九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)人教新課標(biāo)版

1、知識(shí)點(diǎn)大全人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)相關(guān)概念及定義二次函數(shù)的概念： 一般地， 形如 y ax2bx c（ a，b ，c 是常數(shù)， a0 ）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強(qiáng)調(diào)： 和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù) a0 ，而 b ，c可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征： a ，b ，c 是常數(shù)， a 是二次項(xiàng)系數(shù)，二次函數(shù)各種形式之間的變換x 的二次式， x 的最高次數(shù)是 2 b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)二次函數(shù)yax 2bx c 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中hb ， k4acb 2.2a4aax2 ； yax 2二次函數(shù)由

2、特殊到一般，可分為以下幾種形式：yk ； y a x h 2 ； y a xh 2k ； y ax2bx c .二次函數(shù)解析式的表示方法一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 為常數(shù)， a0 ）；頂點(diǎn)式： ya (xh)2k （ a ， h ， k 為常數(shù)， a0）；兩根式： ya( xx1 )( xx2 ) （ a0， x1 ， x2 是拋物線與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)） .注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與x 軸有交點(diǎn)，即24ac0 時(shí)，拋物線的解析式b才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)

3、 y ax2bxc 圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc 化為頂點(diǎn)式 ya( xh)2k ，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y 軸的交點(diǎn)0 ，c、以及 0 ，c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h ，c、與 x 軸的交點(diǎn)x1 ，0 ， x2 ，0（若與 x 軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)） .畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x 軸的交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn) .二次函數(shù) yax 2 的性質(zhì)a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a 0向上0 ，0y 軸a0向下0 ，0y 軸二次函數(shù)yax2c 的性質(zhì)性質(zhì)x0

4、 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0時(shí)， y 隨x 的增大而減?。粁0 時(shí)， y 有最小值 0 x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x0時(shí)， y 隨x 的增大而增大；x0 時(shí)， y 有最大值 0 知識(shí)點(diǎn)大全a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上0 ，cy 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大； x0時(shí)， y 隨x 的增大而減?。粁 0 時(shí)， y 有最小值 c a0向下0 ，cy 軸x0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減??； x0時(shí)， y 隨x 的增大而增大；x 0 時(shí)， y 有最大值 c 二次函數(shù) ya xh2的性質(zhì)：a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上h ，0X=hxh

5、時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y隨 x 的增大而減??；x h 時(shí)， y 有最小值 0 a0向下h ，0X=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小；x h 時(shí)， y隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 0 二次函數(shù) ya xh2k 的性質(zhì)a 的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a0向上h ，kX=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y隨 x 的增大而減??；x h 時(shí)， y 有最小值 k a0向下h ，kX=hxh 時(shí)， y 隨 x 的增大而減?。粁 h 時(shí)， y隨 x 的增大而增大；x h 時(shí)， y 有最大值 k 拋物線 yax2bxc 的三要素：開口方

6、向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn) .a 的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng) a0 時(shí)，開口向上； 當(dāng) a 0時(shí)，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .對(duì)稱軸：平行于 y 軸（或重合）的直線記作xb. 特別地， y 軸記作直線 x 0 .2a頂點(diǎn)坐標(biāo)：（b 4ac b2，4a）2a如果二次項(xiàng)系數(shù) a 相同，那么拋物頂點(diǎn)決定拋物線的位置. 幾個(gè)不同的二次函數(shù)，線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.拋物線 yax 2bxc 中， a,b, c 與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù) a二次函數(shù) yax2bxc 中， a 作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a 0 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向上，a 越大，開口越小，反之a(chǎn) 的

7、值越小，開口越大； 當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向下，a 越小，開口越小，反之a(chǎn) 的值越大，開口越大總結(jié)起來，a 決定了拋物線開口的大小和方向，a 的正負(fù)決定開口方向，a 的大小決定開口的大小一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a 確定的前提下，b 決定了拋物線的對(duì)稱軸 在 a0 的前提下，當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸左側(cè)；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a知識(shí)點(diǎn)大全當(dāng) b0 時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的右側(cè)2a 在 a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸在y 軸右側(cè)；2a當(dāng) b0時(shí)，b0 ，即拋物線的對(duì)稱軸就是y 軸；2a當(dāng) b0

8、時(shí)，b0 ，即拋物線對(duì)稱軸在y 軸的左側(cè)2a總結(jié)起來，在a 確定的前提下，b 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置總結(jié)：常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸上方，即拋物線與 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 當(dāng) c0時(shí)，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在 x 軸下方，即拋物線與總結(jié)起來，c 決定了拋物線與y 軸交點(diǎn)的位置總之，只要a，b ，c 都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ；y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)b24ac b 2公式法：y ax2bx c a x2a，頂點(diǎn)是4a（b 4acb 2）b，.2a4a

9、，對(duì)稱軸是直線 x2ay a x h 2配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為k 的形式，得到頂點(diǎn)為 (h ,k ) ，對(duì)稱軸是直線xh .運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式一般式： yax2bxc . 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x 、 y 的值，通常選擇一般式 .頂點(diǎn)式： ya xh 2k . 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.交 點(diǎn) 式 ： 已 知 圖 像 與 x 軸 的 交 點(diǎn) 坐 標(biāo) x1

10、 、 x2 ， 通 常 選 用 交 點(diǎn) 式 ：ya x x1 xx2 .直線與拋物線的交點(diǎn)y 軸與拋物線 yax 2bxc 得交點(diǎn)為 (0,c ).與 y 軸 平 行 的 直 線 xh 與 拋 物 線 yax 2bx c 有 且 只 有 一 個(gè) 交 點(diǎn)( h , ah 2bhc ).拋物線與 x 軸的交點(diǎn) : 二次函數(shù) yax 2bxc 的圖像與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) x1、 x2 ，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax 2bxc0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相交；有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x 軸上）0拋物線與 x 軸相切；

11、沒有交點(diǎn)0拋物線與 x 軸相離 .平行于 x 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)可能有 0 個(gè)交點(diǎn)、 1 個(gè)交點(diǎn)、 2 個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為 k ，則橫坐標(biāo)是 ax 2 bx c k 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 .知識(shí)點(diǎn)大全一次函數(shù) ykx n k0 的圖像 l 與二次函數(shù)yax 2bx c a0 的圖像G 的交點(diǎn)， 由方程組ykxnyax2的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同bx c的解時(shí)l 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn) ; 方程組只有一組解時(shí)l 與 G 只有一個(gè)交點(diǎn)； 方程組無解時(shí)l 與 G 沒有交點(diǎn) .拋物線與x 軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxc 與 x 軸兩交點(diǎn)為A x

12、 ， B x ， ，由于x1 、 x2 是方程 ax2bxc0的兩個(gè)根，故1 020x1x2b , x1 x2caab24cb24acAB x1 x2x12x1x22x24x1 x2aaaa二次函數(shù)圖象的對(duì)稱: 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)關(guān)于 x 軸對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是yax2bxc ；ya x2k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya2k ；hx h關(guān)于y 軸對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是y ax2bxc ；ya x2k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya xh2k ；h關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱yax2bxc

13、 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是ya xh2k 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱yax2bxc 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是ya xh2k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是關(guān)于點(diǎn)m，n 對(duì)稱yax2bxc；ya xh2k ；2y ax2 bx c b ； 2a2ya xhk 2k 關(guān)于點(diǎn)2y a x hm，n 對(duì)稱后，得到的解析式是 y a x h 2m2n k總結(jié)： 根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)， 顯然無論作何種對(duì)稱變換， 拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此 a 永遠(yuǎn)不變求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則， 選擇合適的形式， 習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線

14、）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向， 再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向， 然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式二次函數(shù)圖象的平移平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng) a x h2h，k ；k ，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線 y ax2 的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k 處，具體平移方法如下：知識(shí)點(diǎn)大全y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個(gè)單位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|個(gè)單位平移|k|個(gè)單位平移|k|個(gè)單位向上(k>0)【或下(k<0

15、)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2+k平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“h 值正右移，負(fù)左移；k 值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路。三點(diǎn)式。1，已知拋物線2y=ax +bx+c 經(jīng)過 A（ 3 ，0）， B（ 2 3 ，0）， C（ 0， -3 ）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=a(x-1)+4， 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 3），求拋物線的解析式。頂點(diǎn)式。y=x2-2ax+a 2+b 頂點(diǎn)為 A（2， 1），求拋物線的解析式。1，已知拋物線2，已知拋物線y

16、=4(x+a)2-2a的頂點(diǎn)為（ 3， 1），求拋物線的解析式。交點(diǎn)式。1，已知拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（ 3， 0）,(5,0), 求拋物線 y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知拋物線線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)（ 4，0），（ 1，0）求拋物線 y= 1 a(x-2a)(x-b)的解析式。2定點(diǎn)式。1，在直角坐標(biāo)系中，不論a取何值，拋物線 y1 x 25 a x 2a 2 經(jīng)過 x 軸上一22定點(diǎn) Q，直線 y(a2) x2經(jīng)過點(diǎn) Q,求拋物線的解析式。2，拋物線 y= x2與 x 軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。+(2m-1)x-2m3，拋物線 y=ax 2+ax-2

17、 過直線 y=mx-2m+2上的定點(diǎn) A，求拋物線的解析式。平移式。1， 把拋物線 y= -2x 2向左平移 2 個(gè)單位長度，再向下平移1 個(gè)單位長度，得到拋物線2+k,求此拋物線解析式。y=a( x-h)2， 拋物線 yx 2x3 向上平移 , 使拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2), 求拋物線的解析式 .距離式。2 0) 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式。1，拋物線 y=ax +4ax+1(a2，已知拋物線y=m x 2+3mx-4m(m 0) 與 x 軸交于 A、B 兩點(diǎn)，與 軸交于 C點(diǎn)，且 AB=BC,求此拋物線的解析式。對(duì)稱軸式。1、拋物線 y=x2 -2x+(m 2-4m+

18、4) 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng) 軸距離的 2 倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線y=-x 2+ax+4,交 x 軸于 A,B （點(diǎn) A 在點(diǎn) B 左邊）兩點(diǎn)，交 y 軸于點(diǎn) C, 且OB-OA=3 OC，求此拋物線的解析式。4對(duì)稱式。1， 平行四邊形 ABCD對(duì)角線 AC在 x 軸上，且 A（ -10 ，0）， AC=16，D（ 2， 6）。AD交 y 軸于E，將三角形 ABC沿 x 軸折疊， 點(diǎn) B 到 B1 的位置， 求經(jīng)過 A,B,E 三點(diǎn)的拋物線的解析式。知識(shí)點(diǎn)大全22， 求與拋物線y=x +4x+3 關(guān)于 y 軸（或 x 軸）對(duì)稱的拋物線的解析式。切

19、點(diǎn)式。1，已知直線y=ax-a 2(a 0)與拋物線 y=mx2 有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。2， 直線 y=x+a 與拋物線 y=ax 2 +k的唯一公共點(diǎn) A（ 2， 1） , 求拋物線的解析式。判別式式。m+1） x2+2(m+1)x+2=0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求拋物線1 、已知關(guān)于 X 的一元二次方程（y=-x 2+(m+1)x+3 解析式。2、 已知拋物線 y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在 x 軸上 , 求拋物線的解析式。3、已知拋物線 y=(m+1)x 2+(m+2)x+1與 x 軸有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。一、平行線分線段成比例定理及其推論：1.定理：

20、三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。2.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 (或兩邊的延長線 )所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊 (或兩邊的延長線 )所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條線段平行于三角形的第三邊。二、相似預(yù)備定理：平行于三角形的一邊， 并且和其他兩邊相交的直線， 截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例 。三、相似三角形：1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì)：（ 1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段 (邊、高、中線、角平分線)成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。說明：等高三角形的面積比等于底之比，等底三角形的面積比等于高之比；要注意兩個(gè)圖形元素的對(duì)應(yīng)。3. 判定定理：（