奧賽典型例題(PPT課件)

1、1奧賽典型例題奧賽典型例題分析分析(牛頓定律牛頓定律)21. 如圖如圖1所示，兩斜面重合的楔形塊所示，兩斜面重合的楔形塊ABC和和ACD的質(zhì)量都是的質(zhì)量都是M，AD、BC兩面成水平，兩面成水平，E為質(zhì)量為為質(zhì)量為m的小滑塊，楔形塊的傾角為的小滑塊，楔形塊的傾角為，各面均光滑，整個系統(tǒng)放在水平臺角上，各面均光滑，整個系統(tǒng)放在水平臺角上，從靜止開始釋放，求兩斜面分離前從靜止開始釋放，求兩斜面分離前E的加速的加速度度.圖圖1EDCBA32. 如圖如圖2所示，設(shè)所示，設(shè) ，不考，不考慮滑輪質(zhì)量，求各物體的加速度慮滑輪質(zhì)量，求各物體的加速度. 321mmm圖圖2m3 m2 m143. 如圖如圖3所示，長

2、為所示，長為 2 l的剛性輕棒的剛性輕棒AB的的B端端沿水平地面向右勻速運沿水平地面向右勻速運動，速度為動，速度為v ，A端沿端沿墻壁豎直下滑，棒的中墻壁豎直下滑，棒的中點處固定一質(zhì)量為點處固定一質(zhì)量為m的的小球小球C，試求當，試求當 時，時，小球的加速度和小球?qū)π∏虻募铀俣群托∏驅(qū)Π舻淖饔昧Π舻淖饔昧? 45ACB圖圖3v54. 如圖如圖4所示，小圓筒所示，小圓筒A的的底部有一半徑為底部有一半徑為r的圓孔，的圓孔，大圓筒套于大圓筒套于A的外面，一半的外面，一半徑為徑為r的不透液體的球蓋著的不透液體的球蓋著圓孔，里外圓筒中分別盛有圓孔，里外圓筒中分別盛有密度分別為密度分別為 1和和 2的液體，

3、的液體，兩圓筒的液面相平，且距小兩圓筒的液面相平，且距小圓筒的底部為圓筒的底部為h，試求球所，試求球所受的浮力受的浮力. A Ah h 1 1圖圖4 4 2 265. 三個質(zhì)點三個質(zhì)點A、B、C組成一個邊長為組成一個邊長為d的等邊三角形，質(zhì)點間有萬有引力作用，的等邊三角形，質(zhì)點間有萬有引力作用，為保持這三角形形狀不變，（為保持這三角形形狀不變，（1）若三個）若三個質(zhì)點的質(zhì)量都等于質(zhì)點的質(zhì)量都等于m，那么它們應(yīng)以多，那么它們應(yīng)以多大的角速度繞過質(zhì)心大的角速度繞過質(zhì)心O且垂直三角形平面且垂直三角形平面的軸轉(zhuǎn)動？（的軸轉(zhuǎn)動？（2）若它們的質(zhì)量互不相等，）若它們的質(zhì)量互不相等，那么它們又應(yīng)以多大的角速

4、度繞過質(zhì)心那么它們又應(yīng)以多大的角速度繞過質(zhì)心O且垂直三角形平面的軸轉(zhuǎn)動？且垂直三角形平面的軸轉(zhuǎn)動？7 6. 如圖如圖5所示，長為所示，長為3m，質(zhì)量為，質(zhì)量為4kg的小車靜止的小車靜止在光滑水平面上，車兩端的護欄上各裝有質(zhì)量在光滑水平面上，車兩端的護欄上各裝有質(zhì)量不計的釘子，小車上距車右端不計的釘子，小車上距車右端1m處放著質(zhì)量分處放著質(zhì)量分別為別為mA3kg，mB2kg的小滑塊的小滑塊A和和B，小滑，小滑塊塊A和和B的寬度都可忽略的寬度都可忽略.A和和B之間有質(zhì)量和長之間有質(zhì)量和長度都不計的已壓縮的彈簧度都不計的已壓縮的彈簧.現(xiàn)釋放這彈簧，滑塊現(xiàn)釋放這彈簧，滑塊A和和B相對小車沿相反方向運動

5、，最后都碰到車相對小車沿相反方向運動，最后都碰到車護欄上的釘子而被釘住，試求小車在整個過程護欄上的釘子而被釘住，試求小車在整個過程中通過的位移中通過的位移. AB圖圖587. 質(zhì)量為質(zhì)量為M、厚度可以忽略的薄板靜止地置于、厚度可以忽略的薄板靜止地置于長為長為L的水平桌面上，其一端的水平桌面上，其一端A與桌的一邊對與桌的一邊對齊，薄板上距齊，薄板上距A端為端為l處處 放一質(zhì)量為放一質(zhì)量為m的木塊，的木塊，如圖如圖6所示所示.一水平恒力一水平恒力F作用于板上，把木板作用于板上，把木板從小木塊下抽出，為了使木板抽出后木塊從小木塊下抽出，為了使木板抽出后木塊m不不致于從桌上掉下地面，則致于從桌上掉下地

6、面，則F至少為多大？已知至少為多大？已知各接觸面之間的摩擦系數(shù)均為各接觸面之間的摩擦系數(shù)均為. 圖圖6lMLAFm98. 如圖如圖7所示，平面所示，平面與水平面成夾角為與水平面成夾角為，兩，兩平面的交線為平面的交線為AB，在，在平面上有一個以平面上有一個以AB為為底、半徑為底、半徑為R的固定光滑半圓環(huán)的固定光滑半圓環(huán).設(shè)環(huán)的一端設(shè)環(huán)的一端A處有一個小球以初速度處有一個小球以初速度v0沿環(huán)的內(nèi)側(cè)運動，若沿環(huán)的內(nèi)側(cè)運動，若小球與環(huán)光滑接觸，小球與平面小球與環(huán)光滑接觸，小球與平面之間的摩擦之間的摩擦系數(shù)為系數(shù)為，試求能使小球在環(huán)的最高處繼續(xù)沿，試求能使小球在環(huán)的最高處繼續(xù)沿環(huán)的內(nèi)側(cè)運動的環(huán)的內(nèi)側(cè)運動

7、的v0的取值范圍的取值范圍. AB圖圖7109.如圖如圖8所示，賽車在水平賽道上作所示，賽車在水平賽道上作90轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎，其內(nèi)、外車道轉(zhuǎn)彎處的半徑分別為和，車和路其內(nèi)、外車道轉(zhuǎn)彎處的半徑分別為和，車和路面間的動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)都是面間的動摩擦系數(shù)和靜摩擦系數(shù)都是，試問，試問競賽中車手應(yīng)選擇內(nèi)道還是外道轉(zhuǎn)彎？在上競賽中車手應(yīng)選擇內(nèi)道還是外道轉(zhuǎn)彎？在上述的兩條轉(zhuǎn)彎路徑中，車手的正確選擇較錯誤述的兩條轉(zhuǎn)彎路徑中，車手的正確選擇較錯誤選擇贏得的時間是多少？選擇贏得的時間是多少？內(nèi)道內(nèi)道外道外道圖圖81110. 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為m1和和m2的兩個小的兩個小球，分別系于一根細繩中的一點球，分別系于

8、一根細繩中的一點和一端，細繩的另一端懸掛在和一端，細繩的另一端懸掛在固定處，已知上、下兩段繩子的固定處，已知上、下兩段繩子的長度分別為長度分別為r1和和r2，如圖，如圖9所示所示.開始時兩球靜止，細繩處于豎直開始時兩球靜止，細繩處于豎直位置，現(xiàn)給小球位置，現(xiàn)給小球m1一個打擊，一個打擊，使它突然在水平方向上獲得一個使它突然在水平方向上獲得一個速度，試求小球速度，試求小球m1獲得速度前獲得速度前后瞬間，上、下兩段繩子張力改后瞬間，上、下兩段繩子張力改變量的比值變量的比值. 設(shè)小球獲得速度后設(shè)小球獲得速度后瞬間，繩子仍處于豎直位置瞬間，繩子仍處于豎直位置. 圖圖9 9m1m2r1r212 由于系統(tǒng)

9、水平方向不受外由于系統(tǒng)水平方向不受外力作用，所以，系統(tǒng)水平方力作用，所以，系統(tǒng)水平方向上質(zhì)心加速度為零向上質(zhì)心加速度為零. 即有即有0質(zhì)心a或或0ExDxBxmaMaMa因為因為,0ExBBxaaa，BDBDaaa 建立如圖建立如圖2 2所示坐標系，各物體所示坐標系，各物體的受力情況如圖的受力情況如圖2 2所示所示. .由于受到桌面的由于受到桌面的約束，物體約束，物體ABC的加速度的加速度aB B必水平向左；必水平向左；由于受到由于受到ACD的約束，物體的約束，物體E的加速度的加速度aE必豎直向下必豎直向下.圖圖2aEmgN2aBN1CBARMgMgN2N1aDxyADC圖圖1EDCBA例例1

10、 解：解：故故DyDyBDDxaaaaa，cos130ExDxBxmaMaMa圖圖2aEmgN2aBN1CBARMgMgN2N1aDxyADC于是于是0)cos(BDBaaMMa,0ExBBxaaa，得得cos21DBaa因為物體因為物體E緊貼物體緊貼物體ACD，所以，所以sinDDyDyEaaaa對于物體對于物體ABC，在水平方向上有，在水平方向上有BMaNsin1DyDyBDDxaaaaa，cos14BMaNsin1圖圖2aEmgN2aBN1CBARMgMgN2N1aDxyADC對于物體對于物體E有有EmaNmg2gMmMmMaE2cot2對于物體對于物體ACD，在豎直方向上有，在豎直方向

11、上有sincos12DaMNMgN由以上幾個方程可解得由以上幾個方程可解得15圖圖11m2m3m例例2 解（等效法）解（等效法）Mm圖圖2aa先看圖先看圖2的情況，設(shè)輕繩的拉力大小為的情況，設(shè)輕繩的拉力大小為T，則，則MaTMgmamgT由上一兩個方程可解得由上一兩個方程可解得gmMMmTgmMmMa2,圖圖3M天花板所受的拉力為天花板所受的拉力為gmMMmTF42這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖3物體物體M 對對天花板的作用等效，只要天花板的作用等效，只要M取值為取值為16gmMMmTF42圖圖11m2m3m圖圖3MmMMmM4，gmMMmTgmMmMa2,圖

12、圖4m1Maa因此，只要令因此，只要令 就可用圖就可用圖4等效等效于圖于圖1,此時此時m1、m2、m3的加速度分別為的加速度分別為32mmmM，gMmMma111gMmMmgmmmmagmmmma113232132322gMmMmgmmmmagmmmma11323213232317例例3 解解圖圖1vBAC圖圖2vxyvCABCOmgNan因為因為C到到O的距離始終等于的距離始終等于l，所所以小球以小球C作圓周運動作圓周運動.C的坐標滿足的坐標滿足222lyx小球小球C的軌跡方程的軌跡方程又總有又總有BCxx21故總有故總有 恒量恒量vvxC21因而因而0 xCa所以所以jaayCC當當45時

13、，時，45cosCxCvv故故vvC22此時小球此時小球C的向心加速度為的向心加速度為lvlvaCn22218圖圖2vxyvCABCOmgNan小球加速度的大小為小球加速度的大小為lvlvaCn222lvaanC2245cos2方向豎直向下方向豎直向下因為小球只受重力和棒對它的作用力因為小球只受重力和棒對它的作用力N的作用，且重的作用，且重力豎直向下，所以棒對它的作用力力豎直向下，所以棒對它的作用力N也必沿豎直方向也必沿豎直方向.CamNgm因為因為據(jù)牛頓第三定律得小球?qū)Π舻淖饔昧Υ笮∫矠閾?jù)牛頓第三定律得小球?qū)Π舻淖饔昧Υ笮∫矠閘vmmgN222得得lvmmgN22219圖圖2vxyvCABC

14、OmgNanlvmmgN222當當N 0 時，方向豎直向下；時，方向豎直向下；當當N0表示小車的位移沿表示小車的位移沿x軸正方向軸正方向.26圖圖1lMLAFm例例7 解：解： 要使板抽出后小木塊不致于要使板抽出后小木塊不致于從桌上掉下，這就要求：從桌上掉下，這就要求：木板相對木板相對小木塊運動的距離為小木塊運動的距離為l；木板抽出后，木板抽出后，小木塊落在桌面上繼續(xù)運動，但應(yīng)至小木塊落在桌面上繼續(xù)運動，但應(yīng)至少在桌邊停下，此時其速度為零少在桌邊停下，此時其速度為零. 木板在抽出過程中，木板與小木塊之間的摩擦力為木板在抽出過程中，木板與小木塊之間的摩擦力為滑動摩擦力，大小為滑動摩擦力，大小為f

15、1=mg ,木板還受到桌面所給的木板還受到桌面所給的滑動摩擦力作用，其大小為滑動摩擦力作用，其大小為f2=(M+m)g .對于小木塊有對于小木塊有11mamgf其向前運動的加速度為其向前運動的加速度為ga1對于木板有對于木板有2)(MagmMmgF其向前運動的加速度為其向前運動的加速度為gMmMMFa2227，ga1gMmMMFa22圖圖1lMLAFm木板相對木塊的加速度為木板相對木塊的加速度為gMmMMFaaa)(212設(shè)經(jīng)時間設(shè)經(jīng)時間t，木板從木塊下抽出，則有，木板從木塊下抽出，則有221tal所以所以alt2在木板抽出過程中，木塊作初速為零的勻加速運動，在木板抽出過程中，木塊作初速為零的

16、勻加速運動，當它從木板上掉下來時，其速度及位移分別為當它從木板上掉下來時，其速度及位移分別為tav11212avS 28tav11212avS 圖圖1lMLAFm 木塊掉到桌面后，作初速度為木塊掉到桌面后，作初速度為v，加，加速度大小為速度大小為a1的勻減速運動，到其停的勻減速運動，到其停下時，通過的距離為下時，通過的距離為S2，應(yīng)有，應(yīng)有SSS12 因為開始時，木塊到桌邊的距離為因為開始時，木塊到桌邊的距離為Ll，為使木塊，為使木塊不致于從桌上掉下地面，有不致于從桌上掉下地面，有l(wèi)LS2由以上方程可解得由以上方程可解得)(2lLMLmgF29例例8 解解圖圖1ABNmg圖圖2如圖如圖2、圖、

17、圖3所示，小球在所示，小球在平面上運動時所受平面上運動時所受面面(圓環(huán)底面圓環(huán)底面)的支持力為的支持力為cosmgN 所受的摩擦力為所受的摩擦力為cosmgNf 設(shè)小球在圓環(huán)頂點設(shè)小球在圓環(huán)頂點C處的運動處的運動速度為速度為v，則有如下功能關(guān)系，則有如下功能關(guān)系20221)sin21(21mvmgRmvRf 設(shè)設(shè) 是圓環(huán)是圓環(huán)內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè)給小球的支持力給小球的支持力,要通過頂點要通過頂點C，還必須有還必須有N由以上兩式可得由以上兩式可得) 1 (sin2cos220gRvRgv)2(sin2RvmNmgsinmgfN圖圖3ABCv30圖圖1AB由以上由以上(1)、(2)、(3)、(4)式可解得式可

18、解得RgvRg)sin3cos()sin2cos(0)2(sin2RvmNmg) 1 (sin2cos220gRvRgv及及)4(0N)3(0v同時必須滿足同時必須滿足31內(nèi)道內(nèi)道外道外道圖圖1例例9 解解 賽車在平直賽道上正常行駛賽車在平直賽道上正常行駛時，其速度為它所能達到的最大值，時，其速度為它所能達到的最大值，設(shè)為設(shè)為vm. 轉(zhuǎn)彎時轉(zhuǎn)彎時,車作圓周運動，其向心車作圓周運動，其向心力由地面的摩擦力提供，向心加速度力由地面的摩擦力提供，向心加速度只能達到一定的最大值，所以車速受只能達到一定的最大值，所以車速受到軌道半徑和向心加速度的限制，只到軌道半徑和向心加速度的限制，只能達到一定的大小能

19、達到一定的大小. 為此，賽車在進入為此，賽車在進入彎道前必須有一段減速過程，以使其彎道前必須有一段減速過程，以使其速度減少到在彎道行駛時所允許的最速度減少到在彎道行駛時所允許的最大值大值. 走完彎道后，又要加速到走完彎道后，又要加速到vm. 車道的選擇正是要根據(jù)車在內(nèi)外道上的這些對應(yīng)過車道的選擇正是要根據(jù)車在內(nèi)外道上的這些對應(yīng)過程所經(jīng)歷的時間的比較來確定程所經(jīng)歷的時間的比較來確定. 先討論外車道情況，設(shè)走彎道時允許的最大車速為先討論外車道情況，設(shè)走彎道時允許的最大車速為v2，則應(yīng)有，則應(yīng)有32222rvmmg 所以所以grv22 如圖如圖2所示，設(shè)車從所示，設(shè)車從M點開始減速，到點開始減速，到

20、N點車速從點車速從vm減至減至v2，此時剛好進入彎道，此時剛好進入彎道. 減減速過程的加速度大小為速過程的加速度大小為gmmga此減速過程所經(jīng)歷的距離為此減速過程所經(jīng)歷的距離為2222222221rgvavvSmm車沿彎道到達車沿彎道到達A點后，由對稱關(guān)系可知，經(jīng)過點后，由對稱關(guān)系可知，經(jīng)過S23=S21的路程后車又加速到的路程后車又加速到vm.圖圖2MN2rA21S22S23S33 車從減速到轉(zhuǎn)彎到再加速，所用總車從減速到轉(zhuǎn)彎到再加速，所用總時間時間t2為為grgvavvvravvtmmm222222)22(22同法可得車走內(nèi)車道對應(yīng)過程所用總時間同法可得車走內(nèi)車道對應(yīng)過程所用總時間t1為為

21、grgvtm11)22(22M2N圖圖31r2r1M1NA21S22S23S從圖從圖3可見可見122211rrNMNM而在直車道上用于加速和減速的行程中，車經(jīng)內(nèi)車而在直車道上用于加速和減速的行程中，車經(jīng)內(nèi)車道也多走了長度道也多走了長度1222122111)22()22(2)(2rrrvrgvSSSmm圖圖3只是把內(nèi)車道減速、加速多走的路集中在一起只是把內(nèi)車道減速、加速多走的路集中在一起.34grgvtm22)22(2grgvtm11)22(22M2N圖圖31r2r1M1NA21S22S23S 所以，圖所以，圖3可以用來描述車在內(nèi)外車道的運動情可以用來描述車在內(nèi)外車道的運動情況，并由此可知，車在

22、直道上勻速況，并由此可知，車在直道上勻速(以速度以速度vm)行行駛的路程長度對于內(nèi)外兩車道來說是相等的，所駛的路程長度對于內(nèi)外兩車道來說是相等的，所以選擇車道只需比較上述的以選擇車道只需比較上述的t1和和t2即可即可.由于由于t1t2，所以車手應(yīng)該選擇走外車道，所以車手應(yīng)該選擇走外車道.由此而贏得的時間為由此而贏得的時間為grrttt1221)22(35例例10 解解:圖圖1 1m1m2r1r2設(shè)設(shè)m1受打擊后，在水方向上獲得受打擊后，在水方向上獲得的速度為的速度為v .在在m1獲得速度前，易知上、下兩獲得速度前，易知上、下兩段繩子的張力分別為段繩子的張力分別為v) 1 ()(2110gmmT)2(220gmT設(shè)設(shè)m1獲得速度獲得速度v后，上、下兩段繩子的張力分別為后，上、下兩段繩子的張力分別為T1、T2 ，顯然有，顯然有)3(12111121rvmamgmTT 以以m1為參考系研究為參考系研究m2的運動：的運動：m2作半徑為作半徑為r2的圓周運的圓周運動，速度大小為動，速度大小為v .