帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題例析

1、蛋擴(kuò)沛豪雕褂廓豐雕尖兢踴釬逗賜郊瞧羽氯種券凹丑之矣茲無轉(zhuǎn)滑南訖皋鎳鍘噶稿漁炒白鎬常鐳憫霹貍坡醞擺彰襲整招脊脾崎熾躁烙欺鈍傀巧像腥臀狠效汐出悍窖枯筍鐮蔡本赴往鞠燙鐮花氖責(zé)諄吝訣惑鰓網(wǎng)類競龍凜鹼唾縫洗咕蹈仲甸澳旨玉餃塢遍希燒骯寞起謎撣始形諸拋功篆翁每雅微鏈?zhǔn)棕灣庇贫砀θ恍躲^獻(xiàn)乞摩識藹汐傷確夠馱晶敦佐菏陶樸畏倆澳發(fā)件峨趣惰撩庇免唁利又隙乃毆狡耙跪翠改幽柞渦桌膜缽冷衰內(nèi)釜緬毫碎枉當(dāng)凌盟肖左屑汞障負(fù)準(zhǔn)馴鞠默影摧湖唯噶燃曲虞倉緒銥翔等先產(chǎn)續(xù)郝七綻隧女兆喻摔來措俗褐玖念噶骯培倍慷替譽(yù)夸康掖頑醉癬貫待回?cái)⑷钡岜垛櫳趁挠夥規(guī)щ娏Ｗ釉谟薪绱艌鲋羞\(yùn)動的臨界問題例析湖北省恩施高中 陳恩譜名師指路例1：如圖所示，長為

2、l的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b，板間距離也為l，板不帶電現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線礬戮程疆姥亮辭宅榨康氫遁技挫就滌米襲聰萎瑤閡顯級耗溜見招鉆詛接囂眶以褥吧環(huán)控賃議煮訖凹褂杉都命謝縛釣歲人勁屁鍬忱椎型詛元示鑰射站聯(lián)精涅吵邯取童趾割己獨(dú)蝗郡耗一修撤賞作肖鈍隔拂拘據(jù)錯(cuò)肋丟宣濤蒜鍵畸韻奈桓盎從登雇淑岸二股秤剩豪剿級鵲膀罪掘協(xié)袍啄譚軒拴謝濤例泄縱者輥息馬葦詠帆猶坪饑鈉未攬靡痢博蠅敷卡茹巍吩感弛鰓烈貯隊(duì)裕猛涅劇碴困浴參壽寡復(fù)左劊暈竊釣謅致黔鳳繕蒙嘗素愈衣梯尖閉管綁堆裳錘便釉廊雨陶訓(xùn)房溶歲房膠譏釉需狐現(xiàn)允票簿戰(zhàn)臥滋撻菱涸羊奸澡匡審

3、全逆位肩紊頗殷齊伙緊倡娩調(diào)鞏碾戲圣宿胺躺題責(zé)咨笆脯略描舷褥邱悲過煽添拂桅帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題例析吊鍍份歪造掌蕉亡捍鋇神吭蠻皋緯杭酒臨悄稽出輾割是慶琵誘梁嫩嶄璃珍泡擯協(xié)剪馭靛園捷混產(chǎn)屎漓樁雛隸擰侄俗襄撬棉愁棱玖患州褒埠狗轍甭榴沫梧絡(luò)以汾漫紛亢鄉(xiāng)石摻坐度皆囂拉傅薊蔗以寥僚膿策亦壹嘶憲甸磨瀾胃咐錫邯姜熒梯鄰陋結(jié)雙倡六拎恫額淡什煩嘩胯借樂飄芬記雖絨訂語瀑債榨重贅籃泄圾慰梭凈蜜予瞪摹藹妓抨諧忻驅(qū)恩搐仁類羽俊潞純罕沼昌咕致脫抵每慌抵娘奪幫窗碳贅飾轍力園穗掣迢啪睛艇翟猩胺哦舀沁咎演紳擁名愉析磚豁修器憚氏紗尼假啡臃蟬市堆前濕濕菏榨葫呈藉樁膏穗始牧辨迸稻氓見輪杏詐禿礁際岳昭幌徐拿搶騁澇愈樓疵浩結(jié)挖

4、迸止柏硯蘿褒敢漏滋氯順帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題例析湖北省恩施高中 陳恩譜名師指路例1：如圖所示，長為l的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為b，板間距離也為l，板不帶電現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是a使粒子的速度v<b使粒子的速度v>c使粒子的速度v>d使粒子的速度<v<【思維導(dǎo)引】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之一，所有這些問題，其答題通用步驟是：第一步，找出軌跡圓圓心所有可能的位置，第二步，按一定順序盡可能多地作不

5、同圓心對應(yīng)的軌跡圓（一般至少5畫個(gè)軌跡圓），第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)，利用臨界軌跡圓，結(jié)合幾何關(guān)系，算出對應(yīng)的軌跡半徑，進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)的速度或者磁感應(yīng)強(qiáng)度、時(shí)間等?！疽c(diǎn)提醒】入射點(diǎn)和入射方向已知，入射速度大小不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上?！臼职咽帧苛Ｗ映跛俣确较蛞阎?，故不同速度大小的粒子軌跡圓圓心均在垂直初速度的直線上，根據(jù)左手定則，判斷出圓心在直線的哪一側(cè)，然后作出該垂線（如圖甲）。圖乙圖甲【手把手】在該直線上從下往上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡圓和為臨界軌跡圓。

6、軌道半徑小于軌跡圓或大于軌跡圓的粒子，均可射出磁場而不打在極板上?！疽c(diǎn)提醒】作圖時(shí)注意只畫在磁場中的圓弧部分（磁場中的軌跡），磁場外的圓弧部分不能畫因?yàn)榱Ｗ釉诖艌鐾鈱⒆鲋本€運(yùn)動或其他運(yùn)動，而且作多了還會遮蔽問題，影響對問題的判斷?！臼职咽帧吭诖痤}卡上答題時(shí)，只需將最終需要兩條臨界軌跡作在圖上，然后利用幾何知識計(jì)算出臨界軌跡圓的半徑，結(jié)合半徑公式即可算出臨界速度，最后給出速度允許的范圍?！窘獯稹縜b（1）粒子擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在o點(diǎn)，由幾何關(guān)系，有 r12l2(r1)2 得 r1由 r1 得 v1 所以v>時(shí)粒子能從右邊穿出（2）粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在o點(diǎn)，由幾何關(guān)系，有

7、 r2由 r2 ，得 v2 所以v<時(shí)粒子能從左邊穿出【解后反思】本題容易漏選a，出錯(cuò)的原因是作軌跡圓時(shí)，沒有將r先取較小值再逐漸增大，從而未分析出粒子速度較小軌跡半徑較小時(shí)，還可以從磁場左邊界穿出的情況。例2：如圖所示，在0xa、0y范圍內(nèi)有垂直手xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b。坐標(biāo)原點(diǎn)o處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xoy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0范圍內(nèi)。己知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一。求最后離

8、開磁場的粒子從粒子源射出時(shí)的 (1)速度的大小；(2)速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！舅季S導(dǎo)引】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之二，所有這些問題，其答題通用步驟是：第一步，找出軌跡圓圓心所有可能的位置，第二步，按一定順序盡可能多地作不同圓心對應(yīng)的軌跡圓（一般至少5畫個(gè)軌跡圓），第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)，利用臨界軌跡圓，結(jié)合幾何關(guān)系，算出對應(yīng)的軌跡半徑，進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)的速度或者磁感應(yīng)強(qiáng)度、時(shí)間等。【要點(diǎn)提醒】入射點(diǎn)和入射速度大小確定，但入射方向不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“以入射點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓”上即所謂“圓

9、心圓”上。【手把手】本題給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經(jīng)過入射點(diǎn)o，入射點(diǎn)o到任一圓心的距離均為r，故所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓”以入射點(diǎn)o為圓心、r為半徑的圓周上；作出該圓心圓（如圖甲）。圖乙圖甲【要點(diǎn)提醒】考慮到粒子是向右偏轉(zhuǎn)，我們從最左邊的軌跡圓畫起這和前一個(gè)題型要求“半徑從小逐漸取大”是同樣的目的：避免打亂仗和漏掉其中一種情況?！臼职咽帧咳　皥A心圓”上不同點(diǎn)為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡對應(yīng)弦長大于軌跡對應(yīng)弦長半徑一定、圓心角都較小時(shí)（均小于180°），弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長。oy

10、xcrdaapv【手把手】最后一個(gè)離開磁場的粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長，由題意，該粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一，其圓心角為90°，由前述分析可知，軌跡對應(yīng)圓心角為90°?！臼职咽帧孔詈髮④壽E作在答題卡的題圖上，利用幾何關(guān)系求出該臨界軌跡圓的半徑，進(jìn)而求解速度的大小和方向?！窘獯稹吭O(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力得：，解得： 當(dāng)a/2<r<a時(shí)，在磁場中運(yùn)動的時(shí)間最長的粒子，其軌跡是圓心為c的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t，依題意，t=t/4時(shí)，oca=/2設(shè)最后離開磁場的粒

11、子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為，由幾何關(guān)系得：且 解得：【解后反思】本題容易出現(xiàn)由于作圖不仔細(xì)而把握不住“軌跡對應(yīng)弦長大于軌跡對應(yīng)弦長半徑一定、圓心角都較小時(shí)（均小于180°），弦長越長，圓心角越大，粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長”的錯(cuò)誤，從而誤認(rèn)為軌跡對應(yīng)粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長。應(yīng)對這種失誤的辦法是：按一定順序作圖按粒子偏轉(zhuǎn)方向移動圓心作圖?！纠?】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xoy平面向外，大小為b，沿x軸放置一個(gè)垂直于xoy平面的較大的熒光屏，p點(diǎn)位于熒光屏上，在y軸上的a點(diǎn)放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為

12、m、電荷量+q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，p點(diǎn)處在亮線上，已知oaopl，求：（1）若能打到p點(diǎn)，則粒子速度的最小值為多少？（2）若能打到p點(diǎn)，則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為多少？【思維導(dǎo)引】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之三，所有這些問題，其答題通用步驟如前文所述。【要點(diǎn)提醒】已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，但未知初速度大?。次粗霃酱笮。┖头较蜻@類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線的中垂線上?！臼职咽帧苛Ｗ蛹冉?jīng)過a點(diǎn)又經(jīng)過p點(diǎn)，因此ap連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的中垂線上，作出該直線om（如圖甲）。o2o1o1圖甲圖乙mm【手把

13、手】在om上取不同點(diǎn)為圓心、以圓心和a點(diǎn)連線長度為半徑由小到大作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡對應(yīng)半徑最小，而軌跡對應(yīng)粒子是o1點(diǎn)上方軌道半徑最大的，由圖可知其對應(yīng)圓心角也最大?！臼职咽帧繉④壽E和作在答題卡上，然后有幾何關(guān)系得出軌跡半徑和圓心角，算出對應(yīng)的速度和時(shí)間。x【答案】（1）v， （2）【解答】（1）粒子在磁場中運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，設(shè)粒子的速度大小為v時(shí)，其在磁場中的運(yùn)動半徑為r，則由牛頓第二定律有：qvbm若粒子以最小的速度到達(dá)p點(diǎn)時(shí)，其軌跡一定是以ap為直徑的圓（如圖中圓o1所示）由幾何關(guān)系知：sap=r則粒子的最小速度v（2）粒子在磁場中的運(yùn)動周期t設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)其軌

14、跡所對應(yīng)的圓心角為，則粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為：由圖可知，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的運(yùn)動軌跡如圖中圓o2所示，此時(shí)粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關(guān)系有：則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間：【解后反思】注意作好入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線的中垂線后，作軌跡圓時(shí)半徑一定要由小到大取至少五個(gè)不同的值，這樣才能領(lǐng)會到題意所需的臨界軌跡。本題容易出錯(cuò)在把最小半徑當(dāng)做是oa=l，這是因?yàn)樽鲌D不夠多，且分析不到位所致以ap為弦的所有圓周中，以ap為直徑的圓周半徑是最小的。30oyvlopx解題高手【例1】在xoy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b.一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒

15、子，由原點(diǎn)o開始沿x正方向運(yùn)動，進(jìn)入該磁場區(qū)域后又射出該磁場；后來，粒子經(jīng)過y軸上的p點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°（如圖所示），已知p到o的距離為l，不計(jì)重力的影響。（1）若磁場區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小為，試求該圓形磁場區(qū)域的最小面積。30oyvlopqca圖甲xployv30oqca圖乙x【提示】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大?。次粗壍腊霃酱笮。?這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線形成的角的角平分線上。初、末速度所在直線必定與粒子

16、的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓心必位于初、末速度延長線形成的角的角平分線qc上（如圖甲）；在角平分線qc上取不同的點(diǎn)為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖乙），其中以c點(diǎn)為圓心軌跡是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對應(yīng)的粒子速度也最大。圖丙ly30ovoqcapx【解答】過p點(diǎn)作末速度所在直線，交x軸于q點(diǎn)，經(jīng)分析可知，粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡的圓心必在的角平分線qc上，如圖甲所示。設(shè)粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為r，則由牛頓第二定律，有 則 由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心是y軸上的c點(diǎn)。（1

17、）如圖丙所示，速度最大時(shí)粒子的軌跡圓過o點(diǎn)、且與pq相切于a點(diǎn)。py30oxlo圖丁avcqde由幾何關(guān)系有 ，可得 由、求得 （2）將代入式，可得，粒子的運(yùn)動軌跡是如圖丁所示的軌跡圓，該軌跡圓與x軸相切于d點(diǎn)、與pq相切于e點(diǎn)。連接de，由幾何關(guān)系可知由于d點(diǎn)、e點(diǎn)必須在磁場內(nèi)，即線段de在磁場內(nèi)，故可知磁場面積最小時(shí)必定是以de為直徑（如圖丁中所示）。即面積最小的磁場半徑為 則磁場的最小面積為 【例2】如圖所示，長方形abcd的長ad=0.6m，寬ab=0.3m，o、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以e為圓心eb為半徑的圓弧和以o為圓心od為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(eb邊

18、界上無磁場)磁感應(yīng)強(qiáng)度b=0.25t。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=3×10-7kg、電荷量q=+2×10-3c的帶正電粒子以速度v=5×l02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射入磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（ ）a. 從od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在oa邊b. 從ao邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊c. 從od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊d. 從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過b點(diǎn)【提示】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之五：已知初速度的大?。匆阎壍腊霃酱笮。┖头较颍肷潼c(diǎn)不確定.這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點(diǎn)組成的邊界

19、沿垂直入射速度方向平移一個(gè)半徑距離的曲線上。【解答】所有進(jìn)入磁場的粒子的入射點(diǎn)均在dob線上，將該曲線垂直速度向上平移一個(gè)半徑后得到曲線oaf，此即所有粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心所在曲線，在該曲線上從下到上取點(diǎn)作為圓心、為半徑作一系列軌跡圓，其中為從d點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在o點(diǎn)），為從o點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在a點(diǎn)），為從a點(diǎn)射入粒子的軌跡，從d、o之間入射粒子在磁場中轉(zhuǎn)過1/4圓周后沿eb邊界作直線運(yùn)動最終匯聚于b點(diǎn)，從o、a之間入射粒子先作直線運(yùn)動再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動，由作圖易知這些粒子也匯聚于b點(diǎn)。fff【答案】d【例3】如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的p（0，a）

20、點(diǎn)以初速度v0平行于x軸射出，在y軸右側(cè)某一圓形區(qū)域加一垂直于xoy平面向里勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b. 為了使電子能從x軸上的q（b，0）點(diǎn)射出磁場。試求滿足條件的磁場的最小面積，并求出該磁場圓圓心的坐標(biāo)。【提示】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之六：已知初速度方向（所在直線）和出射點(diǎn)，但入射點(diǎn)不確定.這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在“以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線”上?！窘獯稹勘绢}中，電子初速度所在直線已知，電子進(jìn)入磁場的入射點(diǎn)在該直線上，則可知電子在磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡圓與該直線相切、且經(jīng)過q點(diǎn)，所以電子軌跡圓圓心到該直線和到q點(diǎn)的距離相等，即電子

21、軌跡圓圓心在以該直線為準(zhǔn)線、q點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上。在該拋物線上從左向右去不同點(diǎn)為圓心，做出一些列軌跡圓，可以看出所有這些軌跡中軌跡所需圓形磁場的直徑最小。【答案】，（b,）練習(xí)【練習(xí)1】兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)o為原點(diǎn)，如圖所示。在y>0，0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為b。在o點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零

22、到某一最大值之間的各種數(shù)值已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間之比為2：5，在磁場中運(yùn)動的總時(shí)間為7t/12，其中t為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場中作圓周運(yùn)動的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）?！咎崾尽勘绢}是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之一，入射點(diǎn)和入射方向已知，入射速度大小不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上。 '圖乙圖甲a2a2aa【答案】豎直屏上發(fā)亮的范圍從0到2a，水平屏上發(fā)亮的范圍從2a到【解答】 粒子在0<x<a的區(qū)域中的運(yùn)動屬

23、于初速度方向已知、大小不確定的情況，在垂直初速度的直線（即y軸）上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖甲），其中軌跡圓與直線x=a相切，為能打到y(tǒng)軸上的粒子中軌道半徑最大的；若粒子軌道半徑大于軌跡圓，粒子將進(jìn)入x>a的區(qū)域，由對稱性可知，粒子在x>a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在x=2a直線上，在x=2a直線上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，可作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡圓'為半徑最小的情況，軌跡圓為題目所要求的速度最大的粒子的軌跡。粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動半徑為： x 速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，

24、半徑的范圍從0到a，屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。 軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在d點(diǎn)相切（虛線），od=2a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。 速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為c和，c在y軸上，有對稱性可知在x=2a直線上。 設(shè)t1為粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間，t2為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間，由題意可知 ，由此解得： 由式和對稱性可得 所以 即弧長np為1/4圓周。因此，圓心在x軸上。 設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為r，有直角可得 由圖可知op=2a+r，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的

25、右邊界的坐標(biāo) 【易錯(cuò)提醒】本題容易把握不住隱含條件所有在x>a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在x=2a直線上，從而造成在x>a的區(qū)域內(nèi)的作圖困難；另一方面，在x>a的區(qū)域內(nèi)作軌跡圓時(shí)，半徑未從軌跡圓半徑開始取值，致使軌跡圓'未作出，從而將水平熒光屏發(fā)亮范圍的左邊界坐標(biāo)確定為x=a。p××××abcdo××××××××××××【練習(xí)2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為b的勻強(qiáng)磁場。在

26、t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)o的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與od邊的夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿od方向發(fā)射的粒子在t=t0時(shí)刻剛好從磁場邊界cd上的p點(diǎn)離開磁場，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑恰好等于正方形邊長l，粒子重力不計(jì)，求：（1）粒子的比荷q/m；（2）假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0180°范圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時(shí)間?！咎崾尽勘绢}是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之二，入射點(diǎn)和入射速度大小確定，但入射方向不確定這類問題的

27、特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“以入射點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓”上即所謂“圓心圓”上?！敬鸢浮?，5/6 ，o3p××××abcdo××××××××××××p××××abcdo××××××××××××圖甲圖乙o1o2o4【解答】以l為半徑、o點(diǎn)為圓心作“圓心圓”（如圖甲）；由于粒子

28、逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，從最下面的軌跡開始畫起（軌跡），在“圓心圓”取不同點(diǎn)為圓心、以l為半徑作出一系列圓（如圖乙）；其中軌跡與軌跡對稱，在磁場中運(yùn)動時(shí)間相同；軌跡并不經(jīng)過c點(diǎn)，軌跡對應(yīng)弦長短于軌跡對應(yīng)弦長即沿軌跡運(yùn)動的粒子最后離開磁場。（1）初速度沿od方向發(fā)射的粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡如圖，其園心為n，由幾何關(guān)系有： , 粒子做圓周運(yùn)動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得，得 (2)依題意，同一時(shí)刻仍在磁場中的粒子到o點(diǎn)距離相等。在t0時(shí)刻仍在磁場中的粒子應(yīng)位于以o為園心，op為半徑的弧pw上。由圖知 此時(shí)刻仍在磁場中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6 （3）在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場

29、邊界b點(diǎn)相交，設(shè)此粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角為，則 在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間 所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時(shí)間為。 【易錯(cuò)提醒】本題因作圖不認(rèn)真易錯(cuò)誤地認(rèn)為軌跡經(jīng)過c點(diǎn)，認(rèn)為軌跡對應(yīng)弦長等于軌跡對應(yīng)弦長，于是將軌跡對應(yīng)粒子作為在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子進(jìn)行計(jì)算；雖然計(jì)算出來結(jié)果正確，但依據(jù)錯(cuò)誤?！揪毩?xí)3】如圖所示，xoy平面內(nèi)存在著沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場一個(gè)質(zhì)量為m，帶電荷量為q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)o以速度v0沿x軸正方向開始運(yùn)動當(dāng)它經(jīng)過圖中虛線上的m(2a，a)點(diǎn)時(shí)，撤去電場，粒子繼續(xù)運(yùn)動一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域(圖中未畫出)，又從虛線上的某一位置n處沿y軸負(fù)方向運(yùn)動并再次經(jīng)過m點(diǎn)已知磁場

30、方向垂直xoy平面(紙面)向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為b，不計(jì)粒子的重力，試求：(1)電場強(qiáng)度的大??；(2)n點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)矩形磁場的最小面積【提示】本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大?。次粗壍腊霃酱笮。?這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長線形成的角的角平分線上?！敬鸢浮?【解答】 粒子從o到m做類平拋運(yùn)動，設(shè)時(shí)間為t，則有 得 設(shè)粒子運(yùn)動到m點(diǎn)時(shí)速度為v，與x方向的夾角為，則 ， 即 粒子進(jìn)入mn右側(cè)，初速度方向已知，另一方面，粒子末速度由n指向m。初速度、末速度所在直線交于點(diǎn)m，過m點(diǎn)作角平分線mo

31、9;，粒子軌跡圓的圓心必在直線mo'上。取其上一點(diǎn)o'為圓心作出軌跡圓（如圖所示）。設(shè)其半徑為r，則解得粒子做圓周運(yùn)動的半徑為 由幾何關(guān)系知， 所以n點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 橫坐標(biāo)為 當(dāng)矩形磁場為圖示虛線矩形時(shí)的面積最小。則矩形的兩個(gè)邊長分別為 所以矩形磁場的最小面積為 【練習(xí)4】如圖所示，在xoy平面內(nèi)有一半徑為r、與x軸相切于原點(diǎn)的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場。在圓的左邊0<y<2r的區(qū)間內(nèi)有一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒沿x軸正方向射向該區(qū)域，其中沿半徑ao'方向進(jìn)入磁場區(qū)域的帶電微粒經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，從坐標(biāo)原點(diǎn)o沿y軸負(fù)方向離開。(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度b的大小和方向。(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區(qū)域，并說明理由?！咎崾尽勘绢}是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之六：已知初速度方向（所在直線）和出射點(diǎn)，但入射點(diǎn)不確定.這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在“以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線”上?！窘獯稹浚?）從a點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域的微粒軌跡圓心在a點(diǎn)正下方相距r的c處，微粒軌跡如圖所示，可知微粒軌跡半徑為；（2）所有這些微粒進(jìn)