高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修23

1、第1課時組合與組合數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解組合與組合數(shù)的概念(重點)2.會推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會應(yīng)用公式求值(重點)3.理解組合數(shù)的兩個性質(zhì)，并會求值、化簡和證明(難點、易混點)自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1組合的概念一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合思考：怎樣理解組合，它與排列有何區(qū)別？提示(1)組合要求n個元素是不同的，被取的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出(2)取出的m個元素不講究順序，也就是說元素沒有位置的要求，無序性是組合的特點(3)辨別一個問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順

2、序是否有關(guān)，若交換某一問題中某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則就是組合問題2組合數(shù)的概念從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)思考：如何理解組合與組合數(shù)這兩個概念？提示同“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取m(mn)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)例如，從3個不同元素a，b，c中每次取出兩個元素的組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫一個組

3、合，這些組合共有3個，則組合數(shù)為3.3組合數(shù)公式及其性質(zhì)(1)公式：c.(2)性質(zhì)：cc_，ccc.(3)規(guī)定：c1.基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同()(2)從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素組成一個組合，所有組合的個數(shù)為c.()(3)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法是組合問題()(4)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名，有3種不同的選法()(5)現(xiàn)有4枚2015年抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念幣送給10人中的4人留念，有多少種送法是排列問題()解析(1)因為只要兩個組合的元素相同

4、，不論元素的順序如何，都是相同的組合(2)由組合數(shù)的定義可知正確(3)×因為選出2名同學(xué)還要分到不同的兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，這是排列問題(4)因為從甲、乙、丙3人中選兩名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3個組合，即有3種不同選法(5)×因為將4枚紀(jì)念幣送與4人并無順序，故該問題是組合問題答案(1)(2)(3)×(4)(5)×2若c28，則n() 【導(dǎo)學(xué)號：95032046】a9b8c7 d6bc28，解得n8.3甲、乙、丙三地之間有直達的火車，相互之間的距離均不相等，則車票票價的種數(shù)是_3甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價不同，同距離兩地票價相同，故該問題為組合問題，不同

5、票價的種數(shù)為c3.4c_，c_. 【導(dǎo)學(xué)號：95032047】1518c15，cc18.合 作 探 究·攻 重 難組合的概念(1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題：設(shè)集合aa，b，c，d，e，則集合a的子集中含有3個元素的有多少個？某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價？2018年元旦期間，某班10名同學(xué)互送賀年卡，表示新年的祝福，賀年卡共有多少張？(2)已知a，b，c，d，e五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合. 【導(dǎo)學(xué)號：95032048】思路點撥要確定是組合還是排列問題，只需確定取出的元素是否與順序有關(guān)解(1)因為本問題與元素順序無關(guān)，故是組合問題

6、因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與順序無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關(guān)，是排列問題(2)可按abacadbcbdcd順序?qū)懗觯此运薪M合為abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde.規(guī)律方法1區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看它有無“順序”，有順序就是排列問題，而無順序就是組合問題而要判定它是否有順序的方法是：先將元素取出來，看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無影響，有影響就是“有序”，也就是排列問題；沒有影響就是“無序”，也就是組合問題2寫組合時，

7、一般先將元素按一定的順序排好，然后按照順序用圖示的方法逐個地將各個組合表示出來，如本題的作法，這樣做直觀、明了、清楚，以防重復(fù)和遺漏跟蹤訓(xùn)練1(1)判斷下列問題是排列問題還是組合問題：把當(dāng)日動物園的4張門票分給5個人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種分配方法？從2,3,5,7,11這5個質(zhì)數(shù)中，每次取2個數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個分?jǐn)?shù)，共能構(gòu)成多少個不同的分?jǐn)?shù)？從9名學(xué)生中選出4名參加一個聯(lián)歡會，有多少種不同的選法？(2)已知a，b，c，d這四個元素，寫出每次取出2個元素的所有組合解(1)是組合問題由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動物園的門票)，不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這

8、和順序無關(guān)是排列問題，選出的2個數(shù)作分子或分母，結(jié)果是不同的是組合問題，選出的4人無角色差異，不需要排列他們的順序(2)可按abcd順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd.組合數(shù)公式的應(yīng)用(1)計算cc·a；(2)計算cc. 【導(dǎo)學(xué)號：95032049】思路探究解答此類問題要恰當(dāng)選擇組合數(shù)公式，并注意使用組合數(shù)公式的隱含條件解(1)原式·(3×2×1)2102100.當(dāng)n4時，原式cc5，當(dāng)n5時，原式cc16.規(guī)律方法1在具體選擇公式時，要根據(jù)原題的特點，一般地，公式c常用于n為具體數(shù)的數(shù)目，偏向于組合數(shù)的計算，公式c常用于n為字

9、母的題目，偏向于解不等式或證明恒等式2解題時，一定不要忘記組合數(shù)的意義跟蹤訓(xùn)練2求值：cc.解由組合數(shù)的公式的性質(zhì)，解得n6.所以，原式cccc121931.組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用探究問題1試用兩種方法求：從a，b，c，d，e 5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，2人參加英語競賽，共有多少種選法？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能得到一般結(jié)論嗎？提示法一：從5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競賽，剩余2人參加英語競賽，共c10(種)選法法二：從5人中選出2人參加英語競賽，剩余3人參加數(shù)學(xué)競賽，共c10(種)不同選法經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)cc.推廣到一般結(jié)論有cc.2從含有隊長的10名排球隊員中選出6人參加比賽，共有多少種選法？提示共有c210(種

10、)選法3在探究2中，若隊長必須參加，有多少種選法？若隊長不能參加有多少種選法？由探究2、3，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你能推廣到一般結(jié)論嗎？提示若隊長必須參加，共c126(種)選法若隊長不能參加，共c84(種)選法由探究2、3發(fā)現(xiàn)從10名隊員中選出6人可分為隊長參賽與隊長不參賽兩類，由分類加法計數(shù)原理可得：ccc.一般地：ccc.(1)計算：ccc_；(2)若c>c，則n的取值集合是_. 【導(dǎo)學(xué)號：95032050】思路探究恰當(dāng)選擇組合數(shù)的性質(zhì)進行求值、解方程與解不等式(1)5 050(2)6,7,8,9(1)ccccccc5 050.(2)由c>c，得>，所以n29n10<0，

11、得1<n<10，因為nn*且n6，所以n6,7,8,9，所以n的取值集合為6,7,8,9規(guī)律方法1性質(zhì)“cc”的意義及作用2連續(xù)使用“ccc”時，一定要掌握住該性質(zhì)兩邊的上、下標(biāo)字母的特征，并注意觀察分析待化簡的組合式的特征3與排列組合有關(guān)的方程或不等式問題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，求解時，要注意由c中的mn*，nn*，且nm確定m，n的范圍，因此求解后要驗證所得結(jié)果是否適合題意跟蹤訓(xùn)練3(1)化簡：ccc_；(2)已知ccc，求n的值(1)0原式(cc)ccc0.(2)解根據(jù)題意，ccc，變形可得ccc，由組合數(shù)的性質(zhì)，可得cc，故87n1，解得n14.當(dāng) 堂

12、達 標(biāo)·固 雙 基1下列問題：將圖案不同的4張撲克牌分給兩人，每人2張，有幾種方法？將圖案不同的4張撲克牌分給四人，每人1張，有幾種分法？空間中的10個點，任意3個點都不共線，能構(gòu)成多少個以這些點為頂點的三角形？其中，包含組合問題的有()a0個b1個c2個 d3個c由組合的定義可知兩個命題與順序無關(guān)，是組合問題2下列計算結(jié)果為21的是()aacbcca dcdc21.3下列等式不正確的是() 【導(dǎo)學(xué)號：95032051】ac bccccc dccd由組合數(shù)公式逐一驗證知d不正確46個朋友聚會，每兩人握手1次，一共握手_次15每兩人握手1次，無順序之分，是組合問題，故一共握手c15次5已知c，c，c成等差數(shù)列，求c的值. 【導(dǎo)學(xué)號：95032052】解由已知得2ccc，所以2·，整理得n221n980，解得n7或n14，要求c的值，故n12，所以n14，于是cc9