高考二輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)專題七3第三講推理與證明

1、高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）專題七概率與統(tǒng)計(jì)、推理與證專題七概率與統(tǒng)計(jì)、推理與證明、算法初步、框圖、復(fù)數(shù)明、算法初步、框圖、復(fù)數(shù) 第三講推理與證第三講推理與證明明高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）考點(diǎn)整合考點(diǎn)整合高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）合情推理問題合情推理問題考綱點(diǎn)擊考綱點(diǎn)擊 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用。高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 一、合情推理一、合情推理 1歸納推理 (1)歸納推理是由某類事物的_具有某些特征，推出該類事物的_具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出_的推

2、理 (2)歸納推理的思維過程如下： 2類比推理 (1)類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理 (2)類比推理的思維過程如下：實(shí)驗(yàn)、觀察 概括、推廣 猜測(cè)一般性結(jié)論 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜測(cè)新的結(jié)論 答案：答案：1.(1)部分對(duì)象全部對(duì)象一般結(jié)論高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）整合訓(xùn)練整合訓(xùn)練 1(1)對(duì)于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行直線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“_”，這個(gè)類比命題的真假性是_ (2)(2010年福建卷)對(duì)于平面上的點(diǎn)集，如

3、果連接中任意兩點(diǎn)的線段必定包含于，則稱為平面上的凸集，給出平面上4個(gè)點(diǎn)集的圖形如下(陰影區(qū)域及其邊界)： 其中為凸集的是_(寫出所有凸集相應(yīng)圖形的序號(hào))高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）答案：答案：(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等真命題(2)高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）考綱點(diǎn)擊考綱點(diǎn)擊演繹推理問題演繹推理問題 1了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本形式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理 2了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 二、演繹推理二、演繹推理 1“三段論”是演繹推理的一般模式，包括： (1)大前提已知的

4、一般性原理 (2)小前提所研究的特殊情況 (3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷 2合情推理與演繹推理的區(qū)別 歸納和類比是常用的合情推理，從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個(gè)別到一般的推理；類比是由特殊到特殊的推理；而演繹推理是由一般到特殊的推理從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）整合訓(xùn)練整合訓(xùn)練 2有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b平面，直線a平面，直線b平面，則直線b直線a，的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)

5、 a大前提錯(cuò)誤 b小前提錯(cuò)誤 c推理形式錯(cuò)誤 d非以上錯(cuò)誤答案：答案：a高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）考綱點(diǎn)擊考綱點(diǎn)擊直接證明問題直接證明問題 了解直接證明和兩種方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 三、直接證明三、直接證明 1綜合法 用p表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為： 2分析法 用q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：p q1q1 q2q p1q2 q3qn qp1 p2p2 p3得到一個(gè)明顯成立的條件高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）整合訓(xùn)

6、練整合訓(xùn)練 3(2010年湖北卷)記實(shí)數(shù)x1，x2，xn中的最大數(shù)為maxx1，x2，xn最小數(shù)為minx1，x2，xn已知abc的三邊邊長(zhǎng)為a、b、c(abc)，定義它的傾斜度為l 則“l(fā)1”是“abc為等邊三解形”的() a充分而不必要的條件 b必要而不充分的條件 c充要條件 d既不充分也不必要的條件答案：答案：bmaxab，bc，caminab，bc，ca， 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）考綱點(diǎn)擊考綱點(diǎn)擊間接證明問題間接證明問題1了解間接證明的一種基本方法反證法2了解反證法的思考過程、特點(diǎn)高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理 四、間接證明四、間接證明 反證法

7、的證明過程可以概括為“否定推理否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用如下圖所示的框圖表示表示條件p否定結(jié)論q導(dǎo)致邏輯矛盾“既p又 q”為假“若p則q”為真高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）整合訓(xùn)練整合訓(xùn)練4. 用反證法證“至多有兩個(gè)解”，應(yīng)假設(shè)()a有一個(gè)解 b有兩個(gè)解c至少有三個(gè)解 d至少有兩個(gè)解答案：答案：c 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）高分突破高分突破高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）合情推理合情推理 觀察下列等式：?ni1i12n212n， ?ni1i213n312n

8、216n， ?ni1i314n412n314n2， ?ni1i415n512n413n3130n， ?ni1i516n612n5512n4112n2， ?ni1i617n712n612n516n3142n， 1nii21nii31nii41nii51nii61nii高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）?ni1ikak1nk1aknkak1nk1ak2nk2a1na0， 可以推測(cè)，當(dāng)k2(kn*)時(shí)， ak11k1，ak12，ak1_，ak2_. 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：當(dāng)k2、3、4、5、6時(shí)，寫出ak1，ak2的值，通過觀察歸納可得1nkii高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）解析：當(dāng)

9、k2 時(shí)，a116212，a00； 當(dāng) k3 時(shí)，a214312，a10； 當(dāng) k4 時(shí)，a313412，a20； 當(dāng) k5 時(shí)，a4512，a30； 當(dāng) k6 時(shí)，a512612，a40； 由此可得：ak1k12，ak20. 答案：k12 0 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 1我們知道，在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值 類比上述結(jié)論，在邊長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為定值()32a， a.63a b.64a c.33a d.34a 答案：答案：a高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）演繹推理演繹推理 已知數(shù)列an中，a11，a22

10、，且an1(1q)anqan1(n2，q0) (1)設(shè)bnan1an(nn*)，證明bn是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (3)若a3是a6與a9的等差中項(xiàng)，求q的值，并證明：對(duì)任意的nn*，an是an3與an6的等差中項(xiàng) 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：解答本題第(1)問可根據(jù)bnan1an(nn*)將已知等式變形構(gòu)造出bn與bn1的關(guān)系式第(2)問可用疊加法求an，第(3)問先由a3是a6與a9的等差中項(xiàng)求出q，并利用an的通項(xiàng)公式和q的值，推證anan3an6an(nn*)高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科） 解析：解析：(1)證明：由題設(shè)an1(1q)anqan-1(n2)， 得an

11、1anq(anan1)， 即bnqbn1(n2) 又b1a2a11，q0，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列 (2)由(1)， a2a11， a3a2q， anan1qn2(n2) 將以上各式相加，得ana11qqn2(n2)，高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）所以當(dāng)n2時(shí)，an 11qn11q，q1n，q1， 上式對(duì)n1顯然成立 (3)由(2)，當(dāng)q1時(shí)，顯然a3不是a6與a9的等差中項(xiàng)，故q1， 由a3a6a9a3可得q5q2q2q8， 由q0得，q311q6 整理得(q3)2q320， 解得q32或q31(舍去)，于是q ， 另一方面，32 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文

12、科）anan3qn2qn11qqn11q(q31)， an6anqn1qn51qqn11q(1q6)， 由可得anan3an6an，nn*，所以對(duì)任意的nn*，an是an3與an6的等差中項(xiàng)高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中a12，an14an3n1，nn*.(1)證明數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn；(3)證明不等式sn14sn，對(duì)任意nn*皆成立解析：解析：(1)由題設(shè)an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nn*.又a111，所以數(shù)列ann是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列(2)由(1)可知ann4n1，于是數(shù)列an的通項(xiàng)公

13、式為an4n1n.所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和 sn4n13nn12. 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）(3)對(duì)任意的nn*，所以不等式sn14sn，對(duì)任意nn*皆成立sn14sn4n113n1n2244n13nn1212(3n2n4)0. 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）直接證明與間接證明直接證明與間接證明 已知數(shù)列an和bn滿足：a1，an1 ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù) (1)對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列； (2)試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：(1)第1問用反證法；(2)第2問用綜合法 解析：解析：(1)證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有 a1a3，即 a22 2332494 ?492494924 90，矛盾，所以an不是等比數(shù)列(2)因?yàn)閎n1(1)n1an13(n1)2123 高考高考二輪二輪數(shù)學(xué)（文科）數(shù)學(xué)（文科）(1)n123an2n14 23(1)n(an3n21) 23bn. 又b1(18)，所以當(dāng)18時(shí)，bn0(nn*)，此時(shí)bn不是等比數(shù)列；當(dāng)18時(shí)，b1(18)0，由bn1 bn，可知bn0，所以 (nn*)故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)