高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理學案 新人教A版選修23

1、1.3.1二項式定理學習目標1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題知識點二項式定理及其相關(guān)概念思考1我們在初中學習了(ab)2a22abb2，試用多項式的乘法推導(ab)3，(ab)4的展開式答案(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2能用類比方法寫出(ab)n(nn*)的展開式嗎？答案能，(ab)ncancan1bcankbkcbn (nn*)梳理二項式定理公式(ab)ncancan1bcankbkcbn，稱為二項式定理二項式系數(shù)c(k0,1，n)通項tk1can

2、kbk二項式定理的特例(1x)nccxcx2cxkcxn1(ab)n展開式中共有n項(×)2在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜棝]有影響(×)3cankbk是(ab)n展開式中的第k項(×)4(ab)n與(ab)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同()類型一二項式定理的正用、逆用例1(1)求4的展開式考點二項式定理題點運用二項式定理求展開式解方法一4(3)4c(3)3·c(3)22c(3)3c481x2108x54.方法二44(13x)4·1c·3xc(3x)2c(3x)3c(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2

3、.(2)化簡：c(x1)nc(x1)n1c(x1)n2(1)kc(x1)nk(1)nc.考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡解原式c(x1)nc(x1)n1(1)c(x1)n2(1)2c(x1)nk(1)kc(1)n(x1)(1)nxn.引申探究若(1)4ab(a，b為有理數(shù))，則ab_.答案44解析(1)41c×()1c×()2c×()3c×()414181292816，a28，b16，ab281644.反思與感悟(1)(ab)n的二項展開式有n1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：各項的次數(shù)和等于n；字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減

4、1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏跟蹤訓練1化簡：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡解原式c(2x1)5c(2x1)4c(2x1)3c(2x1)2c(2x1)c(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.類型二二項展開式通項的應(yīng)用例2已知二項式10.(1)求展開式第4項的二項式系數(shù)；(2)求展開式第4項的系數(shù)；(3)求第4項考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)解1

5、0的展開式的通項是tk1c(3)10kkc310kk· (k0,1,2，10)(1)展開式的第4項(k3)的二項式系數(shù)為c120.(2)展開式的第4項的系數(shù)為c37377 760.(3)展開式的第4項為t4t3177 760.反思與感悟(1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)c(k0,1,2，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念(2)第k1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為c.例如，在(12x)7的展開式中，第四項是t4c173(2x)3，其二項式系數(shù)是c35，而第四項的系數(shù)是c23280.跟蹤訓練2已知n

6、展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162.(1)求n的值；(2)求展開式中含x3的項，并指出該項的二項式系數(shù)考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)解(1)因為t3c()n224c，t2c()n12c，依題意得4c2c162，所以2cc81，所以n281，nn*，故n9.(2)設(shè)第k1項含x3項，則tk1c()9kk(2)kc，所以3，k1，所以第二項為含x3的項為t22cx318x3.二項式系數(shù)為c9.例3已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項解通項公式為tk1

7、c(3)kc(3)k.(1)第6項為常數(shù)項，當k5時，有0，即n10.(2)令2，得k(106)2，所求的系數(shù)為c(3)2405.(3)由題意得，令t(tz)，則102k3t，即k5t.kn，t應(yīng)為偶數(shù)令t2,0，2，即k2,5,8.第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.反思與感悟(1)求二項展開式的特定項的常見題型求第k項，tkcank1bk1；求含xk的項(或xpyq的項)；求常數(shù)項；求有理項(2)求二項展開式的特定項的常用方法對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)

8、的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致跟蹤訓練3(1)若9的展開式中x3的系數(shù)是84，則a_.考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案1解析展開式的通項為tk1cx9k(a)kkc·(a)kx92k(0k9，kn)當92k3時，解得k3，代入得x3的系數(shù)，根據(jù)題意得c(a)384，解得a1.(2)已知n為等差數(shù)列4，2,0，的第六項，則n的二項展開式的常數(shù)項是_考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項

9、答案160解析由題意得n6，tk12kcx62k，令62k0得k3，常數(shù)項為c23160.1(x2)n的展開式共有11項，則n等于()a9 b10 c11 d8考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案b解析因為(ab)n的展開式共有n1項，而(x2)n的展開式共有11項，所以n10，故選b.212c4c8c(2)nc等于()a1 b1 c(1)n d3n考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡答案c解析逆用二項式定理，將1看成公式中的a，2看成公式中的b，可得原式(12)n(1)n.3.n的展開式中，常數(shù)項為15，則n的值為()a3 b4 c5 d6考點二項展開式中的

10、特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案d解析展開式的通項為tk1c(x2)nk·(1)k·k(1)kcx2n3k.令2n3k0，得nk(n，kn*)，若k2，則n3不符合題意，若k4，則n6，此時(1)4·c15，所以n6.4在24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有()a3項 b4項 c5項 d6項考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項答案c解析24的展開式的通項為tk1c·()24kkc，故當k0,6,12,18,24時，冪指數(shù)為整數(shù)，共5項5求二項式()9展開式中的有理項考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項

11、解tk1c·(1)kc·，令z(0k9)，得k3或k9，所以當k3時，4，t4(1)3cx484x4，當k9時，3，t10(1)9cx3x3.綜上，展開式中的有理項為84x4與x3.1注意區(qū)分項的二項式系數(shù)與系數(shù)的概念2要牢記cankbk是展開式的第k1項，不要誤認為是第k項3求解特定項時必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為特定值一、選擇題1s(x1)44(x1)36(x1)24x3，則s等于()ax4 bx41c(x2)4 dx44考點二項式定理題點逆用二項式定理求和、化簡答案a解析s(x1)44(x1)36(x1)24(x1)1c(x1)4c(x1)3

12、c(x1)2c(x1)c(x1)14x4，故選a.2設(shè)i為虛數(shù)單位，則(1i)6展開式中的第3項為()a20i b15ic20 d15考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式中的特定項答案d解析(1i)6展開式中的第3項為ci215.3(xy)10的展開式中x6y4的系數(shù)是()a840 b840c210 d210考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)答案b解析在通項公式tk1c(y)kx10k中，令k4，即得(xy)10的展開式中x6y4的系數(shù)為c×()4840.4在n的展開式中，若常數(shù)項為60，則n等于()a3 b6c9 d12考點二項展開式中的特定項問題題點

13、由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案b解析tk1c()nkk2kc.令0，得n3k.根據(jù)題意有2kc60，驗證知k2，故n6.5若(13x)n(nn*)的展開式中，第三項的二項式系數(shù)為6，則第四項的系數(shù)為()a4 b27c36 d108考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)答案d解析tk1c(3x)k，由c6，得n4，從而t4c·(3x)3，故第四項的系數(shù)為c33108.6在二項式的展開式中，若前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項的項數(shù)為()a5 b4c3 d2考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項答案c解析二項展開式的前三項的系數(shù)分別為1，c

14、83;，c·2，由其成等差數(shù)列，可得2c·1c·2n1，所以n8(n1舍去)所以展開式的通項tk1ck.若為有理項，則有4z，所以k可取0,4,8，所以展開式中有理項的項數(shù)為3.7設(shè)函數(shù)f(x)則當x>0時，f(f(x)表達式的展開式中常數(shù)項為()a4 b6c8 d10考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項答案b解析依據(jù)分段函數(shù)的解析式，得f(f(x)f()4，tk1c(1)kxk2.令k20，則k2，故常數(shù)項為c(1)26.二、填空題8.7的展開式中倒數(shù)第三項為_考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式的特定項答案解析由于n7，可知展開式

15、中共有8項，倒數(shù)第三項即為第六項，t6c(2x)2·5c·22.9若(x1)nxnax3bx2nx1(nn*)，且ab31，那么n_.考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案11解析ac，bc.ab31，即3，解得n11.10已知正實數(shù)m，若x10a0a1(mx)a2(mx)2a10(mx)10，其中a8180，則m的值為_考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案2解析由x10m(mx)10，m(mx)10的二項展開式的第9項為cm2(1)8·(mx)8，a8cm2(1)8180，則m±2.又m>0，

16、m2.11使n(nn*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為_考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案5解析展開式的通項公式tk1c(3x)nkk，tk13nkc，k0,1,2，n.令nk0，nk，故最小正整數(shù)n5.三、解答題12若二項式6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為a，常數(shù)項為b，且b4a，求a的值考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)解tk1cx6kk(a)kc，令63，則k2，得ac·a215a2；令60，則k4，得bc·a415a4.由b4a可得a24，又a>0，a2.13已知在n的展開式中，第9項為常數(shù)項，

17、求：(1)n的值；(2)展開式中x5的系數(shù)；(3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù)考點二項展開式中的特定項問題題點求多項展開式中的特定項解已知二項展開式的通項為tk1cnk·k(1)knkc.(1)因為第9項為常數(shù)項，即當k8時，2nk0，解得n10.(2)令2×10k5，得k(205)6.所以x5的系數(shù)為(1)64c.(3)要使2nk，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k0,1,2,3，9,10，故符合要求的有6項，分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項四、探究與拓展14設(shè)a0，n是大于1的自然數(shù)，n的展開式為a0a1xa2x2anxn.若點ai(i，ai) (i0,1,2)的位置如圖所示，則a_.考點二項展開式中的特定項問題題點由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù)答案3解析由題意知a0(0,1)，a1(1,3)，a2(2,4)即a01，a13，a24.由n的展開式的通項公式知tk1ck(k0,1,2，n)故3，4，解得a3.15設(shè)f(x)(1x)m(1x)n的展開式中含x項的系數(shù)是19(m，nn*)(1)求f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)的最小值；(2)當f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)取最小值時，求f(x)的展開式中含x7項的系數(shù)考點二項展開式中的特定項問題題點求二項展開式特定項的系數(shù)解(1)由題設(shè)知mn19，所以m19n，含x2項的系數(shù)為cc