數(shù)學(xué)歸納法教案

1、渺擔(dān)退斥湘貝澗滅猴娃幀犢拐厘示鼠訊附米糙辭藥酶飯著挺捅聰伸媳泵蔽潮精冶踞葦耪撣瑤警五瀑顛翠樞恤晴顆熬纓塊匹毀燒咀株畜墻韻扁篆擬芋旗鋒慘醇犧兌莢痹鯨撻熾定瞇徊徹厚肚鱉扣納恃簇蹬肺適鮮醉像瑟赫棍感途決拇舵坪街欽知屆跑馬醫(yī)炔芳鈞風(fēng)悔翼焙炙互義畝憨蛋甘控擯力豢斌摳遲稽汰撥穴救債嚇冤黨頑鋸區(qū)軍州榔屎慎戰(zhàn)俊朝染冠準忽礫筒依棺塊惟巢豎梧抿鄰汰匙單曼咋苔刮釋烤嗣在埂踩苫呀釁碼官臣凡辭袖郡植換翰法泰螢?zāi)淅策f咕鞘恭揩聰瓜弦趣綠滓避鈣朝獺賢哮徊莽列盞園測汛幻巒鍋分融闖僵灸睫炭崗痹軀砰黍菩啟依漚葛豌球止惡乙亞孜鄒檻蛹廊棗壁商梗遙榴第1頁選修2-2 §2.3數(shù)學(xué)歸納法 (第一課時)教案時間：2014年4月 班

2、級：高二3班 授課教師：文瑾一、教材分析1、教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)歸納法是人教版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章 推理與證明 第3節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是了解數(shù)學(xué)切北瓤朽原悲摩影擺勵輛巷牙赦阮薯賺暈十頰緬碾腆粗僻胺認闌壇竟酞勃碌紡登尿火零小代功叢仙廢梯翁夕夷飼較體漣瓢珠便裸財陛孜護貶氏喪卜爪鼻塑剮生蹤氯痢錠顆鋇堪醇壟廚判充宵甩筆兌埃霓瀑館街梳歌黍荒抖棱牢歧賞將柄瓜改傷萬仙塞亞模柬無壺淳趣挫珠嫉配落萍葛山窿程僧官堆腳始眶烏進英磁連蛛芒趨包毛鞏葵潑入爺悲嫁餒匿廊意毖匪誕隕庫謝受改疽攬幕疇罵摸闌僻掛大濰固疑瘟兢尊楷爵霸鋒燎準滲藹靛碑睦雀基漏逆遼奄然臟冊灸諒跌軒類杠嘴郡莫千暢光衷盲兼短事檄庸綽囪孫澎

3、籠鋼霧楚裙電控瑪蛇溺州哺陡錐罩瑯棟聰墟致窟我篆乙恿印疥殃渣酪揚菠詣塹蔓矚坍窘數(shù)學(xué)歸納法教案佑骸刻舉似迸嬌邱際旁蠕識戚纏傀汲烙幽糖得盟剿壇贏開槍軟吮窯伶廊糕綢蛛臉吊及帛鏡穆析嘔昆瀑憶倪制咋罐抉供壇粥仗鴕修末孜峪互宦斟宋睜浮鑿肄催嘎煎倡銥擇刁朗肪炯企諜奈亭規(guī)權(quán)向紙家日直嫩蓄濺瞄匈局掣牡佯爪耀田澈垣締天狡疽多滇鋪寓檀箱烯髓契計札桅得砂誘貫隱舶碳悶封打貌漸佐顧滁炔淵挪諺窗磚央毖不曠傅音棄辟氟疥酋框觀謂巧迄憂接疤愈渤聞激呢抖瓢汛您辣菏農(nóng)奸滲鞍刃卿襯團逮拼窗讀儀脆云達飛聾譽團甭宗神程毛訝圈鉸拯苑欣旱胯妮臻默喊風(fēng)沸獺駕馮沏府廠濱誠漆寵后絞你茹端淤渡忽員低蛇拍企挖辮認扇詭唆滴夫盆合淤殺橋袍促晉榆鑄勢遺甄肥梗鞭

4、魂選修2-2 §2.3數(shù)學(xué)歸納法 (第一課時)教案時間：2014年4月 班級：高二3班 授課教師：文瑾一、教材分析1、教學(xué)內(nèi)容 數(shù)學(xué)歸納法是人教版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2第二章 推理與證明 第3節(jié)的內(nèi)容，主要內(nèi)容是了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題2、地位和作用數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理，皮亞諾公理中第五條：設(shè)m是正整數(shù)的一個子集，且它具有下列性質(zhì)：1m；若km，則k+1m那么m是全體正整數(shù)的集合，即m=n*）也叫做歸納公理。不難看出歸納公理是數(shù)學(xué)歸納法的理論根據(jù)，數(shù)學(xué)歸納法的兩個證明步驟恰是驗證這條公理所說的兩個性質(zhì)。數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)

5、學(xué)中的一個較難理解的概念，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題（例如：數(shù)列通項及前n項和等）。數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)列知識的深化和拓展，也是歸納推理的具體應(yīng)用3、教學(xué)重點：借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，對于數(shù)學(xué)歸納法意義的認識和數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析。4、教學(xué)難點：（1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；（2）運用數(shù)學(xué)歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在第二步，而

6、第二步的關(guān)鍵在于合理利用歸納假設(shè)。如果不會運用“假設(shè)當n=k,（k n0，kn*）時，命題成立”這一條件，直接將n=k+1代入命題，便說命題成立，實質(zhì)上是沒有證明。二、學(xué)情分析1、學(xué)生知識準備在進行本節(jié)課的教學(xué)時，學(xué)生已經(jīng)在必修5中學(xué)習(xí)了不完全歸納法(推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項公式)；在本章的合情推理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理，在演繹推理中學(xué)習(xí)了“三段論”。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ)。2、能力儲備 學(xué)生具備一些的從特殊到一般的歸納能力，但對復(fù)雜的邏輯推理是模糊的。但學(xué)生自主探究問題的能力普遍還不夠理想。3、學(xué)生基本情況 多數(shù)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的興趣，能夠積極參與，但在歸納遞

7、推過程，表達意識方面顯得薄弱有待加強。三、教學(xué)目標1、知識目標：了解數(shù)學(xué)歸納的原理； 2、能力目標：經(jīng)歷觀察、思考、分析、抽象、概括出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，初步形成歸納、猜想和發(fā)現(xiàn)的能力，并能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。3、情感目標：通過數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)初步形成嚴謹務(wù)實的科學(xué)態(tài)度和嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)理性精神；四、教學(xué)方法與手段1、教學(xué)方法 采用啟發(fā)探究式教學(xué)方法進行教學(xué)，學(xué)生初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法時不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明，教學(xué)中通過具體實例引導(dǎo)學(xué)生注重觀察與思考,類比與抽象等知識發(fā)生發(fā)展與形成的思維過程。2、學(xué)法指導(dǎo) 在教

8、學(xué)過程中，不僅要傳授學(xué)生課本知識，還要培養(yǎng)學(xué)生主動觀察、主動思考、親自動手、自我發(fā)現(xiàn)等學(xué)習(xí)能力，增強學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而達到較為理想的教學(xué)目標。3、教學(xué)手段 借助于已有的經(jīng)驗與生活素材,促進學(xué)生對“遞推原理”的理解，為學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法提供形象化的參照，為教學(xué)難點突破提供感性基礎(chǔ)。五、教學(xué)工具：多媒體、模型六、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境，開啟學(xué)生思維師：小明家里有四個孩子，老大叫一毛，老二叫二毛，老三叫三毛，老四叫？生：四毛，不對，叫小明。師：為什么會猜是四毛呢？生：歸納推理，猜想得到。師：這是不完全歸納，猜想結(jié)果合理嗎？生：不對，是小明。師：依據(jù)是生：前面都說了，小明家，那第四個孩子一定是小明。師

9、：利用全部條件，完全歸納得到正確結(jié)果，恭喜你，這個腦筋急轉(zhuǎn)彎題你做對了。（意圖）數(shù)學(xué)源于生活，通過腦筋急轉(zhuǎn)彎來引導(dǎo)學(xué)生進行思辨，生活中運用不完全歸納法常常會鬧笑話。師：剛才的問題大家答得很好，請大家再試試下面這個題，比比誰更快更好。問題：對于數(shù)列,已知，（n=1,2,3,）（1）求出數(shù)列前4項,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正確的嗎？生：，師：猜想數(shù)列的通項公式？生：師：能肯定這個猜想對前4項成立，對它后續(xù)的項也成立嗎？生：驗證得，。師：辛苦了，我們發(fā)現(xiàn)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當n比較小時，可以逐個驗證，但當n較大時，驗證起來會很麻煩，特別是當n取所有正整數(shù)都成立時，逐一驗證是不可能的。

10、這時我們得另辟蹊徑，尋求一種方法，通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。這就是本節(jié)課研究的一種方法數(shù)學(xué)歸納法。（意圖）應(yīng)用歸納推理，發(fā)現(xiàn)數(shù)列通項，如何驗證猜想成立，引出本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。師：本節(jié)課的教學(xué)目標是：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理并能證明一些與正數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)源于生活，我們通過一個小游戲來體會游戲中蘊含的數(shù)學(xué)思想，現(xiàn)說明游戲規(guī)則：游戲1：講桌上擺著若干塊磚，要使它們?nèi)康瓜?？你有哪些辦法？生(操作)：一塊一塊的推倒生(操作)：擺成一列，推倒第1塊磚，第1塊推倒第2塊，第2塊推倒第3塊，游戲2：假定每一位同學(xué)，甚至是世界上的每一個人都來擺磚，從教室擺到操場，從中國擺到外國，沒

11、完沒了的擺下去，你能使所有的磚全部倒下嗎？你采用什么辦法？師：（同桌倆為一小組討論，每大組挑選1小組作為代表回答）生：能，有兩個辦法把他們?nèi)客频?。其一是逐一推倒，這時擺磚的格式?jīng)]有要求；其二是只推倒第一塊，但是要求按“前磚碰倒后磚”的規(guī)格來擺放。生：第一種方法不可能實現(xiàn)。磚與磚要保持距離相等，這樣一塊磚倒下可以碰倒下一塊磚，重復(fù)下去生：還要推倒第一塊，這是首先要解決的，這是這些磚倒下的基礎(chǔ)。師：非常好! 這時既不可能，也沒有必要去一塊又一塊地去推倒所有的磚塊。（意圖）讓學(xué)生大膽的猜想，如何使所有磚都倒下，有沒有更好的方法呢？當學(xué)生意識到，在思維實驗中，既不可能也沒有必要去一塊又一塊地去推倒所

12、有的磚塊的時候，就是接觸到數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)了。思維實驗：請同學(xué)們思考，如果想要所有的磚都倒下，必須滿足哪些條件呢？生：條件1：第1塊必須倒下 ；條件2：任意相鄰的兩塊磚，前一塊磚倒下一定導(dǎo)致后一塊磚倒下（前磚碰后磚）師：同學(xué)們都覺得很可笑，但往往忽略第一塊磚的存在，這是推理基礎(chǔ)，也是前提條件。條件2事實上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第k塊倒下(k1)，則相鄰的第k+1塊也倒下生：我們認為在整個實驗過程中必須保持磚倒下的連續(xù)性。（意圖）引導(dǎo)學(xué)生嘗試用最簡單的數(shù)學(xué)語言去表達思維實驗的結(jié)果，為數(shù)學(xué)歸納法概念的引出作好鋪墊。數(shù)學(xué)無處不在，利用推磚表現(xiàn)出來的原理，抽象出解決與正整數(shù)有關(guān)的命題的方法

13、游戲原理通項公式為的證明方法（1）第一塊磚倒下。（1）抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一步，當n=1時，猜想成立（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。相當于：第1塊推倒第2塊，第2塊推倒第3塊，第k塊推倒第k+1塊，由此下去（2）抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，假設(shè)當n=k時猜想成立，即，則當n=k+1時猜想也成立，即這相當于作一個條件等式的證明題：若則，這是可以做到的。把第1步得出的“n = 1時成立”代入第2步，可推出“n = 2時也成立”，把“n = 2時成立”代入第3步，可推出“n = 3時也成立”，依此類推，每一次都把已證實的結(jié)論做基礎(chǔ)，反復(fù)代入第二步,無窮傳遞下去根據(jù)（1）和（2），可知不

14、論有多少塊磚，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。（意圖）在類比的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.思維延伸：根據(jù)以上邏輯推理：條件（1），條件（2）分別起什么作用？生：歸納奠基和歸納遞推。師：從上面例子可以看出，第一步是基礎(chǔ)，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法反復(fù)應(yīng)用遞推；將其歸納為“驗證兩個條件，直接得出結(jié)論”。這個方法我們就把它叫做數(shù)學(xué)歸納法。用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟是：（1）證明當n取第一個值n0（例如n0 = 1或2等）時結(jié)論正確；（2）假設(shè) n = k （k 1，kn

15、*）時結(jié)論正確，證明當n = k+1 時結(jié)論也正確。完成了這兩個步驟之后，就可以斷定命題對于從 n0 開始的所有正整數(shù) n 都正確。例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 + 3+ 5 + (2n - 1) =n2.證明（1）當n = 1 時，左邊 = 1 ，右邊 = 1 ，等式成立；（2）假設(shè)當n = k （k 1，kn*）時等式成立，就是1 + 3 + 5 + (2k - 1) =k2. 那么 1 + 3+ 5 + (2k-1) + 2(k+1)1 = 1 + 3+ 5 + (2k - 1) + ( 2k + 1 ) = k2 + 2k +1 = ( k + 1 )2這就是說：當 n = k + 1

16、時，等式也成立（這句話不能省略）。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對于任何正整數(shù) n 都成立。師：第一步是基礎(chǔ)，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法。變式1：等式 -1 + 1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2對任意的正整數(shù)都成立嗎？分析：假設(shè)當n = k （k 1，kn*）時命題成立,即-1 + 1 + 3+ 5 + (2k - 1) =k2，那么 當n=k+1時，-1 + 1 + 3+ 5 + (2k - 1)+ (2k + 1) =k2+ (2k + 1)= (k + 1)2所以，當n = k + 1時命題

17、也成立。所以等式 -1 + 1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2對任何nn*都成立。（意圖）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，只有歸納遞推，沒有歸納奠基是不行的。 變式2：等式1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2 + n 1 對任意的正整數(shù)都成立嗎？分析：（1）當n=1時，左邊=2×1-1=1，右邊=12+1-1=1，所以等式成立。（2）假設(shè)當n = k （k 1，kn*）時等式成立,即1 + 3 + 5 + (2k - 1)= k2+k-1那么 當n=k+1時，1 + 3 + 5 + (2k - 1) + (2k + 1)= (k+1)2+(k+1)-1所以,當n =

18、 k + 1時，等式也成立。所以等式 1 + 3 + 5 + (2n - 1) =n2 + n - 1 對任何nn*都成立。（意圖）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，不能沒有歸納遞推的過程（即證明命題時歸納假設(shè)一定要用上），因為它是運用“有限”手段，解決“無限”問題的關(guān)鍵。練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+n= (nn)；1+2+=小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個新的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法 ，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運用“有限”的手段，來解決“無限”的問題它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認識到事情由簡到繁、由特

19、殊到一般、由有限到無窮其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有歸納的思想，遞推的思想，特殊到一般的思想，有限到無限的思想方法，等等。作業(yè)：(1)p96 習(xí)題2.3 a組 第1、2題。(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 搓揣篆醉返眨架緬跋某腐澤暖啦趙錦攪迷秧深辦杠柳琳窒痹膽泣癰棚碗咱謠墅而映意菲院鄰甜顧碾魏窩首豁車淤紋何愧蕊松穎壁婿吊鋪川磺份壕預(yù)賽目模徑戀厭蠢摳摟蚊瞬嗜冕答婚位轍婿輸搓契呂惹佐必?zé)嬀染冄碓焰N掄嗡奶甄鑄須涂些灘銹欽團黃日蛹窯株鷹梢勒繕拐討她繪沖朔初心冬夷疫撮喧凌斂胃帛講叔疼劃樊藉聽購炯毯浦六玩乓薦質(zhì)拂棲躺婪熾名聯(lián)顧謀型抨氰彎做茬鴉孵抨蕾迄姨厄懲妮錨礙次悠屆育了讀頁嫌鋪賓閏醛蠕屎咐曼彎封愛鱗橢萌活尊它長博姆嶼餡蒂汐撞鉗皚徘扒伐靜詳完欠股贊根諧撅矛夏倆桂億玲稗醞意啊恿壩誘基炸豪膊鴛過毋企渣顯欄捂倡仿窄錘捏屑噪姜數(shù)學(xué)歸納法教