電磁場(chǎng)與電磁波第一章

1、第一章 矢量分析 編輯課件1電磁場(chǎng)工程電磁場(chǎng)工程Electromagnetic Fields Engineering劉劉 瑜瑜電子信息工程學(xué)院電子信息工程學(xué)院理工樓理工樓C209E-mail: 第一章 矢量分析 編輯課件2一一 本課程的地位與主要任務(wù)本課程的地位與主要任務(wù)二二 電磁場(chǎng)理論的發(fā)展簡(jiǎn)史電磁場(chǎng)理論的發(fā)展簡(jiǎn)史 三三 電磁場(chǎng)理論的主要研究與應(yīng)用領(lǐng)域電磁場(chǎng)理論的主要研究與應(yīng)用領(lǐng)域四四 本課程的基本內(nèi)容與要求本課程的基本內(nèi)容與要求前前 言言第一章 矢量分析 編輯課件3一、本課程的地位與主要任務(wù)一、本課程的地位與主要任務(wù) 信息類專業(yè)與電有關(guān)的兩大核心知識(shí)基礎(chǔ)： 電路理論 電磁場(chǎng)理論 電磁場(chǎng)工程

2、課程是信息類學(xué)生必修的一門專業(yè)核心基礎(chǔ)課，掌握其內(nèi)容是繼續(xù)學(xué)習(xí)現(xiàn)代信息技術(shù)的重要前提與必要基礎(chǔ)之一。 本課程的主要任務(wù)：在大學(xué)物理和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生建立場(chǎng)的觀念，學(xué)會(huì)運(yùn)用場(chǎng)的觀點(diǎn)對(duì)宏觀電磁現(xiàn)象進(jìn)行分析和求解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程奠定必要的理論基礎(chǔ)。第一章 矢量分析 編輯課件4 電磁學(xué)是研究電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及電磁相互作用的現(xiàn)象、規(guī)律和應(yīng)用的學(xué)科。 電磁學(xué)的建立，根源于人類對(duì)早期發(fā)現(xiàn)的一些電磁現(xiàn)象進(jìn)行的物理解釋，如靜電吸物、摩擦生電、磁石相吸、庫(kù)侖實(shí)驗(yàn)等。 電磁場(chǎng)理論的發(fā)展經(jīng)歷三個(gè)階段：二、電磁場(chǎng)理論的發(fā)展簡(jiǎn)史二、電磁場(chǎng)理論的發(fā)展簡(jiǎn)史 （一）（一） 靜電學(xué)、靜磁學(xué)的建立階段（靜電學(xué)、靜磁

3、學(xué)的建立階段（1919世紀(jì)前）世紀(jì)前） 這一階段，電、磁現(xiàn)象是作為兩種獨(dú)立的物理現(xiàn)象分別進(jìn)行研究，當(dāng)時(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系，這些早期的研究為電磁學(xué)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。第一章 矢量分析 編輯課件5 奧斯特從1807年開始研究電磁之間的關(guān)系。1820年，他發(fā)現(xiàn)電流以力作用于磁針（電流的磁效應(yīng)）。 （二）（二）發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系發(fā)現(xiàn)電與磁的聯(lián)系 安培 1820年安培發(fā)現(xiàn)放在磁鐵附近的載流導(dǎo)線會(huì)受到力的作用，其后又發(fā)現(xiàn)載流導(dǎo)線之間也有相互作用，并提出了著名的Ampere定律，為電動(dòng)力學(xué)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。 法拉第 奧斯特1820年發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)后，法拉第敏銳地意識(shí)到，電可以對(duì)磁產(chǎn)生作用，磁也一定能夠

4、對(duì)電產(chǎn)生影響。1831年他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)磁捧插入導(dǎo)體線圈時(shí)；導(dǎo)線圈中就產(chǎn)生電流。這表明，電與磁之間存在著密切的聯(lián)系（Faraday定律） 。第一章 矢量分析 編輯課件6 麥克斯韋 1865年，英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋（J.C.Maxwell 1831-1879)在前人實(shí)踐和理論的基礎(chǔ)上，提出位移電流假說(shuō)，總結(jié)出宏觀電磁現(xiàn)象的一般規(guī)律麥克斯韋方程組，并于1873年發(fā)表了詳述該理論的電磁學(xué)通論。其核心思想是：變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)也能產(chǎn)生電場(chǎng)，并預(yù)言了電磁波的存在。 赫茲 1888年用實(shí)驗(yàn)方法證實(shí)了電磁波的存在后，麥克斯韋方程組成為經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的公理，麥克斯韋成為宏觀電磁場(chǎng)理論的奠基人。 （三）（

5、三）宏觀電磁場(chǎng)理論的建立宏觀電磁場(chǎng)理論的建立第一章 矢量分析 編輯課件7作為理論物理學(xué)的一個(gè)重要研究分支，主要致力于統(tǒng)一場(chǎng)理論和微觀量子電動(dòng)力學(xué)的研究。電磁場(chǎng)理論的主要研究領(lǐng)域 作為電子信息技術(shù)的理論基礎(chǔ)，集中于三大類應(yīng)用問(wèn)題的研究。三、電磁場(chǎng)理論的主要研究與應(yīng)用領(lǐng)域三、電磁場(chǎng)理論的主要研究與應(yīng)用領(lǐng)域第一章 矢量分析 編輯課件8 電磁能量電磁能量便于轉(zhuǎn)換為其它形式的能量，便于遠(yuǎn)距離輸送，是當(dāng)今便于轉(zhuǎn)換為其它形式的能量，便于遠(yuǎn)距離輸送，是當(dāng)今世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的產(chǎn)生、儲(chǔ)存、變世界最重要的能源，其研究領(lǐng)域涉及電磁能量的產(chǎn)生、儲(chǔ)存、變換、傳輸和綜合利用。換、傳輸和綜合利用。（主

6、動(dòng)調(diào)制）（主動(dòng)調(diào)制） 電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體電磁波作為信息傳輸?shù)妮d體，能在極短的時(shí)間內(nèi)把信號(hào)傳送到遠(yuǎn)，能在極短的時(shí)間內(nèi)把信號(hào)傳送到遠(yuǎn)方，是當(dāng)今人類社會(huì)發(fā)布和獲取信息的主要手段，主要研究領(lǐng)域方，是當(dāng)今人類社會(huì)發(fā)布和獲取信息的主要手段，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡姶判畔⒌漠a(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲(chǔ)存、處理、再現(xiàn)和綜為電磁信息的產(chǎn)生、獲取、交換、傳輸、儲(chǔ)存、處理、再現(xiàn)和綜合利用。合利用。（主動(dòng)調(diào)制）（主動(dòng)調(diào)制） 電磁波是探測(cè)未知世界的一種重要手段電磁波是探測(cè)未知世界的一種重要手段，主要研究領(lǐng)域?yàn)殡姶挪ǎ饕芯款I(lǐng)域?yàn)殡姶挪ㄅc目標(biāo)的相互作用特性、目標(biāo)特征的獲取、重建與成像、探測(cè)新與目標(biāo)的相互作用特性、目標(biāo)特征的

7、獲取、重建與成像、探測(cè)新技術(shù)等。技術(shù)等。（被動(dòng)調(diào)制）（被動(dòng)調(diào)制） 電磁場(chǎng)的三大類應(yīng)用問(wèn)題電磁場(chǎng)的三大類應(yīng)用問(wèn)題第一章 矢量分析 編輯課件9無(wú)線電通信（信息載體）無(wú)線電通信（信息載體）第一章 矢量分析 編輯課件10食品加工（電磁能量）食品加工（電磁能量） 電磁爐電磁爐微波爐微波爐第一章 矢量分析 編輯課件11天文觀測(cè)（探測(cè)手段）天文觀測(cè)（探測(cè)手段） 北京天文臺(tái)射電望遠(yuǎn)鏡北京天文臺(tái)射電望遠(yuǎn)鏡第一章 矢量分析 編輯課件12醫(yī)療檢測(cè)醫(yī)療檢測(cè)（主動(dòng)發(fā)射，被動(dòng)調(diào)制） 醫(yī)療醫(yī)療CT檢測(cè)與成像裝置檢測(cè)與成像裝置第一章 矢量分析 編輯課件13掌握宏觀電磁場(chǎng)的掌握宏觀電磁場(chǎng)的基本屬性和規(guī)律基本屬性和規(guī)律掌握宏觀電

8、磁場(chǎng)問(wèn)題的掌握宏觀電磁場(chǎng)問(wèn)題的基本求解方法基本求解方法掌握掌握電磁波的概念及其傳播特性電磁波的概念及其傳播特性培養(yǎng)培養(yǎng)用場(chǎng)的觀念用場(chǎng)的觀念分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力四、課程的基本要求四、課程的基本要求第一章 矢量分析 編輯課件14 學(xué)習(xí)注意點(diǎn)學(xué)習(xí)注意點(diǎn) 本課程作為物聯(lián)網(wǎng)專業(yè)的必本課程作為物聯(lián)網(wǎng)專業(yè)的必修科目，側(cè)重于修科目，側(cè)重于電磁場(chǎng)基本電磁場(chǎng)基本概念和原理的掌握概念和原理的掌握，不同于，不同于電子類專業(yè)的必修要求（電子類專業(yè)的必修要求（72學(xué)時(shí)），由于課時(shí)數(shù)較少學(xué)時(shí)），由于課時(shí)數(shù)較少（54學(xué)時(shí)），學(xué)習(xí)的內(nèi)容和學(xué)時(shí)），學(xué)習(xí)的內(nèi)容和深度要求相對(duì)要淺顯一些。深度要求相對(duì)要淺顯

9、一些。 一、矢量分析一、矢量分析 二、靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)理論二、靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)理論 三、恒定磁場(chǎng)理論三、恒定磁場(chǎng)理論 四、靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題四、靜態(tài)場(chǎng)邊值問(wèn)題 五、時(shí)變電磁場(chǎng)理論五、時(shí)變電磁場(chǎng)理論 六、電磁波基本理論六、電磁波基本理論課程的主要內(nèi)容課程的主要內(nèi)容第一章 矢量分析 編輯課件15【1】 孫玉發(fā)等，電磁場(chǎng)與電磁波，合肥工業(yè)大學(xué)出版社孫玉發(fā)等，電磁場(chǎng)與電磁波，合肥工業(yè)大學(xué)出版社【2】謝處方，電磁場(chǎng)與電磁波（第四版），高等教育出謝處方，電磁場(chǎng)與電磁波（第四版），高等教育出 版社版社【3】其他其他符合教學(xué)內(nèi)容要求符合教學(xué)內(nèi)容要求的的“電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波”教材。教材。主要教學(xué)參考書主要

10、教學(xué)參考書第一章 矢量分析 編輯課件16第一章 電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量分析 1.1 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 1.2 三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度 1.4 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度 1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 1.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 第一章 矢量分析 編輯課件17 矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來(lái)表示矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來(lái)表示 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為為模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大?。?為為單位矢量單位矢量，表征矢量的，表

11、征矢量的方向方向； 說(shuō)明：矢量書寫時(shí)，說(shuō)明：矢量書寫時(shí)，印刷體印刷體為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如為場(chǎng)量符號(hào)加粗，如 。教材。教材上的矢量符號(hào)即采用印刷體。上的矢量符號(hào)即采用印刷體。1.1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù) 標(biāo)量與矢量標(biāo)量與矢量 標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向只有大小，沒(méi)有方向的物理量的物理量( (電壓電壓U U、電荷量、電荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場(chǎng)強(qiáng)度）的物理量（作用力，電、磁場(chǎng)強(qiáng)度） 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示FEHBDAAeDAAeAAAeA1.1 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 第一章 矢量分析 編輯課件18xxyyzz

12、Ae Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第一章 矢量分析 編輯課件191.1.2 矢量的運(yùn)算矢量的運(yùn)算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和減法矢量的加法和減法說(shuō)明：說(shuō)明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交換律交換律和和結(jié)合律結(jié)合律： 2 2、矢量相加和相減可用、矢量相加和相減可用平行四邊形法則平行四邊形法則求解：求解：

13、 BAABBAABB第一章 矢量分析 編輯課件20cosABxxyyzzA BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量與標(biāo)量相乘矢量與標(biāo)量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。標(biāo)量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。 矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）()A BB AA BCA BA C 說(shuō)明：說(shuō)明：1 1、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律：、矢量的點(diǎn)積符合交換律和分配律： 2 2、兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為標(biāo)量標(biāo)量 ABAB第一章 矢量分析 編輯課件21sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxz

14、zxyyxeeeABe ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）說(shuō)明：說(shuō)明：1 1、矢量的叉積、矢量的叉積不符合不符合交換律，但交換律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、兩個(gè)矢量的叉積為兩個(gè)矢量的叉積為矢量矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量運(yùn)算恒等式、矢量運(yùn)算恒等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第一章 矢量分析 編輯課件22 若某一矢量的模和方向都保持不變， 此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。而在實(shí)際問(wèn)題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化

15、的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。 設(shè)t是一變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間Ga, b內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t, A都有一個(gè)確定的矢量A (t)與之對(duì)應(yīng)，則稱A為變量t的矢量函數(shù)。記為 )(tAA1.1.3 矢量函數(shù)矢量函數(shù) 第一章 矢量分析 編輯課件23 而G為A的定義域。矢量函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢量函數(shù)A (t)也可用其坐標(biāo)表示為 zzyyxxetAetAetAA)()()(其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸的單位矢量。 第一章 矢量分析 編輯課件241.1.4 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢

16、量場(chǎng) 如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。例如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，一定空間中電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。 場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)， 除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)；若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。 第一章 矢量分析 編輯課件25 研究物理系統(tǒng)中溫度、 壓力、 密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描述， 這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)， 如溫度場(chǎng)T(x, y, z)、電位場(chǎng)(x,

17、 y, z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中， 其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量來(lái)描述， 因此稱為矢量場(chǎng)，例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。 第一章 矢量分析 編輯課件26yx以以數(shù)值大?。〝?shù)值大小（明暗程度明暗程度）表表示的示的標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 以以箭頭箭頭表示的表示的矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)（）和矢量場(chǎng)和矢量場(chǎng)（A）yx第一章 矢量分析 編輯課件27標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值面 標(biāo)量場(chǎng)空間中，由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所標(biāo)量場(chǎng)空間中，由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )

18、uu x y z( , , )u x y zcconst從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t第一章 矢量分析 編輯課件28 例例1-1 求數(shù)量場(chǎng) =(x+y)2-z通過(guò)點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為=(x0+y0

19、)2-z0=0。其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx或 第一章 矢量分析 編輯課件29 三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交線的交點(diǎn)三條相互正交線的交點(diǎn)來(lái)確定。來(lái)確定。 在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交坐標(biāo)系為：直角坐直角坐標(biāo)系標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系和和球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系。 三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為三條正交線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交坐標(biāo)系正交坐標(biāo)系；三條正交線稱為；三條正交線稱為坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐坐標(biāo)變量標(biāo)變量。1.2 三種常用

20、的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系第一章 矢量分析 編輯課件301.2.1 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSellex y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量, ,x y z坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量,xyze e e 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeyex yz直角坐標(biāo)系的

21、線元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的線元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第一章 矢量分析 編輯課件311.2.2 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,zee e 坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系z(mì)oo2zeee微分單元關(guān)系微分單元關(guān)系第一章 矢量分析 編輯課

22、件32說(shuō)明：說(shuō)明：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：圓柱坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()zeA BA B加減：加減：標(biāo)積：標(biāo)積：矢積：矢積：第一章 矢量分析 編輯課件331.2.3 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系2dd dsin d drrrSe lle r 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元,r 坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量,re e e 坐標(biāo)單位

23、矢量坐標(biāo)單位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 線元矢量線元矢量20oroeeerdd dsin d drzSelle rrdd dd drSelle r r2dsin d d dVrr 體積元體積元面元矢量面元矢量微分單元關(guān)系微分單元關(guān)系第一章 矢量分析 編輯課件34說(shuō)明：球坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算：說(shuō)明：球坐標(biāo)系下矢量運(yùn)算： rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABeABeABeAB() ()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeABAAABBBe A BA BeA

24、BA BeA BA B加減：加減：標(biāo)積：標(biāo)積：矢積：矢積：第一章 矢量分析 編輯課件35zzryrxsincos22arctanrxyyxzz不同坐標(biāo)系不同坐標(biāo)系變量變量的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換cossinsincossinrzryrx22222arctanarctanrxyzxyzyx直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系第一章 矢量分析 編輯課件36三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：三種坐標(biāo)系有不同適用范圍：1 1、直角坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈、直角坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈面對(duì)稱分布面對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如無(wú)限大的問(wèn)題求解，如無(wú)限大面電荷分布產(chǎn)生電場(chǎng)分布。面電荷分布產(chǎn)生電場(chǎng)分布。2 2、

25、柱面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈、柱面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布軸對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如無(wú)限長(zhǎng)的問(wèn)題求解，如無(wú)限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生磁場(chǎng)分布。線電流產(chǎn)生磁場(chǎng)分布。3 3、球面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈、球面坐標(biāo)系適用于場(chǎng)呈點(diǎn)對(duì)稱分布點(diǎn)對(duì)稱分布的問(wèn)題求解，如點(diǎn)電荷的問(wèn)題求解，如點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)分布。產(chǎn)生電場(chǎng)分布。第一章 矢量分析 編輯課件37 標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。某一方向上的變化率。 0()( )limlPPPll標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) 在在 P 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) 定義為定義為Pl PllP1.3 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的

26、方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)與選取的方向?qū)?shù)與選取的考察方向考察方向有關(guān)。有關(guān)。方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場(chǎng)空間中，方向?qū)?shù)表征標(biāo)量場(chǎng)空間中，某點(diǎn)處某點(diǎn)處場(chǎng)值沿場(chǎng)值沿特定方向特定方向變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。第一章 矢量分析 編輯課件38 方向?qū)?shù)物理意義：方向?qū)?shù)物理意義：00Mul，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) 在在 處沿處沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) 在在 處沿處沿 方向減小率；方向減小率；u0Mll00Mul，標(biāo)量場(chǎng)，標(biāo)量場(chǎng) 在在 處沿處沿 方向?yàn)榈戎得娣较颍o(wú)改變）方向?yàn)榈戎得娣较颍o(wú)改變）u0Ml 方向?qū)?shù)的計(jì)算方向?qū)?shù)的計(jì)算coscoscosuuuulxyz 的方向余弦。的方向余

27、弦。 l式中式中： coscoscos、分別為分別為 與與x,y,zx,y,z坐標(biāo)軸的夾角。坐標(biāo)軸的夾角。 l第一章 矢量分析 編輯課件39 例例1-2 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。 解：解：l方向的方向余弦為 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222第一章 矢量分析 編輯課件40而 222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù) 324232132131Ml第一章 矢量分析 編輯

28、課件41梯度是一個(gè)梯度是一個(gè)矢量矢量。 某點(diǎn)梯度的某點(diǎn)梯度的大小大小等于該點(diǎn)的等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大最大方向?qū)?shù)的方向。方向?qū)?shù)的方向。1.3.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 梯度的定義梯度的定義max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 為場(chǎng)量為場(chǎng)量 最大變化率最大變化率的方向上的單位矢量。的方向上的單位矢量。leu 梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度為標(biāo)量場(chǎng)的梯度為矢量矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)，且是坐標(biāo)位置的函數(shù) 標(biāo)量場(chǎng)梯度的幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的標(biāo)量場(chǎng)梯度的幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大增加率最大增加率 標(biāo)量場(chǎng)梯度的方

29、向標(biāo)量場(chǎng)梯度的方向垂直于垂直于等值面，為標(biāo)量場(chǎng)等值面，為標(biāo)量場(chǎng)增加最快增加最快的方向的方向 標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿任意方向的標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)等于等于梯度在該方向投影梯度在該方向投影第一章 矢量分析 編輯課件42梯度的計(jì)算梯度的計(jì)算 coscoscoszyxl標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)在l方向上的方向?qū)?shù)為 在直角坐標(biāo)系中，令 ),cos(coscoscoslGGlGlezeyexGeeelzyxzyx第一章 矢量分析 編輯課件43 矢量l是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)處的一常矢量。 由上式顯然可見，當(dāng)l與G的方向一致時(shí)，即cos(G, l)=1 時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向

30、導(dǎo)數(shù)最大，也就是說(shuō)沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為 Glmax第一章 矢量分析 編輯課件44在直角坐標(biāo)系中， 梯度的表達(dá)式為 zyxezeyexgrad梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為 grad哈密頓算符式中的式中的grad 是英文單詞是英文單詞 gradient（梯度）的縮寫。的縮寫。zyxzyxeee第一章 矢量分析 編輯課件45 設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為標(biāo)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立。 uufufgraduufufgradvuuvvvuugradvvgraduvvugradvuuvuvugradvvgraduuvgradvuvugradvgraduvugraduc

31、cucgraducugradcgradc)( )()( )()(1(1)()()()()()(0022或或或或或或第一章 矢量分析 編輯課件46 例例1-3 設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是矢徑r=xex+yey+zez的模， 即 ， 證明： 222zyxr. rrrgradr證：證： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrgradrzyx222222因?yàn)?第一章 矢量分析 編輯課件47rzzyxzzyxxzrryzyxyzyxyyr222222222222所以 rrrzeyexererzeryerxrgradrzyxzyx)(1第一章 矢量分析 編輯課件48例例1-4 求函數(shù)r在M(1，0，1)處沿l=

32、ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：解： 由例1-3知r的梯度為 )(1zyxzeyexerrgradr點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1, y=0, z=1, 2222zyxr 所以r在M點(diǎn)處的梯度為 zxeergradr2121r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為 lrlrM第一章 矢量分析 編輯課件49而 zyxeeelll323231所以 21322132203121Mlr第一章 矢量分析 編輯課件50 例例1-5 已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x, y, z)處產(chǎn)生的電位為 ，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E=-，求電場(chǎng)強(qiáng)度E。 rq4解：解： rqrqE144

33、根據(jù)f(u)=f(u)gradu的運(yùn)算法則， rrrrr2111rrqrrqrrqrqE232441414第一章 矢量分析 編輯課件51 1.4.1 1.4.1 矢量線矢量線v 形象描述形象描述矢量場(chǎng)在空間分布狀況矢量場(chǎng)在空間分布狀況的曲線，的曲線，例例如電場(chǎng)中的電力線。如電場(chǎng)中的電力線。v 線上每一點(diǎn)的線上每一點(diǎn)的切線方向切線方向代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方代表該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向，而向，而矢量線的矢量線的疏密疏密表征矢量場(chǎng)的表征矢量場(chǎng)的大小。大小。矢量線矢量線OM Fdrrrdr1.4 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度 v 為精確描述矢量線，需求出矢量線方程。為精確描述矢量線，需求出矢量線方程。v

34、根據(jù)定義，線上任一點(diǎn)的切向與該點(diǎn)矢量場(chǎng)根據(jù)定義，線上任一點(diǎn)的切向與該點(diǎn)矢量場(chǎng) F的方向平行。的方向平行。 即：即：F dr = 0，經(jīng)推導(dǎo)化簡(jiǎn)可得矢量線，經(jīng)推導(dǎo)化簡(jiǎn)可得矢量線方程：方程：zyxFdzFdyFdx第一章 矢量分析 編輯課件52例例1-6 求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 222zydzyxdyxydxzydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz從而有 解之即得矢量線方程 c1和c2是積分常數(shù)。 第一章 矢量分析 編輯課件53矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 ( )SF rd S 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 分布于空間中，

35、在分布于空間中，在空間中存在任意曲面空間中存在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )F r為為矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量( )F r為為定量描述矢量場(chǎng)的具體特征，定量描述矢量場(chǎng)的具體特征，引入引入通量、環(huán)量通量、環(huán)量的概念。的概念。 矢量矢量 F沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面積面積分分稱為矢量稱為矢量 F 通過(guò)該有向曲面通過(guò)該有向曲面 S 的的通通量量，以，以標(biāo)量標(biāo)量 表示，即：表示，即： 第一章 矢量分析 編輯課件54cos ( )nsssF dSF e dSFr dS 1) 1) 面元矢量面元矢量 定義

36、：面積很小的定義：面積很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面積，為：面元面積，為微分量微分量，無(wú)限小無(wú)限小dSne：面元法線方向，：面元法線方向，垂直于垂直于面元。面元。說(shuō)明：說(shuō)明： nedS2) 2) 面元法向面元法向 的確定方法：的確定方法： 對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按對(duì)非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手右手螺旋法則螺旋法則確定；確定； 對(duì)閉合曲面：閉合面對(duì)閉合曲面：閉合面外法線方向外法線方向ne 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的通量的的通量的代數(shù)和代數(shù)和。 第一章 矢量分析 編輯課件55圖 1-3 法線

37、方向的取法 第一章 矢量分析 編輯課件56 若若 ，通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出，通過(guò)閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內(nèi)有發(fā)出矢量線的矢量線的正源正源；0 若若 ，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的，有凈的矢量線進(jìn)入，閉合面內(nèi)有匯集矢量線的負(fù)負(fù)源源（洞）（洞）；0 若若 ，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)，進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內(nèi)無(wú)無(wú)源源，或或正源負(fù)源代數(shù)和為正源負(fù)源代數(shù)和為0 0。0 通過(guò)通過(guò)閉合面閉合面S S的通量的通量的物理意義：的物理意義：000第一章 矢量分析 編輯課件57 但是，通量?jī)H能表示閉合面中但是，通量?jī)H能表示閉合面中源的總量源的

38、總量，它不能，它不能顯示顯示源的分布特性源的分布特性。為此需要研究矢量場(chǎng)的。為此需要研究矢量場(chǎng)的散度散度。1.4.2 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度 例如例如：已已知真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度知真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度 E 通過(guò)任一閉合通過(guò)任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量 q 與真空介電常數(shù)與真空介電常數(shù) 0 之比，即，之比，即， 0dSqES第一章 矢量分析 編輯課件58 當(dāng)閉合面當(dāng)閉合面 S 向某點(diǎn)向某點(diǎn)無(wú)限收縮無(wú)限收縮時(shí)，矢量時(shí)，矢量 A 通過(guò)該閉通過(guò)該閉合面合面 S 的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為

39、矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) A 在該點(diǎn)的在該點(diǎn)的散度散度，以，以 div A 表示表示 0 ddiv limSVVASA式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的縮寫；的縮寫； V 為閉合面為閉合面 S 包圍的體積。包圍的體積。散度的定義散度的定義 即：即：散度是一個(gè)標(biāo)量散度是一個(gè)標(biāo)量，它可理解為，它可理解為通過(guò)通過(guò)包圍單位體積閉合面包圍單位體積閉合面的通量。的通量。 第一章 矢量分析 編輯課件59 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場(chǎng)的散度表征了矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的散度表征了矢量場(chǎng)的通量源的分布特性通量源的分布特性( (體密度體密度) )； 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量散度是標(biāo)量； 矢量場(chǎng)的散

40、度是矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)空間坐標(biāo)的函數(shù)； 矢量場(chǎng)的散度值表征空間中矢量場(chǎng)的散度值表征空間中某點(diǎn)處某點(diǎn)處通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r 負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r( ( 無(wú)源無(wú)源）( )0divF r 若若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)散場(chǎng)無(wú)散場(chǎng) 若若 ，則該矢量場(chǎng)稱為，則該矢量場(chǎng)稱為有散場(chǎng)有散場(chǎng)， 為源密度為源密度( )0divF r( )0divF r 討論：在矢量場(chǎng)中，討論：在矢量場(chǎng)中，第一章 矢量分析 編輯課件60 矢量場(chǎng)A的散度可表示為哈密頓微分算子與矢量A的標(biāo)量積， 即 AdivAzAyAxAeAeAeAez

41、eyexAzyxzzyyxxzyx)( 散度的計(jì)算散度的計(jì)算第一章 矢量分析 編輯課件61例例 求空間任一點(diǎn)位置矢量求空間任一點(diǎn)位置矢量 r 的散度的散度 。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzy第一章 矢量分析 編輯課件62 散度運(yùn)算相關(guān)公式散度運(yùn)算相關(guān)公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為標(biāo)量函數(shù)為常數(shù)第一章 矢量分析 編輯課件63 該公式表明了矢量場(chǎng)該公式表明了矢量場(chǎng) A 的散度在的散度在體積體積V內(nèi)的積分內(nèi)的積分等于矢量場(chǎng)穿等于矢量場(chǎng)穿過(guò)包圍該體積的過(guò)包圍該體積的邊界面邊界面S S的通量的通量

42、。 從從數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為散度定理建立了角度可以認(rèn)為散度定理建立了面積分面積分和和體積分體積分的關(guān)系。從的關(guān)系。從物理物理角度可以理解為散度定理建立了角度可以理解為散度定理建立了區(qū)域區(qū)域 V 中中的場(chǎng)和包圍區(qū)域的場(chǎng)和包圍區(qū)域 V 的邊界的邊界 S 上的上的場(chǎng)之間的關(guān)系場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如。因此，如果已知區(qū)域果已知區(qū)域 V 中的場(chǎng)，中的場(chǎng)， 根據(jù)根據(jù)散度散度定理即可求出邊界定理即可求出邊界 S 上的上的場(chǎng)，反之亦然。場(chǎng)，反之亦然。1.4.4 散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理） div d dVSV AAS散度定理散度定理 d dVSVAAS或者寫為或者寫為第一章 矢量分

43、析 編輯課件64散度定理形式證明散度定理形式證明 VSdSAAdViSiinidSAVA)1()(SniSdSAdSAi1niViSAdVVAdSA1)(第一章 矢量分析 編輯課件65散度定理的形式證明散度定理的形式證明2 2從散度定義，可以得到：從散度定義，可以得到：00( )( )limlimsVVF r dSdF rVVdV 則在一定體積則在一定體積V V內(nèi)的總的通量為：內(nèi)的總的通量為：( )VF r dV ( )sF rdS體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S第一章 矢量分析 編輯課件66 例例1-7 在坐標(biāo)原點(diǎn)處正點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為 ),(42r

44、rrzeyexerrrqDzyx求穿過(guò)原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖 1-4)。 圖 1-4 例 1-7 圖 第一章 矢量分析 編輯課件67解：解： qRRqdSRqDdSdSDSSS222444SdSD由于球面的法線方向與D的方向一致，所以 第一章 矢量分析 編輯課件680)(33434,34,344,4,4452222522522522333333rzyxrqzDyDxDDdivDrzrqzDryrqyDrxrqxDrqzDrqyDrqxDerzeryerxqDxxxzyxzyxzyx 例例1-8 原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q，在離其r處產(chǎn)生的電位移矢量 ，試求電位移矢量D的散度。 rrqr

45、rqD3244解：解： 第一章 矢量分析 編輯課件69 例例 1-9 球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez，求 VSrdVdSrSdSr解：解： 根據(jù)散度定理知 而r的散度為 3zzyyxxr所以 3343433RRdVrdVdSrVVS第一章 矢量分析 編輯課件70 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) A 沿一條沿一條有向有向閉合曲線閉合曲線 l 的的線積分線積分稱為矢量場(chǎng)稱為矢量場(chǎng) A 沿該曲線的沿該曲線的環(huán)量環(huán)量，以，以 表示，即表示，即 dlAl可見，若在閉合有向曲線可見，若在閉合有向曲線 l 上，矢量場(chǎng)上，矢量場(chǎng) A 有有分量方分量方向向處處與線元處處與線元 dl 的方向保持的方向保持一致

46、一致，則環(huán)量，則環(huán)量 0；若處處若處處相反相反，則，則 0 ?？梢?，環(huán)量可以用來(lái)描述。可見，環(huán)量可以用來(lái)描述矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的旋渦旋渦特性。特性。l1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 第一章 矢量分析 編輯課件71圖 1-5 矢量場(chǎng)的環(huán)量 線元線元矢量矢量 ：長(zhǎng)度趨近于：長(zhǎng)度趨近于0 0，方向沿路徑切線方向。，方向沿路徑切線方向。dl 環(huán)量意義：若矢量場(chǎng)環(huán)量不為零，則場(chǎng)空間中存在產(chǎn)生環(huán)量意義：若矢量場(chǎng)環(huán)量不為零，則場(chǎng)空間中存在產(chǎn)生矢量場(chǎng)的漩渦源。矢量場(chǎng)的漩渦源。反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況第一章 矢量分析 編輯課件72 環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但環(huán)量

47、可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強(qiáng)度總的源強(qiáng)度，它不能，它不能顯示源的顯示源的分布特性分布特性。為此，需要研究矢量場(chǎng)的。為此，需要研究矢量場(chǎng)的旋度旋度。0 dlIBlI1 I2 例如：例如：已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一閉合有向曲沿任一閉合有向曲線線 l 的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度 I 與與真空磁導(dǎo)率真空磁導(dǎo)率 0 的乘積。即的乘積。即 第一章 矢量分析 編輯課件731.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 環(huán)量面密度環(huán)量面密度0limcnsF dlrot

48、 FS 稱為矢量場(chǎng)稱為矢量場(chǎng) 在在M M點(diǎn)處沿點(diǎn)處沿 方向的環(huán)量面密度（方向的環(huán)量面密度（漩渦源密度漩渦源密度）。( )F r n定義：定義：空間某點(diǎn)空間某點(diǎn)M M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)量：處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)量：SCMFn1)1)環(huán)量面密度大小與所選取的環(huán)量面密度大小與所選取的單位面元方向單位面元方向 有關(guān)。有關(guān)。nrotnnFe rotF（投影關(guān)系）2) 任意取向面元的環(huán)量面密度與任意取向面元的環(huán)量面密度與最大最大環(huán)量面密度的關(guān)系：環(huán)量面密度的關(guān)系：第一章 矢量分析 編輯課件74 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的旋度旋度 矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在M M點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處點(diǎn)的旋度為該點(diǎn)處環(huán)量面密度最大時(shí)環(huán)量

49、面密度最大時(shí)對(duì)應(yīng)的矢量，對(duì)應(yīng)的矢量，其值等于其值等于M M點(diǎn)處最大環(huán)量面密度點(diǎn)處最大環(huán)量面密度，方向?yàn)椋较驗(yàn)榄h(huán)量密度最大的方向環(huán)量密度最大的方向，表，表示為示為 或或 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示矢量場(chǎng)旋度的方向；表示矢量場(chǎng)旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)，是空間坐標(biāo)的函數(shù) 矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度漩渦源密度 矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為矢量場(chǎng)的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的閉合曲線上的是包圍單位面積的閉合曲線

50、上的最大環(huán)量最大環(huán)量。 Fcurl第一章 矢量分析 編輯課件75 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算 直角坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzFxyzxyzeeexyzFFF第一章 矢量分析 編輯課件76 無(wú)論梯度、散度或旋度都是無(wú)論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算微分運(yùn)算，它們表示，它們表示場(chǎng)在場(chǎng)在某點(diǎn)某點(diǎn)附近的變化特性。因此，附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是場(chǎng)的描述的是場(chǎng)的點(diǎn)特性點(diǎn)特性或稱為或稱為微分微分特性特性。 函數(shù)的

51、函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)是可微的必要條件。因此在場(chǎng)量發(fā)生生不連續(xù)不連續(xù)處，也就處，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。 第一章 矢量分析 編輯課件77矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()0u 旋度計(jì)算相關(guān)公式：旋度計(jì)算相關(guān)公式：第一章 矢量分析 編輯課件78討論：散度和旋度比較討論：散度和旋度比較 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第一章 矢量分析 編輯課件791.5.3 1.5.3 斯托克斯定

52、理（旋度定理）斯托克斯定理（旋度定理）()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義 對(duì)于有限大面積s，可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有)11()clA dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d斯托克斯定理的形式證明 意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)量。上的環(huán)量。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消cSdlAdSA)(注意：注意：式中式中dS的方向與的方向與dl的方向成的方向成右手螺旋關(guān)系右手螺旋關(guān)系。 第一章 矢量分析

53、編輯課件80旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理） (curl ) d dSlASAl 從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為旋度旋度定理建立了定理建立了面積分面積分和和線線積分積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為的關(guān)系。從物理角度可以理解為旋度旋度定理建立了定理建立了區(qū)域區(qū)域 S中的場(chǎng)和包圍區(qū)域中的場(chǎng)和包圍區(qū)域 S 的的邊界邊界 l 上的場(chǎng)之間的關(guān)上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域系。因此，如果已知區(qū)域 S 中的場(chǎng)，根據(jù)旋度定理即中的場(chǎng)，根據(jù)旋度定理即可求出邊界可求出邊界 l 上的場(chǎng)，反之亦然。上的場(chǎng)，反之亦然。 () d dSlASAl或者或者第一章 矢量分析 編輯課件81 若矢量場(chǎng)若矢

54、量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，內(nèi)，處處處處 ，但在某些位置，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為為無(wú)旋場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)。 1.5.4 無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng) 無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS結(jié)論：結(jié)論：無(wú)旋場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑的環(huán)量等于零無(wú)旋場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑的環(huán)量等于零( (無(wú)漩渦源無(wú)漩渦源) )。 重要性質(zhì)重要性質(zhì)：無(wú)旋場(chǎng)的旋度始終為無(wú)旋場(chǎng)的旋度始終為0，可引入標(biāo)量輔助函數(shù)可引入標(biāo)量輔助函數(shù)表征矢量場(chǎng)，即表征矢量場(chǎng)，即Fu 例如：靜電場(chǎng)例如：靜電場(chǎng)0EE 第一章 矢量分析 編輯課件82 無(wú)散場(chǎng)無(wú)散場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某些位置，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為為無(wú)源有旋場(chǎng)。無(wú)源有旋場(chǎng)。 ( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV結(jié)論：結(jié)論：無(wú)散場(chǎng)通過(guò)任意閉合曲面的通量等于零（無(wú)散度源）無(wú)散場(chǎng)通過(guò)任意閉合曲面的通量等于零（無(wú)散度源）。 重要性質(zhì)：重要性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)的散度始終為無(wú)散場(chǎng)的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無(wú)散場(chǎng)，可引入矢量函數(shù)的旋