2020高一數(shù)學(xué)必修一：指數(shù)函數(shù)和冪指函數(shù)(1對1講義)

1、3（1）n N， 且 n 1；nn aaa a 0a a 0（3）負(fù)數(shù)沒有偶次方根；3、我們規(guī)定：m（ 1 ） an nama4）零的任何次方根都是零。0,m,n N ,n 1 ；2）an10,m,n N ,n 1指數(shù)函數(shù)和冪指函數(shù)一、知識梳理1、有理數(shù)指數(shù)冪的分類6 4 7n個 48（ 1）正整數(shù)指數(shù)冪 an a a a L a （n N ）； （2）零指數(shù)冪 a0 1 （a 0） ； （ 3）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 a n 1n a 0,n Nan（4）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0, 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。2、有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)（1）aman am n a 0,m,n Q（2）amamn a 0,

2、m,n Q3） abambm a 0,b 0,m Q3、無理數(shù)指數(shù)冪 若a > 0， P是一個無理數(shù)，則 ap 表示一個確定的實數(shù)，上述有理指數(shù)冪的 運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用。4、根式1、根式的定義：一般地，如果 xn a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n 1,n N n a 叫做根式， n 叫做根指數(shù)， a 叫被開方數(shù)。2、對于根式記號 n a ，要注意以下幾點：2）當(dāng)n是奇數(shù)，則 n an a ；當(dāng)n是偶數(shù)，則例題精講】一）有理數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì) 例 1、把下列各式中的 a 寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式1）a5 256 ；（ 2） a 4 28 ；（3） a 3n 35m m,

3、n N例 2、計算 （1） 92=；3（2）16 2 =同步練習(xí)：1；（2）100 2 =2求值： 1、（1） 83 =2、下列式子中字母均為正數(shù)21111 5 1 31）（2a3b2）（ 6a2b3） （ 3a6b6） =；（2）（m4n8）8=要熟悉分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及運算?？偨Y(jié)：該部分主牢記mannmaa0,m,n N ,n 1m an1 m an 無理數(shù)指數(shù)冪 例 3 、化簡（式中字母都是正數(shù)） 2x 2 3y 31a 0,m,n N ,n 1 nma2x 2 3y 3同步練習(xí)：11化簡 4x 2 ?3x 23y3 ?y 3（三）根式例 4 、用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式： （1）a2

4、 ? a（2） a3?3 a2同步練習(xí)：1、用根式的形式表示下列各式 （ a 0）331） a4= ； （2） a 5=2、用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：3a?4a=2）題型二、 指數(shù)函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)定義：形如 y ax（a 0,且a 1） 稱指數(shù)函數(shù)2、指數(shù)函數(shù) y ax 在底數(shù) a>1 及 0<a<1 這兩種情況下的圖象和性質(zhì)如下表所示：a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域： R值域：（0,+ ）過點（ 0,1 ）, 即 x=0時 y=1在 R上是增函數(shù) , 當(dāng) x<0 時,0 <y <1; 當(dāng) x>0 時 , y>1在 R上是

5、減函數(shù) ,當(dāng) x<0時, y >1; 當(dāng) x>0 時,0 <y<1：指數(shù)函數(shù)的圖像例 1、在同一坐標(biāo)系中作出 y=2 和 y=（ 1 ） 兩個函數(shù)的圖象，并描述他們的圖像 2例2、設(shè)a,b,c,d都是不等于1的正數(shù)， y ax,y bx,y cx,y d x在同一坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則 a,b,c,d 的大小順序是（ ）A. a b c dD.b a c dB. a b d cC. b a d c總結(jié)：在函數(shù) y a例1、函數(shù) f（x） a2 1 x在R上是減函數(shù)，則 a的取值范圍是中，當(dāng) x=1時， y 與底數(shù)值相同，所以只需要畫出直線 x=1 與各個函數(shù)的

6、交點即可比較同步練習(xí)：1、函數(shù) y ax 2 1（a>0且 a 1） 恒過定點： 。二：函數(shù)的圖像變換例 1、為了得到函數(shù) y 9 3x 5的圖象，可以把函數(shù) y 3x 的圖象（）A向左平移 9個單位長度，再向上平移 5 個單位長度B向右平移 9個單位長度，再向下平移 5 個單位長度C向左平移 2個單位長度，再向上平移 5 個單位長度D向右平移 2個單位長度，再向下平移 5 個單位長度同步練習(xí)：1、已知 0 a1,b 1, 則函數(shù) y axb 的圖像必定不經(jīng)過（）A、第一象限B 、第二象限 C、第三象限 D、第四象限2、把函數(shù) y2x 向 個單位得到1y (1) x 1的圖像。2三：指數(shù)

7、函數(shù)的單調(diào)性例 2、比較 0.40.2,20.2,21.6 三數(shù)的大小1. 底數(shù)相同，指數(shù)不同，利用單調(diào)性比較大小 2. 底數(shù)不同，指數(shù)相同，利用商或者圖像比較 . 3. 底數(shù)不同指數(shù)也不同，利用介值法比較，通常引入中間變量“1-10”2例 3、 函數(shù) y 0.7 的單調(diào)遞減區(qū)間是 注：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律服從同增異減例4、已知(a2 2a 5)3x>(a2 2a 5)1x，則 x的取值范圍是 例 5、求函數(shù) y 1 6x 2 的定義域和值域同步練習(xí)：11、設(shè) y14 ，y28 ， y3( 2) ，則( )Ay3>y1>y2B y2>y1>y3 Cy1>y2

8、>y3 D y1>y3>y2ax，x>12、若函數(shù) f(x) a是 R上的增函數(shù)，則實數(shù) a 的取值42 x2，x 1范圍為 ( )A(1 ， ) B (1,8)C (4,8) D 4,8)3、若函數(shù) f (x) ax(a 1)在區(qū)間 0,2上的最大值與最小值之差為 a，求實數(shù) a的 值4、已知，求函數(shù)的值域25、求函數(shù) y 2 x 2x 2 的定義域，值域和單調(diào)區(qū)間26、解不等式： ax 2 x 2>a(a>0且a 1)四：指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的綜合例 1、函數(shù) y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在區(qū)間 1，1 上有最大值 14，則 a 的值是分析：令

9、 t ax可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后 t的取值 范圍同步練習(xí)：111、已知 x3,2 ，求 f (x) 1x 1x 1的最小值與最大值4 x 2x2、解不等式： 4x 2 x 2 12>023、若函數(shù) f(x) 3x ax a 的值域為 1, ) ，求實數(shù) a的取值范圍再找指數(shù)式之間4、若 2 2x 2x a 0恰有一個實數(shù)根，求 a 的取值范圍總結(jié)：指數(shù)加減型的最值或者方程不等式問題一般先統(tǒng)一底數(shù)， 的關(guān)系，采用換元法轉(zhuǎn)化為二次式來解決 五：指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)綜合例 1、若函數(shù)是奇函數(shù)，求 的值同步練習(xí)：1、已知函數(shù) f(x)xaxa(a>0 且 a 1)

10、.(1) 求 f(x) 的定義域和值域； (2) 討論 f(x) 的奇偶性； (3) 討論 f(x) 的單調(diào) 性.總結(jié)：函數(shù)的單調(diào)性奇偶性的判定方法對指數(shù)式仍然適用， 但是在運算量上會有 些復(fù)雜，需要重點提升運算能力 題型三、冪函數(shù)1、冪函數(shù)的概念：一般地，形如 y xa (a R) 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 a 為常 數(shù)概念解讀：冪函數(shù)的底數(shù)為自變量 冪函數(shù)的冪為因變量 冪函數(shù)的指數(shù)為常量2、冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)y=x2 y=x3 y=x1y x2-1 y=x定義域RRR0 ， )x|x R且x 0值域R0 ， )R0 ， )y| y R且y 0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0 ， )時， 增

11、；x ( ,0 時，減增增x(0,+ ) 時， 減；x (- ,0) 時， 減定點(1，1)一：冪函數(shù)的概念1例 1、已知 y(m2 2m 2) xm2 5、下列函數(shù)式中，滿足 f(x 1) f(x) 的是() (2n 3)是冪函數(shù)，求 m、n 的值同步練習(xí)已知冪函數(shù) f (x) k·x的圖象過點，則 k總結(jié)：冪函數(shù)的概念中，系數(shù)為 1、不含其他項。二：冪函數(shù)的性質(zhì)例 1、比較大小：11( 1)1.5 2 ,1.7 2 (2)( 1.2)3,( 1.25)3(3)5.25 1,5.26 1,5.26 2(4)0.53,30.5,log3 0.5例 2、當(dāng) x 為正數(shù)時，若 2 x ，

12、則 x 的取值范圍是x2<2x同步練習(xí)：21、討論函數(shù) y x5的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性，并畫出圖象的示意圖總結(jié)： 1在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負(fù)整指數(shù) 冪化為分式形式再去進(jìn)行討論；2對于冪函數(shù) y x ，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，<0， 0< <1由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即0，±1 三個曲線的形狀；對大豎小和 > 1 三種情況下曲線的基本形狀，還要注意 于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來記憶： “正拋負(fù)雙，橫”，即 >0( 1)時圖象是拋物線型； <0

13、 時圖象是雙曲線型； 圖象是豎直拋物線型；>1 時0<<1 時圖象是橫臥拋物線型課堂練習(xí)】1、化簡11 2 3212 16124122，結(jié)果是A、11212 32B、11 2 32、112 321322、3 6 a9 46 3 a94等于(A、a16B、a8C、a4D、 a1 3、若 a 1,b0, 且 aba b 2 2,則 abab 的值等于()A、6B 、2 C、2 D、24、函數(shù) f (x)2xa1在 R 上是減函數(shù)，則a 的取值范圍是()A、a1B 、a 2 C、a 2 D、 1 a 2A、1(x 1) B2、 x 1 C4、2xD、 2 x6、下列 f (x) (

14、1ax)2ga x 是()A、奇函數(shù) B、偶函數(shù) C、非奇非偶函數(shù)D 、既奇且偶函數(shù)7、已知 a b,ab 0，下列不等式(1)a2b2 ；(2) 2a 2b ；(3)1 1 13 13 ；(4) a3 b3 ； abA、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限11、F(x)2xf(x)(x 0)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于零，則 f(x)( )A、是奇函數(shù)B 、可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)C、是偶函數(shù)D 、不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)(5)a1b1 中恒成立的有()33A、1個B、 2 個C、3 個D、 4 個8、函數(shù) y2x 12x 1 是()2x 1A、奇函數(shù)B 、偶函數(shù)C、既奇又偶函數(shù)D 、

15、非奇非偶函數(shù)9、函數(shù) y1x1 的值域是()2x 1A、,1B 、 ,0 U 0,C、 1, D、( , 1)U 0,xb 的圖像必定不經(jīng)過10、已知 0)1,baa1,則函數(shù) y12、一批設(shè)備價值 a萬元，由于使用磨損，每年比上一年價值降低 b% ，則n年 后這批設(shè)備的價值為( )A、 na (1 b%) B 、a(1 nb%) C 、 a1 (b%)n D 、 a(1 b%)小結(jié)：圖象特征函數(shù)性質(zhì)a10a1a10a1向 x、 y 軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的定義域為 R圖象關(guān)于原點和 y 軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在 x 軸上方函數(shù)的值域為 R+函數(shù)圖象都過定點( 0，1)a0 1自左向右

16、看， 圖象逐漸上升自左向右看， 圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的 圖象縱坐標(biāo)都大 于1在第一象限內(nèi)的 圖象縱坐標(biāo)都小 于1x 0,ax 1x 0,ax 1在第二象限內(nèi)的 圖象縱坐標(biāo)都小 于1在第二象限內(nèi)的 圖象縱坐標(biāo)都大 于1x 0,ax 1x 0,ax 1圖象上升趨勢是 越來越陡圖象上升趨勢是 越來越緩函數(shù)值開始增長 較慢，到了某一 值后增長速度極 快；函數(shù)值開始減小 極快，到了某一 值后減小速度較 慢；課后作業(yè)：31化簡 3 ( 5)2 4的結(jié)果為C 5D5A 5B 52化簡 (3 6 a9 )4 (6 3 a9 )4 的結(jié)果為( )A a16Ba8Ca4Da22 x 1,x 0,3

17、設(shè)函數(shù) f(x)1,若f(x0) 1,則x0的取值范圍是x2,x 0.()A(1，1)B( 1， )C (, 2) (0,) D(, 1) (1,)4設(shè)0.9y1 40.9, y20.441 1.580.44,y3 (2) 1.5 ，則()Ay3>y1>y2By2>y1>y3Cy1>y2>y3Dy1>y3>y25當(dāng)x 2，2) 時， y=3x1的值域是()A 8，88B 8 ，8C1( 1 ， 9)D11 ， 999996在下列圖象中，二次函數(shù) y=ax2bxc 與函數(shù) y=( b ) x的圖象可能是()7已知函數(shù) f ( x)的定義域是(0 ，

18、 1) ，那么 f (2 x)的定義域是()A(0，1)B( 1 ， 1)C( ， 0)D(0 ， )23x3x8若 a2x 2 1，則axa x 等于()aaA2 2 1B22 2C2 2 1D 2 19設(shè) f(x)滿足 f(x)f(4x)，且當(dāng) x>2 時f ( x)是增函數(shù)，則 af (1.1 0.9)， b= f (0.9 1.1)，c f (log1 4)的大小關(guān)系是2()A a>b>c B b>a>cC a>c>b D c>b>a10若集合M y|y 2x,P y|y x 1，則 MP=( )Ay|y 1By|y 1Cy|y 0Dy| y 011若集合 Sy|y3x，xR，Ty|yx21，xR，則 ST是()ASBTCD有限集12下列說法中，正確的是()任取 xR都有 3x>2x當(dāng) a>1 時，任取 x R都有 ax>axy=( 3) x是增函數(shù)y=2| x| 的最小值為 1在同一坐標(biāo)系中， y=2x與 y=2x 的圖象對稱于 y 軸ABCD二、填空題：113計算： (1) 1 4 ( 2) 19求函數(shù) y=3 x2 2x 3 的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間 (1)0 9 2414函數(shù) y a x在 0,1 上的最大值與最小值的和為 3，則a15