高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 復(fù)數(shù)的幾何意義習(xí)題 新人教A版選修22

1、第一章2.3 復(fù)數(shù)的幾何意義a級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明某一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題時(shí)，在由“nk時(shí)論斷成立nk1時(shí)論斷也成立”的過程中(a)a必須運(yùn)用假設(shè)bn可以部分地運(yùn)用假設(shè)c可不用假設(shè)d應(yīng)視情況靈活處理，a，b，c均可解析由“nk時(shí)論斷成立nk1時(shí)論斷也成立”的過程中必須運(yùn)用假設(shè)2(2018·嘉峪關(guān)校級(jí)期中)用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，nk1時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k12k1變形為(a)a5(5k2k)3×2kb(5k2k)4×5k2kc(52)(5k2k) d2(5k2k)3×5k解析假設(shè)nk時(shí)命題成立，即：5

2、k2k被3整除當(dāng)nk1時(shí)，5k12k15×5k2×2k5(5k2k)5×2k2×2k5(5k2k)3×2k故選a3對(duì)于不等式n1(nn)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)nk(kn)時(shí)，不等式成立，即<k1，則nk1時(shí)，<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，上述證法(d)a過程全都正確bn1驗(yàn)證不正確c歸納假設(shè)不正確d從nk到nk1的推理不正確解析n1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從nk到nk1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求故應(yīng)選d4用數(shù)學(xué)歸納法證明命題

3、“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步的證明時(shí)，正確的證法是(c)a假設(shè)nk(kn*)時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題也成立b假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題也成立c假設(shè)nk(k是正奇數(shù))時(shí)命題成立，證明nk2時(shí)命題也成立d假設(shè)n2k1(kn)時(shí)命題成立，證明nk1時(shí)命題也成立解析n為正奇數(shù)，當(dāng)nk時(shí)，k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k2，而非k1故應(yīng)選c5凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n1邊形對(duì)角線的條數(shù)f(n1)為(c)af(n)n1 bf(n)ncf(n)n1 df(n)n2解析增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n13條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n1)f(n)1n1

4、3f(n)n1故應(yīng)選c6(2018·杏花嶺區(qū)校級(jí)期中)等式122232n2(5n27n4)(b)an為任何正整數(shù)都成立b僅當(dāng)n1,2,3時(shí)成立c當(dāng)n4時(shí)成立，n5時(shí)不成立d僅當(dāng)n4時(shí)不成立解析當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，成立；當(dāng)n2時(shí)，左邊145，右邊5，成立；當(dāng)n3時(shí)，左邊14914，右邊14，成立；當(dāng)n4時(shí)，左邊1491640，右邊28，不成立；當(dāng)n5時(shí)，左邊149162565，右邊94，不成立；故選b二、填空題7(2017·無錫期末)一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，若nk(kn)時(shí)命題成立可以推出nk1時(shí)命題也成立現(xiàn)已知n10時(shí)該命題不成立，那么下列結(jié)論正確的是：_(填上所有正

5、確命題的序號(hào))n11時(shí)，該命題一定不成立；n11時(shí)，該命題一定成立；n1時(shí)，該命題一定不成立；至少存在一個(gè)自然數(shù)，使nn0時(shí)，該命題成立解析由題意可知，原命題成立則逆否命題成立，p(n)對(duì)n10時(shí)該命題不成立，(否則n11也成立)同理可推得p(n)對(duì)n2，n1也不成立所以正確故答案為8觀察下列等式，照此規(guī)律，第n個(gè)等式為n(n1)(n2)(3n2)(2n1)211234934567254567891049解析將原等式變形如下：1112234932345672552456789104972由圖知，第n個(gè)等式的左邊有2n1項(xiàng)，第一個(gè)數(shù)是n，是2n1個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，則最后一個(gè)數(shù)為n(2n1)13n2

6、，右邊是左邊項(xiàng)數(shù)2n1的平方，故有n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2三、解答題9在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nn*)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論解析由已知得2bnanan1，abnbn1，a12，b14，由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425猜想ann(n1)，bn(n1)2用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k4，kn*)時(shí)，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k

7、1)(k1)·(k2)，bk1(k2)2當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由可知，ann(n1)，bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)n都成立10(2017·漢陽期中)已知fn(x)滿足f1(x)(x>0)，fn1(x)f1(fn(x)(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)fn(x)的猜想解析(1)f2(x)f1f1(x)，f3(x)f1f2(x)猜想：fn(x)，(nn*)(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 ，fn(x)(nn*)當(dāng)n1時(shí)，f1(x)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，猜想成立，即fk(x)，則當(dāng)nk1時(shí)，fk1f1fk(x)，即對(duì)nk

8、1時(shí)，猜想也成立；結(jié)合可知，猜想fn(x)對(duì)一切nn*都成立b級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1當(dāng)n1,2,3,4,5,6時(shí)，比較2n和n2的大小并猜想(d)an1時(shí)，2n>n2 bn3時(shí)，2n>n2cn4時(shí)，2n>n2 dn5時(shí)，2n>n2解析當(dāng)n1時(shí)，21>12，即2n>n2；當(dāng)n2時(shí)，2222，即2nn2；當(dāng)n3時(shí)，23<32，即2n<n2；當(dāng)n4時(shí)，2442，即2nn2；當(dāng)n5時(shí)，25>52，即2n>n2；當(dāng)n6時(shí)，26>62，即2n>n2；猜想當(dāng)n5時(shí)，2n>n2；下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測成立，(1)當(dāng)n5時(shí)，由以

9、上可知猜想成立，(2)設(shè)nk(k5)時(shí)，命題成立，即2k>k2，當(dāng)nk1時(shí)，2k12·2k>2k2k2k2>k2(2k1)(k1)2，即nk1時(shí)，命題成立，由(1)和(2)可得n5時(shí)，2n>n2；故當(dāng)n2或4時(shí)，2nn2；n3時(shí)，2n<n2；n1及n取大于4的正整數(shù)時(shí)，都有2n>n2故選d2用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nn*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證nk1時(shí)的情況，只需展開(a)a(k3)3 b(k2)3c(k1)3 d(k1)3(k2)3解析因?yàn)閺膎k到nk1的過渡，增加了(k1)3，減少了k3，故利用歸納假設(shè)，只需將(k3

10、)3展開，證明余下的項(xiàng)9k227k27能被9整除二、填空題3用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nn*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為當(dāng)n1時(shí)，左邊4，右邊4，左右，不等式成立解析當(dāng)n1時(shí)，左右，不等式成立，nn*，第一步的驗(yàn)證為n1的情形4對(duì)任意nn*,34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a5解析當(dāng)n1時(shí)，36a3能被14整除的數(shù)為a3或5，當(dāng)a3時(shí)且n3時(shí)，31035不能被14整除，故a5三、解答題5在平面內(nèi)有n條直線，其中每兩條直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn)求證：這n條直線將它們所在的平面分成個(gè)區(qū)域證明(1)n2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(

11、k2)時(shí)，k條直線將平面分成塊不同的區(qū)域，命題成立當(dāng)nk1時(shí)，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k1塊從而k1條直線將平面分成k1塊區(qū)域所以nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知，原命題成立6(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：12223242(1)n1n2(1)n1·(nn*)(2)求證：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nn*)解析(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊121，右邊(1)0×1，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(kn*)時(shí)，等式成立，即12223

12、242(1)k1k2(1)k1·則當(dāng)nk1時(shí)，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1·(1)k(k1)2(1)k(k1)·(1)k·當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，根據(jù)、可知，對(duì)于任何nn*等式成立(2)n1時(shí)，左邊12223，右邊3，等式成立假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)，等式也成立由得，等式對(duì)任何nn*都成立c級(jí)能

13、力拔高已知等差數(shù)列an中，a28，前10項(xiàng)的和s10185，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若從數(shù)列an中依次取出第2,4,8，2n，項(xiàng)，按原來的順序排成一個(gè)新數(shù)列，試求新數(shù)列的前n項(xiàng)和an；(3)設(shè)bnn(53an)，試比較an和bn的大小，并說明理由解析(1)設(shè)公差為d，由題意得，解得an53×(n1)3n2(2)設(shè)新數(shù)列為bn，bna2n3×2n2an3×(222232n)2n3×2n12n6(3)bnn(9n11)9n211n，a13×448，a23×8222，a33×1648，a43×32298，a

14、53×644196，a63×1286390，a73×2568776，而b120，b258，b3114，b4188，b5280，b6390，b7518，當(dāng)n1,2,3,4,5時(shí)，bn>an；當(dāng)n6時(shí)，b6a6；當(dāng)n7，且nn*時(shí)，猜想an>bn，用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n7時(shí)，a7776>518b7，結(jié)論正確；假設(shè)當(dāng)nk(k7)時(shí)，ak>bk，即3×2k12k6>9k211k2k1>3k23k2，nk1時(shí)，ak1bk13×2k22(k1)69(k1)211(k1)6×2k19k227k246×2k1(3k23k2)6×(3k23k2)9k227k246×2k1(3k23k2)9k29k12>9k29k129k(k1)129×7×(71)12>0，ak1>bk1