布里淵區(qū)的選取

1、電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院課程設(shè)計論文課程名稱 固體與半導(dǎo)體物理 題目名稱 布里淵區(qū)的選取 學(xué) 號 2905301014 2905301015 2905301016 姓 名 李雄風(fēng) 壽曉峰 陳光楠 指導(dǎo)老師 劉爽 起止時間 2011.10.1-2011.10.15 2011年10月1日布里淵區(qū)的選取摘要本文著重介紹了布里淵區(qū)的選取。首先，本文給出了倒格子和布里淵區(qū)的相關(guān)概念；隨后，本文以一維的簡單格子、二維的有心長方格子、三維的面心立方格子和體心立方格子為例，詳細(xì)說明了布里淵區(qū)的選取過程；最后，本文介紹了制作面心立方格子和體心立方格子的第一布里淵區(qū)的實(shí)物模型的方法（附上實(shí)物模型）。一、相關(guān)概念介

2、紹1.1倒格子假設(shè)晶格原胞基失為a1、a2和a3，則對應(yīng)的倒格子原胞基失為b1、b2和b3，它們滿足如下關(guān)系：b1=2a2×a3b2=2a3×a1b3=2a1×a2其中=a1(a2×a3)為原胞體積。b1、b2和b3是不共面的，因而由b1、b2和b3也可以構(gòu)成一個新的點(diǎn)陣，我們稱之為倒格子。倒格子原胞基失也可以通過下式來定義（在處理一維和二維問題時我們將用到它）：biaj=2ij=2 當(dāng)i=j0 當(dāng)ij i,j=1,2,3倒格子的一個基矢是和晶格原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，而它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。倒格子是描述晶體結(jié)

3、構(gòu)周期性的另一種類型的格子，它是在波矢空間的數(shù)學(xué)表示，它的一個基矢對應(yīng)于正格子中的一族晶面，因此可將晶格中的一族晶面可以轉(zhuǎn)化為倒格子中的一個點(diǎn)，這在處理晶格的問題上有很大的意義。尤其是下面介紹的布里淵區(qū)，就是在倒格子下定義的。倒格子與布里淵區(qū)有著非常緊密的聯(lián)系。在正格子空間中，正格子原胞體積等于威格納-賽茲原胞體積；在倒格子空間中，倒格子原胞體積則等于第一布里淵區(qū)的體積。1.2布里淵區(qū)在倒格子空間中，以某一倒格點(diǎn)為原點(diǎn)，從原點(diǎn)出發(fā)作所有倒格點(diǎn)的位置矢量Kh的垂直平分面，這些平面把倒格子空間劃分成一些區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。其中最靠近原點(diǎn)的平面所圍成的區(qū)域稱作第一布里淵區(qū)，第一布里淵區(qū)界面與

4、次遠(yuǎn)垂直平分面所圍成的區(qū)域稱作第二布里淵區(qū)，以此類推，第n個布里淵區(qū)是從原點(diǎn)出發(fā)，跨過（n-1）個垂直平分面的所有區(qū)域的集合。由于布里淵區(qū)界面是某倒格矢Kh的垂直平分面，如果用k表示從原點(diǎn)出發(fā)，端點(diǎn)落在Kh的垂直平分面上的矢量，則其必滿足方程：kKh=12Kh2 (1)對于布里淵區(qū)的邊界方程（1）式，有如下說明：k從原點(diǎn)出發(fā)，端點(diǎn)落在Kh的垂直平分面上，由于kKh =kKhcos，而k的端點(diǎn)落在Kh的垂直平分面上必須有kcos=12Kh，所以可以得出布里淵區(qū)邊界方程為：kKh=12Kh2。其中，Kh稱為倒格矢，其滿足Kh=h1b1+h2b2+h3b3，b1、b2和b3為倒格子基矢，h1、h2和

5、h3為任意整數(shù)；k為任意波矢，其滿足k=kxi+kyj+kzk，i、j和k是倒格子空間的單位正交基矢，kx、ky和kz為倒格子空間的三個坐標(biāo)量。由此，便可根據(jù)邊界方程（1）式得出各個中垂面滿足的方程，最終求出各個布里淵區(qū)。各布里淵區(qū)體積相等，都等于倒格子的原胞體積。布里淵區(qū)具有周期性，每個布里淵區(qū)的各個部分，經(jīng)過平移適當(dāng)?shù)牡垢袷窴h以后，可以使一個布里淵區(qū)與另一個布里淵區(qū)重合。每個布里淵區(qū)都是以原點(diǎn)為中心對稱分布的。周期結(jié)構(gòu)中的一切波在布里淵區(qū)界面上產(chǎn)生布拉格反射，對于電子德布羅意波，這一反射可能使電子能量在布里淵區(qū)界面上產(chǎn)生不連續(xù)變化。根據(jù)這一特點(diǎn)，1930年L.-N.布里淵首先提出用倒格子

6、矢量的中垂面來劃分波矢空間的區(qū)域，從此被稱為布里淵區(qū)。選取布里淵區(qū)的步驟：（1）利用正格子基矢求出倒格子基矢；（2）通過倒格子基矢寫出倒格矢Kh；（3）利用邊界方程式（1）求出中垂面的方程；（4）距離原點(diǎn)最近的中垂面所圍成的區(qū)域即為第一布里淵區(qū)，次近的中垂面和最近的中垂面所圍成的區(qū)域則為第二布里淵區(qū)以此類推，便可求得各個布里淵區(qū)。二、布里淵區(qū)選取舉例2.1一維情況舉例在一維的情況下，簡單格子只有一種類型，而所有的復(fù)式格子都可以通過基元的選擇轉(zhuǎn)化為簡單格子，因此，只要以晶格常數(shù)為a的一維晶格為例求解布里淵區(qū)即可。（1）求倒格子基矢：晶格常數(shù)為a的一維晶格的原胞基失為a1=ai設(shè)倒格子基矢為b1，

7、則由a1b1=2易知：b1=2ai（2）寫出倒格矢：在倒格子空間中任取一個倒格點(diǎn)作為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則該空間中任意倒格點(diǎn)的位置均可由其對應(yīng)的倒格矢給出：Kh=h1b1=2ah1i h1=0,±1,±2,（3）求邊界方程：設(shè)倒格子空間中的任意波矢為：k=kxi 根據(jù)邊界方程式（1）有：2akxh1=12(2ah1)2距原點(diǎn)最近的兩個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=±2ai求得其對應(yīng)的兩條中垂線方程為：kx=±a由此即可確定第一布里淵區(qū)；距原點(diǎn)次近的兩個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=±4ai求得其對應(yīng)的兩條中垂線方程為：kx=±2a由此可確定第二布里淵

8、區(qū)；以此類推，可以確定各個布里淵區(qū)。（4）畫出布里淵區(qū)：各個布里淵區(qū)如圖2-1所示。圖2-1 一維簡單格子的布里淵區(qū)2.2二維情況舉例以二維有心長方晶格為例，設(shè)其晶格常數(shù)分別為a和b，且令b=2a，則該晶格與其晶胞和原胞如圖2-2所示。圖2-2 二維有心長方晶格示意圖（1）求倒格子基矢：由圖2-1易知，正格子的原胞基矢為：a1=ai a2=12ai+aj設(shè)倒格子基矢為b1和b2，由其定義，有：a1b1=2a2b1=0 a1b2=0 a2b2=2由此解得倒格子基矢為：b1=2ai-aj b2=2aj（2）寫出倒格矢：在倒格子空間中任取一個倒格點(diǎn)作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則倒格子基矢b1和b2分別如

9、圖2-2所示，該空間中任意倒格點(diǎn)的位置均可由其對應(yīng)的倒格矢給出：Kh=h1b1+h2b2=2ah1i+a2h2-h1j h1,h2=0,±1,±2,（3）求邊界方程：設(shè)倒格子空間中的任意波矢為：k=kxi+kyj 容易找到，距離原點(diǎn)最近的6個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=±2ai±aj Kh=±2aj 于是利用（1）式，可以求得距離原點(diǎn)最近的6條中垂線方程為：2kx+ky=±52a 2kx-ky=±52a ky=±a距離原點(diǎn)次近的6個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=±2ai±3aj Kh=±4ai

10、再次利用（1）式，可以求得距離原點(diǎn)次近的6條中垂線方程為：kx=±2a 2kx+3ky=±132a 2kx-3ky=±132a以此類推，可以由近到遠(yuǎn)地求出各個倒格點(diǎn)所對應(yīng)的中垂線方程，即布里淵區(qū)的邊界方程。（4）畫出布里淵區(qū)：根據(jù)求得的中垂線方程以及布里淵區(qū)的劃分原則，我們可以在倒格子空間中將布里淵區(qū)表示出來，圖2-3給出了一些布里淵區(qū)的示意圖。圖2-3 倒格子空間和布里淵區(qū)2.3三維情況舉例2.3.1面心立方格子設(shè)面心立方的晶格常數(shù)為a，則有：（1）求倒格子基矢：面心立方的正格子基矢為：a1=a2(j+k) a2=a2(k+i) a3=a2(i+j)設(shè)倒格子基矢

11、分別為b1、b2和b3，則由其定義，有：b1=2a1(a2×a3)a2×a3=2a(-i+j+k)b2=2a1(a2×a3)a3×a1=2ai-j+k b3=2a1(a2×a3)a1×a2=2ai+j-k （2）寫出倒格矢：在倒格子空間中任取一個倒格點(diǎn)作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則該空間中任意倒格點(diǎn)的位置均可由其對應(yīng)的倒格矢給出：Kh=h1b1+h2b2+h3b3=2ah2+h3-h1i+2ah1-h2+h3j+2ah1+h2-h3kh1,h2,h3=0,±1,±2,（3）求邊界方程：設(shè)倒格子空間中的任意波矢為：k=k

12、xi+kyj+kzk 容易找到，距離原點(diǎn)最近的8個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=2a(±i±j±k)距離原點(diǎn)次近的6個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=±4ai Kh=±4aj Kh=±4ak于是利用（1）式，可以求得這14個倒格矢的中垂面方程為：±kx±ky±kz=3a kx=±2a ky=±2a kz=±2a（4）畫出布里淵區(qū)：上面所求得的14個中垂面剛好圍成了面心立方的第一布里淵區(qū)，它是一個被截去頂角的正八面體，而且可以證明，截去頂角后的八個正三角形面變成了八個正六邊形面，如圖2-4所

13、示。圖2-4 面心立方的第一布里淵區(qū)2.3.2體心立方格子設(shè)體心立方的晶格常數(shù)為a，則有：（1）求倒格子基矢：體心立方的正格子基矢為：a1=a2(-i+j+k) a2=a2i-j+k a3=a2i+j-k設(shè)倒格子基矢分別為b1、b2和b3，則由其定義，有：b1=2a1(a2×a3)a2×a3=2a(j+k)b2=2a1(a2×a3)a3×a1=2ak+ib3=2a1(a2×a3)a1×a2=2ai+j（2）寫出倒格矢：在倒格子空間中任取一個倒格點(diǎn)作為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則該空間中任意倒格點(diǎn)的位置均可由其對應(yīng)的倒格矢給出：Kh=h1b1

14、+h2b2+h3b3=2ah2+h3i+2ah1+h3j+2ah1+h2k h1,h2,h3=0,±1,±2,（3）求邊界方程：設(shè)倒格子空間中的任意波矢為：k=kxi+kyj+kzk 容易找到，距離原點(diǎn)最近的12個倒格點(diǎn)的倒格矢為：Kh=2a±j±k Kh=2a±k±i Kh=2a±i±j于是利用（1）式，可以求得這12個倒格矢的中垂面方程為：±ky±kz=2a ±kz±kx=2a ±kx±ky=2a（4）畫出布里淵區(qū)：上面所求得的12個中垂面剛好圍成了體

15、心立方的第一布里淵區(qū)，它是一個正十二面體，如圖2-5所示。圖2-5 面心立方的第一布里淵區(qū)三、三維布里淵區(qū)的實(shí)物模型制作3.1面心立方第一布里淵區(qū)實(shí)物模型制作如上所述，面心立方的第一布里淵區(qū)是一個去頂角正八面體，為了得到其展開圖，可以先畫出正八面體的展開圖。正八面體是由八個全等的正三角形面構(gòu)成的，容易得到其展開圖如圖3-1所示。圖3-1 正八面體展開圖下面，由于截去了六個頂角，將多出六個正方形面，而且原來的八個正三角形面變成了八個正六邊形面，故這個去頂角正八面體的展開圖如圖3-2所示。圖3-2 去頂角正八面體展開圖在硬紙上畫出如圖3-2的圖形，剪下粘合，就可以得到面心立方第一布里淵區(qū)的實(shí)物模型

16、。（具體的模型參見實(shí)物附件1）3.2體心立方第一布里淵區(qū)實(shí)物模型制作如上所述，體心立方的第一布里淵區(qū)是一個正十二面體，它由十二個全等的菱形組成。為了得到正十二面體的展開圖，首先要確定每個菱形的對角線長。圖3-3 求菱形內(nèi)角示意圖如圖3-3所示，以菱形ACBD為研究對象，連接AB和CD交于F，過F作FEAO。由于OA和OB分別位于y軸和x軸上，且觀察得OA=OB，因此ABO=45°，又F為菱形中心，由菱形性質(zhì)知，F(xiàn)E為AOB的中位線，因此，F(xiàn)E=AE且AFE=45°，不妨設(shè)FE=AE=x，則可得AF=2x另一方面，容易觀察得到：EF=CF=DF，因此，該菱形的兩條對角線長分別

17、為AB=2AF=2x，CD= 2CF=2x，于是，這個菱形被唯一確定下來。下面，由圖3-4給出了正十二面體的展開圖。圖3-4 正十二面體展開圖在硬紙上畫出如圖3-4的圖形，剪下粘合，就可以得到體心立方第一布里淵區(qū)的實(shí)物模型。（具體的模型參見實(shí)物附件2）四、參考文獻(xiàn)1 楊亞培 張曉霞.光電物理基礎(chǔ)M.成都：電子科技大學(xué)出版社，2009.2 陳長樂.固體物理學(xué)（第2版）M.北京：科學(xué)出版社，2007.電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院課程設(shè)計（論文）教師評閱表課程名稱 固體與半導(dǎo)體物理 題目名稱 布里淵區(qū)的選取 學(xué) 號 2905301014 2905301015 2905301016 姓 名 李雄風(fēng) 壽曉峰 陳光楠 評閱標(biāo)準(zhǔn)得分教師評閱學(xué)習(xí)態(tài)度（學(xué)習(xí)態(tài)度能否認(rèn)真，設(shè)計（論文）有無抄襲情況）（010分）工作量（能否很好地完成任務(wù)書規(guī)定的工作量，設(shè)計內(nèi)容是否全面）（010分）規(guī)范要求（圖形、表格、公式的表達(dá)是否清晰、正確，論文的書寫是否符合規(guī)范化要求）（015分）實(shí)際能力（能否