散射光和散射 系數(shù)分別為 : 從上式中可以看到 ,因?yàn)槭歉飨蛲缘牧Ｗ?,散射光強(qiáng)的分布和角無(wú)關(guān)。同時(shí) , 上式中: i1、i2為散射光的強(qiáng)度函數(shù) ;s1、s2稱為散射光的振幅函數(shù) ;a為粒子的尺寸參數(shù) (a= D/);m=m1+im2 為粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率 ,當(dāng)虛部不為零時(shí)

6、 ,表示粒子有 吸收。對(duì)于散射光的振幅函數(shù) ,有 : 式中 an、bn為米散射系數(shù) ,其表達(dá)式為 : 其中:是半奇階的第一類貝塞爾函數(shù) ; 是第二類漢克爾函 數(shù);Pn(cos)是第一類勒讓德函數(shù) ;P(1)n(cos )是第一類締合勒讓德函數(shù)。 Mie散射理論Mie 散射理論是麥克斯韋方程對(duì)處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒 在平面單色波 照射下的 嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。由 Mie散射知道 ,距離散射體 r處p點(diǎn)的散射光強(qiáng)為 式中 : 為光波波長(zhǎng) ;I0 為入射光強(qiáng) ;Isca為散射光強(qiáng) ; 為散射角 ; 為偏振光的偏 振角 式中:S1( )和 S2( )是振幅函數(shù) ;an和bn是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)的函

7、 數(shù); n和 n 是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù) ,僅與散射角 有關(guān)。其中式中: n( )和 n( )分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù) ; n ( ) 和 n ( )是 n( )和 n( )的導(dǎo)數(shù) ; 為無(wú)因次直徑 , D ,D為顆粒的實(shí) 際直徑 ; 是入射光的波長(zhǎng) ;m是散射顆粒相對(duì)于周圍介質(zhì)的折射率 ,它是一個(gè)復(fù) 數(shù),虛部是顆粒對(duì)光的吸收的量化。由以上公式可見(jiàn) ,Mie 散射計(jì)算的關(guān)鍵是振幅 函數(shù) S1( )和 S2( ) ,它們是一個(gè)無(wú)窮求和的過(guò)程 ,理論上無(wú)法計(jì)算。求解振幅函 數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)算 an和bn,所以 Mie 散射的計(jì)算難點(diǎn)是求解 an和bn。 Mie散射理論的數(shù)值計(jì)算通過(guò)以上分析可

8、知 ,Mie 散射計(jì)算的核心是求解 an和bn,我們編制程序也是圍 繞它進(jìn)行編寫(xiě)。在 an和bn的表達(dá)式中 n( ), n ( ), n( )和 n ( ) 滿足下列遞推關(guān)系 : 這些函數(shù)的初始值為 ;與散射角有關(guān)的 n( ) 和 n( ) 滿足下列遞推公式 :有了這些遞推公式可以很方便地通過(guò)計(jì)算機(jī)程序求解。但是對(duì)于n的大小 ,因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算無(wú)窮個(gè)數(shù)據(jù) ,所以 n在計(jì)算之前就要被確定。散射理論基礎(chǔ)與 Matlab實(shí)現(xiàn)若散射體為均勻球體 ,如圖1所示,照射光為線偏振平面波 ,振幅為 E,光強(qiáng)I0,沿 z軸傳播 ,其電場(chǎng)矢量沿 x軸振動(dòng)。散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn) O,P為觀測(cè)點(diǎn)。散射光方向 (OP

9、方向 )與照射光方向 (z軸)所組成的平面稱為散射面 ,照射光方向至散射光方向 之間的夾角稱為散射角 ,而x軸至 OP在xy平面上投影線 (OP)之間的夾角稱 為極化角。觀測(cè)點(diǎn)與散射體相距 r。根據(jù)經(jīng)典的 Mie散射理論 ,散射粒子的尺度參 數(shù)為 =2a/,其中a為球形粒子的半徑 ,散射粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率為m=m1+i*m2。則散射光垂直于散射面和平行于散射面的兩個(gè)分量的振幅函數(shù)以上式中：Jn+1/2(z)和 Yn+1/2(z)分別為半整數(shù)階的第一類 ,第二類貝塞爾函數(shù)。P(1)n(cos)為一階 n次第一類締合勒讓德函數(shù) ;Pn(cos )為第一類勒 讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過(guò)程中選取初始

10、下 :微粒子對(duì)光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征,而微粒對(duì)電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關(guān)系 ,對(duì)于不同線度的粒子必須應(yīng)用 不同的散射理論。 Mie 散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段 ;在微米以下至 納米的光散射則近似為形式更明晰簡(jiǎn)單的瑞利散射定律 ,散射光強(qiáng)烈依賴于光波 長(zhǎng) (I -4);而對(duì)大于微米至毫米的大粒子則近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍射 規(guī)律了。Mie 散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的散射場(chǎng)振幅 an、bn以及粒子內(nèi) 部電磁場(chǎng)振幅 cn、dn的計(jì)算表達(dá)式 ,通常稱為 Mie散射系數(shù)式中 m表示微粒子外部介質(zhì)的相對(duì)折射率 ,x=a,a為球的半徑 ,=2/

11、稱 為波數(shù) ,為相對(duì)磁導(dǎo)率 ,即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值 ,jn(x)和h(1)n(x)分別為 第一類虛宗量球 Bessel函數(shù)和 Hankell函數(shù)。散射系數(shù) ,消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：散射截面 sca（散射率 Qsca）、吸收截面 abs（ 吸收率 Qabs）、消光截面 ext（ 消光 率 Qext）、后向散射截面 b（后向散射率 Qb）以及輻射壓力 pr（輻射壓力效率 Qpr）。 其表達(dá)式如下 :其中 i為sca、abs、ext、pr分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照能量 守恒定律有 :Qpr（輻射壓力效率的計(jì)算公式）Qb（后向散射系數(shù)）：這些都是無(wú)窮級(jí)數(shù)求和 ,在實(shí)

12、際計(jì)算過(guò)程中必須取有限項(xiàng) ,Bohren和 Huffman 給出了級(jí)數(shù)項(xiàng)最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn) :對(duì)于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后 ,其散射場(chǎng)振幅的大小與散射角有關(guān) ,在球 坐標(biāo)系下 ,遠(yuǎn)場(chǎng)散射振幅的大小為 :其中 S1和 S2為散射輻射電場(chǎng)在垂直及平行于散射面的兩個(gè)偏振分量。 微球內(nèi)部場(chǎng)振幅計(jì)算公式顆粒內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為 :其中 M（1）o1n和N（1）e1n為矢量波球諧函數(shù) ,在球坐標(biāo)系中定義如下 : 吸收截面 Qabs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為： 其中是粒子相對(duì)介電常數(shù)的虛部 ,經(jīng)整理可得 : 式中 mn、nn為:實(shí)際上由 Mie 散射理論可知 ,上式中的積分項(xiàng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的平方對(duì)角度、 全空 間積

13、分的平均值 ,即: 于是吸收效率為 :式中 x=rk=z/m。當(dāng) xn1時(shí)即瑞利散射情況 ,顆粒的內(nèi)部平均場(chǎng)強(qiáng)為常數(shù) ,其值ImprovedMiescatteringalgorithmsMie計(jì)算存在的問(wèn)題就是如何最有效地構(gòu)造 Mie計(jì)算，同時(shí)保證準(zhǔn)確性和避免 數(shù)值的不穩(wěn)定性和病態(tài)。 Mie計(jì)算以耗時(shí)著稱，首先無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù) N的求和，例如： 100 m的水滴在 0.5 m的可見(jiàn)光散射情況下，大約需 1260項(xiàng)求和。其次，典型 的計(jì)算都希望能對(duì)一系列半徑(如對(duì)尺寸分布求積分)、一系列波長(zhǎng)(如對(duì)太陽(yáng) 光譜求積分)及一系列折射率求和(如通過(guò)散射參量反推折射率)。 當(dāng)折射率虛部 mIm很大時(shí)，用向后循環(huán)

14、法求 An 很不穩(wěn)定。而向前遞推總是穩(wěn)定的(但向后遞推 安全時(shí)，總是優(yōu)先選擇，因?yàn)槠溆?jì)算速度很快)。得出允許向后遞推的經(jīng)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)： 用正確的向前地推與相對(duì)應(yīng)的向后地推做比較，當(dāng)發(fā)現(xiàn)對(duì)和 g的相對(duì)誤差超過(guò) 10-6時(shí)，認(rèn)為計(jì)算失敗。對(duì)于一對(duì)確定的 (x,m Re)，我們采用向后遞推尋找第一個(gè)循環(huán)失敗的 研究表明：對(duì)于確定的， ，的值隨著 x的增加很快趨向于一個(gè)確定值。對(duì)如果在任意角度下 S1、 S2 的實(shí)部和虛部的相對(duì)誤差超過(guò) 10 5時(shí)，認(rèn)為對(duì) S1和 S2的向后遞推失敗。(而此時(shí)， Qsca Qext并不受影響，因?yàn)楫?dāng) S1， S2的相對(duì) 誤差達(dá)到 10 5時(shí)， Qsca Qext 的相對(duì)誤差

15、總維持在 10 10以下。)對(duì)S和S對(duì)散射強(qiáng)度 和偏正度連分式算法總結(jié)：Mie 散射計(jì)算的核心是計(jì)算 an和bn其中 n()=Jn(),n()=Jn()+i Y n( ),Jn和Y n分別是第一和二類貝塞耳函數(shù), 稱為當(dāng)量直徑 ,=2r/ ,r是球形顆粒的真實(shí)半徑 ,是入射光的波長(zhǎng) ,m為折射率式中 為函數(shù)任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式：Mie散射計(jì)算中 Jn、Yn、Dn的計(jì)算是關(guān)鍵和難點(diǎn) 。對(duì)于 Dn,我們采用的是 Lentz的 連分式的算法 :Lentz證明有如下關(guān)系 :其中， 。 我們注意到當(dāng) 時(shí)，。所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求。( 可根據(jù)精度要求例如 10-7 來(lái)確定所要

16、達(dá)到的 k值) 對(duì)于 Jn、Y n的生成本文也采用連分式的算法。具體方案如下 :令Cn=Jn-1()/Jn(),根據(jù)貝塞耳差積公式：由以上二式整理得：上式中 Cn的計(jì)算是采用類似于 Dn的連分式的形式 ,計(jì)算中可調(diào)用同一函數(shù)計(jì) 算。若已知初值：這樣就可計(jì)算出各級(jí) Jn和 Yn。WilliamJ.Lentz 關(guān)于連分式的文章：其中 。以 為基礎(chǔ)，采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法： ，利 用此法可產(chǎn)生所有的 ，盡管耗時(shí)，但能減少存儲(chǔ)需求。同時(shí)可通過(guò)計(jì)算 高階 值，使用下面的遞推公式，從后往前算出其他值。不像一般的函數(shù)， 貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過(guò)可控制的邊界， 就不再增長(zhǎng)， 初始 的高階 值決定了所

17、有低階值的準(zhǔn)確性，因此，采用新方法計(jì)算準(zhǔn)確的初 始比值是必要的。處于分母位置的 +號(hào)表示分母上加上一個(gè)特殊的連分式。類似于上式中的表示形式。定義一種新的符號(hào)：Lentz 給出了 n階部分收斂值為：例如：實(shí)變量 ，虛數(shù) 計(jì)算過(guò)程： 米散射學(xué)習(xí)目前所遇到的困難： 到底怎樣的計(jì)算結(jié)果才算正確， 如何能找到一個(gè) 米散射計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確又有效的數(shù)據(jù)庫(kù)，來(lái)驗(yàn)證自己算法及程序的正確性。 倒退式算法的總結(jié)：Dn的計(jì)算采用 Dave的倒推式 :由于 Dn函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性 ,對(duì)于Dn的倒推計(jì)算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意性。 因?yàn)楫?dāng)n時(shí)Dn(m)0,所以可以取 0作為初值。倒推起點(diǎn)選取大一些 ,可以保 證 Dn函數(shù)的收斂完全 ,但是同時(shí)卻增加了計(jì)算時(shí)間。所以必須選取一個(gè)最佳的選 擇標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)試算 ,作者認(rèn)為最佳的上限為這里 m1是復(fù)折射率的實(shí)部 .同樣 ,對(duì)于貝塞耳函數(shù) Jn的計(jì)算也可以用倒推的方法計(jì)算產(chǎn)生 : 上式是一個(gè)普通的 Jn的遞推式 ,知道了Jn和Jn-1,可以順利地計(jì)算出所有的 Jn序列 值。為了避免計(jì)