勾股定理單元測試題(共18頁)

1、勾股定理單元測試題一、相信你的選擇1、如圖，在RtABC中，B90°，BC15，AC17，以AB為直徑作半圓，則此半圓的面積為（ ）A16B12C10D82、已知直角三角形兩邊的長為3和4，則此三角形的周長為（）A12B7C12或7D以上都不對3、如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m，現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A，使梯子的底端A到墻根O的距離等于3m同時梯子的頂端B下降至B，那么BB（ ）A小于1mB大于1mC等于1mD小于或等于1m4、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外

2、面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm二、試試你的身手5、在RtABC中，C90°，且2a3b，c2，則a_，b_6、如圖，矩形零件上兩孔中心A、B的距離是_（精確到個位）7、如圖，ABC中，AC6，ABBC5，則BC邊上的高AD_8、某市在“舊城改造”中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要 元三、挑戰(zhàn)你的技能9、如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，以對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去（

3、1）記正方形ABCD的邊長為a1=1，按上述方法所作的正方形的邊長依次為a2，a3，a4，an，請求出a2，a3，a4的值；（2）根據(jù)以上規(guī)律寫出an的表達式10、如圖，某公園內(nèi)有一棵大樹，為測量樹高，小明C處用側(cè)角儀測得樹頂端A的仰角為30°，已知側(cè)角儀高DC1.4m，BC30米，請幫助小明計算出樹高AB（取1.732，結(jié)果保留三個有效數(shù)字）11、如圖，甲船以16海里/時的速度離開港口，向東南航行，乙船在同時同地向西南方向航行，已知他們離開港口一個半小時后分別到達B、A兩點，且知AB30海里，問乙船每小時航行多少海里？12、去年某省將地處A、B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，

4、為了方便A、B兩地師生的交往，學(xué)校準備在相距2km的A、B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測量，在A地的北偏東60°方向、B地的西偏北45°方向C處有一個半徑為0.7km的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？（1.732）參考答案與提示一、相信你的選擇1、D（提示：在RtABC中，AB2AC2BC217215282，AB8S半圓R2×（）28故選D）；2、C（提示：因直角三角形的斜邊不明確，結(jié)合勾股定理可求得第三邊的長為5或，所以直角三角形的周長為34512或347，故選C）；3、A（提示：移動前后梯子的長度不變，即RtAOB和RtA

5、OB的斜邊相等由勾股定理，得32BO22272，BO，6BO7，則OBB1故應(yīng)選A）；4、D（提示：筷子在杯中的最大長度為17cm，最短長度為8cm，則筷子露在杯子外面的長度為2417h248，即7cmh16cm，故選D）二、試試你的身手5ab，b4（提示：設(shè)a3k，b2k，由勾股定理，有 （3k）2（2k）2（2）2，解得ab，b4）；643（提示：做矩形兩邊的垂線，構(gòu)造RtABC，利用勾股定理，AB2AC2BC21923921882，AB43）；73.6（提示：設(shè)DCx，則BD5x在RtABD中，AD252（5x）2，在RtADC中，AD262x2，52（5x）262x2，x3.6故AD4

6、.8）；8、150a三、挑戰(zhàn)你的技能9、解析：利用勾股定理求斜邊長（1）四邊形ABCD是正方形，ABBC1，B90°在RtABC中，AC同理：AE2，EH2，即a2，a32，a42（2）an（n為正整數(shù)）10、解析：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得過點D作DEAB于點E，則EDBC30米，EBDC1.4米設(shè)AEx米，在RtADE中，ADE30°，則AD2x由勾股定理得：AE2ED2AD2，即x2302（2x）2，解得x1017.32ABAEEB17.321.418.7（米）答：樹高AB約為18.7米11、解析：本題要注意判斷角的大小，根據(jù)題意知：1245°

7、;，從而證明ABC為直角三角形，這是解題的前提，然后可運用勾股定理求解B在O的東南方向，A在O的西南方向，所以1245°，所以AOB90°，即AOB為RtBO16×24（海里），AB30海里，根據(jù)勾股定理，得AO2AB2BO2302242182，所以AO18所以乙船的速度18÷18×12（海里/時）答：乙船每小時航行12海里12、解 如圖所示，過點C作CDAB，垂足為點D，由題意可得CAB30°，CBA45°，在RtCDB中，BCD45°，CBABCD，BDCD在RtACD中，CAB30°，AC2CD設(shè)C

8、DDBx，AC2x由勾股定理得ADxADDB2，xx2，x1即CD10.7320.7，計劃修筑的這條公路不會穿過公園1等邊三角形的高是h，則它的面積是(        ) A h2B h2C h2D h2答案：B說明：如圖，ABC為等邊三角形，ADBC，且AD=h，因為B=60º，ADBC，所以BAD=30º；設(shè)BD=x，則AB=2x，且有x2+h2=(2x)2，解之得x= h，因為BC=2BD= h，所以SABC= BCAD= hh= h2，所以答案為B2直角三角形的周長為12cm，

9、斜邊長為5cm，其面積為(        )A 12cm2      B 10cm 2      C 8cm2      D 6cm2答案：D說明：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為xcm、ycm，依題意得：由得x+y=7，由得(x+y)2=72，即x2+y2+2xy=49，因為x2+y2=25，所以25+2xy=49，即xy=1

10、2，這樣就有S= xy = ×12=6，所以答案為D3下列命題是真命題的個數(shù)有(        )直角三角形的最大邊長為 ，短邊長為1，則另一條邊長為已知直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1：2，則它的斜邊長為在直角三角形中，若兩條直角邊長為n21和2n，則斜邊長為n2+1等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5A1個      B2個      C3個    

11、60; D4個答案：D說明：因為另一條直角邊長的平方為( )212=31=2，所以另一條邊長為 是正確的；設(shè)兩直角邊為k和2k，而由已知 k2k=2，所以k= ，故兩直角邊長為 ，2 ，所以斜邊長為 = ，故正確；因為(n21)2+(2n)2=n42n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2，故正確；由面積、底邊上的高可得底邊為6，故底邊的一半為3，所以斜邊長為 =5，故正確；所以答案為D4直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長為m，則這個三角形的周長是(        ) A + 2mB

12、 +mC2( +m)D2 +m答案：C說明：如圖，設(shè)AC=x，BC=y，則 xy=S；因為CD為中線，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x2+y2=( 2m)2=4m2，(x+y)2=x2+2xy+y2=(x2+y2)+2xy=4m2+4S，即x+y= ，所以ABC的周長為：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案為C5如圖，已知邊長為5的等邊ABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿著EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且EDBC，則CE的長是(        ) 

13、A10 15B105 C5 5D2010答案：D說明：設(shè)DC=x，因為C=60º，EDBC，所以EC=2x因為AEFDEF，所以AE=DE=52x由勾股定理得：x2+(52x)2=(2x)2，即x220x+25=0，解得x= =10±5因為DC<BC=5，所以x=10+5 應(yīng)舍去，故x=105 ，所以CE=2x=2(105 )=2010 ，答案為D6如果直角三角形的三條邊長分別為2、4、a，那么a的取值可以有(        )A0個    

14、0; B1個      C2個      D3個答案：C說明：若a為斜邊長，則由勾股定理有22+42=a2，可得a=2 ；若a為直角邊長，則由勾股定理有22+a2=42，可得a=2 ，所以a的取值可以有2個，答案為C7小明搬來一架2.5米長的木梯，準備把拉花掛在2.4米高的墻上，則梯腳與墻腳的距離為(        )米A0.7      B 0.8

15、60;    C0.9      D1.0答案：A說明：因為墻與地面的夾角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯腳與墻腳的距離為 = = =0.7，答案為A8一個直角三角形的斜邊長比直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為(        )A6      B 8      C10    

16、60; D12答案：C說明：設(shè)直角邊長為x，則斜邊為x+2，由勾股定理得x2+62=(x+2)2，解之得x=8，所以斜邊長為8+2=10，答案為C 9如圖，在ABC中，若AB>AC，AE為BC上的中線，AF為BC邊上的高，求證：AB2AC2=2BC·EF證明：因為AFBC，所以在RtAFB中，由勾股定理得：AB2=AF2+BF2在RtAFC中，由勾股定理得：AC2=AF2+FC2所以AB2AC2=BF2FC2=(BF+FC)(BFFC)=BC(BFFC)因為BF=BE+EF，F(xiàn)C=ECEF，BE=EC所以BFFC=2EF所以AB2AC2=BC2EF=2BCEF10如圖

17、，ABC中，A=90º，E是AC的中點，EFBC，F(xiàn)為垂足，BC=9，F(xiàn)C=3，求 AB解：如圖，作ADBC因為EFBC，所以AD/EF因為E為AC中點，所以F為DC的中點因為FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6因為BC=9，所以BD=96=3設(shè)EC=x，則AC=2x由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，AB2=AD2+BD2所以AC2AB2=DC2BD2即AC2AB2=6232=27因為A=90º，由勾股定理得AB2+AC2=BC2=81由得2AB2=8127=54，所以AB2=27，即AB= =3 習(xí)題精選二1判斷題在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條

18、邊的一半，那么這條邊所對的角是直角命題：“在一個三角形中，有一個角是30°，那么它所對的邊是另一邊的一半”的逆命題是真命題勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形ABC的三邊之比是1：1： ，則ABC是直角三角形答案：對，錯，錯，對；2ABC中A、B、C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（    ）A如果CB=A，則ABC是直角三角形B如果c2=b2a2，則ABC是直角三角形，且C=90°C如果（ca）（ca）=b2，則ABC是直角三角形D如果A：B：C=5：2：3，則ABC是直角

19、三角形答案：D3下列四條線段不能組成直角三角形的是（    ）Aa=8，b=15，c=17Ba=9，b=12，c=15Ca= ，b= ，c= Da：b：c=2：3：4答案：D4已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？a= ，b= ，c= ；          a=5，b=7，c=9；a=2，b= ，c= ；      

20、       a=5，b= ，c=1答案：是，B；不是；是，C；是，A5敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確如果a30，那么a20；如果三角形有一個角小于90°，那么這個三角形是銳角三角形；如果兩個三角形全等，那么它們的對應(yīng)角相等；關(guān)于某條直線對稱的兩條線段一定相等答案：如果a20，那么a30；假命題如果三角形是銳角三角形，那么有一個角是銳角；真命題如果兩個三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形全等；假命題兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對稱；假命題6填空題任何一個命題都有   &#

21、160;    ，但任何一個定理未必都有         “兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的逆定理是          在ABC中，若a2=b2c2，則ABC是        三角形，         是直

22、角；若a2b2c2，則B是          若在ABC中，a=m2n2，b=2mn，c=m2n2，則ABC是         三角形答案：逆命題，逆定理；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；直角，B，鈍角；直角小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是        &#

23、160;      答案：向正南或正北7若三角形的三邊是  1、2；   ；  32，42，52  9，40，41；  (m+n)21，2(m+n)，(m+n)2+1；則構(gòu)成的是直角三角形的有（    ）A2個         B3個4個5個答案：B8若ABC的三邊a、b、c，滿足(ab)(a2b2c2)=0

24、，則ABC是（    ）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形答案：C9如圖，在操場上豎直立著一根長為 2米的測影竿，早晨測得它的影長為 4米，中午測得它的影長為 1米，則A、B、C三點能否構(gòu)成直角三角形？為什么？答案：能，因為BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以BC2+AC2=AB2 10如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行

25、50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？答案：由ABC是直角三角形，可知CAB+CBA=90°，所以有CAB=40°，航向為北偏東50°11如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米， DA=12米，又已知B=90°提示：連結(jié)ACAC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此CAB=90°，S四邊形=SADC+SABC=36平方米12已知：在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，且CD

26、2=AD·BD求證：ABC中是直角三角形提示：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2，ACB=90°13在ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm求證：ABC是等腰三角形提示：因為AD2+BD2=AB2，所以ADBD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC 14已知：如圖，1=2，AD=AE，D為BC上一點，且BD=DC，AC2=AE2+CE2求證：AB2=AE2+CE2提示：有AC2=AE2+CE2得E=90°；由ADCAEC，得

27、AD=AE，CD=CE，ADC=BE=90°，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC，則AB2=AE2+CE215已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，試判定ABC的形狀提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14又因為c2=14，所以a2+b2=c2 第一章勾股定理1.1探索勾股定理專題一有關(guān)勾股定理的折疊問題1. 如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是（）A3cmB4cmC5cmD6cm2. 如圖，EF是正

28、方形兩對邊中點的連線段，將A沿DK折疊，使它的頂點A落在EF上的G點，求DKG的度數(shù)3已知RtABC中，ACB=90°，CA=CB，有一個圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N（1）如圖，當(dāng)AM=BN時，將ACM沿CM折疊，點A落在弧EF的中點P處，再將BCN沿CN折疊，點B也恰好落在點P處，此時，PM=AM，PN=BN，PMN的形狀是_等腰直角三角形線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系是_MN）；（2）如圖，當(dāng)扇形CEF繞點C在ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是_試證明你的猜想；（3）當(dāng)扇形CEF繞

29、點C旋轉(zhuǎn)至圖的位置時，線段MN、AM、BN之間的數(shù)量關(guān)系是_（不要求證明） 專題二勾股定理的證明4在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用四個完全相同的直角三角形拼圖的方式驗證了勾股定理的正確性問題1：以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，探究S+ S與S的關(guān)系（如圖1）問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，探究S+S與S的關(guān)系（如圖2）問題3：以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，探究S+ S與S的關(guān)系（如圖3）5.如圖，是用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個，圖 中兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c；圖中兩直角邊長為c請你動腦，將它們拼成能夠證明勾股

30、定理的圖形（1）請你畫出一種圖形，并驗證勾股定理（2）你非常聰明，能再拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的圖形（無需證明）答案：1A 【解析】設(shè)CN=x cm，則DN=（8-x）cm. 由折疊的性質(zhì)知EN=DN=（8-x）cm，而EC=BC=4 cm，在RtECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3故選A2解：DF=CD=DG，DGF=30°EKG+KGE=90°，KGE+DGF=90°，EKG=DGF=30°2DKG+GKE=180°，DKG=75°3解：（

31、1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：CAMCPM，CNBCNPAM=PM，A=CPM，PN=NB，B=CPN. MPN=A+B=90°，PM=PN=AM=BN.故PMN是等腰直角三角形，AM2+BN2=MN2（或AM=BN=MN）（2）AM2+BN2=MN2.證明:如圖，將ACM沿CM折疊，得DCM，連DN，則ACMDCM，CD=CA，DM=AM，DCM=ACM.同理可知DCN=BCN，DCNBCN，DN=BN，而MDC=A=45°，CDN=B=45°，MDN=90°，DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）4解：探究

32、1：由等邊三角形的性質(zhì)知：S=a2，S=b2，S=c2， 則S+ S=（a2+b2）.因為a2+b2=c2，所以S+S=S探究2：由等腰直角三角形的性質(zhì)知：S=a2，S=b2，S=c2則S+S=（a2+b2）.因為a2+b2=c2，所以S+S=S探究3：由圓的面積計算公式知：S=a2，S=b2，S=c2則S+ S=（a2+b2），因為a2+b2=c2，所以S+ S=S5解：（1）如圖所示，根據(jù)正方形的面積可得（a+b）2=4×ab+c2，即a2+b2=c2（2）如圖所示1.2一定是直角三角形嗎專題判斷三角形形狀1.已知a，b，c為ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，則

33、它的形狀為（）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2. 在ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且mn0，（1）你能判斷ABC的最長邊嗎？請說明理由；（2）ABC是什么三角形，請通過計算的方法說明3. 張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：n2345a22-132-142-152-1b46810c22+132+142+152+1（1） 請你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n1）的代數(shù)式表示a，b，c（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？請證明你的猜想答案：1D【解析】a2c2-b2c2=a4-b4，（a2c

34、2-b2c2）-（a4-b4）=0，c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，a+b0，a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形故選D2解：（1）a是最長邊，其理由是：a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n20，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）20，ab，ac，a是最長邊.（2）ABC是直角三角形，其理由是：b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，ABC是直角三角形3解：（1）由圖表可以得出：n=2時，a=22-1，b=2×2，c=22+1；n=3時，a=32-1，b=2×3，c=32+1；X|k |B| 1 . c|O |mn=4時，a=42-1，b=2×4，c=42+1.a=n2-1，b=2n，c=n2+1（2）以a、b、c為邊的三角形是直角三角形.a2+b2=（