八年級數(shù)學(xué)下冊 4.5 一次函數(shù)的應(yīng)用 一次函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法素材 新版湘教版

1、數(shù)學(xué)思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是我們解決數(shù)學(xué)問題的一把金鑰匙，是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，在復(fù)習(xí)階段若能進一步挖掘和運用數(shù)學(xué)思想方法，對復(fù)習(xí)效果往往能事半功倍，以一次函數(shù)問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法為例，說明如下 1函數(shù)思想函數(shù)方法就是應(yīng)用運動、變化的觀點來分析問題中的數(shù)量關(guān)系，抽象升華為函數(shù)的模型，進而解決有關(guān)問題的方法，函數(shù)的實質(zhì)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題 函數(shù)思想是指用運動變化觀點來研究兩個變量之間的相互對應(yīng)關(guān)系，靈活運用函數(shù)思想會給解決問題代來許多方便例1小明在暑期社會實踐活動中，以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進若干千克西瓜到市場

2、上去銷售，在銷售了40千克西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完銷售金額與售出西瓜的千克數(shù)之間的關(guān)系如圖所示請你根據(jù)圖象提供的信息完成以下問題：(1)求降價前銷售金額y(元)與售出西瓜x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式(2)小明從批發(fā)市場共購進多少千克西瓜?(3)小明這次賣瓜賺了多少錢? 【分析】這類函數(shù)又稱分段函數(shù)，其特點是在自變量不同的范圍內(nèi)，函數(shù)的關(guān)系式不同，圖象也不同應(yīng)注意兩函數(shù)的轉(zhuǎn)折點的坐標，它起到承上啟下的功能解:（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系未y=kx， 則 k= 所以 y=1.6x（2）由（1）知，降價前西瓜售價每千克1.6元，所以降價04元西瓜每千克售價1.2元，所以降價后銷售的西瓜為（76

3、64）÷1.2=10（千克），所以小明從批發(fā)市場共購進50千克西瓜（3）76（50×0.8）=36（元）， 即小明這次賣瓜賺了36元【評注】從圖象中獲取信息，將實際問題與圖象結(jié)合起來，是近年來的中考熱點問題，也是新課標的要求 2數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想方法數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時，能起到事半功倍的作用例2如圖，表示神風(fēng)摩托車廠一天的銷售收入與摩托車銷售量的關(guān)系；表示摩托車廠一天的銷售成本與銷售量的關(guān)系(1)寫出銷售收入與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出銷售成本與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當一天的銷售量為多少輛時

4、，銷售收入等于銷售成本；(4)當一天的銷售超過多少輛時，工廠才能獲利？（利潤=收入-成本）【解析】1）設(shè)，因為直線過(4，4)，則4=6k，k=1，所以y=x;（2）設(shè)，因為直線過（0，2）、（4，4）兩點，所以又，所以，所以（3）由圖象知，當時，銷售收入等于銷售成本或（4）由圖象知：當時，工廠才能獲利【評注】 數(shù)形結(jié)合是解答本題的思想基礎(chǔ)，利用待定系數(shù)法求解析式是解決問題的前提，由兩解析式組成方程組的交點是解決問題的關(guān)鍵由圖象觀察信息時應(yīng)注意：比較兩圖象的高低；明確兩圖象的交點，圖象的上下位置的含義3分類討論法分類討論法是在對數(shù)學(xué)對象進行分類的過程中尋求答案的一種思想方法分類討論法既是一種重

5、要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的教學(xué)方法分類的關(guān)鍵是根據(jù)分類的目的，找出分類的對象，分類既不能重復(fù)，也不能遺漏，最后要全面總結(jié)例3東風(fēng)商場文具部的某種毛筆每支售價25元，書法練習(xí)本每本售價5元該商場為了促銷制定了兩種優(yōu)惠方案供顧客選擇 甲：買一支毛筆贈送一本書法練習(xí)本 乙：按購買金額打九折付款 某校欲為校書法興趣組購買這種毛筆10支，書法練習(xí)本x（x10）本如何選擇方案購買呢？ 【分析】本題具有一定的開放性根據(jù)題目提供的條件，可確定出兩種優(yōu)惠方案，實際所花費金額y元與書法練習(xí)本x之間的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的關(guān)系式，自變量的取值范圍，利用函數(shù)圖象，可直觀予以解決 解：分別根據(jù)題意寫出甲、乙兩種方案的實際

6、金額y元與書法練習(xí)本x本之間的關(guān)系式： y甲=（x-10）×5+25×10=5x+200 y乙=（10×25+5x）×0.9=4.5x+225在同一直角坐標系中畫出兩個函數(shù)圖象： 解方程組 得 所以兩直線交于點（50，450） 由圖象很容易看到： 當10<x<50時 y甲<y乙， 當x=50時 y甲=y乙， 當x>50時 y甲>y乙 所以我建議：如果購買書法練習(xí)本少于50本時選擇方案甲；如果購買書法練習(xí)本等于50本時選擇哪種方案無區(qū)別；如果購買書法練習(xí)本多于50本時則要選擇方案乙這樣的購買方法最省錢 【評注】 利用圖象來分析

7、問題、解決問題形象直觀，在同一坐標系內(nèi)，兩圖象的交點表示對同一x值，兩函數(shù)值相等;圖象在上面的函數(shù)值大，下面的函數(shù)值小認識這些有助于解決兩函數(shù)圖象有交點的問題 構(gòu)建一次函數(shù)模型解實際應(yīng)用性問題是近幾年中考的熱點，對于決策性問題要注意分類討論的思想方法的運用4方程方法方程方法是指對所求數(shù)學(xué)問題通過列方程（組）使問題得解的方法在函數(shù)及其圖象中，方程方法的應(yīng)用主要體現(xiàn)在運用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式中例4某企業(yè)有甲、乙兩個長方體的蓄水池，將甲池中的水以每小時6立方米的速度注入乙池，甲、乙兩個蓄水池中水的深度y(米)與注水時間x(時)之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題： (1)分別求出甲、乙兩

8、個蓄水池中水的深度y與注水時間x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求注水多長時間甲、乙兩個蓄水池水的深度相同；(3)求注水多長時間甲、乙兩個蓄水池的蓄水量相同分析：由圖象觀察信息時應(yīng)注意：比較兩圖象的高低；明確兩圖象的交點，圖象的上下位置的含義解：(1)設(shè)y甲=k1x+b1把(，2)和(3，0)代人， 解得kl=-，bl=2， y甲=-x+2 設(shè)y乙=k2x+b2 把(0，1)和(3，4)代入， 解得k2=1，b2=1， y乙=x+1； (2)根據(jù)題意，得； 解得x=所以注水小時甲、乙兩個蓄水池中水的深度相同 (3)設(shè)甲蓄水池的底面積為s1，乙蓄水池的底面積為s2，t小時甲、乙兩個蓄水池的蓄水量相同根據(jù)題意，得 2sl=3×6，sl=9；(4-1)s2=3×6，s2=6； s1（-t+2）=s2（t+1）解得t=1 注水1小時甲、乙兩個蓄水池的蓄水量相同【評注】 數(shù)形結(jié)合是解答本題的思想基礎(chǔ)，利用待定系數(shù)法求解析式是解決問題的前提，由兩解析式組成方程組的交點是解決問題的關(guān)鍵由圖象觀察信息時應(yīng)注意：比較兩圖象的高低；明確兩圖象的交點，圖象的上下位置的含義6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff