電磁場研學(xué)報告

1、分離變量法計算與電磁場數(shù)值計算方法的應(yīng)用研究 電磁場與電磁波研究型論文 姓名: 姜夢磊 班級：思源1301學(xué)號：13274011 指導(dǎo)教師：王國棟摘要本文闡述了靜態(tài)電磁場邊值問題的一種求解方法一有限差分法的基本原理。通過該原理進行MATLAB編程計算電磁場電位問題，通過具體實例利用MATLAB編寫程序?qū)⑦@種求解方法的結(jié)果可視化處理。以分離變量法的計算結(jié)果作為準(zhǔn)確的解析解，分析有限差分法的近似計算誤差，通過誤差分析顯示有限差分算法的精確程度。AbstractIn this paper, the basic principle of a finite difference method for s

2、olving the boundary value problem of static electromagnetic field is presented. Through this principle, the problem of electromagnetic field potential is calculated by MATLAB programming. The convergence factor of different acceleration is selected to compare the iteration number of successive super

3、 relaxation method, and then select the optimal accelerating convergence factor. The result of this method is visualized by using MATLAB program. The accuracy of finite difference method is analyzed by error analysis, and the accuracy of finite difference method is demonstrated by error analysis.一、引

4、言通過邊值條件求解坐標(biāo)系內(nèi)的靜態(tài)電場分布，是電磁場當(dāng)中的常見問題之一。求解方法一般為泊松方程或拉普拉斯方程，對于滿足下列條件之一的邊界面S，則電位函數(shù)在該區(qū)域中除了任意常數(shù)外是唯一確定的：1、在全部S上電位已知；2、在全部S上電位的法向?qū)?shù)已知；3、在一部分S上電位函數(shù)已知，在其余S上電位的法向?qū)?shù)已知。利用唯一性定理求解邊值問題，分為解析法和數(shù)值法兩大類，常用的解析法有分離變量法、鏡像法、復(fù)變函數(shù)法、保角變換法、格林函數(shù)法等，通?？梢缘玫浇馕龊瘮?shù)表示的閉合解，適于求解各種形狀規(guī)則的邊界下的電位函數(shù)。解析法的優(yōu)點是：1、可用一數(shù)學(xué)公式將所求問題表示出來，從而得到對該問題的精確描述；2、根據(jù)所得

5、的公式，可以對該問題進行深入的分析研究，找到該問題中各參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系和變化趨勢；3、可作為近似計算和數(shù)值解的檢驗標(biāo)準(zhǔn)。解析法的缺點是具有一定的局限性，不是每一個電磁問題都能找到與其匹配的解答公式。隨著大型快速計算機的廣泛應(yīng)用，近似解析計算和數(shù)值法的發(fā)展迅速。目前，分析電磁工程常用的數(shù)值法有矩量法、有限元法和有限差分法。還有解析和近似計算結(jié)合的一些近似解析算法，如逐步逼近算法、微擾法、變分法、幾何光學(xué)法、物理光學(xué)法、幾何繞射方法和物理繞射方法等。數(shù)值法的主要缺點是不能用一數(shù)學(xué)公式將所研究的電磁問題和各參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系及變化趨勢表示出來。2、 算法介紹2.1、解析法利用解析法求解靜態(tài)場邊值問

6、題主要是解決已知場量在場域邊界上的值，求場域內(nèi)場的分布。一般是從MaxWell方程出發(fā)，結(jié)合具體實例根據(jù)邊界條件求解出標(biāo)量函數(shù)位函數(shù)來表示場的分布。其他場量可以通過位函數(shù)再進一步求出。其結(jié)果是一個解析表達式，而且往往是一個復(fù)雜的級數(shù)表達式。不能形象的體現(xiàn)場的分布。但是，得出的結(jié)果描述了場域中每一點的值是連續(xù)，即：能夠精確的表示場域中任何一點的場量。所以也叫精確解。為了形象地表達場的分布，我們將位函數(shù)的自變量離散化帶入位函數(shù)表達式，求出位函數(shù)的離散值；通過MATLAB繪圖畫出等位線。2.2、有限差分法有限差分法（FDM），是一種微分方程數(shù)值方法，是通過有限差分來近似導(dǎo)數(shù)，從而尋求微分方程的近似解

7、。由泰勒展開式可得有限差分法的基本形式。首先假設(shè)要近似函數(shù)的各級導(dǎo)數(shù)都有良好的性質(zhì)，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式：其中n!表示是n的階乘，Rn(x)為余數(shù)，表示泰勒多項式和原函數(shù)之間的差?？梢酝茖?dǎo)函數(shù)f一階導(dǎo)數(shù)的近似值：設(shè)定x0=a，可得：除以h可得：求解f'(a)：假設(shè)相當(dāng)小，因此可以將"f"的一階導(dǎo)數(shù)近似為：局部截尾誤差為,其中現(xiàn)在，以靜電場邊值問題 （3.2.1）（3.2.2）為例，說明有限差分法的應(yīng)用。f(s)為邊界點s的點函數(shù)，二位場域D和邊界L示于圖3.2-1中。 圖3.2-1 有限差分的網(wǎng)格分割通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距

8、離為（步距）,節(jié)點上的電位分別用和表示。設(shè)函數(shù)在處可微，則沿方向在處的泰勒公式展開為 （3.2.3）將和分別代入式（3.2.3）,得 （3.2.4） （3.2.5）由（3.2.4）-（3.2.5）得 （3.2.6）（3.2.4）+（3.2.5）得 （3.2.7）同理 （3.2.8） （3.2.9）將式(3.2.7)、（3.2.9）代入式（3.2.1），得到泊松方程的五點差分格式 當(dāng)場域中得到拉普拉斯方程的五點差分格式： （3.2.10）從這個公式我們可以看出，當(dāng)我們將一個二維無源區(qū)場域剖分為一系列正方形網(wǎng)格時，場域內(nèi)任何一個節(jié)點的電位都等于它周圍四個節(jié)點電位的算術(shù)平均值。這就是規(guī)則正方形網(wǎng)格內(nèi)

9、某點的電位所滿足的拉普拉斯方程的差分格式，或差分方程8。對于場域內(nèi)的每一個結(jié)點，關(guān)系式（3.2.10）式都成立，都可以列出。2.3、有限差分法的求解 求解差分方程組的解可使用高斯-賽德爾迭代法及改進的超松弛迭代法。2.3.1、高斯-賽德爾迭代法網(wǎng)格節(jié)點一般按“自然順序”排列，即從左到右，再從下到上順序排列。迭代也按自然順序進行。圖1 網(wǎng)格節(jié)點排列方法首先對節(jié)點取迭代初值。再按下式反復(fù)迭代其中上角標(biāo)（k）表示k次近似值，下腳標(biāo)i，j表示節(jié)點所在位置，即第i行第j列的交點。（在迭代過程中遇到邊界點式，需將邊界條件帶入。）所有內(nèi)節(jié)點滿足以下條件時迭代停止W是預(yù)定的最大允許誤差2.3.1、逐次超松弛法

10、高斯-賽德爾迭代法德變形。為加速收斂，相應(yīng)的迭代公式為稱為“加速收斂因子”，且1 <2。（逐次超松弛法收斂的快慢與有明顯關(guān)系。如何選擇最佳，是個復(fù)雜問題。）查閱資料了解到最佳值的計算方法，其值為（21）3、 問題簡述如圖所示，有一長方形的導(dǎo)體槽，a = 20，b = 5，設(shè)槽的長度為無限長，槽上有兩塊與槽絕緣的蓋板，電位分別為100V和50V，其它板電位為0V，求槽內(nèi)的電位分布。 4、 問題求解4.1、思路 此問題選用高斯-賽德爾迭代法，首先列出所有邊值條件，選擇合理的步長，根據(jù)高斯-賽德爾迭代法列出循環(huán)表達式，進而求出空間內(nèi)各點的電位值，畫出圖像，并通過解析法算出理論精確解，并與數(shù)值解

11、進行誤差分析。判斷數(shù)值解法的實用性。4.2、數(shù)值法高斯-賽德爾迭代法 4.2.1、仿真程序 程序流圖程序代碼%應(yīng)用高斯-賽德爾迭代法求矩形導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布clc %清除命令行窗口clear %清除工作區(qū)close allh=input('您所選擇的步長為：');hx=20/h+1;col_x=hx-2; %計算設(shè)置x方向網(wǎng)格節(jié)點數(shù)hy=5/h+1;line_x=hy-2; %計算設(shè)置y方向網(wǎng)格節(jié)點數(shù) v1=ones(hy,hx); %設(shè)置二維數(shù)組，且賦初值v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; % 給定y=a的邊界條件值v1(1,:)=ones(1,hx)*50;

12、% 給定y=0的邊界條件值for i=1:hy;v1(i,1)=0; % 給定x=0的邊界條件值v1(i,hx)=0; % 給定x=a的邊界條件值end%m=10;%w=2/(1+sqrt(1- cos(pi/m)*cos(pi/m); %計算松弛因子maxt=1; t=0; %設(shè)置誤差和最大誤差參量v2=v1;n=0;while(maxt>1e-6) %由v1迭代算出v2，迭代精度為10-6n=n+1; %計算迭代次數(shù)maxt=0;for i=2:hy-1 ; %從2到hy-1行循環(huán)for j=2:hx-1 ; %從2到hx-1列循環(huán)% v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+

13、1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(.i,j)*w/4; %超松弛差分方程v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)/4;% .高斯-賽德爾差分方程t=abs(v2(i,j)-v1(i,j); % 收斂精度判據(jù)if(t>maxt) maxt=t; endendendv1=v2;endn %打印迭代次數(shù) 11v2 %打印場域內(nèi)網(wǎng)格點電位的計算結(jié)果表figure(1);subplot(1,2,1),mesh(v2);title('三維曲面圖'); %畫三維曲面圖subplot(1,2

14、,2),contour(v2,25); title('等電位線圖'); %畫等電位線圖 4.2.2仿真結(jié)果 4.3、解析法分離變量法4.3.1、分析過程下面應(yīng)用靜電場中的分離變量法進行解析計算，可以得到問題的精確解設(shè)，為滿足 和的條件，取其中需滿足故有，則又由，可得區(qū)域內(nèi)電位通解可表示為利用邊界條件對上述方程兩邊同時乘以，并對從到積分，得為奇數(shù)時可得同理，應(yīng)用邊界條件可得將以上兩式聯(lián)立可解得所以電位解析解（21）其中4.3.2、仿真程序?qū)Υ私馕鼋膺M行畫圖，與數(shù)值解對比計算誤差程序代碼v_analysis=v2; % 定義v_analysis矩陣存放解析解各點數(shù)值error=ze

15、ros(hy,hx); % 定義error矩陣存放各點誤差值err_max=0; % 記錄解析解與數(shù)值解誤差的最大值M=80; % M為表達式中代替級數(shù)的上限值for i=2:hy-1for j=2:hx-1x=(j-1)*h;y=(i-1)*h; % 將矩陣位置轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)phi=0;for m=1:2:MCm=200/(m*pi);Bm=(400/(m*pi)-Cm*cosh(m*pi/4)/sinh(m*pi/4);phi_i=(Bm*sinh(m*pi*y/20)+Cm*cosh(m*pi*y/20)*sin(m*pi*x/20);phi=phi+phi_i; %phi為解析解表達式

16、，手工算出endv_analysis(i,j)=phi;error(i,j)=v_analysis(i,j)-v2(i,j);if err_max<abs(error(i,j)err_max=abs(error(i,j);err_x=x;err_y=y;endendendfprintf('(%.2f,%.2f)',err_x,err_y);err_maxfigure(2);%subplot(1,3,1) mesh(v2);%subplot(1,3,2)surf(v_analysis);%subplot(1,3,3) mesh(error);4.3.3仿真結(jié)果4.4、誤差分

17、析 通過對兩種計算結(jié)果相減，取絕對值，得到誤差4.4.1分析源代碼v_analysis=v2; % 定義v_analysis矩陣存放解析解各點數(shù)值error=zeros(hy,hx); % 定義error矩陣存放各點誤差值err_max=0; % 記錄解析解與數(shù)值解誤差的最大值M=80; % M為表達式中代替級數(shù)的上限值for i=2:hy-1for j=2:hx-1x=(j-1)*h;y=(i-1)*h; % 將矩陣位置轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)phi=0;for m=1:2:MCm=200/(m*pi);Bm=(400/(m*pi)-Cm*cosh(m*pi/4)/sinh(m*pi/4);phi_i

18、=(Bm*sinh(m*pi*y/20)+Cm*cosh(m*pi*y/20)*sin(m*pi*x/20);phi=phi+phi_i; %phi為解析解表達式，手工算出endv_analysis(i,j)=phi;error(i,j)=v_analysis(i,j)-v2(i,j);if err_max<abs(error(i,j)err_max=abs(error(i,j);err_x=x;err_y=y;endendendfprintf('(%.2f,%.2f)',err_x,err_y);err_maxfigure(2);%subplot(1,3,1) mesh

19、(v2);%subplot(1,3,2) mesh(v_analysis);%subplot(1,3,3)mesh(error);4.4.2、分析結(jié)果五、結(jié)論 本文在討論電磁場邊值問題求解時，將電磁場進行了理想化處理，以一簡單邊界條件的電磁場邊值問題為例，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，將場域離散為一些網(wǎng)格，運用差分原理，對場域內(nèi)偏微分方程及邊界上的邊界條件進行差分離散化處理，在通過差分運算求出場域內(nèi)電位值?？梢酝ㄟ^上述分析得到這樣一些有意義的結(jié)論：（1）使用有限差分法求解電磁場邊值問題是可行的，只要將網(wǎng)格取得足夠小，是可以將離散的點看成連續(xù)的。求出離散的數(shù)值解，更符合實際應(yīng)用的需要，而且隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，求解差分方程的過程變得簡單，使得有限差分法在電磁場問題計算中更具有優(yōu)勢。（2）場域內(nèi)取的節(jié)點越多，計算結(jié)果就越精確，當(dāng)節(jié)點劃分足夠多的時候，離散的點